MỘT NGHIÊN cứu SO SÁNH SÁCH GIÁO KHOA TRUNG học cơ sở ở PHÁP và VIỆT NAM

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ UYÊN NHI

SUY LUẬN VÀ CHỨNG MINH TRONG HÌNH HỌC:
MỘT NGHIÊN CỨU SO SÁNH SÁCH GIÁO KHOA TRUNG
HỌC CƠ SỞ Ở PHÁP VÀ VIỆT NAM

Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN
Mã số: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. LÊ THỊ HOÀI CHÂU

Huế, Năm 2015
i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu và kết quả
nghiên cứu ghi trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác.
Tác giả

Nguyễn Thị Uyên Nhi

ii

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, chân thành đến cô Lê Thị
Hoài Châu, thầy Trần Kiêm Minh đã nhiệt tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn
thành luận văn này.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Huế, Phòng đào tạo sau đại học, các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy
cô thuộc chuyên ngành Lý luận và Phương pháp dạy học môn Toán đã tận tình
giảng dạy và truyền thụ cho tôi nhiều kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong hai năm
học vừa qua.
Tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ chuyên
môn trường THPT Trần Hưng Đạo-Thành phố Huế đã tạo điều kiện cho tôi đi học.
Sau cùng tôi xin chân thành cám ơn gia đình và bạn bè đã luôn ủng hộ, quan
tâm, động viên và giúp đỡ tôi mọi mặt để tôi hoàn thành luận văn này.
Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong nhận được sự hướng
dẫn và góp ý.
Chân thành cám ơn!
Huế, tháng 04 năm 2015.
Nguyễn Thị Uyên Nhi

iii


DANH MỤC BẢNG
DANH MỤC BẢNG..........................................................................................................iv

Cấp tiểu học:..............................................................................................................................................6
Cấp trung học cơ sở:..................................................................................................................................6
Cấp trung học phổ thông:..........................................................................................................................7

iv


DANH MỤC HÌNH
DANH MỤC BẢNG..........................................................................................................iv

Cấp tiểu học:..............................................................................................................................................6
Cấp trung học cơ sở:..................................................................................................................................6
Cấp trung học phổ thông:..........................................................................................................................7

v


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

SGK

: Sách giáo khoa

THPT

: Trung học phổ thông

THCS

: Trung học cơ sở

ATD

: Thuyết nhân học didactic

vi


MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌA.....................................................................................................i
DANH MỤC BẢNG..........................................................................................................iv
Cấp tiểu học:..............................................................................................................................................6
Cấp trung học cơ sở:..................................................................................................................................6
Cấp trung học phổ thông:..........................................................................................................................7

1


LỜI GIỚI THIỆU
Nghiên cứu về dạy và học chứng minh (proof) hay cơ hội suy luận và chứng
minh (reasoning-and-proving opportunities) là một chủ đề lớn của giáo dục toán
trong những năm gần đây. Điều này được thể hiện qua một số lượng lớn các công
trình nghiên cứu về lĩnh vực này (De Villiers, 1990, [12]; Herbst, 2002, [20];
Mariotti, 2006, [25]; Stylianides & Stylianides, 2008, [34]; Stylianides, 2009, [33];
Reid & Knipping, 2010, [31]; Hanna & de Villiers, 2012, [14]; Miyakawa, 2012,
[27]; Thompson, Senk & Johnson, 2012, [35]; Otten, Gilbertson, Males & Clark,
2014, [29]; Otten, Males & Gilbertson, 2014), [30].
Balacheff (2008, [5]) nhấn mạnh rằng có nhiều quan niệm khác nhau về
nghĩa của từ “chứng minh toán học” trong cộng đồng các nhà nghiên cứu giáo dục
toán, tùy theo quan điểm tri thức luận của mỗi tác giả. Reid và Knipping (2010,
[31]) cũng mô tả nhiều cách sử dụng khác nhau của thuật ngữ “chứng minh” (proof
and proving) và những cách tiếp cận khác nhau về dạy và học chứng minh trong
nhà trường. Tính đa dạng này còn được thể hiện trong bản chất và hình thức của

chứng minh trong các sách giáo khoa hình học như: dạng của chứng minh (dạng
chứng minh theo 2 cột trong sách giáo khoa ở Mỹ), chức năng của chứng minh, tính
chất và đối tượng hình học liên quan đến chứng minh…
Từ quan điểm của thuyết nhân học didactic (Anthropological Theory of
Didactics, ATD) và đặc biệt là tiếp cận có tính sinh thái học (Chevallard, 1994;
Artaud, 1998, [11]), tính đa dạng của các tiếp cận dạy học chứng minh trong nhà
trường có thể được xem như là một hệ quả tự nhiên. Theo ATD, tri thức luôn tồn tại
gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy học khác nhau, tri thức được dạy
và cần dạy có thể khác nhau. Một đối tượng toán học không tồn tại một cách đơn lẻ,
mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng buộc với các đối tượng toán học khác,
với những chức năng đặc biệt nào đó (điều này giống với ý tưởng của sinh thái học,
trong đó một loài sống trong một nơi nào đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng
đặc biệt liên quan đến các loài khác). Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh
được dạy trong các hệ thống dạy học khác nhau giữa các nước có thể có bản chất,
hình thức và chức năng khác nhau.

