tóm tắt luận văn một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương trình phi tuyến n ẩn số

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Vào những năm 70 của thế kỷ 20, một số nhà toán học đã nghiên cứu
về giải các phương trình và hệ phương trình dạng:
Fx = y
(1)
trong đó F là một toán tử từ một tập X đến một tập Y , x ∈ X , y ∈ Y
Để thuận lợi trong nghiên cứu thì các nhà toán học đã lấy X , Y là các
không gian Banach. Trường hợp đặc biệt của (1) là:
Fx = 0
(2)
Phạm vi ứng dụng của lý thuyết toán tử là rất rộng lớn. Phạm vi ứng
dụng này càng rộng và càng có hiệu lực thực tiễn trước sự phát triển nhanh
chóng của máy tính điện tử với sự phát triển mạnh mẽ các công trình
nghiên cứu xấp xỉ các phương trình dạng (1).
Với các hiểu biết ban đầu và qua tham khảo một số tài liệu liên
quan, tôi thấy việc giải các phương trình, hệ phương trình dạng (2) là phù
hợp với năng lực của tôi. Có nhiều phương pháp giải, song phương pháp
lặp là phương pháp có thể lập trình trên máy tính điện tử. Vì vậy tôi đã
chọn đề tài: “một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương
trình phi tuyến”
2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương
trình phi tuyến, ứng dụng vào các bài tập cụ thể có sử dụng máy tính điện
tử để giải. Thảo luận chung về các phương pháp lặp giải phương trình và
hệ phương trình phi tuyến. Đánh giá về những nghiên cứu khoa học của
mình. Nêu ra những đóng góp của đề tài. Đề xuất các kiến nghị.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương
trình phi tuyến.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương
trình phi tuyến. Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết vào các bài toán cụ
thể có sử dụng ngôn ngữ lập trình Maple hoặc Pascal.
5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết, áp dụng lý thuyết vào giải toán số.
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Hệ thống hoá các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương
trình phi tuyến. Lập trình các bài toán trên máy tính điện tử bằng ngôn ngữ
lập trình Maple hoặc Pascal.


2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Không gian véc tơ.
1.2. Các không gian quan trọng.
1.3. Đạo hàm Gateaux và đạo hàm Frechet.
Định nghĩa 1: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, U là một tập con
mở của X , ánh xạ F : U → Y . Khi đó:
(i) Ánh xạ tuyến tính liên tục T : X → Y là đạo hàm Gateaux của F tại
x 0 ∈ U nếu và chỉ nếu:
1
F ( x 0 + τ u ) − F ( x 0 ) − τ Tu = 0
τ →0 τ
tục T : X → Y là đạo hàm Frechet

∀ u ∈ X : lim

(ii) Ánh xạ tuyến tính liên
nếu và chỉ nếu:

∀ u ∈ X : lim

u →0

(iii) Ánh xạ tuyến tính liên tục
x 0 ∈ U nếu và chỉ nếu:

1
u

∀ x* ∈ X * :

T : X →Y

u →0

tại

là đạo hàm Gateaux yếu của

[

x0 ∈U

F

tại

F

tại

]

1 *
x F ( x 0 + τ u ) − Fx 0 − τ Tu = 0
τ →0 τ
tục T : X → Y là đạo hàm Frechet

lim

F

F ( x 0 + u ) − F ( x 0 ) − Tu = 0

∀u ∈ X , ∀x * ∈ X * : l i m

(4i) Ánh xạ tuyến tính liên
x 0 ∈ U nếu và chỉ nếu:

của

[

yếu của

]

1 *
x F ( x 0 + u ) − F ( x 0 ) − Tu = 0
u

Các đạo hàm được định nghĩa trên đây đều được kí hiệu là T = F ' ( x 0 ) .
Định nghĩa 2: Cho X 1 ,..., X n , Y ; n ≥ 2, là các không gian định chuẩn, ánh xạ:
F : X 1 × ... × X n → Y , với mọi
x = ( x 1 ,..., x n ) ∈ X 1 × ... × X n , ta cố định:
  0 1  0  n 
x =   x  ,...,  x   ∈ X 1 × ... × X n ,
 
