SỰ SINH SAXION TỪ CÁC VA CHẠM e+ e VÀ nguy, nguy+

LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đào Thị Lệ Thủy,
người đã luôn luôn hết lòng dẫn dắt, hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong quá trình
học tập và hoàn thành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn tới Ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội, các thầy
cô giáo trong Khoa Vật lý, tổ Vật lý lý thuyết – Trường Đại Học Sư Phạm Hà
Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu cho tôi trong quá trình học tập và tạo
điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành luận văn đúng thời hạn.
Tôi xin cảm ơn bạn bè và người thân đã động viên, tạo điều kiện thuận lợi để
tôi vượt qua khó khăn, tập trung vào việc học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, ngày 02 tháng 06 năm 2013
Người cảm ơn

Nguyễn Thị Thoa


MỤC LỤC

Trang

CÁC KÍ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Viết tắt

Tên tiếng Anh

Tên tiếng Việt

QCD

Quantum Chromodynamics

Sắc động lực học lượng tử

DM

Dark Matter

Vật chất tối

CP

Charge – Parity

Tích – Chẵn lẻ

ADMX

Axion Dark Matter

Vật chất tối Axion

SUSY

Supersymmetry

Siêu đối xứng

PQ

Peccei-Quinn

PQWW

Peccei-Quinn-Weinberg-Wilozek


VEV

Vacuum Expectation Values

KSVZ

Kim – Shifman – Vainstein –
Zakharov

DFSZ

Dine – Fischler – Srednicki –
Zhitnitkii

Giá trị trung bình chân không


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bản chất của vật chất tối trong vũ trụ vẫn là một trong những vấn đề thách
thức nhất của vật lý hạt, thiên văn học và vũ trụ học. Một trong các loại hạt có
khả năng đóng góp vào vật chất tối là hạt giả vô hướng nhẹ, chẳng hạn như
axion, saxion, ….Các hạt giả vô hướng nhẹ gọi là các boson Goldstone xuất hiện
dưới thang phá vỡ đối xứng tự phát của đối xứng Peccei – Quinn [3], [4], đối

xứng Lepton hoặc đối xứng thế hệ.
Trong mô hình chuẩn của vật lý hạt còn tồn tại nhiều vấn đề bí ẩn chưa
được giải quyết, trong đó có những vấn đề hấp dẫn và khó khăn nhất của mô
hình chuẩn đó là vấn đề “bậc”, vấn đề vi phạm CP mạnh ( strong CP ) và vấn đề
vật chất tối [1], [2]. Cho đến nay đã có rất nhiều các giải pháp để giải thích các
vấn đề trên, tuy nhiên thành công hơn cả là các giải pháp siêu đối xứng và cơ
chế Peccei – Quinn (PQ), cả hai giả thuyết này đều liên quan đến việc các đối
xứng bị phá vỡ. Lý thuyết siêu đối xứng (SUSY) là sự mở rộng của mô hình
chuẩn (SM) và được đề xuất vào những năm 70 của thế kỉ XX, trong SUSY có
sự đối xứng của các hạt có spin khác nhau, lý thuyết này đã giải thích thuyết
phục cho vấn đề bậc. Vấn đề vi phạm CP được giải quyết thông qua cơ chế PQ,
theo cơ chế này người ta đưa vào một trường giả vô hướng đó là axion.
Trong mô hình axion siêu đối xứng, saxion xuất hiện cùng axion trong
siêu đa tuyến axion: Φ = ( s + i a ) +

%
2aθ

+

Fθθ

, trong đó saxion (s) là thành

phần vô hướng thực. Saxion là hạt vô hướng thực có spin = 0, nó tương tác rất
yếu với vất chất thông thường, do đó nó có thể là thành viên của WIWP của vật
chất tối. Khối lượng của saxion cũng phụ thuộc vào các mô hình axion và được
đánh giá trong khoảng 1kev ÷ 100MeV [7]. Gần đây tình hình nghiên cứu
saxion đã được các nhà vật lý quan tâm rất nhiều [5], [6]. Các quá trình sinh ra
nó cần nghiên cứu, để hiểu sâu hơn đặc tính sinh, huỷ của chúng nhằm khẳng

4


định sự tồn tại của nó trong mô hình cũng như trong vũ trụ. Vì lí do đó chúng tôi
chọn đề tài: "Sự sinh saxion từ các va chạm

e + e−

và

µ +µ −

".

2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu sự sinh saxion từ các quá trình va chạm

µ+ µ−

e + e−

,

. Trên cơ

sở đó chỉ ra các hướng sinh hạt vật chất tối từ các quá trình va chạm của các hạt
vật chất thông thường, đồng thời cũng nhằm khẳng định sự tồn tại của saxion
trong vai trò vật chất tối.
3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc

Feynman để tính biên độ và tiết diện tán xạ.
- Sử dụng phần mềm Mathematica để đánh giá số và vẽ đồ thị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu sự sinh saxion từ các quá trình va
chạm

e + e−

,

µ+µ−

.

