BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

MỞ ĐẦU
1.

LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Luật giáo dục năm 2005 đã chỉ rõ: “Mục tiêu của giáo dục phổ thông

là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ
và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động sáng
tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa” (Trích
Luật giáo dục 2005, Khoản 1, Điều 27).
Định hướng đổi mới giáo dục nước ta đã xác định mục tiêu giáo dục
là phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học, cụ thể: “Tập trung
phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát
hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng
cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng giáo dục lí tưởng, truyền
thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kĩ năng thực hành,
vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học,
khuyến khích học tập suốt đời” (Trích Nghị quyết Hội nghị lần thứ tám Ban
chấp hành Trung Ương khóa XI, 2013).
Trong các môn học ở trưởng phổ thông, môn Toán có một vị trí nổi
bật. Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán. Các bài toán ở
trường phổ thông là một trong những phương tiện nhằm hình thành, củng
cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo và hình thành các năng lực trí tuệ cho học sinh.
Mỗi bài toán đều liên hệ với một nội dung nhất định, là cơ sở để thực hiện
các mục tiêu dạy học khác. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt
các mục đích dạy học toán. Bồi dưỡng năng lực giải toán có vai trò quan
trọng trong phát triển tư duy cho học sinh.
Thực tế hiện nay ở trường phổ thông cho thấy, việc bồi dưỡng năng
lực giải toán cho học sinh đã và đang được quan tâm nhưng còn chưa có
những cách làm cụ thể với từng nội dung toán, nên việc dạy và học nhằm
1

bồi dưỡng năng lực cho học sinh còn chưa thật đáp ứng được yêu cầu học
tập và nhu cầu của xã hội.
Trong nội dung chương trình Toán phổ thông, hệ phương trình là
một trong những nội dung quan trọng, đòi hỏi người học phải có tư duy,
đồng thời kết hợp một số năng lực phù hợp. Nếu khai thác tốt nội dung này,
có thể phát triển cho người học nhiều kĩ năng, kĩ xảo và các hoạt động trí
tuệ khác nhau. Với quan điểm dạy học định hướng phát triển năng lực cho
học sinh, với những quan điểm trên, đề tài nghiên cứu được chọn là: “BỒI
DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THÔNG”
2.
3.

ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Quá trình dạy học HPT ở trường phổ thông.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu đề xuất một số biện pháp bồi dưỡng năng lực giải bài tập

HPT cho học sinh, góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường THPT.
4.
-

NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lí luận về khái niệm năng lực, năng lực giải toán và các biện
pháp bồi dưỡng năng lực giải toán của học sinh, các năng lực giải hệ

-

phương trình.
Nghiên cứu thực tế dạy học hệ phương trình hiện nay ở trường THPT.
Đề xuất một số biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực cho học sinh trong

-

giải bài tập hệ phương trình.
Tổ chức thực nghiệm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính thực tiễn

5.
-

của phương án đã đề xuất.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu lí luận: Giáo trình PPDH, SGK, SGV, tạp chí giáo dục, luận

-

văn, luận án… chuyên ngành có liên quan tới đề tài.
Quan sát, điều tra: Tiến hành tìm hiểu, điều tra về năng lực giải toán
nội dung hệ phương trình ở trường THPT.

2


-

Thực nghiệm: Tổ chức giảng dạy thử nghiệm một số giáo án và đưa ra
kết quả đánh giá tính khả thi, hiệu quả của đề tài.
6. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu sử dụng các biện pháp và hệ thống bài toán nhằm bồi dưỡng

năng lực giải toán nội dung hệ phương trình đã đề xuất trong luận văn thì
giáo viên đã giúp học sinh phát triển năng lực giải các hệ phương trình,
góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán ở trường THPT.
7.

CẤU TRÚC LUẬN VĂN:

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm có 3
chương:
Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN.
Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HPT CHO
HỌC SINH THPT.
Chương 3. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM.
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC

3


Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Năng lực và năng lực giải toán
1.1.1. Năng lực và các thành phần của năng lực
1.1.1.1. Khái niệm về năng lực
Theo nhà tâm lí học người Nga V.A. Cruchecxki thì: “Năng lực được
hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lí cá nhân của con người đáp
ứng một nhu cầu hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện thành công
hoạt động đó”. [1]