  

F i : X i → Y , i = 1, n
0

xét ánh xạ:

i +1
n
  0 1  0  i −1
0
0 
F i ( x i ) = F   x  ,...,  x  , x i ,  x  ,...,  x  
 
 
 
  



Nếu

Fi

có đạo hàm Frechet tại điểm

riêng Frechet của

F

theo

xi

0

0
 x
 

i

thì đạo hàm đó gọi là đạo hàm

tại điểm x . Ta viết:

∂F  0 
0

i
x
=
(
F
)
'


 x
∂x i  
 

i

Khi X 1 = ... = X n = Y = R thì đạo hàm riêng Frechet này trùng với đạo
hàm riêng thông thường.
Ví dụ 1: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, F : X →∧ Y là ánh xạ hằng
(tức là ∀ x ∈ X : Fx = b = const , b ∈ Y ). Khi đó ∀ x ∈ X ⇒ F ' x = θ (ánh xạ không).


3

Ví dụ 2: f : R → R là hàm số thực, với x 0 ∈ R ta có
tại x 0 theo nghĩa thông thường.
Ví dụ 3: Giả sử ánh xạ: F : R n → R , n ≥ 2

f '(x0 )

là đạo hàm của

f

x = ( x1 ,..., x n )  Fx = F ( x1 ,..., x n )

có các đạo hàm riêng theo

x1 ,..., x n

liên tục. Khi đó mọi

x = ( x1 ,..., x n ) ∈ R n

ta có:

 ∂F

∂F
F ' ( x) = 
( x),.....,
( x) 
∂x n
 ∂x1


và
n

∀ h = (h1 ,..., hn ) ∈ R ⇒ F ' ( x) h = ∑
n

j =1

∂F
hj
∂x j

Ví dụ 4: Nếu mỗi ánh xạ
có đạo hàm tại

f i ( x) = f i ( x1 ,..., x n ) : R n → R;
x thì ánh xạ:

là hàm véc tơ nhiều biến

n ≥ 2, i = 1, m. (m ≥ 2)

F = ( f 1 ,..., f m ) : R n → R m
F x = ( f 1 ( x),..., f m ( x) )
có đạo hàm tại x và:

 f 1 ' ( x) 


  ∂f
F ' ( x) =    =  i ( x ) 


 f ' ( x)   ∂x j
 m×n

 m


 ∂f 1

 ∂x1
 ∂f 2
 ∂x
 1
=
 


 ∂f m

 ∂x1

∂f1
∂x 2
∂f 2
∂x 2

∂f m
∂x 2

∂f 1
xn
∂f 2

∂x n









 


∂f m 


∂x n 


(ma trận Jacobi của

F ).

 f 1 ' ( x)h 


∀ h = (h1 ,..., hn ) ∈ R ⇒ F ' ( x)h = 
 
 f ' ( x)h 
 m


Định lí hàm số ngược: Cho X , Y là hai không gian định chuẩn, U là tập
con mở trong X , ánh xạ F : U → Y là phép đồng phôi từ U vào tập con mở
V = F (U ) ⊂ Y . Giả sử F có đạo hàm Frechet tại điểm x 0 ∈ U và F ' ( x 0 ) : X → Y
là phép đồng phôi tuyến tính. Khi đó ánh xạ ngược F −1 : V → X có đạo hàm
Frechet tại điểm y 0 = F x 0 ∈ V và
( F −1 ) ' ( y 0 ) = ( F −1 ) ' ( Fx 0 ) = F ' ( x 0 ) −1
n