2


Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tinh sinh thái học như trên,
Miyakawa (2012), [27], đã đề xuất một mô hình gồm bốn bước để phân tích các
khái cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các SGK hình học ở Pháp
và Nhật Bản. Bốn bước này bao gồm:
• Nhận dạng và làm rõ khái niệm “chứng minh” được sử dụng trong SGK
thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ như minh chứng (justify), giải thích (explain)
…
• Nhận ra các đặc trưng chủ yếu của hình thức của chứng minh (the form of
proof)
• Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tượng hay tính chất hình học
được hình thành qua chứng minh

• Nhận ra chức năng của chứng minh trong các SGK.
Miyakawa (2012), [27], sử dụng mô hình bốn bước trên để rút ra những điểm
khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong
SGK hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản.
Stylianides (2009), [33], cho rằng sự phát triển của chứng minh trong
chương trình toán học phổ thông thường được xem như một quá trình mang tính
hình thức và tách biệt với các hoạt động toán học có liên quan đến chứng minh như
nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả thuyết. Những hoạt động
toán học như vậy tạo nên nền tảng của sự phát triển chứng minh toán học.
Stylianides (2009), [33], sử dụng thuật ngữ hoạt động suy luận và chứng minh
(reasoning-and-proving activity) để chỉ các hoạt động liên quan và hỗ trợ trong quá
trình chứng minh như nhận ra quy luật, hình thành giả thuyết, kiểm chứng giả
thuyết, đưa ra các lập luận không có chứng cứ, và chứng minh.
Dựa trên khái niệm về hoạt động suy luận và chứng minh của Stylianides
(2009), [33], với mục tiêu tập trung vào các hoạt động và cơ hội cho học sinh phát
triển suy luận và chứng minh hơn là bản chất của chứng minh, Otten et al. (2014),
[29], đã phát triển một khung lý thuyết cho phép phân tích các hoạt động và cơ hội
cho học sinh suy luận và chứng minh trong các SGK hình học.

3


Dựa trên hai cách tiếp cận về chứng minh trong các SGK hình học của
Miyakawa (2012), [27], và Otten et al. (2014), [29], chúng tôi sẽ nghiên cứu các đặc
trưng liên quan đến bản chất của chứng minh và phân tích các cơ hội cho học sinh
phát triển suy luận và chứng minh trong các SGK hình học THCS ở Việt Nam và
Pháp. Chúng tôi sẽ vận dụng các mô hình phân tích của Miyakawa (2012), [27], và
Otten et al. (2014), [29], để phân tích những đặc trưng khác nhau liên quan đến bản
chất của chứng minh và cơ hội cho học sinh chứng minh trong SGK hình học ở Việt
Nam và Pháp.

Mục tiêu của nghiên cứu này là :
• Phân tích các đặc trưng khác nhau về bản chất, hình thức và chức năng
của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở bậc THCS ở Việt Nam và
Pháp
• Phân tích các cơ hội cho học sinh phát triển suy luận và chứng minh trong
sách giáo khoa hình học THCS ở Việt Nam và Pháp.
Luận văn này bao gồm 4 chương :
• Chương 1 : Đặt vấn đề.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu tổng quan về : hệ thống dạy học ở
Việt Nam và Pháp; vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học; phân môn
Hình học trong chương trình và sách giáo khoa THCS ở Việt Nam và Pháp; suy
luận và chứng minh toán học : khái niệm chứng minh, phân loại chứng minh, chức
năng của chứng minh, dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS.
• Chương 2 : Khung lý thuyết và phương pháp luận nghiên cứu.
Trong chương này chúng tôi giới thiệu sơ lược Thuyết nhân chủng didactic
(ATD); ATD và Tiếp cận sinh thái học trong nghiên cứu chứng minh; mô hình phân
tích bản chất chứng minh trong SGK hình học. Ở đây chúng tôi sử dụng mô hình
bốn bước của Miyakawa (2012), [27], để phân tích các đặc trưng khác nhau về bản
chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở
bậc THCS ở Việt Nam và Pháp; Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu và phân tích khung
lý thuyết đề xuất bởi Otten et al. (2014), [29], để phân tích các hoạt động và cơ hội
cho học sinh suy luận và chứng minh trong các sách giáo khoa hình học THCS ở
Việt Nam và Pháp. Từ đó đưa ra hai câu hỏi nghiên cứu.
4


• Chương 3 : Kết quả nghiên cứu.
Chương này trình bày các kết quả của nghiên cứu. Trong phần đầu tiên,
chúng tôi điểm qua phần phân phối nội dung, trình tự chương trình hình học trong
mỗi lớp ở sách giáo khoa Pháp và Việt Nam. Điều này nhằm làm rõ về trình tự và

nội dung hình học ở Pháp và Việt Nam. Phần này cũng đưa ra các ví dụ để so sánh
bản chất, hình thức, chức năng của chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở
Pháp và Việt Nam.
Trong phần thứ hai, chúng tôi nêu những phát hiện quan trọng về cơ hội
phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh được thể hiện trong SGK hình học ở
Việt Nam và Pháp. Những phát hiện này được xác định dựa vào khung lý thuyết
phân tích. Phần này cũng đưa ra ba so sánh về cách tiếp cận, chứng minh, vận dụng
của các tính chất, định lý ở sách giáo khoa của hai nước. Từ đó, góp phần so sánh
cơ hội phát triển suy luận và chứng minh cho học sinh của hai nước.
• Chương 4 : Kết luận.
Trong chương này, chúng tôi nêu các yếu tố cho phép đưa đến các câu trả lời
ban đầu đối với các câu hỏi nghiên cứu. Đồng thời chúng tôi cũng nêu lên hạn chế
cũng như những đóng góp và hướng phát triển của đề tài trong tương lai.

5


Chương 1
ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1. Tổng quan hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam và Pháp
1.1.1. Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam
Hệ thống giáo dục phổ thông ở Việt Nam gồm các cấp :
• Cấp nhà trẻ - mẫu giáo :

Là nơi giữ trẻ không bắt buộc dành cho trẻ dưới độ tuổi đi học chính thức
(dưới 6 tuổi). Nhà trẻ và mẫu giáo dành cho trẻ dưới 6 tuổi (thậm chí trẻ mới sinh
vài tháng đã vào nhà trẻ) nhằm mục đích hình thành tư duy cho trẻ : tạo những thói
quen, tập tính ngay trong giai đoạn này hay là nơi giúp trẻ vui chơi để ba mẹ đi làm.