Như vậy nói đến năng lực là nói đến một cái gì đó tiềm ẩn trong cá
thể, một thứ phi vật chất. Song nó được thực hiện qua hành động và đánh
giá được nó qua kết quả hoạt động.
Có nhiều cách hiểu và định nghĩa năng lực khác nhau, có thể phân
thành hai nhóm chính là:
* Lấy dấu hiệu tố chất và thuật ngữ tâm lí để định nghĩa:
Năng lực là một thuộc tính tích hợp của nhân cách, là tổ hợp các đặc
tính tâm lí của cá nhân phù hợp với những yêu cầu của một hoạt động xác
định, đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả tốt đẹp.
* Lấy dấu hiệu về các yếu tố tạo thành khả năng hành động:
- Năng lực (Capacity/Ability): Là khả năng (hoặc tiềm năng) mà cá nhân
thể hiện khi tham gia một hoạt động nào đó ở một thời điểm nhất định.
- Năng lực (Compentency): Thường gọi là năng lực hành động, là khả năng
thực hiện hiệu quả một nhiệm vụ/hành động cụ thể, liên quan đến một lĩnh
vực nhất định dựa trên cơ sở hiểu biết, kĩ năng, kĩ xảo và sự sẵn sàng hành
động.
- Năng lực được xây dựng trên cơ sở tri thức, thiết lập qua giá trị, cấu trúc
như là các khả năng, hình thành qua trải nghiệm/củng cố qua kinh nghiệm,
hiện thực hóa qua ý chí (John Erpenbeck 1998).
4


- Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kĩ năng,
thái độ, hứng thú để hành động một cách phù hợp và có hiệu quả trong các
tình huống đa dạng của cuộc sống.
Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất
định của con người.
Người có năng lực về một loại/lĩnh vực hoạt động nào đó cần có đủ các
dấu hiệu cơ bản sau:
- Có kiến thức hay hiểu biết hệ thống/chuyên sâu về loại/lĩnh vực

hoạt động nào đó.
- Biết cách tiến hành hoạt động đó hiệu quả và đạt kết quả phù hợp
với mục đích (bao gồm xác định mục tiêu cụ thể, cách thức/phương pháp
thực hiện hành động/lựa chọn được các giải pháp phù hợp,… và cả các điều
kiện để đạt được mục đích)
- Hành động có kết quả, ứng phó linh hoạt trong những điều kiện
mới, không quen thuộc.
Cùng với năng lực thì tri thức, kĩ năng, kĩ xảo là cần thiết cho việc
thực hiện hiệu quả một hoạt động nào đó. Năng lực là điều kiện đủ để có tri
thức, kĩ năng, kĩ xảo trong một lĩnh vực nào đó; nhưng có tri thức, kĩ năng,
kĩ xảo không đồng nhất với có năng lực. Có năng lực giúp việc tiếp thu một
tri thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo tương ứng dễ dàng hơn. Chẳng hạn, một
người không thể có năng lực toán học nếu không có kiến thức toán học;
không có kĩ năng giải các bài tập toán học. Nhưng kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo
chỉ là một số yếu tố quan trọng trong trong các yếu tố tạo nên năng lực
toán học. Có năng lực toán học giúp việc tiếp thu các tri thức, kĩ năng toán
học dễ dàng hơn.
Từ đó có thể đưa ra một định nghĩa làm việc về năng lực: Năng lực
là khả năng làm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ và
5


vận hành (kết nối) chúng một cách hợp lí vào thực hiện thành công
nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quả vấn đề đặt ra của cuộc sống. Năng
lực là một cấu trúc động, có tính mở, đa thành tố, đa tầng bậc, hàm chứa
trong nó không chỉ là kiến thức, kĩ năng, … mà cả niềm tin, giá trị, trách
nhiệm xã hội… thể hiện ở tính sẵn sàng hành động trong những điều kiện,
hoàn cảnh thay đổi. [13]
1.1.1.2. Các thành phần của năng lực
Theo tâm lí học, giáo dục học năng lực được chia làm hai loại: Năng

lực chung và năng lực chuyên biệt. Hai năng lực này luôn luôn bổ sung, hỗ
trợ cho nhau.
- Năng lực chung là năng lực cần thiết để cá nhân có thể tham gia
hiệu quả trong nhiều hoạt động và bối cảnh khác nhau của đời sống xã hội.
Năng lực chung cần thiết cho tất cả mọi người.
- Năng lực chuyên biệt chỉ cần thiết cho một số người hoặc cần thiết
ở bối cảnh nhất định. Các năng lực chuyên biệt không thể thay thế năng lực
chung.
Có một số đặc điểm và nguyên tắc phát triển năng lực:
Các năng lực được hình thành và phát triển ở trong và ngoài nhà
trường. Nhà trường được coi là môi trường giáo dục chính thống giúp học
sinh hình thành các năng lực chung cần thiết nhưng không phải là nơi duy
nhất. Những môi trường khác như gia đình, cộng đồng,… cùng góp phần bổ
sung và hoàn thiện các năng lực cá nhân.
Năng lực mỗi cá nhân là một phổ từ năng lực bậc thấp như nhận
biết/tìm kiếm thông tin (tái tạo)… tới năng lực bậc cao (khái quát
hóa/phản ánh). Theo nghiên cứu của OECD (2004) thì có 3 lĩnh vực năng
lực từ thấp đến cao: (1) Lĩnh vực năng lực I: Tái tạo; (2) Lĩnh vực năng lực
II: Kết nối; (3) Lĩnh vực năng lực III: Khái quát hóa/phản ánh.
6


Năng lực và các thành tố của nó không bất biến mà được hình thành
và biến đổi liên tục trong suốt cuộc sống của mỗi cá nhân.

1.1.2.