- Phạm vi nghiên cứu: Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng
tôi tính toán giải tích và đánh giá số tiết diện tán xạ của các quá trình va chạm
e + e−

,

µ+µ−

sinh saxion.

5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của luận văn
Các kết quả nghiên cứu sẽ góp phần làm rõ hơn đặc tính sinh các hạt vật
chất tối cũng như việc khẳng định sự đóng góp của saxion như một thành viên
của vật chất tối.
6. Bố cục của luận văn
5

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Các mô hình axion.
Chương II: Sự sinh saxion từ va chạm

e + e−

Chương III: Sự sinh saxion từ va chạm

.

µ+ µ−

.

CHƯƠNG I
CÁC MÔ HÌNH AXION
1.1. Mô hình PQWW (Peccei – Quinn – Weinberg- Wilozek)
Trong mô hình này, axion xuất hiện như một pha mới của trường Higgs. Để

xuất hiện axion người ta đưa vào hai lưỡng tuyến Higgs là

φ1

và

φ2

. Thế Higgs

tái chuẩn hóa được có dạng [9]:
+

V (φ1 , φ2 ) = − µ12φ1+φ1 − µ22φ2+φ2 + ∑ aijφi+φiφ j+φ j + ∑ bijφi+ φ%j φ%j φi
ij

ij

+ ∑ (cijφi+ φ%jφi+ φ%j + hc)
i≠ j

.

Trong đó siêu tích của

φ1

là

Y (φ1 ) = 1/ 2

(1.1)
và của

φ2

cij

hằng số thực, còn

là hằng số phức (i, j = 1,2),

có một đối xứng U(1):

φ1 → eiβ φ1 , φ2 → e−iβ φ2

bij
Y (φ2 ) = −1/ 2 aij
là
, và là các
φ%= iσ 2φ *

. Hàm thế năng (1.1)

. Đối xứng này giống như đối xứng

chuẩn U(1)Y của mô hình chuẩn, do đó nó không có ích đối với một đối xứng toàn
cij = 0

cục độc lập. Chính vì vậy Peccei và Quinn (1977) đã áp đặt điều kiện
6

, trong


trường hợp này lí thuyết tồn tại thêm một đối xứng toàn cục gọi là đối xứng
Peccei- Quinn U(1)PQ .
U (1) PQ : φ1 → eiαΓ1φ1 , φ2 → eiαΓ2 φ2

.

Trong đó

Γ1

và

Γ2

(1.2)

lần lượt là tích- chẵn lẻ (PQ) của

φ1

và

φ2

,

α

là pha có giá trị

đối với axion. Khi đó tương tác Yukawa phải được viết sao cho đối xứng toàn

cục (1.2) không bị phá vỡ, điều này được thỏa mãn khi

uR), và

φ2

φ1

tương tác với dR (hoặc

tương tác với uR (hoặc dR). Có nghĩa là để bảo toàn đối xứng tích chẵn

- lẻ, thì các quark có diện tích - 1/3 sẽ nhận được khối lượng từ trung bình chân

không (VEV) của

VEV của

φ2

φ1

và các quark có điện tích 2/3 sẽ nhận được khối lượng từ

. Do đó các quá trình thay đổi vị không xảy ra bởi vì có sự trao đổi

của các Higgs trung hòa (Glashow và Weiberg [1977], Paschos [1977]. Vì vậy
tương tác Yukawa của các quark là :
*

*

LY (quark ) = − f ij(u ) q Ljφ2u Ri − f ij(u )φ2+ u Ri qLj − f ij( d ) q Ljφ1d Ri − f ij( d )φ1+ d Ri qLj ,

(1.3)

trong đó i, j được lấy theo tất cả các vị của quark. Các tương tác (1.1) và (1.3) có
đối xứng PQ cho các fecmion như sau:
i

U (1) PQ : uL → e 2

i

αΓ 2

αΓ1

u L , uR → e

i
− αΓ 2
2

dL → e 2 dL , dR → e

i
− αΓ1
2

uR

(1.4.1)

dR.