• Cấp tiểu học:

Cấp tiểu học hay còn được gọi là cấp I, bắt đầu năm 6 tuổi đến hết năm 11
tuổi. Cấp I gồm có 5 trình độ, từ lớp 1 đến lớp 5. Đây là cấp học bắt buộc đối với
mọi công dân. Học sinh phải học các môn sau: Toán, Tiếng Việt, Tự nhiên và Xã
hội (lớp 1, 2, và 3), Khoa học (lớp 4 và 5), Lịch sử (lớp 4 và 5), Địa lý (lớp 4 và 5),
Âm nhạc, Mỹ thuật, Đạo đức, Thể dục, Tin học (tự chọn), Tiếng Anh (lớp 3, 4, và 5
một số trường cho học sinh học tiếng Anh bắt đầu từ năm lớp 1, lớp 2). Để kết thúc
bậc tiểu học, học sinh phải trải qua kỳ thi tốt nghiệp tiểu học. Từ 2005, kỳ thi này
đã chính thức bãi bỏ.

• Cấp trung học cơ sở:
Cấp II gồm có 4 trình độ, từ lớp 6 đến lớp 9, bắt đầu từ 11 đến 15 tuổi. Đây
là một cấp học bắt buộc để công dân có thể có một nghề nghiệp nhất định (tốt
nghiệp cấp |IIcó thể học nghề hay trung cấp chuyên nghiệp mà không cần học tiếp
bậc Trung học phổ thông).
Học sinh đến trường phải học các môn sau: Toán, Vật lý, Hoá học (lớp 8 và
9), Sinh học, Công nghệ, Ngữ văn, Lịch sử, Địa lý, Giáo dục Công dân, Ngoại ngữ
(Anh, Pháp, Nga, Trung, Nhật), Thể dục, Âm nhạc, Mỹ thuật, Tin học (máy vi tính
hoặc điện toán).
Ngoài ra học sinh có thêm một số tiết bắt buộc như: giáo dục ngoài giờ lên
lớp, giáo dục hướng nghiệp (lớp 9), sử ca học đường...
6


Hết cấp trung học cơ sở, học sinh được xét tốt nghiệp dựa trên thành tích học
tập tích lũy trong bốn năm. Trước đây hết cấp Trung học cơ sở học sinh phải trải
qua kỳ thi tốt nghiệp, nhưng từ năm 2006 đến nay đã chính thức được bãi bỏ. Muốn
theo học tiếp trình độ cao hơn (cấp III) học sinh phải tham dự các kỳ thi tuyển sinh.
Giáo dục tiểu học và giáo dục trung học cơ sở là các cấp học phổ cập.

• Cấp trung học phổ thông:

Cấp III gồm 3 trình độ, từ lớp 10 đến lớp 12, bắt đầu từ 15 đến 18 tuổi. Để
tốt nghiệp cấp III, học sinh phải tham gia kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông tại
Việt Nam của Bộ Giáo dục và Đào tạo Việt Nam.
1.1.2. Hệ thống giáo dục phổ thông ở Pháp
Hệ thống giáo dục phổ thông của nước Pháp được chia ra hai cấp:
- Giáo Dục Bậc Tiểu Học
- Giáo Dục Bậc Trung Học
Tất cả các chương trình giáo dục ở Pháp đều do Bộ Giáo Dục Quốc Gia điều
động và quản lý. Đứng đầu là Bộ Trưởng Bộ Giáo Dục, một trong những bộ trưởng
hàng cao cấp nhất trong nội các. Giáo viên và giáo sư trong hệ thống giáo dục Pháp
là những công chức. Ngay cả giáo sư đại học và những nhà nghiên cứu cũng được
nhà nước thâu nhận và trả lương.
Ở cấp tiểu học và trung học, nhà nước Pháp cho ra một chương trình giáo
dục đồng đều cho mọi học sinh, mọi cấp lớp như nhau. Các chương trình giáo dục
này được áp dụng cho các trường công lập, bán công hay những cơ sở giáo dục
hoàn toàn được cấp ngân sách của nhà nước. Tuy vậy, có tất cả 6 phân bộ chuyên
biệt mà các học sinh có thể chọn lựa. Các nhà giáo dục Pháp phải theo dõi và áp
dụng những chương trình học trong Bộ Bulletin officiel de l’education nationale, de
l’enseignement supérieur et de la recherche để tuân thủ.
- Bậc Tiểu Học:

Bậc tiểu học bao gồm các trường Mầm non và Tiểu học. Việc học ở nước
Pháp là bắt buộc bắt đầu từ 6 tuổi, năm đầu tiên của bậc tiểu học. Nhiều phụ huynh
cho con học sớm hơn lúc 3 tuổi và sau đó đưa lên học mẫu giáo trong vùng phụ cận.
Nhiều gia đình còn gởi các em sớm một năm, tức là lúc mới 2 tuổi, mà thực tế là

7


những trường giữ trẻ (day care). Dù vậy khi các em học năm cuối trong trường tiền

mẫu giáo này, các em đã được đọc hiểu. Sau những lớp tiền mẫu giáo, các em tiến
lên học tiểu học, chính ở năm đầu tiên học này là các em sẽ học những năng khiếu
cơ bản về đọc và viết. Cũng giống như đa phần các hệ thống giáo dục khác, các học
sinh học tiểu học chỉ có một thầy cô đứng lớp, hay chỉ là hai. Giáo viên này sẽ dạy
toàn bộ chương trình cấp lớp cho các em như Pháp Văn, Toán, khoa học và khoa
học nhân bản…
Các trường công lập không dạy về tôn giáo. Ý niệm dân sự là những điều cần
phải có trong nền giáo dục công, vì thế học sinh còn có những lớp về công dân giáo
dục về nền Cộng Hòa Pháp, vai trò của đất nước, tổ chức và ba điều quan yếu trong
đời sống tinh thần dân tộc Pháp: Tự Do, Bình Đẳng và Bác Ái. Vào năm 2004,
chính phủ Pháp ra đạo luật cấm mọi hình tượng tôn giáo ở trường học và những nơi
công cộng với dụng ý là để tạo một tinh thần khoan thứ và chấp nhận giữa những
sắc dân sống trên nước Pháp.
- Bậc Trung Học:

Các trường trung học của Pháp được chia ra hai loại trường:
 Trường collège là cấp trung học cơ sở, với thời gian học là bốn năm ngay
sau khi rời tiểu học
 Trường lycée, hay là trường trung học phổ thông, kéo dài ba năm sau
trung học cơ sở.
Khi hoàn tất học trình sẽ hướng đến lấy bằng Tú tài (Baccalauréat).
Bằng tiểu học là bằng chính thức đầu tiên mà học sinh sẽ thi. Nhưng không
nhất thiết phải đậu bằng này mới vào được trung học. Để được vào trung học, bắt
đầu từ 2007, điểm học bạ của năm thứ ba sẽ được xem xét để học sinh được vào
trung học. Những kỳ thi sát hạch cho học sinh là các môn Pháp văn, Lịch Sử, Địa
Dư, Công dân giáo dục. Từ 2011, học sinh được sát hạch thêm Lịch Sử của Nghệ
Thuật, và một kỳ thi khẩu vấn.
Bằng Trung Học phổ thông được cấp sau khi học sinh vượt qua kỳ thi Tú tài.
Thường là học sinh thi kỳ thi này năm 18 tuổi nếu trước đó chưa từng bị ở lại lớp.
Kỳ thi Tú tài là một kỳ thi sát hạch ba ban ngành. Ban Khoa Học tập chú vào

các ngành khoa học tự nhiên, khoa học vật lý, và toán học. Ban Kinh Tế và Xã Hội

8


tập chú kinh tế học, khoa học xã hội và toán. Ban Văn Chương tập chú vào Pháp
Văn, ngoại ngữ, triết học, sử địa và nghệ thuật (tùy lựa chọn). Mặc dầu học sinh thi
ba ngành khác nhau, sự chuyên biệt trong bằng cấp không hạn chế quyền lựa chọn
ban ngành trên đại học. Ở giáo dục bậc đại học, sinh viên có quyền lựa chọn ban
nhiệm ý nào ở đại học thích hợp với sở nguyện của họ.
Ngoài ra còn có những bằng tú tài kỹ thuật và tú tài hướng nghiệp. Trong khi
tú tài kỹ thuật kết hợp huấn luyện thực hành và lý thuyết về ngành nghề để chuẩn bị
cho sinh viên lên học cao hơn thì tú tài hướng nghiệp tập trung vào huấn nghệ và
chuẩn bị cho học sinh đi thẳng vào thi trường lao động.
1.2.Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học
1.2.1. Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Việt Nam
Sách giáo khoa là tài liệu quan trọng trong dạy và học. Có một thời, trong
các nhà trường luôn tuyệt đối hóa vai trò của sách giáo khoa, với quan niệm không
được lệch sách, dù chỉ một dấu phẩy. Tuy nhiên, trong thời đại bùng nổ thông tin
như hiện nay, quan niệm về sách giáo khoa đã có nhiều thay đổi.
Trong giáo dục phổ thông, chương trình là văn bản mang tính pháp lý, còn
sách giáo khoa là tài liệu chính được sử dụng trong dạy học, chỉ có tính hướng dẫn.
Những người tham gia xây dựng chương trình sách giáo khoa cho rằng không nên
“nặng nề” quá với sách giáo khoa mà nên coi sách giáo khoa là tài liệu soạn bài của
giáo viên, tài liệu học của học sinh, vì bên cạnh đó còn có nhiều nguồn tham khảo
khác. Sách giáo khoa là tài liệu giáo khoa được sử dụng chính thức, thống nhất, ổn
định trong giảng dạy, học tập và chỉ là một kênh cung cấp thông tin có tính chuẩn
mực cho mọi đánh giá và thi cử trong các nhà trường. Từ quan niệm thay đổi đó sẽ
dẫn đến thay đổi cách nhìn nhận, đánh giá về sách giáo khoa. Vì vậy, không tuyệt
đối hóa vai trò của sách giáo khoa trong dạy và học, càng không nên có quan niệm

sai lầm coi sách giáo khoa là “pháp lệnh”.
1.2.2. Vai trò của sách giáo khoa trong hệ thống dạy học ở Pháp
Ở Pháp, chương trình phổ thông được công bố trên trang web của Bộ Giáo
dục quốc gia, các vùng giáo dục (Académie) và nhiều tổ chức liên quan khác.

9


Riêng đối với môn toán THPT, phần chính của chương trình là một bảng
gồm ba cột: nội dung cần giảng dạy (cột 1), phương thức đưa nội dung tương ứng
vào giảng dạy (cột 2) và chú thích (cột 3). Trong trường hợp một khái niệm toán
học có nhiều cách tiếp cận hoặc định nghĩa khác nhau, cột thứ hai chỉ ra cách tiếp
cận hoặc định nghĩa cần sử dụng. Điều này giúp tất cả sách giáo khoa về cơ bản đều
có nội dung thống nhất và phù hợp với tinh thần chương trình dù được nhiều nhóm
tác giả khác nhau biên soạn. Cột thứ ba quy định một số điều được phép hoặc không
được phép, giúp tác giả sách giáo khoa loại bỏ những trường hợp gây tranh cãi về
dạng bài tập hoặc kỹ thuật giải.
Bộ Giáo dục quốc gia Pháp không quy định đối tượng được viết sách giáo
khoa. Trên thực tế, tác giả sách giáo khoa trung học thường là giáo viên trung học
cao cấp, thanh tra sư phạm vùng, hoặc các nhà nghiên cứu sư phạm.
Sách giáo khoa Pháp không chỉ trình bày phần bài học mà còn giới thiệu các
hoạt động tiếp cận bài học và hệ thống hóa bài tập theo chủ đề lẫn cấp độ khó. Theo
nghĩa của nước ta hiện nay, nó không chỉ đơn thuần là sách giáo khoa mà còn là
một quyển sách bài tập và tham khảo đáng tin cậy. Điều này là một trong những
nguyên nhân khiến học sinh Pháp không phải tham gia học thêm vì sợ không giải
được bài tập. Một môn học ở một khối lớp có nhiều bộ sách giáo khoa của nhiều
nhóm tác giả khác nhau. Giáo viên bộ môn là người quyết định học sinh của mình
nên chọn bộ sách nào. Giáo viên bộ môn nào sử dụng hai bộ sách giáo khoa cho
một khối lớp thì học sinh phải mua hai bộ sách giáo khoa tương ứng để có thể theo
dõi bài giảng của thầy. Do được toàn quyền quyết định tiến độ giảng dạy các nội