Năng lực học tập của học sinh phổ thông
- Năng lực của HS phổ thông không chỉ là khả năng tái hiện tri thức,

thông hiểu tri thức, mà còn quan trọng là khả năng hành động, ứng
dụng/vận dụng tri thức để giải quyết những vấn đề của cuộc sống.
- Năng lực của HS không chỉ là vốn kiến thức, kĩ năng, thái độ sống
mà là sự kết hợp hài hòa của cả ba yếu tố này thể hiện ở khả năng hành
động (thực hiện) hiệu quả, muốn hành động và sẵn sàng hành động (động
cơ, ý chí, tự tin, trách nhiệm xã hội…)
- Năng lực nhận thức của HS phổ thông là một phổ từ năng lực bậc
thấp như tái hiện/biết, thông hiểu kiến thức, có kĩ năng (biết làm)… đến
năng lực bậc cao như phân tích, khái quát, tổng hợp, đánh giá, sáng tạo.
Với những đặc điểm chung trên đây, rút ra năng lực học tập của HS
được thể hiện thông qua hoạt động học tập và được rèn luyện, phát triển
thông qua các hoạt động học tập.
1.1.3. Năng lực Toán học và năng lực giải bài tập toán
1.1.3.1.
Năng lực toán học và cấu trúc của năng lực toán học

Theo V.A. Crutechxki thì khái niệm năng lực toán học sẽ được giải
thích trên hai bình diện:
(1)

Năng lực nghiên cứu toán học: Như là các năng lực sáng tạo (khoa
học), các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành

(2)

tựu mới, khách quan và quý giá.
Năng lực học tập toán học: Như là các năng lực học tập giáo trình
phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả các kiến thức, kĩ năng,
kĩ xảo tương ứng.

7


Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết
là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động
học toán, tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực
toán học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như
nhau.
Bộ óc của con người có năng lực nghiên cứu toán học thể hiện ở
thiên hướng tách từ môi trường xung quanh những kích thích các loại
quan hệ không gian, quan hệ số lượng, quan hệ logic và làm việc có hiện
quả với các kích thích thuộc các loại đó (với số và hình, đại lượng biến thiên
và hàm số, cấu trúc và thuật toán cùng ngôn ngữ hình thức hóa).
Khuynh hướng toán học trí tuệ có đặc trưng cho những người có
năng lực toán học là thường tri giác nhiều hiện tượng qua lăng kính của
các quan hệ toán học, thường nhận thức các hiện tượng đó qua con mắt
toán học.
Theo Kônmôgôrốp [28], trong thành phần của năng lực toán học có:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm được con đường giải các phương trình không theo các quy tắc chuẩn,
năng lực tính toán;
- Trí tưởng tượng hình học hay tri giác hình học;
- Nghệ thuật suy luận logic theo các bước đã được phân chia một
cách đúng đắn, kế tiếp nhau, đặc biệt hiểu và có kĩ năng vận dụng đúng đắn
quy nạp toán học, là tiêu chuẩn của sự trưởng thành logic hoàn toàn cần
thiết đối với các nhà toán học.
Theo V.A.Crutechxki [1, tr.167] thì cấu trúc năng lực toán học gồm
những thành phần sau:
(1)

Năng lực thu nhận thông tin Toán học: Năng lực tri giác hình
thức hóa tài liệu, năng lực nắm cấu trúc bài toán;
8


(2)

Năng lực chế biến thông tin Toán học:
- Năng lực tư duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lượng và
không gian, hệ thống kí hiệu số và dấu. Năng lực tư duy bằng
-

các kí hiệu toán học;
Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tượng, quan hệ

-

toán học và các phép toán;
Năng lực rút gọn qua quá trình suy luận toán học và hệ thống
các phép toán tương ứng. Năng lực tư duy bằng các cấu trúc

-

rút gọn;
Tính linh hoạt của quá trình tư duy trong hoạt động toán học;
Khuynh hướng vươn tới rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lí của

-

lời giải;

Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phương hướng của
quá trình tư duy, năng lực chuyển từ tư duy thuận tiến sang tư

(3)

duy đảo;
Năng lực lưu trữ thông tin Toán học: Trí nhớ toán học (trí nhớ
khái quát về các quan hệ toán học, đặc điểm về loại, sơ đồ suy
luận, chứng minh, phương pháp giải toán, nguyên tắc, đường lối

(4)

giải);
Năng lực tổng hợp chung: Khuynh hướng của hoạt động trí tuệ.
Tuy nhiên cần chú ý rằng tốc độ tư duy, năng lực tính toán, trí nhớ
về các công thức,… không nhất thiết phải có mặt trong các thành
phần của năng lực toán học.