(1.4.2)

7


Tương tác Yukawa ở (1.3) cho ta tương tác của axion với các quark, ở đây
có sự tồn tại tự do của tương tác Yukawa đối với các lepton khác nhau. Các
tương tác này phải thỏa mãn đối xứng PQ, mặt khác yêu cầu về bậc của

α

sẽ

thu được một thành phần thế năng và cũng hủy luôn tính phục hồi động lực của
θ

qua cơ chế PQ. Vì vậy ta có hai mô hình axion PQWW của tương tác Yukawa

cho các lepton: mô hình 1 được định nghĩa bằng tương tác của

tuyến lepton phải, mô hình 2 được định nghĩa bằng tương tác của

φ1

φ2

với các đơn

với các đơn

tuyến lepton phải. Đối với từng mô hình, ta có hàm Lagrangian mô tả sau đây:
*

Model 1:
Model 2:
trong đó

lLi

LY (lepton) = − f ij(1) l Liφ1eRj − f ij(1) φ1+ eRil Ri

*
+
LY (lepton) = − fij(1) l Li φ%2eRj − f ij(1) φ%2 eRi lLi ,

là lưỡng tuyến lepton trái và

eRi

(1.5)
(1.6)

là thành phần lepton phải của thế hệ

thứ i. Dưới tác dụng của phép biến đổi U(1)PQ chúng biến đổi như sau:
U (1) PQ : lL → e

lL → e

i
− αΓ 2
2

i
αΓ1
2

lL , eR → e

lL , eR → e

i
αΓ 2
2

i
− αΓ1
2

eR

eR

đối với mô hình 1

đối với mô hình 2

(1.7)

(1.8)

Các trường Higgs được biểu diễn:
iP

iP

v + ρ1 v11
v + ρ2 v22
φ = 1
e , φ20 = 2
e ,
2
2
0
1

(1.9)

8


φ10 =

với

v1

v
, φ20 = 2
2
2

ρ1 , ρ2

còn

là các trường Higgs thực.Tổ hợp tuyến tính

pha P1 và P2 của các trường sẽ cho boson Z, tổ hợp khác sẽ cho axion, chúng có
dạng sau:

h = − sin θ P1 + cosθ P2 , a = cosθ P1 + sin θ P2 .

Do đó

(1.10)

P1 = cosθ a + sin θ h, P2 = sin θ a + cosθ h.

(1.11)

Từ các phương trình (1.2), (1.9), (1.10), (1.11) và chú ý rằng axion là một
boson Goldstone xuất hiện khi đối xứng U(1)PQ bị phá vỡ tự phát. Sau khi biến
đổi

a → a + λ,

với

Γ1α =

λ

là hằng số, ta thu được:

cosθ
sin θ
λ , Γ 2α =
λ.
v1
v2

Trong các biến đổi trên ta đã đưa vào định nghĩa:
cosθ =

v1Γ1
v Γ +v Γ
2
1

2
1

2
2

2

2

, sin θ =

v2 Γ 2
v Γ12 + v22 Γ 22
2
1

.

(1.12)

Kết hợp (1.12) với (1.10) ta có thể chỉ ra hướng xuất hiện axion từ các pha của
trường Higgs:
a=∑
i

vi Γi
v Γ12 + v22 Γ 22
2
1

.

(1.13)
2

Ta định nghĩa:

tan θ = v1 / v2

a=

v1 P2 + v2 P1
v12 + v22

, kết hợp với (1.12) ta có tỉ lệ

Γ1  v2 
= ÷
Γ 2  v1 

. Từ đó ta có:

,

(1.14)
9


−v1h + v2 a

P1 =

v12 + v22

P2 =

v2 a + v2 h

v12 + v22

,

(1.15)
.

(1.16)

Các trường Higgs có thể được khai triển
Φ10 =

với

v1 + ρ1 iv2
v + ρ 2 iv1
+
a + ....; Φ 02 = 2
+
a + ...,
2
2v
2
2v

(1.17)

v = v12 + v22 = 247GeV .

Thay phương trình (1.17) vào các tương tác Yukawa, ta thu được các tương tác

của axion mà nó đóng vai trò như một trường giả vô hướng.
1.1.1. Axion tương tác với các quark
Thay phương trình (1.17) vào phương trình (1.3) ta được tương tác của
axion với các quark [9]:
a −q
Y

L

trong đó

(

x + x −1
a   1
= i  mu  − N g
v x
1+ Z
 

) ÷uγ u + m
÷


(

)




x + x −1 Z 


÷
x
−
N
d
γ
d
+
...
,
d
g
5

1+ Z ÷




5

(1.18)

Z = mu / md ; N g = 3; x = v2 / v1.