4

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
2.1. Phương pháp Newton và một số biến thể của nó.
2.1.1. Phương pháp dây cung song song.
Cho f : U ⊂ R → R là một hàm số thực một biến có một nghiệm x * , ta
thay giá trị của f tại một xấp xỉ x 0 của x * bởi một hàm tuyến tính:

l ( x) = α ( x − x 0 ) + f ( x 0 )
với độ lệch α ≠ 0 thích hợp, sau đó lấy nghiệm x1 của l làm một xấp xỉ mới
của x * . Lặp lại cách làm này với α cố định, ta có phương pháp lặp:
x k +1 = x k − α −1 f ( x k ),
k = 0,1,...
(2.1.1)

gọi là phương pháp dây cung song song trong không gian một chiều.
Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F : D ⊂ R n → R n trong không gian n chiều,
n ≥ 2 , có nghiệm x * , có ma trận A không suy biến, thay α = A không đổi,
thay giá trị của F
tại một xấp xỉ x k của x * bởi hàm afin: Lk x = A ( x − x k ) + F x k , đặt x k +1 là

nghiệm duy nhất của Lk x = 0 .
Ta có phương pháp dây cung song song trong không gian n chiều
x k +1 = x k − A −1 F x k ,
k = 0,1,.....
(2.1.2)
k +1
n
Về mặt hình học, x chính là giao điểm của siêu phẳng:
n

∑a
j =1

ij

( x j − x kj ) + f i ( x k ) = 0 ;

i = 1,..., n.

với siêu phẳng x = 0 trong R n +1 .
Để áp dụng phương pháp dây cung song song thì điều quan trọng là
phải chọn ma trận A thích hợp. Ta giới thiệu một vài cách chọn sau đây:
Cách 1: Chọn A = λ I với λ ∈ R * nào đó.
Cách 2: Đối với (2.1.1) ta chọn α = f ' ( x 0 ) .
Đối với (2.1.2) ta chọn A = F ' ( x 0 ) , với F ' ( x) là đạo hàm Gato của F
tại x , khi đó (2.1.2) là phương pháp Newton cải biên:
x k +1 = x k − F ' ( x 0 ) −1 F x k , k = 0,1,...
(2.1.3)
Cách 3: Chọn A một cách ngẫu nhiên tuỳ thuộc vào dạng đặc biệt nào đó
của F . Ví dụ:

F x = Ax −G x
(2.1.4)
với A là ma trận không suy biến nào đó, G là một hàm phi tuyến, thì ta có
phương pháp Picard:
x k +1 = A −1G x k , k = 0,1,...
(2.1.5)
Chú ý: Phải chọn A sao cho quá trình lặp (2.1.2) ít nhất phải là hội tụ
địa phương.
Nghĩa
là khi x 0 đủ gần tới nghiệm x * của F x = 0 thì chắc chắn
k
*
ta có: kl i→m∞ x = x .
Khi F ' ( x * ) tồn tại thì điều kiện cần và đủ để (2.1.2) hội tụ địa phương là:
σ = ρ ( I − A −1 F ' ( x * ) ) < 1
(2.1.6)


5

ρ

biểu thị bán kính phổ của ma trận. Do x * chưa biết nên khó chọn trước
được ma trận A để có (2.1.6), trong đó cách chọn lý tưởng vẫn là A = F ' ( x * )
. Từ đó buộc ta phải đi xét các quá trình lặp:
x k +1 = x k − Ak−1 F x k , k = 0,1,...

với Ak = F ' ( x k ) được* thay đổi từ bước nọ đến bước kia sao
cho: kl i→m∞ Ak = F ' ( x )
2.1.2. Phương pháp Newton.

Cho f : U ⊂ R → R là hàm số thực một biến có một nghiệm
lặp:

x* ,

quá trình

x k +1 = x k − f ' ( x k ) −1 f ( x k ), k = 0,1,...

(2.1.7)

là phương pháp Newton trong không gian một chiều.
Ta mở rộng từ hàm f đến hàm F : D ⊂ R n → R n trong không gian n chiều,
n ≥ 2 , có nghiệm x * , bằng cách thay f ' ( x k ) trong (2.1.7) bằng đạo hàm Gato
F ' ( x k ) , ta có phương pháp Newton trong không gian n chiều:
x k +1 = x k − F ' ( x k ) −1 F x k , k = 0,1,...
(2.1.8)
k
k +1
Bước lặp từ x đến x ở (2.1.8) được mô tả hình học là: Mỗi thành
phần f i của F được xấp xỉ bởi hàm afin:
L ( x) = f i ' ( x k )( x − x k ) + f i ( x k )
(2.1.9)
k
mà hàm afin này mô tả siêu phẳng tiếp xúc với f i tại x , sau đó lấy x k +1 là
giao điểm của n siêu phẳng (2.1.9) với siêu phẳng x = 0 trong R n +1 .
Công thức (2.1.8) là công thức tổng quát của phương pháp Newton
từ một chiều đến n chiều.
Chú ý: có nhiều phương pháp lặp trong không gian n chiều khác nữa
mà cũng có điều kiện khi cho n = 1 thì nó trở thành (2.1.7), chẳng hạn như