Cũng theo V.A.Crutechxki, có 8 đặc điểm của hoạt động trí tuệ của HS
có năng lực toán học là:
- Khả năng tri giác có tính chất hình thức hóa tài liệu toán học, gắn
liền với sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong
một bài toán cụ thể vào trong một biểu thức toán học;
- Khả năng tư duy có tính khái quát hóa nhanh và rộng;

9


- Xu thế suy nghĩ bằng những suy lí rút gọn;
- Sự tư duy logic lành mạnh;

- Tính linh hoạt cao của quá trình tư duy thể hiện ở: Sự xem xét cách
giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau; sự di chuyển dễ dàng và
tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, từ tiến
trình suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ đảo;
- Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát
vọng tìm ra một lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lí, tiết kiệm;
- Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thức
giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ logic;
- Khả năng tư duy logic, trừu tượng phát triển tốt.
1.1.3.2.

Năng lực giải bài tập toán

Năng lực giải bài tập toán học là một phần của năng lực toán học. Đó
là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện giải quyết vấn đề có tính hướng
đích cao, đòi hỏi khả năng tư duy tích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết
quả sau một số bước thực hiện. Năng lực giải bài tập toán học là khả năng
vận dụng những kiến thức toán học đã được chọn vào giải bài tập toán.
Để rèn luyện cho HS năng lực giải toán và phát triển năng lực ấy thì
người thầy cần tập luyện cho HS những hoạt động trí tuệ nhằm rèn luyện
tư duy phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tư duy thuật giải,
tư duy hàm, tư duy phê phán, tư duy sáng tạo,… Theo định hướng đổi mới
phương pháp dạy học thì các loại tư duy này được rèn luyện quá bốn bước
giải toán của G.Polya.
1.1.3.3.

Năng lực giải toán hệ phương trình

Cũng như năng lực giải bài tập toán học, năng lực giải bài tập hệ
phương trình là khả năng vận dụng những kiến thức toán học đã đươc lựa

chọn vào hoạt động giải hệ phương trình. Đó là những đặc điểm tâm lí cá
10


nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải hệ phương
trình và là điều kiện cần thiết để hoàn thành một hoạt động giải toán đó.
Năng lực giải bài toán HPT được thể hiện qua những mặt sau:
-

Biết xác định dạng bài tập và phương pháp giải khi gặp HPT cụ thể;
Biết vận dụng các kiến thức đã biết để giải được HPT;
Trình bày đầy đủ, rõ ràng bài giải;
Vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp giải của bài tập đó vào
các bài toán khác tương tự.
Năng lực giải toán HPT được thể hiện qua hoạt động giải HPT và

được rèn luyện, phát triển thông qua các hoạt động giải toán. Cụ thể, để bồi
dưỡng cho học sinh năng lực giải HPT cần:
-

Trang bị cho học sinh các tri thức về HPT cơ bản;
Rèn luyện cho học sinh một số kĩ năng giải HPT;
Trang bị và tập luyện cho HS các PP thường dùng để giải HPT;
Tập luyện cho HS vận dụng quy trình giải toán của Polya vào giải HPT;
Rèn luyện tính linh hoạt, sáng tạo bằng cách khuyến khích HS giải
HPT bằng nhiều cách.
Phát triển năng lực giải toán HPT cho HS góp phần vào phát triển

năng lực giải toán nói chung. Cần phải tập luyện cho HS biết phân loại bài
toán, rèn luyện để họ thực hiện linh hoạt, độc lập, sáng tạo các bước trong

quy trình giải loại toán đó.
1.2

. Dạy học giải bài tập toán và việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho học

sinh
1.2.1. Vai trò của bài tập trong việc hình thành năng lực cho học sinh
phổ thông
Bài tập có vai trò giá mang hoạt động học của HS. Thông qua giải bài
tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng
và thể hiện những định nghĩa, định lí, quy tắc hay phương pháp, những

11


hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến, những
hoạt động trí tuệ chung hay hoạt động ngôn ngữ.
Vai trò của bài tập toán học được thể hiện trên cả ba bình diện mục
tiêu, nội dung và phương pháp dạy học.
Bài tập toán học ở trường phổ thông là giá mang những hoạt động
mà việc thực hiện hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu: Hình thành,
củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy
học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn; phát triển năng lưc trí
tuệ: rèn luyện những hoạt động tư duy, hình thành những phẩm chất trí
tuệ; bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩm
chất đạo đức của người lao động mới.
Bài tập là giá mang hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định,
một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung cho những tri
thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết.
Bài tập là giá mang hoạt động giúp người học kiến tạo nên những tri

thức nhất định, sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và
bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động, sáng tạo được thực hiện độc lập
hoặc tự giác trong giao lưu.
1.2.2.