1.1.2. Axion tương tác với các lepton
Thay phương trình (1.17) vào các phương trình (1.5) và (1.6) ta có tương tác

axion và lepton [9]:
LaY−1 = i

Model 1:

(

)

a
xme eγ 5e + xmµ µγ 5 µ + xmτ τγ 5τ .
v

10

(1.19)


LaY−1 = i

Model 2:

m

m
a  me
eγ 5e − µ µγ 5 µ − τ τγ 5τ ÷.
−
v x
x

x


(1.20)

1.1.3. Axion tương tác với photon
Tương tác axion – photon trong mô hình PQWW được mô tả [9]:
Laγγ =

N g caγγ e2 a

µν

° em .
Fµνem F

16π 2 v

(1.21)

2
caγγ = c aγγ − 3 ∑ α i Qem
( qi ) .
i = L, R

Trong đó
c aγγ

Với

là hằng số tương tác axion được định nghĩa trên thang phá vỡ đối xứng

điện yếu và

2
Qem
( qi )

là điện tích của quark i. Trong mô hình axion PQWW ta có:
c aγγ =

Đối với model 1:
c aγγ =

Đối với model 2:

4
x + x −1 .
3

(

)

(1.22.1)

1
x + x −1 .
3

(

)

(1.22.2)

1.2. Mô hình KSVZ (Kim - Shifman - Vainstein – Zakharov)
Để hiểu rõ tương tác

aFF%

(photon – axion), Kim [1979] và nhóm Shifman -

Vainstein – Zakharov [1980] đưa vào một quark nặng Q. Để thực hiện đối xứng
PQ thì phải không có khối lượng trần, điều này cho phép ta giả sử Q là một tam
tuyến màu. Tính chất điện yếu của Q rất quan trọng để đưa ra tương tác axion –
photon – photon. Tương tác Yukawa và thế Higgs thích hợp với đối xứng PQ là
[9]:

11


LY = − f Q Lσ QR − f * Q Rσ *QL ,

(1.23)

V ( φ , σ ) = − µφ2φ +φ − µσ2σ *σ + λφ ( φ +φ ) + λσ ( σ *σ ) + λφσ φ +φσ *σ .
2

Trong đó

φ

2

là lưỡng tuyến Higgs trong mô hình chuẩn,

hướng phức của SU(2)
σ=

⊗

U(1) có tích là Q

a
i
1 %
v+ρ e v
2

(

σ

σ

(1.24)

là đơn tuyến vô

và có thể được khai triển:

)

.

Phép biến đổi đối xứng PQ tương ứng với nhóm U(1)PQ là:

σ → eiQσ α σ ,

QL = e

i
Qα α
2

(1.25.1)

QL ; QR → e

i
− Qα α
2

QR .

(1.25.2)

Đối với khoảng hữu hạn của các thông số trong thế năng, người ta có thể thu
σ ? φ 0 ≈ 200GeV

được

Dòng PQ với

và làm cho Q nặng.

Qσ = 1

là

J µPQ = v%
∂µ a −

σ =

1
Qγ µ γ 5Q,
2

(1.26)

v%
.
2

Dòng axion đối với nhiễu loạn chiral (Bardeen và Type [1978]) là:

12

(

)

1
1
J µa = v%∂ µ a − Qγ µ γ 5Q +
u γ µ γ 5u + dγ µ γ 5d .
2
2(1+ Z )

(1.27)

Thành phần Lagrangian mô tả tương tác axion- quark là:
L( a − q) =

mu a
( uiγ 5d + diγ 5d + ....) .
fa ( 1 + Z )

(1.28)

Từ phương trình trên ta thu được tương tác axion - nucleon như sau:

(

)

N ′, a L ( a − q ) N = N ′ iγ 5 g ( 0) + g ( 3)τ 3 N a ,

g( ) =
0

trong đó

M ( 0) ( 3) M  1 − Z 
GA ; g =

÷GA
2 fa
2 fa  1 + Z 

Với M là khối lượng của nucleon và

(1.29)

.

Z = mu / md

. Đối với mô hình này

(Weinberg [1977] và GA=1,26 được xác định từ phân rã

β

Z = 0,56

(Nagels [1979]).

Tương tác axion – photon được xác định từ Lagrangian sau:
L=

∂ a 

2
1
∂ µ a ) + µ  ∑ψ fLγ µ ( X f + α qf ) ψ fL + hc ÷
(
2
N DW  f


i
i
αq
αq

 e 2 caγγ a
2
2
−  ∑ψ qR e M q e ψ qL + hc ÷−
Fem F%
em ,
2
32
π
f
q

a



(

caγγ = caγγ + 6 ∑ α i Qiem
i

trong đó

)

2

lấy tổng theo các quark nhẹ,

(1.30)

αi

được xác định

từ phương trình:
−

a
− ∑ α i = 0.
fa i

(1.31)

Đối với 3 vị ta có:
13


md ms
,
mu md + md ms + ms mu

αu =

αd =

αs =

(1.31.1)

mu ms
,
mu md + md ms + ms mu

(1.31.2)

md mu
.
mu md + md ms + ms mu

(1.31.3)