khi ta xét quá trình lặp:
(2.1.10)

x k +1 = x k − F ' ( x k ) −1 F x k + (n − 1) G x k ; k = 0,1,...

với

là ánh xạ tuỳ ý nào đó.
Tầm quan trọng của phép lặp Newton (2.1.8) dựa trên cơ sở là: từ
những điều kiện đã cho đối với F , bất đẳng thức dạng:
2
x k +1 − x * ≤ c x k − x *
(2.1.11)
k
*
luôn thoả mãn, miễn là các x đủ gần với nghiệm x .
Ta có thể thấy rằng bất đẳng thức (2.1.11) có được là do phép lấy đạo
hàm sau đây của phương pháp Newton:
Nếu F có đạo hàm Frechet tại x k thì:
0 = F x * = F x k + F ' ( x k )( x * − x k ) + R ( x * − x k )
(2.1.12)
G : Rn → Rn

ở đây:

lim
h→0

R ( h)
=0

h

Từ đó nếu x k gần với nghiệm x * thì hiển nhiên số hạng
và xấp xỉ hiệu x * − x k bằng nghiệm h của hệ tuyến tính:
F ' (x k ) h = −F x k

R ( x* − x k )

giảm đi
(2.1.13)


6

Hay nói cách khác,
được

x k +1 = x k + h = x k − F ' ( x k ) −1 F x k
lấy là một xấp xỉ mới của x * .
Nếu F ' ' bị chặn trong một lân cận của x * thì ta
R (x k − x* ) ≤ α x k − x*

có:

2

và giả sử F ' ( x * ) không suy biến từ đó dẫn tới đánh giá (2.1.11).
Nếu ta khai triển G theo F∧ x k , ta có:
x * = G (0) = G ( F x k ) − G ' ( F x k ) F x k + R ( F x k ) =
∧

= x k − F ' ( x k ) −1 F x k + R ( F x k )

(2.1.14)

2.1.3. Một số biến thể của phương pháp Newton.
Hai phép xấp xỉ được sử dụng để tránh tính F ' ( x) đơn giản nhất là
xấp xỉ các đạo hàm riêng ∂ j f i (x) bằng các tỷ sai phân:
∂ j f i ( x) =

j
1  
k
 f i  x + ∑ hi k e
hi j  
k =1

Và:
∂ j f i ( x) =

j −1


 − f i  x + ∑ hi k e k
k =1



[



 


1
f i ( x + hi j e j ) − f i ( x)
hi j

(2.1.15)

]

(2.1.16)

trong đó hi j là các tham số phân biệt và e j là véc tơ toạ độ thứ j .
Biến thể 1: Tổng quát, cho h ∈ R p là một véc tơ tham số, ∆ i j ( x, h) là các xấp
xỉ khác nhau của ∂ j f i (x) với tính chất: mỗi khi ∂ j f i (x) tồn tại thì với
i, j = 1, n. ta có:
l i m ∆ i j ( x, h ) = ∂ j f i ( x )
(2.1.17)
h→0
Khi đó, với ma trận sai số:
J ( x, h ) = ( ∆ i j ( x, h ) )
(2.1.18)
thì quá trình lặp:
x k +1 = x k − J ( x k , h k ) −1 F x k ; k = 0,1,...
(2.1.19)
k
được gọi là phương pháp Newton rời rạc. Các véc tơ tham số h ∈ R p .
k
Ta cần phải có kl i→m∞ h = 0 .