Dạy học phương pháp chung để tìm lời giải bài tập toán
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của

Polya (2009) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm, có thể nêu
lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
- Phát biểu đề bài dưới những dạng khác nhau để hiểu rõ nội dung bài
toán;
- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm;
- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ, để diễn tả đề bài.
12


Có thể sử dụng các gợi ý: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho ? Cái phải
tìm có thể thỏa mãn các điều kiện cho trước hay không ? Hay chưa đủ ? Hay
thừa ? Hay có mâu thuẫn ? Hãy vẽ hình. Hãy sử dụng các kí hiệu thích hợp.
Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả các điều kiện đó
thành công thức hay không ?
Bước 2: Tìm cách giải
- Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tình chất tìm đoán;
- Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt
hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu với những tri thức có liên quan…
- Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để chọn được cách giải hợp lí
nhất.
Có thể sử dụng các gợi ý: Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hãy

đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác? Hãy xét kĩ cái chưa biết và thử
nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có cái chưa biết
tương tự? Bạn có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng
một định lí nào đó không? …
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một
chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các
bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu thêm lời giải
- Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải;
- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng, lật ngược vấn đề.
Sử dụng gợi ý: Bạn có thể sử dụng kết quả hay PP đó cho một bài
toán tương tự, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào khác
không?

13


1.2.3.

Bồi dưỡng năng lực giải toán thông qua dạy học giải bài tập
toán
Năng lực là một cái gì động: Nó không những chỉ thể hiện và tồn tại

trong hoạt động tương ứng, nó còn được tạo nên trong hoạt động và phát
triển trong hoạt động. Năng lực toán học cũng ở trạng thái động, nó hình
thành và phát triển trong hoạt động toán học [1, tr.12].
Hoạt động liên hệ mật thiết với năng lực, cụ thể là năng lực có thể và
chỉ có thể được hình thành, phát triển và biểu hiện trong hoạt động và bằng
hoạt động [14]. Phát triển năng lực giải toán có thể và chỉ có thể được thực

hiện thông qua hoạt động giải toán của chính người học.
Chính vì mối liên hệ mật thiết giữa năng lực và hoạt động, cho nên
phương pháp dạy học sao cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt
động là cách dạy học phù hợp nhằm phát triển năng lực cho HS. Cụ thể:
- Tăng cường tổ chức các hoạt động học tập của HS, chú trọng các
hoạt động trí tuệ cơ bản như phân tích, tổng hợp, tương tự, khái quát hóa,
đặc biệt hóa, lật ngược vấn đề.
- Tổ chức dạy học cho HS có cơ hội được trải nghiệm: Đo đạc, tính
toán, mò mẫm, dự đoán, xác minh, bác bỏ hay khẳng định.
- Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực: gợi mở, vấn đáp, hợp
tác theo nhóm, phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3. Thực tiễn dạy học giải toán ở trường phổ thông và việc bồi
dưỡng năng lực giải toán hệ phương trình cho học sinh
1.3.1. Nội dung, kiến thức, kĩ năng cơ bản về hệ phương trình trong
chương trình phổ thông
Trong chương trình THPT, chương trình lớp 10 đã cung cấp các kiến
thức lí thuyết và một số dạng HPT cơ bản; lên đến lớp 12 bổ sung thêm một
số HPT mũ, logarit đơn giản.

14


Cụ thể, theo Hướng dẫn thực hiện chuẩn kiến thức, kĩ năng môn Toán
lớp 10, lớp 12, NXB Giáo dục Việt Nam, nội dung HPT trong sách giáo khoa
bao gồm các nội dung chính sau:
- Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn (lớp 10)
- Một số hệ phương trình bậc hai hai ẩn đơn giản (lớp 10)
- Hệ phương trình mũ, logarit (lớp 12).
1.3.2. Quan sát, điều tra về tình hình dạy học giải hệ

phương

trình ở trường phổ thông
Để khảo sát về tình hình dạy học và việc bồi dưỡng năng lực giải HPT
ở trường phổ thông, luận văn đã sử dụng các phương pháp quan sát, điều
tra: Dự giờ, phỏng vấn, hỏi ý kiến các GV trong trường phổ thông, phiếu
điều tra.
1.3.1.1. Dự giờ: Dự giờ một số tiết dạy học về HPT: Lớp 104, cô giáo Dương
Thị Quỳnh Trang, trường THPT Na Dương, huyện Lộc Bình, tỉnh Lạng Sơn.
1.3.1.2. Sử dụng phiếu điều tra:
* Sử dụng phiếu điều tra, phỏng vấn hỏi ý kiến 10 GV Toán trường THPT Na
Dương, huyện Lộc Bình, tỉnh Lạng Sơn và một số GV các trường khác.
* Sử dụng phiếu điều tra, hỏi ý kiến HS:
- 28 HS lớp 10A4 trường THPT Na Dương, huyện Lộc Bình, tỉnh Lạng Sơn.
- 36 HS lớp 10A2, trường THPT Chuyên Chu Văn An, tỉnh Lạng Sơn.
1.3.3.