1.3. Mô hình DFSZ (Dine – Fischler – Srednicki – Zhitnitkii)
Dine, Fischler và Srednicki [1981], Zhitnitkii [1980] đã đưa ra các tương tác
aFF%

mong muốn từ các quark nhẹ. Bởi vì

σ

là một đơn tuyến của SU(2)

⊗

U(1), tương tác trực tiếp của nó với các quark nhẹ là không thể. Thay vào đó,
cho

σ

tương tác với các lưỡng tuyến Higgs rồi sau đó với cho tương tác với các

quark nhẹ. Tương tác Yukawa và thế Higgs phù hợp với đối xứng PQ (1.25.1)
[9] là:
LY (quark ) = − f ij( u ) qLjφ2u Ri − f ij( u ) φ2+u Ri qLj − f ij( d ) *qLjφ1d Ri − f ij( d ) φ1+ d Ri qLj ,
*

2

2

(1.32)

2

 +
 +
 *
v12 
v22 
v2 
V = λ1  φ1 φ1 − ÷ + λ2  φ2 φ2 − ÷ + λ  σ σ − ÷
2
2
2 




( aφ φ + bφ φ ) σ σ + c ( φ φ ) σ + ( hc ) + d φ φ
+
1 1

+

+
2 2

*

T
1 2

2
T
1 2

2

2
*
+ e φ%
1 φ2

.

(1.33)

Trong đó T là kí hiệu sự chuyển vị, i và j là chỉ số thế hệ. Phép biến đổi PQ phù
hợp với (1.25.1) là:

14


φ1 → e−iβ Qσ φ1 ,

(1.34.1)

φ2 → e −iγ Qσ φ2 ,

(1.34.2)

uRi → eiγ Qσ uRi ,

(1.34.3)

d Ri → eiβ Qσ d Ri .

với

β + γ = 2α

và

(1.34.4)

β ,γ

là tích PQ của dR và uR.

Dòng PQ có dạng:
2

2

J

PQ
µ

−1
 2x  2  2x  2
= v%+ 

v
+
v ∂ a

−1 ÷ 1
−1 ÷ 2 µ
 x+ x 
 x+ x 
2

+

x −1
x
uγ γ u +
∑ d iγ µ γ 5di + dònglepton.
−1 ∑ i µ 5 i
x+x i
x + x −1 i

(1.35)

Từ phương trình (1.35) ta có các tương tác của axion với các quark nhẹ và với
lepton trong khoảng năng lượng 1 GeV

÷

250 GeV là:

+ Lagrangian mô tả tương tác của axion với quark nhẹ có dạng:

L ( a − q) =

(


N 
N Z

ia  
mu  X u − g ÷uγ 5u + md  X d − g ÷dγ 5 d + ... ,

1+ Z 
1+ Z 
v% 



X u = 2 x −1 / x + x −1

với

)

(

)

(1.36)

X d = 2 x / x + x −1 , x = v2 / v1

và

.

+ Lagrangian mô tả tương tác của axion với các lepton có dạng:
L( a −l) =

Model 1:

ia
( X d mee γ 5e + X d mµ µγ 5 µ + X d mττγ 5τ ) .
v%

15

(1.36.1)


L( a −l) =

Model 2:

ia
( X u mee γ 5e + X u mµ µγ 5 µ + X u mττγ 5τ ) .
v%

Các tương tác này sẽ bị triệt tiêu bởi một hệ số

v / v%

(1.36.2)

và có thể so sánh với mô

hình axion PQWW.
1.4. Mô hình axion siêu đối xứng
1.4.1. Giới thiệu chung về siêu đối xứng
Lý thuyết thống nhất lớn ra đời dựa vào các nhóm Lie có biểu diễn được lấp đầy
bởi những hạt với spin cố định. Tuy nhiên, lý thuyết này chưa thiết lập được
quan hệ giữa các hạt có spin khác nhau. Ngoài ra nguyên lý chuẩn chỉ cố định
được các tương tác vector, còn các tương tác Yukawa và tương tác vô hướng thì
vẫn chưa chịu sự ràng buộc nào. Do đó, sự mở rộng mô hình này là rất cần thiết
và phải theo hướng xây dựng một đối xứng liên quan giữa các hạt có spin khác
nhau. Đối xứng này được gọi là “siêu đối xứng’’ (SUSY).
Mục tiêu của lí thuyết này là đi xây dựng một đối xứng mà có thể thống nhất
được đối xứng ngoài (không - thời gian) với đối xứng trong (spin đồng vị). Dựa
trên lý thuyết nhóm, người ta chỉ ra rằng các vi tử của hai nhóm nói trên giao
hoán với nhau. Do đó, để thực hiện được mục tiêu, người ta đưa vào một vi tử

mới

Qαi

[11], nó có các tính chất liên hệ với các vi tử của nhóm Poincare như

sau:
[Qα , Pµ ] = [Qα&, Pµ ] = 0, { Qα , Qβ } = { Qα&, Q β&} = 0

{ Q , Q } = 2σ

α

β&

[Qα , M µν ] =

µ
αβ

(1.37)

Pµ ,

(1.38)

β
β&
1
1
σ µν ) α Qβ , [Qα&, M µν ] = ( σ µν ) α& Q β&,
(
2
2

16

(1.39)


trong đó

σ µν =

σ µ = ( σ 0 , σ i ) ; σ − µ = ( σ 0 , −σ i ) ,

1
[γ µ , γ ν ]
4

.