Quy tắc “làm giảm chuẩn” :
F x k +1 ≤ F x k ; k = 0,1,...
(2.1.20)
Phương pháp Newton không thoả mãn quy tắc (2.1.20).
Biến thể 2:
x k +1 = x k − ω k F ' ( x k ) −1 F x k ; k = 0,1,...
(2.1.21)
ω
với các hệ số k được chọn sao cho (2.1.20) thoả mãn.
Biến thể 3:
−1
x k +1 = x k − [ F ' ( x k ) + λ k I ] F x k ; k = 0,1,...
(2.1.22)
k
với λk là các tham số được chọn sao cho F ' ( x ) + λk I không suy biến nếu
bản thân F ' ( x k ) suy biến.


7

Biến thể 4: Thỉnh thoảng ta phải tìm lại biểu thức
x

k +1

= x − F '(x
k

p ( k ) −1

F ' ( x)

) F x ; k = 0,1,...
hơn hoặc bằng k .
k

và phép lặp là:
(2.1.23)

với p(k ) là một số nguyên nhỏ
2.1.4. Chú ý và nhận xét.
2.2. Phương pháp cát tuyến.
2.2.1. Phương pháp cát tuyến tổng quát.
Xét phương pháp Newton rời rạc trong không gian một chiều:
x

k +1

 f (x k + hk ) − f (x k ) 
= x −

hk


k

−1

(2.2.1)

f ( x k ) ; k = 0,1,...

Hai trường hợp đặc biệt và quan trọng của (2.2.1) là:
Phương pháp lặp có dạng:
 f ( x) − f ( x k ) 
x = x −

x − xk


k
k
h = x − x , với x cố định.
k +1

−1

k

(2.2.2)

f ( x k ) ; k = 0,1,...

trong đó
Phương pháp cát tuyến:
x

k +1

 f ( x k −1 ) − f ( x k ) 

= x −

x k −1 − x k


k

trong đó h k = x k −1 − x k
Ta thấy quá trình lặp kế tiếp
phương trình tuyến tính:

−1

(2.2.3)

f ( x k ) ; k = 0,1,...

x k +1

của (2.2.1) chính là nghiệm của

 f (x k + hk ) − f (x k ) 
k
k
l ( x) = 
 x − x + f (x ) = 0
k
h



(

)

Với l được xét theo hai cách khác nhau:
Cách 1: l được xem như là một xấp xỉ của đường thẳng tiếp tuyến:
lT ( x ) = f ' ( x k ) ( x − x k ) + f ( x k )

Cách 2 : l là một phép nội suy tuyến tính của
x +h
k

k

f

giữa hai điểm

xk

và

.

2.2.2. Định nghĩa: n + 1 điểm tuỳ ý x 0 , x1 ,..., x n trong R n được gọi là ở
vị trí đầy đủ nếu các véc tơ x 0 − x j ; j = 1, n. độc lập tuyến tính.
2.2.3. Định lý: Cho x 0 , x1 ,..., x n là n + 1 điểm tuỳ ý trong R n . Khi đó
các phát biểu sau đây là tương đương:
(a) x 0 , x1 ,..., x n ở vị trí đầy đủ.

(b) Với j bất kỳ, 0 ≤ j ≤ n , các véc tơ
x j − x i ; i = 0, n ; i ≠ j , độc lập tuyến tính.
(c) Với e T = (1,...,1) , X = ( x 0 ,..., x n ) , ma trận
( e, X T ) ∈ Mat (n + 1, R ) không suy biến.
(d) ∀ y ∈ R n đều tồn tại α 0 ,..., α n ∈ R n


8

với

n

∑α i = 1
i =0

n

y = ∑α i x i

để:

i =0

((d) tương đương với cách phát biểu là: hệ phương trình tuyến tính:
 eT

X


α 0 
  
    = 

 α  
 n

1

y 

(2.2.4)

luôn có một nghiệm với y bất kỳ).
2.2.4 Định lý: Cho x 0 ,..., x n và y 0 ,..., y n là hai tập điểm trong R n . Khi đó tồn
tại duy nhất một hàm afin L x = a + A x với a ∈ R n và A ∈ L ( R n ) sao cho
L x j = y j ; j = 0, n nếu và chỉ nếu x 0 ,..., x n ở vị trí đầy đủ.
Hơn nữa, A không suy biến nếu và chỉ nếu y 0 ,..., y n ở vị trí đầy đủ.
Chú ý: Điều kiện L x j = y j ; j = 0, n. có thể được viết lại dưới dạng ma trận:

( e, X )  a
T

Từ:

Lxj = yj


 = y 0 ,..., y n


A 
T

T

(

)

T

suy ra:
A ( x j − x 0 ) = y j − y 0 ; j = 1, n.
Cho F : D ⊂ R n → R n , và giả

2.2.5. Định nghĩa:
F x 0 ,..., F x n đều ở vị trí đầy đủ. Khi đó điểm:
với

a

và

A

(2.2.5)

sử hai tập điểm

(2.2.6)

,..., x n và
(2.2.7)

x s = − A −1 a

thoả mãn:

x

0

(2.2.8)

a + A x j = F x j ; j = 0, n.
cơ sở đối với x 0 ,..., x n

gọi là một xấp xỉ cát tuyến
2.2.6. Công thức cát tuyến Wolfe.
Cho x 0 ,..., x n và F x 0 ,..., F x n đều ở vị trí đầy đủ. Khi đó xấp xỉ cát tuyến cơ sở
thoả mãn:
n

xs = X z = ∑ z j x j

(2.2.9)

j =0

với

z = ( z 0 ,..., z n ) T

là nghiệm duy nhất của hệ tuyến tính kiểu
 1

0
Fx

...
1
... F x n


 z = ( 1,0,...,0 ) T


(n + 1) × (n + 1) :

(2.2.10)

2.2.7. Công thức Newton.
Cho x 0 ,..., x n và F x 0 ,..., F x n đều ở vị trí đầy đủ. Ta đưa vào toán tử:
với

J : Dk ⊂ R n × L ( R n ) 
→ L ( R n )
J ( x, H ) = F ( x + He1 ) − F x,....., F ( x + He n ) − F x H −1
D là miền xác định của F và H không suy biến,

(

)

{

Dk = ( x, H ) x + He i ∈ D ; i = 1,..., n

Đặt
Khi đó

H = ( x 1 − x 0 ,..., x n − x 0 )
J ( x 0 , H ) không suy biến và xấp xỉ cát
x s = x 0 − J ( x 0 , H ) −1 F x 0

(2.2.11)

}

tuyến cơ sở

x

s

(2.2.12)
được cho bởi:
(2.2.13)


9

Chú ý: Nếu đặt
dưới dạng:

Γ = ( F x 1 − F x 0 ,..., F x n − F x 0 )

Ta còn có thể biểu

[(

thì (2.2.13) có thể được viết
(2.2.14)

x s = x 0 − H Γ −1 F x 0
diễn x s như sau:

)(

x s = x 0 − Fx1 − Fx 0 , Fx 2 − Fx1 ,., Fx n − Fx n −1 x 1 − x 0 ,., x n − x n −1

2.2.8. Bổ đề: Cho

(

J ( x, H )

xác định bởi (2.2.11) với

)

]

−1 −1

H = ( h1 ,..., h n ) .

J ( x, H ) = F ( x + h ) − Fx, F ( x + h ) − F ( x + h ),., F ( x + h ) − F ( x + h
1

2

1

(2.2.15)

Fx 0

n

n −1

)

Khi đó:
(2.2.16)

∧ −1

) H

2.2.9. Các dạng phương pháp cát tuyến.
Công thức Newton cho phép phương pháp cát tuyến tổng quát được
biểu diễn dưới dạng compact:
ở

 x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 F x k
; k = 0,1,...

k ,1
k
k ,n
k
H
=
(
x
−
x
,...,
x
−
x
)
 k
đây ta đặt x k ,0 = x k .
Mỗi cách chọn các điểm phụ trợ x k ,1 ,..., x k ,n

pháp cát tuyến:
Dạng 1: Chọn

x k , j = x k + ( x kj −1 − x kj ) e j ;