dung của sách giáo khoa miễn sao kết thúc nội dung quy định trong thời hạn năm
học, giáo viên Pháp không bị ràng buộc bởi phân phối chương trình như ở ta (quy
định số tiết dạy dành cho từng bài và thời điểm kiểm tra viết).
1.3. Phân môn Hình học trong chương trình và sách giáo khoa THCS ở Việt
Nam và Pháp
Chương trình toán THCS nước Cộng hòa Pháp có đặc điểm sau:
- Toán học gắn với nhu cầu cuộc sống

10


- Xây dựng tinh thần học tích hợp: kết hợp giữa hình, đại số, hàm số, xử lý số
liệu thống kê một cách hợp lí theo từng lớp. Hình học phẳng và hình học không
gian được học rải rác từ lớp 6 đến lớp 9.
- Coi trọng thao tác thực hành, tính toán, nhiều định lý toán học được công
nhận.
- Thể hiện tính hiện đại
- Làm rõ nét phương pháp dạy học toán là tổ chức hoạt động cho học sinh.
Ở Việt Nam, chương trình cũng nhằm phát triển tư duy cho học sinh theo
các hướng:
• Phát triển khả năng suy luận
• Kích thích trí tưởng tượng
• Tạo thói quen diễn đạt rõ ràng
• Tạo tính thứ tự, cẩn thận.
Mục tiêu môn Toán ở trường THCS :
- Cung cấp cho học sinh những kiến thức phương pháp toán học phổ thông
cơ bản thiết thực : những kiến thức ban đầu về hình học phẳng, quan hệ bằng nhau,
quan hệ đồng dạng giữa hai hình phẳng, một số yếu tố về lượng giác, một số vật thể
trong không gian
- Hình thành và rèn luyện kĩ năng : Vẽ hình, đo đạc, ước lượng

- Bước đầu hình thành khả năng vận dụng các kiến thức toán học vào đời
sống và các môn học khác.
- Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và lôgic, khả năng quan sát dự đoán,
phát triển trí tưởng tượng không gian. Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính
xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy như: linh hoạt, độc lập, sáng tạo. Bước
đầu hình thành thói quen tự học, diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình
và hiểu được ý tưởng của người khác. Góp phần hình thành các phẩm chất lao động
khoa học cần thiết của người lao động mới.
1.4. Suy luận và chứng minh toán học
1.4.1. Khái niệm chứng minh

11


Trong toán học, một chứng minh là một cách trình bày nhằm thuyết phục (sử
dụng những chuẩn mực đã được chấp nhận trong lĩnh vực đó) rằng một phát biểu
toán học là đúng đắn. Chứng minh có được từ lập luận suy diễn, chứ không phải là
lập luận kiểu quy nạp hoặc theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, một chứng minh phải
cho thấy một phát biểu là đúng với mọi trường hợp, không có ngoại lệ. Một
mệnh đề chưa được chứng minh nhưng được chấp nhận đúng được gọi là một
phỏng đoán.
Phát biểu đã được chứng minh thường được gọi là định lý. Một khi định lý
đã được chứng minh, nó có thể được dùng làm nền tảng để chứng minh các phát
biểu khác. Một định lý cũng có thể được gọi là bổ đề, đặc biệt nếu nó được dự định
dùng làm bước đệm để chứng minh một định lý khác.
Các tranh luận về sự hợp lý bằng cách sử dụng các vật dụng có sẵn như hình
ảnh hay vật tương tự là tiền đề cho các chứng minh toán học chính xác. Sự phát
triển của chứng minh toán học chủ yếu là sản phẩm của nền văn minh Hy Lạp.
Thales (624–546 TCN) đã chứng minh một số định lý trong hình học. Eudoxus
(408–355 TCN) và Theaetetus (417–369 TCN) đã công thức hóa các định lý nhưng

không chứng minh. Aristoteles (384–322 TCN) nói rằng các định nghĩa cần được
mô tả bằng những khái niệm đã biết. Euclid (300 TCN) đã bắt đầu từ những thuật
ngữ chưa được định nghĩa là các tiên đề (các mệnh đề sử dụng những thuật ngữ
chưa định nghĩa được giả thiết là hiển nhiên đúng, nguyên từ Hy Lạp là "axios" có
nghĩa là "một thứ giá trị") và đã dùng những thứ này để chứng minh các định lý
bằng luận lý suy diễn. Lý thuyết chứng minh hiện đại xem các chứng minh là những
cấu trúc dữ liệu được định nghĩa một cách quy nạp. Người ta không còn giả thiết
rằng các tiên đề lúc nào cũng "đúng đắn"; điều này cho phép các lý thuyết toán học
được xây dựng song song nhau dựa trên những tập tiên đề khác nhau (Lý thuyết tập
hợp tiên đề và Hình học phi Euclid là các ví dụ).
Để thực hiện một chứng minh toán học, việc xem xét một trường hợp cụ thể
là không đủ. Thậm chí việc chứng minh còn nhằm đưa ra các luận cứ cho các phát
biểu (cf. Jaffe & Quinn, 1993; Thurston, 1994). Ở trường học, sự chặt chẽ của các
chứng minh toán học không nhất thiết phải nghiêm ngặt như đối với các nhà toán
học. Mặc dù có một số người ủng hộ sự chặt chẽ của toán học, nó có thể khác nhau
12