(α,β )

với

nhận giá trị (1,2),

σi

( α&, β&)

nhận giá trị

thành phần các chỉ số spinor Weyl; còn các chỉ số

phần vector 4 chiều nhận giá trị

{ 0,1, 2,3}

là các ma trận Pauli và

( µ ,ν )

2)
( 1,&&

là các chỉ số

là chỉ số của các thành

. Từ (1.39) ta thấy các vi tử mới

Qαi

không giáo hoán với phép quay, do đó nó lập nên phép quay Lorentz không sơ
đẳng và liên hệ với các hạt có spin khác nhau, cụ thể là nó có thể biến đổi
fermion thành boson và ngược lại:
Q fermion = boson ; Q boson = fermion .

(1.40)
Đại số Lie thông thường kết hợp với các giao hoán tử và phản giao hoán tử
(1.37), (1.38), (1.39) gọi là đại số Lie phân bậc hay còn được gọi là đại số siêu
đối xứng, đây cũng là cơ sở cho sự ra đời của SUSY – đối xứng giữa hai loại hạt
theo các thống kê khác nhau: boson – fermion.
1.4.2. Axion trong mô hình siêu đối xứng
Trong lý thuyết siêu đối xứng, ở vùng năng lượng thấp, axion xuất hiện cùng
với axino và saxion trong lý thuyết siêu trường chiral sau:
φ=

1
( s + ia ) + 2a%θ + Fφθθ .

2

Trong đó a là trường axion,

a%

là trường axino, s là trường saxion,

phụ.

17

(1.41)
Fφ

là trường


1.4.3. Đánh giá khối lượng của saxion và axino
Đối với axino và saxion, do đặc tính tương tác yếu với vật chất thông
thường nên các tính chất của chúng (quá trình tạo hoặc rã) ngoài phụ thuộc vào

hằng số phân rã axion

fa

, còn phụ thuộc rất mạnh vào khối lượng của chúng.

Với saxion, việc đánh giá khối lượng khá đơn giản, từ siêu thế:
W = λ p XQ p Q p .

(1.42)

λp

Trong đó

là hằng số liên kết, X là đa tuyến được xây dựng từ các PQ và có
X = fa

giá trị trung bình chân không là

Qp

còn

và

Qp

là các đa tuyến quark. Từ

sự phá vỡ siêu đối xứng đưa đến kết quả gần đúng sau:
fa :

Với

f ≥ 104 GeV

f2

.
ms

(1.43)

f là thang khối lượng và m s là khối lượng của saxion. Nếu khối

lượng saxion đủ nhỏ thì có thể đánh giá cùng bậc với khối lượng của gravitino
ms = ξ mG°

với thông số

ξ

có bậc của đơn vị.

Từ các điều kiện vũ trụ học và thiên văn học, hằng số phân rã axion f a được
xác định trong khoảng:
109 GeV ≤ f a ≤ 1012 GeV .

(1.44)

Từ (1.43) và (1.44) ta thu được khoảng khối lượng của saxion với giá trị thấp

nhất của thang khối lượng

f = 104 GeV

là:
18

1keV ≤ ms ≈ mG° ≤ 100 MeV .

(1.45)

Như vậy khối lượng của saxion là nhỏ và có thể so sánh được với khối lượng
của gravitino, do đó chúng có thời gian sống có thể là rất lâu (hạt bền).
Khác với saxion, khối lượng của axino phụ thuộc chặt chẽ vào các siêu thế,

có thể là rất nhỏ

(:

eV )

hoặc khá lớn (~ vài chục GeV). Không giống như

trường hợp của gravition (hạt có spin 3/2) và các bạn đồng hành siêu đối xứng
thông thường, khối lượng của axino không theo bậc của thang phá vỡ SUSY.
Siêu thế tái chuẩn hóa được trong trường hợp đơn giản nhất được chọn như
sau [8], [10]:

(

)

W = gZ S1S2 − f a2 ,

(1.46)