Một số đánh giá về thực tiễn dạy học môn Toán ở trường
phổ thông và việc bồi dưỡng năng lực cho học sinh

Kết quả điều tra GV về tình hình dạy và học theo hướng bồi dưỡng
năng lực giải hệ phương trình ở trường THPT thể hiện qua bảng sau:
Mức độ

Rất
cần
thiết

Cần
thiết

Nội dung
Câu 1. Thầy (cô) hãy đánh giá 42,9% 57,1%
15

Bình
thường

Khôn Hoàn
g cần toàn
thiết khôn
g cần
thiết


mức độ cần thiết của bồi
dưỡng năng lực dạy học giải
hệ phương trình cho học sinh?
Mức độ
Rất
Thườn Thỉnh
Hiếm K bao
thườn g
thoảng khi
giờ
Nội dung
g
xuyên
xuyên
Câu 3. Thầy (cô) thường dạy học nội dung hệ phương trình trên lớp

như thế nào?
A. Trang bị cho học sinh các 14,2% 28,5%
14,2%
tri thức cơ bản về hệ
phương trình.
B. Phân loại cho học sinh hệ
57,1% 14,2%
phương trình thường gặp.
C. Định hướng cho học sinh 28,5% 28,5%
14,2%
phương pháp giải các dạng
cụ thể.
D. Hướng dẫn và yêu cầu học 28,5% 28,5%
14,2%
sinh trình bày bài cẩn thận.
Câu 4. Khi dạy học nội dung hệ phương trình, thầy (cô) giảng bài như
thế nào?
A. Tập trung vào nội dung 28,5% 28,5%
kiến thức chính trong SGK.
B. Tập trung vào chỗ HS chưa
57,1% 14,2%
hiểu (chưa nắm được).
Câu 5. Thầy (cô) thường gặp khó khăn gì khi dạy học giải hệ phương
trình?
A. Đối tượng học sinh đa 42,9% 14,2%
dạng, năng lực học sinh
không đồng đều.
B. Học sinh không yêu thích 14,2% 14,2%
28,5%
học môn Toán.

C. Nhiều học sinh còn học yếu, 28,5% 28,5%
14,2%
chưa có năng lực tự học.
D. Thời lượng giảng dạy nội
28,5% 14,1%
dung còn ít, không đủ để
học sinh hình thành năng
lực.

16


Kết quả điều tra HS về tình hình dạy và học theo hướng bồi dưỡng
năng lực giải hệ phương trình ở trường THPT (phụ lục).
Thông qua những giờ dạy, giờ dự giờ và qua ý kiến thăm dò, khảo sát
một số GV, HS cho thấy thực trạng dạy học HPT hiện nay bên cạnh những
thuận lợi, còn có những khó khăn tồn tại, việc bồi dưỡng năng lực cho HS
vẫn chưa thực sự đạt hiệu quả, mặc dù đã có nhiều định hướng, phương
pháp dạy học tích cực nhưng chất lượng đạt được vẫn còn khiêm tốn. Điều
đó do còn nhiều nguyên nhân, cả khách quan lẫn chủ quan:
Thứ nhất, xuất phát từ sự tồn tại của phương pháp dạy học cũ, lấy
người dạy làm trung tâm, truyền thụ kiến thức một chiều dưới dạng có sẵn,
thuyết trình tràn lan, thầy áp đặt, trò thụ động, …
Thứ hai, hệ thống bài tập được đưa ra chưa thật phong phú, nội
dung cũng như hình thức còn khá đơn giản; nội dung bài tập chưa thực sự
phù hợp với năng lực từng đối tượng HS nên chưa kích thích được ham
muốn học tập của các em.
Thứ ba, việc thực hành làm bài tập trên lớp và luyện tập ở nhà của
HS còn mang tính hình thức, đối phó.
Thứ tư, năng lực giải bài toán HPT nói riêng cũng như giải toán nói

chung của HS còn hạn chế; năng lực học toán của HS trong một lớp cũng
chưa đồng đều, còn nhiều em chưa yêu thích môn toán.
Thứ năm, việc bồi dưỡng và phát triển năng lực giải toán cho HS
chưa được quan tâm đúng mức nên HS chưa chủ động, tích cực tiếp nhận
và học tập, chưa vận dụng linh hoạt các kiến thức đã học vào giải bài tập.
Từ thực tiễn đề ra yêu cầu cấp thiết rằng chúng ta cần quan tâm hơn
nữa tới việc bồi dưỡng năng lực giải toán cho HS.

17


TIỂU KẾT CHƯƠNG 1
Chương I của luận văn đã trình bày về:
1.

Năng lực và năng lực học tâp của HS phổ thông, năng lực toán

2.

học và năng lực giải bài tập toán.
Vai trò của bài tập toán trong việc hình thành năng lực cho HS,
các phương pháp chung để giải bài tập toán và việc bồi dưỡng

3.

năng lực giải toán thông qua dạy học giải bài tập toán.
Thực tiễn dạy học giải toán ở trường phổ thông và việc bồi dưỡng
năng lực giải toán HPT cho HS.

Từ việc nghiên cứu những cơ sở lí luận này, đồng thời chỉ ra những

thuận lợi, khó khăn của GV và HS trong dạy học giải HPT theo định hướng
phát triển năng lực, chúng tôi đưa ra những vận dụng của mình vào xây
dựng các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải HPT cho HS THPT trong
chương II.