tùy thuộc vào đối tượng (ví dụ, các nhà toán học và học sinh) hoặc các ngữ cảnh.
Chứng minh hợp lệ thường được kết hợp với ý tưởng của sự chặt chẽ. Trong nhiều
lớp học, có một định nghĩa không chính thức rằng : một chứng minh là nghiêm ngặt
nếu từng bước suy luận đều có căn cứ. Tuy nhiên, đối với các nhà toán học, sự chặt
chẽ thay đổi tùy theo thời gian và hoàn cảnh, và vài suy luận trong các tạp chí toán
học đáp ứng các tiêu chí của các giáo viên dạy hình học trung học cơ sở. Thông
thường, tính nghiêm ngặt đòi hỏi phải tăng lên khi kết quả có vẻ không được chính
xác. (Usiskin, 1987, p. 25, [36]).
1.4.2. Phân loại chứng minh
Balacheff (1988, [5]) phân thành bốn loại chứng minh khác nhau của học
sinh trong hai nhóm :
• Chứng minh võ đoán, bao gồm :

(1) dựa vào kinh nghiệm đơn thuần, trong đó bao gồm việc khẳng định tính
đúng đắn của một phát biểu sau khi kiểm tra một số trường hợp
(2) dựa vào kinh nghiệm để khẳng định nếu một phát biểu đúng trong mẫu
nghiên cứu thì sẽ đúng trong các trường hợp còn lại.
• Chứng minh dựa trên khái niệm, bao gồm :

(3) từ ví dụ chung nhằm mở rộng để làm rõ tính đúng đắn của khẳng định
hay phép biến đổi gián tiếp bằng chính khả năng của mình
(4) tách ra khỏi một trường hợp đặc biệt.
Theo định nghĩa của Balacheff, chứng minh thực tiễn là những chứng minh
dựa vào các hành động thực tế, trong khi chứng minh khái niệm là những chứng
minh không liên quan đến hành động và dựa vào công thức, các tính chất trong câu
hỏi và mối quan hệ giữa chúng.
Harel và Sowder (1998, [16]) đưa ra ba mức khác nhau của một chứng minh
: dựa vào các yếu tố bên ngoài, chứng minh thực nghiệm, và các chứng minh suy
diễn. Phụ thuộc các yếu tố bên ngoài như giáo viên hoặc sách giáo khoa; các lập
luận (ví dụ, một định dạng hai cột trong chứng minh hình học); hoặc trên các thao
tác biểu tượng. Chứng minh thực nghiệm dựa vào hoặc là các ví dụ của các phép đo
trực tiếp về số lượng, thay thế cho con số cụ thể trong các biểu thức đại số ... hay

13


nhận thức. Các chứng minh suy diễn liên quan đến các quá trình tính tổng quát, suy
nghĩ vận hành, và suy luận logic.
Stylianides (2009, [33]) phân biệt lập luận không chứng minh từ chứng minh
toán học. Ông đã sử dụng hai tiêu chí, lập luận thực nghiệm để xác định chúng như
là lập luận không chứng minh. Ông định nghĩa khái niệm về một lập luận thực
nghiệm trình bày cách học sinh tham gia lập luận thực nghiệm như sau : một lập

luận thực nghiệm ngụ ý cho thấy tính đúng đắn của một phát biểu toán học bằng
cách kiểm tra tất cả các trường hợp có thể xảy ra theo kinh nghiệm của học sinh,
điều đó là không hợp lệ, có khả năng củng cố các quan niệm sai lầm phổ biến : một
ví dụ cụ thể có thể chứng minh cho một phát biểu toán học. (Stylianides, 2009, p.
266, [33]).
1.4.3. Chức năng của chứng minh
Các nghiên cứu trong giáo dục toán đã nhận ra và xác định được vai trò của
chứng minh trong các hoạt động toán học (de Villiers, 1990, [12] ; Miyakawa,
2012, [27]). Chứng minh trong toán học không chỉ nhằm mục đích xác minh một
phát biểu là đúng, mà còn để giải thích tại sao phát biểu đó lại đúng, để trao đổi các
ý tưởng toán học, để hệ thống hóa các kiến thức khác nhau… Các nhà nghiên cứu
giáo dục toán (de Villiers, 1990, [12]) đã phân loại vai trò và chức năng của chứng
minh như sau :
• Chức năng xác minh : xác minh (thuyết phục và biện minh) tính đúng đắn

của một phát biểu (mệnh đề)
• Chức năng giải thích : giải thích tính chất được khẳng định ; cho thấy tính

gắn kết của tính chất đó với các tính chất toán học khác liên quan ; cho thấy chứng
minh có thể giúp học sinh hiểu hơn ý nghĩa của các nội dung toán học
• Chức năng khám phá, phát hiện : tham gia vào một chứng minh có thể

giúp học sinh khám phá, phát hiện thêm các tính chất mới, mệnh đề mới
• Chức năng hệ thống hóa kiến thức : vì chứng minh liên quan đến việc rút

ra một kết luận từ một tập hợp các tiên đề, định nghĩa, định lý… nên chứng minh
cũng đóng vai trò hệ thống hóa và kết nối các kiến thức đó với nhau.