Trong đó g là hằng số tương tác; Z, S 1, S2 là các siêu trường chiral với các
tích PQ lần lượt là 0, +1, -1. Trong trường hợp này khối lượng của axino có thể
là ở thang khối lượng phá vỡ SUSY mềm và nó xuất hiện từ việc chéo hóa ma
Z° , S° 1 , S° 2

trận khối lượng của các bạn đồng hành siêu đối xứng
 0

M =  ma%
 gf
 a

ma%= g Z

trong đó

và
λ = − ma%

ma%
0
gf a

gf a 
÷
gf a ÷,
0 ÷


gf a : 1011 GeV

và

như sau:

(1.47)
. Các trị riêng của ma trận tương ứng là:

λ = ± 2 gf a + Θ ( ma%)

19

,


Z = 0,

Trong giới hạn SUSY toàn cục

do đó ở mức cây axino có khối lượng

bằng không. Tuy nhiên, S1 và S2 thu được các VEV và các số hạng mềm được
gộp trong thế sau:
V=g

2

(S

1

2

+ S2

2

) Z + ( A gS S Z − A gf Z + hc )
2

1

1 2

2
a

2

(1.48)

Z : ( A1 − A2 ) / g

Một số hạng tuyến tính trong Z được sinh ra với

với A1, A2 là

các thông số khối lượng tam tuyến tính mềm. Vì vậy khối lượng axino xuất hiện
ở thang khối lượng phá vỡ SUSY mềm.

Nếu chọn siêu thế phức tạp hơn ta thu được axino ở mức cây. Siêu thế thỏa
mãn đối xứng PQ được chọn là:
i
3
W ' = gZ S1S 2 − X 2 + λ ( X − M ) ,
3

(

)

(1.49)

QPQ = 0

Trong đó X mang tích

. Trong trường hợp cực tiểu hóa thế W’ ta được

kết quả phức tạp hơn, trị riêng nhỏ nhất của ma trận khối lượng fermion với
V =0

và

(

ma% = Θ ( A − 2 B + C ) + Θ mG°2 / f a

)

. Với A, B, C là các thông số phá vỡ

mềm lượt là tam tuyến tính, lưỡng tuyến tính và tuyến tính. Đối với các số hạng

phá vỡ mềm ta có thể chọn

B = A − 2mG° , C = A − 2mG°

thì

mG°2

do đó khối lượng axino ở mức cây có bậc của

axino bằng không hoặc có bậc của

mG°2 / f a

fa

A − 2B + C = 0 A − 2B + C = 0

,

: 1keV

. Nếu khối lượng của

thì sự đóng góp từ các giản đồ vòng có

thể trở nên quan trọng hơn. Trong mô hình axion KSVZ, khối lượng axino xuất
20


hiện ở mức một vòng

 f2 
ma%:  Q2 ÷ A
 8π ÷



, với A là thành phần phá vỡ SUSY, f Q là

hằng số tương tác Yukawa của các quark nặng với trường đơn tuyến có chứa
axion, dẫn tới khối lượng axino khoảng vài chục GeV. Trong mô hình axion
DFSZ không có sự đóng góp của thành phần A thì khối lượng axino khoảng vài
keV.
Qua phân tích ở trên ta thấy việc chọn các siêu thế và cơ chế phá vỡ
SUSY là rất quan trọng để đánh giá khối lượng axino. Nhìn chung nó có thể có
khối lượng từ vài eV đến vài chục GeV. Trong việc nghiên cứu các tính chất của
axino trong vũ trụ thì khối lượng axino được coi là một thông số tự do.
1.5. Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã trình bày về các mô hình axion khác nhau,
vai trò của axion và biểu thức Lagrangian mô tả tương tác của axion với các hạt
khác. Đó là:
+ Mô hình axion PQWW: trong mô hình này axion xuất hiện như một pha
mới của trường Higgs.
+ Mô hình axion KSVZ: ở đây, chúng tôi đưa ra tương tác axion

°
aFF

từ các

quark nặng .
+ Mô hình axion DFSZ: chúng tôi đưa ra tương tác axion

°
aFF

từ các quark

nhẹ.
+ Mô hình axion siêu đối xứng: chúng tôi trình bày sự xuất hiện của axion,
saxion, axino từ siêu trường chiral và đánh giá khối lượng của saxion, axino.

21


CHƯƠNG II
SỰ SINH SAXION TỪ VA CHẠM

e + e−

Trong chương này, chúng tôi khảo sát sự sinh saxion từ va chạm

e + e−

.