18


Chương 2. CÁC BIỆN PHÁP BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI HỆ PHƯƠNG
TRÌNH CHO HS THPT
2.1. Định hướng việc xây dựng và thực hiện các biện pháp bồi dưỡng
năng lực giải toán cho học sinh
- Các biện pháp được xây dựng dựa trên nền tảng tri thức chuẩn của
SGK hiện hành.
- Các biện pháp xây dựng cần đảm bảo tính hệ thống, đa dạng.
- Các biện pháp cần đảm bảo tạo ra khó khăn đúng mức, kích thích hứng
thú học tập cho HS, nhằm phát huy tính tích cực và năng lực trí tuệ của HS.
- Các biện pháp đề xuất phải đảm bảo tính khả thi, hiệu quả và ứng
dụng được trong thực tiễn dạy học.
2.2. Các biện pháp bồi dưỡng năng lực giải toán hệ phương trình cho
học sinh trung học phổ thông
2.2.1. Trang bị cho học sinh các tri thức về hệ phương trình cơ bản
* Cơ sở của biện pháp:
- Một người không thể có năng lực toán học nếu không có kiến thức
toán học, kiến thức toán học là một yếu tố quan trọng tạo nên năng lực
toán học; nếu không có kiến thức cơ bản và vững chắc thì HS sẽ không thể
suy nghĩ, tìm được giải pháp khi gặp một vấn đề mới. Do vậy, trước hết phải
trang bị cho HS những tri thức cơ bản về HPT, đặc biệt là tri thức phương
pháp về giải HPT.
- Trong biện pháp này, GV cần tạo điều kiện cho HS kiến tạo nên

những tri thức khác nhau, bao gồm cả tri thức sự vật và tri thức phương
pháp:
+ Một số tri thức nền tảng trong chương trình: Khái niệm cơ bản về
HPT (hệ bậc nhất hai ẩn, hai phương trình; ba ẩn ba phương trình),
nghiệm của hệ; các phương pháp cơ bản giải hệ;
19


+ Một số tri thức chưa được quy định cụ thể trong chương trình,
nhưng ta có thể cung cấp cho HS trong quá trình học như: Phân loại một số
dạng HPT trình thường gặp và phương pháp giải của từng loại để từ đó HS
nắm được một số dạng HPT thường gặp, nhận biết được dạng và cách giải
chúng.
* Cách thức thực hiện biện pháp:
Người thầy trang bị cho trò những tri thức dựa trên những tri thức
tổng quát về hệ, phương pháp giải cơ bản để tìm nghiệm của hệ (giải HPT).
Cụ thể, HS phải nêu lên được thế nào là HPT, nghiệm của HPT, nhận biết và
thực hiện được một số PP giải đối với những hệ cơ bản: PP thế, cộng đại số,
tính định thức; nhận biết, thực hiện được quy trình giải cơ bản đối với một
số hệ đã được phân loại dưới đây.
Dưới đây là một số tri thức cơ bản trong chương trình và phân loại
một số HPT thường gặp.
2.2.1.1. Một số tri thức cơ bản trong chương trình
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là
 a1 x + b1 y = c1

a2 x + b2 y = c2

Nếu cặp số

thì

( x0 ; y0 )

(I) trong đó x, y là ẩn; các chữ còn lại là hệ số.

( x0 ; y0 )

đồng thời là hai nghiệm của cả hai phương trình của hệ

được gọi là một nghiệm của HPT (I)

Giải HPT (I) là tìm tập nghiệm của nó.
Phương pháp:
Các cách giải HPT bậc nhất hai ẩn quen thuộc:

20


a) Phương pháp thế: Từ một phương trình nào đó của hệ, biểu thị một ẩn
qua ẩn kia rồi thế vào phương trình con lại được phương trình bậc nhất
một ẩn.
b) Phương pháp cộng: Biến đổi hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương
trình là hai số đối nhau rồi cộng từng vế của hai phương trình lại được
phương trình bậc nhất một ẩn.
D=

c) Phương pháp tính định thức:
Dx =

•
•
•

c1

b1

c2

b2

Với

= c1b2 − c2b1 ; Dy =

a1
a2

a1

c1

a2

c2

b1
= a1b2 − a2b1;
b2

= a1c2 − a2c1

x=

D≠0

D
Dx
;y = y
D
D

: hệ có nghiệm duy nhất:
D = Dx = Dy = 0
Với
: HPT có vô số nghiệm
Dy ≠ 0
Dx ≠ 0
D=0
Với
và
hoặc
: HPT vô nghiệm

Phương pháp tính định thức rất hiệu quả trong các bài toán giải và biện luận
HPT.
Ví dụ 1. Hướng dẫn HS các cách giải HPT bậc nhất hai ẩn, thông qua ví dụ:

Giải HPT:

4 x − 3 y = 9

 2x + y = 5

Giải

21


2x + y = 5 ⇔ y = 5 − 2x
Cách 1. Phương pháp thế: Từ PT (2):

ta được:

10 x = 24 ⇔ x = 2, 4 ⇒

thay vào (1)

y = 5 − 2.2,4 = 0,2
.