14

Xem xét sự khác nhau về bản chất, vai trò và chức năng của chứng minh
trong chương trình và sách giáo khoa ở các nước khác nhau là một vấn đề được
nhiều nhà nghiên cứu quan tâm. Sự khác nhau này có thể được thể hiện qua dạng
trình bày chứng minh (chứng minh dạng 2 cột, 3 cột…), các mệnh đề cần phải
chứng minh, các tính chất được sử dụng (định nghĩa, định lý…).
1.4.4. Dạy và học chứng minh trong Hình học ở THCS
Toán học là một môn khoa học chứng minh, và điều này phân biệt toán học
với tất cả các ngành khác. Chứng minh cũng là một phần cơ bản trong các lớp học
toán học (Heinze & Reiss, 2007, [19]). Tuy nhiên, nhiều nghiên cứu thực nghiệm
cho thấy rằng học sinh ở tất cả các nước có những khó khăn đáng kể trong việc biểu
diễn chứng minh toán học, (ví dụ, Healy & Hoyles, 2000, [17]; Heinze, 2004, [18];
Lin và Cheng, 2003, [23]; Lin, Yang, và Chen, 2004, [24]; Reiss, Hellmich, &
Thomas, 2002, [32]).
Các cơ hội để học sinh học suy luận và chứng minh toán học là khác nhau
giữa các quốc gia, liên quan đến tài liệu giảng dạy (ví dụ, sách giáo khoa), các lĩnh
vực toán học khác nhau (ví dụ, hình học, đại số) và phương pháp giảng dạy. Tất cả
những yếu tố ảnh hưởng đến việc học tập của học sinh phụ thuộc lẫn nhau. Làm
sách giáo khoa chủ yếu là phản ánh các chương trình dự định, ngoài ra cũng phản
ánh các cơ hội cho học sinh học chứng minh toán học. Thật vậy, Mayer (1989, [26])
tìm thấy rằng các tài liệu học tập là một trong những thành phần quan trọng nhất
ảnh hưởng đến giảng dạy và học tập. Đặc biệt, sách giáo khoa thường được các giáo
viên mới vào nghề sử dụng. (Ball & Feiman-Nemser, 1988, [7]). Begle (1973, [8])
cũng nhận thấy rằng sách giáo khoa có một ảnh hưởng mạnh mẽ đến những nội
dung học sinh sẽ tìm hiểu : học sinh sẽ tìm hiểu nếu một chủ đề xuất hiện trong sách
giáo khoa, còn nếu các chủ đề không có trong sách giáo khoa thì đa số học sinh
không tìm hiểu nó.
Mặc dù đã có sự đồng thuận về tầm quan trọng của suy luận và chứng minh
toán học giữa nghiên cứu học thuật và chương trình giảng dạy, các lập luận về
những loại suy luận/chứng minh toán học cần được cung cấp trong các trường học

đã được thảo luận sâu hơn những năm gần đây (ví dụ, Balacheff, 1988, [5]; Ball &

15


Bass, 2003, [6]; Chazan, 1993, [10]; Moore, 1994, [28]). Những loại nội dung và
các suy luận toán học được coi là thích hợp cho học sinh cũng có thể phụ thuộc vào
truyền thống giảng dạy hoặc các nền văn hóa của mỗi một quốc gia.
Dạy và học chứng minh toán học là những hoạt động phức tạp. Có nhiều
khía cạnh khác nhau cần được xem xét. Ví dụ, những khó khăn trong việc học
chứng minh toán học của học sinh (như việc xây dựng bài toán chứng minh, các yếu
tố đã cho và các yếu tố còn thiếu trong bài toán chứng minh, Boero, Garuti, Lemut,
& Mariotti, 2006, [25]; Chazan, 1993, [10]; Weber, năm 2001, [37]; Zaslavsky,
Nickerson, Stylianides, Kidron, & Wincki-Landman, 2012, [18]), cũng như kiến
thức của giáo viên về chứng minh toán học được thảo luận rộng rãi.
Hơn nữa, có rất nhiều chức năng khác nhau mà chứng minh toán học và có
nhiều cách khác nhau để trình bày chứng minh toán học. Tuy nhiên, các nguyên tắc
cần thiết cho chứng minh toán học là "xác định rõ các giả thiết và lý giải hợp lý để
rút ra kết luận cần thiết "(Hanna & de Villiers, 2012, p. 329, [14]).
Ngoài ra, hình học được xem như là một lĩnh vực then chốt để giới thiệu cho
học sinh nội dung suy luận và chứng minh trong nhà trường. Hình học không chỉ
liên quan đến trực giác (sự hiểu biết trực quan), chịu ảnh hưởng bởi thị giác về các
con số, mà còn liên quan đến các lập luận logic (trừu tượng), sử dụng các quy tắc và
nguyên tắc để chứng minh một loạt các tính chất của các định lý khác nhau. Mặc dù
hình học không phải là chủ đề duy nhất cung cấp cơ hội cho học sinh học hỏi chứng
minh toán học, nhưng nó là cách đặc biệt để tìm hiểu cách thức học sinh phát triển
khả năng chứng minh toán học từ giai đoạn bắt đầu chứng minh hình thức. Ngoài
ra, hình học ở cấp Trung học cơ sở có thể xem là bước chuyển tiếp giữa hình học tự
nhiên và mang tính thực nghiệm ở Tiểu học sang hình học tiên đề. Vì vậy, hầu hết
chương trình hình học cấp Trung học cơ sở ở các nước đều chú trọng giới thiệu một

cách ngầm ẩn hoặc tường minh khái niệm chứng minh, thế nào là một chứng minh
trong hình học… nhằm giúp học sinh dần dần làm quen với một cách lập luận xác
minh chân lý mới trong hình học mà không cần đến trực giác hay đo đạc. Vì vậy,
nghiên cứu đối tượng tri thức « chứng minh » trong hình học ở cấp Trung học cơ sở
là hợp lý và thu hút nhiều nhà nghiên cứu quan tâm.