Bằng phương pháp lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi nghiên cứu đặc tính của
saxion thông qua việc tính toán giải tích các biểu thức tiết diện tán xạ vi phân và
tiết diện tán xạ toàn phần.
2.1. Bình phương biên độ tán xạ của quá trình sinh saxion từ va chạm

e + e−

e+ , e−
khi chùm

chưa phân cực

2.1.1. Bình phương biên độ tán xạ của sự sinh saxion theo kênh s
2.1.1.1. Giản đồ Feynman theo kênh s
Quá trình va chạm với hai hạt ở trạng thái đầu là electron và positron và
trạng thái cuối là photon và saxion được biểu diễn dưới dạng:
e − ( p1 ) + e + ( p2 ) → γ (k1 ) + s(k2 )

,

trong đó p1, p2 là xung lượng của các hạt tới và k 1, k2 là xung lượng của các hạt
tạo thành.
Quá trình va chạm thông qua trao đổi photon theo kênh s được mô tả bằng
giản đồ Feynman như sau:

22


Hình 2.1. Sự sinh saxion từ va chạm

e + e−

theo kênh s

2.1.1.2. Bình phương biên độ tán xạ
Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ của quá trình này là:
M s = v ( p2 )(−ieγ µ )u ( p1 )(

=

α
−ig µν
)( −i ) c [2qs k1 gνδ − qsδ k1ν − qsν k1δ ]ε δ* (k1 )
2
qs
4π f a

ieα c
v ( p2 )γ ν u ( p1 )[2qs k1 gνδ -qsδ k1ν -qsν k1δ ]ε δ* (k1 )
4π f a qs2

trong đó:

qs = p1 + p2

v=

;

v12 + v22 = 247GeV

χ

2

,

(2.1)

≈1

,

.

Trong các biểu thức trên, để cho gọn ở đây chúng tôi không viết chỉ số spin của
các hạt tham gia và chỉ số phân cực của photon.
Ma trận liên hợp Hermit của ma trận Ms:
M s+ =

−ieα c
u ( p1 )γ ν ′v ( p2 )[2qs k1 gνδ′′ -qsδ ′k1ν ′ -qsν ′k1δ ′ ]ε δ ′ (k1 )
2
4π f a qs

Bình phương biên độ tán xạ là:
23

.

(2.2)


2

Ms

2

 eα c 
= ∑ MsM = 
2 ÷
spins , pol
 4π f a qs 

∑

+
s

ε δ* ( k1 )ε δ ′ ( k1 )u ( p1 )γ ν ′v( p2 )v ( p2 )γ ν u( p1 )

spins , pol

×[2q s k1gνδ ′′ -qδs ′ k1ν ′ -q sν ′k1δ ′ ][2q s k1gνδ -qδs k1ν -q sν k1δ ]
.

Sử dụng các công thức:

∑ ε δ (k )εδ (k ) = − gδδ
*

′

1

1

pol

′

,

∑ u ( p )u ( p ) = ( pˆ + m )
1

1

1

e

spins

,

∑ v( p )v ( p ) = ( pˆ
2

2

spins

2

− me )

,
me = s

và xét bài toán ở năng lượng cao, ta có

của electron

me

và

me2

nên ta có thể bỏ qua khối lượng

. Khi đó ta được:
2

Ms

2

 eα c 
=
8. 3 ( qs k1 ) ( qs p1 ) ( k1 p2 ) − 5 ( qs k1 ) ( qs k1 ) ( p1 p2 ) + 3 ( qs k1 ) ( qs p2 ) ( k1 p1 )
2 ÷
 4π f a qs 

− ( qs qs ) ( k1 p1 ) ( k1 p2 ) + ( qs qs ) ( k1k1 ) ( p1 p2 ) − ( q s p1 ) ( q s p2 ) ( k1k1 ) 

.

(2.3)

2.1.2. Bình phương biên độ tán xạ của sự sinh saxion theo kênh u
2.1.2.1. Giản đồ Feynman theo kênh u
Quá trình va chạm với hai hạt ở trạng thái đầu là electron và positron và
trạng thái cuối là photon và saxion được biểu diễn dưới dạng:

24


e − ( p1 ) + e + ( p2 ) → γ (k1 ) + s(k2 )

,

trong đó p1, p2 là xung lượng của các hạt tới và k 1, k2 là xung lượng của các hạt
tạo thành.
Quá trình va chạm thông qua trao đổi e- theo kênh u được mô tả bằng giản
đồ Feynman như sau:

Hình 2.2. Sự sinh saxion từ va chạm

e + e−

theo kênh u

2.1.2.2. Bình phương biên độ tán xạ
Theo quy tắc Feynman, ta có biên độ tán xạ theo kênh u là:
Mu =

(

eme χ
v ( p2 )γ µ ( qˆu + me ) γ 5u ( p1 )ε *µ (k1 )
q − me2 v
2
u

)

qu = p1 − k2 = k1 − p2
trong đó

,

.

Bỏ qua khối lượng của electron
Mu =

me

và

eme χ
v ( p2 )γ µ qˆu γ 5u ( p1 )ε *µ (k1 )
2
vqu

me2

thu được biên độ tán xạ có dạng:

.

(2.4)
25