Cách 2. Phương pháp cộng đại số: Nhận thấy hệ số của y trong phương
trình (2) nếu gấp 3 lần lên thì trở thành đối số của y trong PT đầu. Vì vậy,
nhân hai vế của phương trình (2) với 3 rồi cộng với PT (1). Ta được:

 10 x = 24
4 x − 3 y = 9  4 x − 3 y = 9
 x = 2,4
⇔

⇔
⇔




 2x + y = 5
6 x + 3 x = 15  y = 5 − 2 x  y = 0,2
Cách 3. Phương pháp tính định thức: Vận dụng công thức tính các định

D, Dx , Dy

thức
D=

4 −3
2

Dx =

1

= 4.1 − 2.( −3) = 10 ≠ 0

9 −3
5

1

và công thức nghiệm x, y. Ta được:

= 9.1 − 5.( −3) = 24

x=
nên

Dy =

4 9
2 5

= 4.5 − 2.9 = 2

y=

nên

Dy
D

Dx 24
=
= 2, 4
D 10

=

2
= 0, 2
10

Vậy hệ có nghiệm (2,4; 0,2)
Lưu ý: Tùy từng HPT mà có thể áp dụng phương pháp giải khác nhau phù
hợp, để có được cách giải ngắn gọn và hợp lí nhất.
HPT bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

22


 a1 x + b1 y + c1 z = d1

a2 x + b2 y + c2 z = d 2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3

(II)

Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là hệ số.
Mỗi bộ ba số

( x0 ; y0 ; z0 )

nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ gọi là một

nghiệm của HPT (II).
Ví dụ

2. Hướng dẫn HS các cách giải HPT bậc nhất ba ẩn, thông qua ví dụ:

Giải HPT:

−3 x + 2 y − z = −2 ( 1)

5 x − 3 y + 2 z = 10 ( 2 )

 2 x − 2 y − 3 z = −9 ( 3 )

Ta có thể sử dụng phương pháp cộng đại số, dưới đây là cách giải hệ bằng
phương pháp thế.
Từ (1),

z = 2 − 3x + 2 y

, thế vào (2), (3):

5 x − 3 y + 2 ( 2 − 3 x + 2 y ) = 10
− x + y = 6
 x = 15
⇔
⇔



2 x − 2 y − 3( 2 − 3x + 2 y ) = −9 11x − 8 y = −3  y = 21
Do đó:

z = −1

Vậy hệ có nghiệm

( 15;21; −1)

2.2.1.2. Phân loại một số HPT
(1) HPT gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc
hai

23


Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai là hệ có

dạng

ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0(1)

a ' x + b ' y + c = 0(2)


(III)

Phương pháp giải: Thực hiện giải hệ (III) bằng cách rút x hoặc y từ (2) rồi
thế vào (1) (Phương pháp thế). Khi đó xét phương trình một ẩn x hoặc y.

Ví dụ 3. Giải HPT:

 x + 2 y = 4 ( 1)
 2

2
 x + 3 y − xy + 2 x − 5 y − 4 = 0 ( 2 )

Đây là HPT gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai.

Vậy từ phương trình bậc nhất (1)rút x:

x = 4 − 2y

trình một ẩn y:

( 4 − 2y)

2

+ 3y2 − ( 4 − 2 y ) y + 2( 4 − 2 y ) − 5 y = 0

⇔ 9 y 2 − 29 y + 20 = 0

⇔ y =1
Với

hoặc

20
9

y = 1 ⇒ x = 2;
y=

Với

y=

20
4
⇒x=−
9
9
 4 20 

( 2;1)  − 9 ; 9 ÷
Vậy hệ có hai nghiệm
,
(2) HPT đối xứng loại 1

24

, thế vào (2) được phương


Mỗi phương trình của hệ không đổi khi tráo đổi vai trò của x và y cho nhau
được gọi là hệ đối xứng loại 1.
 f ( x, y ) = 0
 f ( y, x ) = 0
⇔

 g ( y, x) = 0
 g ( x, y ) = 0

(IV)

Phương pháp giải: Chuyển hệ về dạng có chứa biểu thức

S = x + y P = xy (S2 ≥ 4 P)
;

x+ y

và

xy

. Đặt

rồi biến đổi hệ (IV) về hệ với hai ẩn S, P. Giải hệ

để tìm (S, P). Với mỗi cặp (S, P) thì x, y là nghiệm của phương trình

X 2 − SX + P = 0

.

Hướng dẫn HS phát hiện hệ đối xứng loại 1 và phương pháp giải qua

Ví dụ 4: Giải HPT:

 x 2 y + xy 2 = 6

 xy + x + y = 5

Nhận xét: Trong mỗi phương trình, khi tráo đổi vai trò của x, y thì phương
trình không thay đổi. Vậy đây là HPT đối xứng loại 1. Trong phương trình

(1), đặt nhân tử chung được
được chuyển về dạng có chứa

xy ( x + y ) = 6
x+ y

và

xy.

Giải.
 xy ( x + y ) = 6

 xy + x + y = 5

Hệ tương đương với:

25

, vậy các phương trình của hệ đã