16


1.5. Ghi nhận và đặt vấn đề
Chứng minh là hoạt động toán học quan trọng và thường gặp trong dạy học
toán. Nghiên cứu sự khác nhau về bản chất, vai trò và chức năng của chứng minh
trong hình học là vấn đề đã và đang được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm
(Miyakawa, 2012, [27]; Otten, 2014, [29] ; Stylianides, 2009, [33] ; Jones & Fujita,
2013, [40]). Nhiều nghiên cứu về so sánh bản chất và vai trò của chứng minh trong
sách giáo khoa ở các nước đã được tiến hành. Chẳng hạn, Miyakawa (2012 ; 2014,
[27]) đã bước đầu tìm hiểu sự khác nhau về bản chất và vai trò của chứng minh
trong sách giáo khoa hình học Trung học cơ sở ở Pháp và Nhật Bản. Chang (2013,
[9]) nghiên cứu so sánh các cơ hội cho việc học chứng minh trong sách giáo khoa
hình học ở Đức và Đài Loan. Jones & Fujita (2013, [40]) tập trung phân tích so
sánh việc dạy và học suy luận và chứng minh trong sách giáo khoa hình học ở Anh
và Nhật Bản… Tuy nhiên, các nghiên cứu so sánh về chủ đề chứng minh trong hình
học ở Pháp và Việt Nam hầu như chưa có tác giả nào thực hiện. Đây là một khía
cạnh mới và cần được nhiều nhà nghiên cứu giáo dục toán quan tâm tìm hiểu.
Một trong những vấn đề quan trọng khi tiếp cận chủ đề phân tích so sánh suy
luận và chứng minh giữa các sách giáo khoa là phương pháp luận hay khung nội
dung phân tích. Trong chương 2, chúng tôi sẽ trình bày và làm rõ khung nội dung
phân tích so sánh chủ đề chứng minh trong sách giáo khoa mà chúng tôi lựa chọn.
Khung nội dung phân tích này cũng đóng vai trò phương pháp luận đính hướng
cách chúng tôi phân tích so sánh khía cạnh suy luận và chứng minh trong sách giáo

khoa ở Pháp và Việt Nam trong chương Kết quả nghiên cứu.

17


Chương 2
KHUNG LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP LUẬN NGHIÊN CỨU
2.1. Sơ lược Thuyết nhân chủng didactic và Tiếp cận sinh thái học trong
nghiên cứu chứng minh
Theo Thuyết nhân chủng học didactic (ATD) khởi xướng bởi Chevallard
(1994, [11]), tri thức luôn tồn tại gắn liền với thể chế, và trong những thể chế dạy
học khác nhau, tri thức được dạy và cần dạy có thể khác nhau. Một đối tượng toán
học không tồn tại một cách đơn lẻ, mà luôn tồn tại trong các mối liên hệ và ràng
buộc với các đối tượng toán học khác, với những chức năng đặc biệt nào đó (điều
này giống với ý tưởng của sinh thái học, trong đó một loài sống trong một nơi nào
đó của hệ sinh thái, với một vài chức năng đặc biệt liên quan đến các loài khác).
Trên quan điểm sinh thái học này, chứng minh được dạy trong các hệ thống dạy học
khác nhau giữa các nước có thể có bản chất, hình thức và chức năng khác nhau.
Lý do của việc tập trung nghiên cứu chức năng của chứng minh xuất phát từ
sự thừa nhận rằng các chức năng của chứng minh là những yếu tố chủ yếu lập nên
bản chất của chứng minh. Theo một tiếp cận sinh thái học đề xuất trong Thuyết
nhân học didactic (Chevallard, 1994, [11]), hệ thống các tri thức toán học được dạy
trong nhà trường được hình thành dưới những điều kiện cho phép chúng tồn tại, và
cả những ràng buộc cản trở sự tồn tại đó trong một thể chế hoặc một hệ thống giáo
dục. Chúng tôi cũng đồng ý với quan điểm này khi vận dụng vào xem xét đối tượng
tri thức “chứng minh” trình bày trong các sách giáo khoa. Các bản chất khác nhau
của chứng minh tìm thấy trong các thể chế dạy học (chương trình, sách giáo khoa) ở
các nước khác nhau được hình thành từ ảnh hưởng của một hệ thống các điều kiện
và ràng buộc. Chứng minh được dạy trong các nước khác nhau có thể có bản chất

18


khác nhau. Những gì học sinh sẽ được học, những gì học sinh thực sự được học,
những khó khăn học sinh gặp phải… có thể khác nhau giữa các nước.
Trong giáo dục toán, một số tác giả cũng đã tìm hiểu nghiên cứu sự khác
nhau về bản chất của chứng minh được giảng dạy trong toán học nhà trường. Chẳng
hạn, Knipping (2002, [22]) thấy rằng trong trường hợp định lý Pythagore, các quá
trình chứng minh có các chức năng khác nhau trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức và
ở Pháp. Trong sách giáo khoa lớp 8 ở Đức, chứng minh nghĩa là làm cho rõ nghĩa
của định lý, trong khi đó ở Pháp đòi hỏi phải giải thích tại sao. Yu-Ping Chang
(2005, [41]) nhận xét rằng chứng minh là một đối tượng dạy học được trình bày một
cách tường minh trong các trường phổ thông ở Pháp và các trường phổ thông chất
lượng cao ở Đức (German Gymnasium), trong khi đó chứng minh không phải đối
tượng dạy học được trình bày rõ ràng trong các trường phổ thông chất lượng thấp
hơn ở Đức (German Realschule and Hauptschule).
2.2. Mô hình phân tích bản chất chứng minh trong sách giáo khoa hình học
Từ quan điểm của ATD và cách tiếp cận có tính sinh thái học như trên,
Miyakawa (2012, [27]) đã đề xuất một mô hình gồm bốn bước để phân tích các khía
cạnh liên quan đến bản chất của chứng minh trong các sách giáo khoa hình học ở
Pháp và Nhật Bản. Bốn bước này bao gồm:
•Nhận dạng và làm rõ khái niệm “chứng minh” được sử dụng trong sách
giáo khoa thông qua việc tìm hiểu các thuật ngữ như minh chứng (justify), giải
thích (explain)…
•Nhận ra các đặc trưng chủ yếu về dạng chứng minh (the form of proof)
•Nhận ra các mối quan hệ qua lại giữa các đối tượng hay tính chất hình học
được hình thành qua chứng minh
•Nhận ra chức năng của chứng minh trong các sách giáo khoa.
Miyakawa (2012, [27]) sử dụng mô hình bốn bước trên để rút ra những điểm
khác biệt liên quan đến bản chất, hình thức và chức năng của chứng minh trong

sách giáo khoa hình học THCS ở Pháp và Nhật Bản.
2.3. Khung lý thuyết phân tích hoạt động suy luận và chứng minh trong sách
giáo khoa hình học
19