Trường hợp này H k là ma trận đường
H k = diag ( x1k −1 − x1k ,..., x nk −1 − x nk )
k
k −1
k
Nếu đặt h j = x j − x j ; j = 1,..., n thì:

(2.2.17)
cho ta một dạng phương

j = 1,..., n

(2.2.18)

chéo

 1
1
J ( x k , H k ) =  k F ( x k + h1k e1 ) − Fx k ,., k F ( x k + hnk e n ) − Fx k
hn
 h1

[

]

[

] 


với:

J : D J × Dh ⊂ R n × R n → L ( R n )

n
n
i
 D J × Dh = ( x, h) ∈ R × R x + hi e ∈ D, hi ≠ 0, i = 1,..., n
 J ( x, h) = h −1 F ( x + h e1 ) − F x ,..., h −1 F ( x + h e n ) − F x
1
1
n
n


{

( [

và phương pháp lặp là:

]

[

x k +1 = x k − J ( x k , x k −1 − x k ) −1 F x k ; k = 0,1,...

Dạng 2: Chọn
x

k, j

j

= x + ∑ ( xik −1 − xik )e i ;
k

j = 1,..., n.

i =1

}

])

(2.2.19)
(2.2.20)
(2.2.21)

Ta có thể định nghĩa phép lặp như ở (2.2.20) với:
n
n −1



J ( x, h) =  h1−1 [ F ( x + h1e1 ) − Fx] ,., hn−1  F ( x + ∑ h j e j ) − F ( x + ∑ h j e j ) 



j =1
j =1




Dạng 3: Chọn

x k , j = x k + Pj ,k ( x k −1 − x k ) ; Pj ,k ∈ L ( R n ),

j = 1,..., n.

2.2.22)

(2.2.23)


10

Dạng 4: Nếu chọn x k , j phụ thuộc một cách chính xác vào p lần lặp trong
số k + 1 lần lặp đầu x k ,..., x 0 thì ta nói phép lặp (2.2.17) là phương pháp cát
tuyến p điểm.
Nếu chọn x k , j phụ thuộc vào x k ,..., x k − p +1 thì phép lặp (2.2.17) là
phương pháp cát tuyến p điểm liên tiếp.
Phép lặp:
 x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 F x k

k −1
k

k −n
k
 H n = ( x − x ,..., x − x )

k = 0,1,...

tuyến n + 1 điểm liên tiếp.
cát tuyến p + 1 điểm tổng

(2.2.24)

là phương pháp cát
Phương pháp
quát có thể được tạo ra theo
đủ mọi cách, chẳng hạn tương tự (2.2.23) ta có thể chọn:
p

x k , j = x k + ∑ Pi , j ,k ( x k −i − x k ) ; Pi , j ,k ∈ L ( R n ) ;

j = 1, n

(2.2.25)

i =1

Theo bổ đề 2.2.8 ta có thể viết (2.2.24) dưới dạng khác:
x k +1 = x k − H k Γk−1 F x k

(2.2.26)

với:

 H k = ( x k − x k −1 , x k −1 − x k −2 ,..., x k − n +1 − x k −n )

(2.2.27)
k
k −1
k − n +1
− F x k −n )
 Γk = ( F x − F x ,..., F x
2.2.10. Định lý: Giả sử các ma trận Γp và Γp +1 được xác định theo (2.2.27),
−1
với k = p ; p + 1. đều không suy biến, ký hiệu các hàng của ma trận Γp là
v 1 ,..., v n . Khi đó:
Γ p−+11 = B −

B (q p − q p −n ) v n
1 + v n (q p − q p − n )

với q i = F x i +1 − F x i và B là ma trận có các hàng là
Chú ý: Gọi P là ma trận hoán vị sao cho

(2.2.28)
v n , v 1 ,..., v n −1

Γp P = ( q p −n , q p −1 ,..., q p − n +1 )

thế thì
Γ p +1 = ( q ,....., q
p

Ta có:

Γ p−+11 = P −1 Γ p−1 −

p − n +1

) = Γ p P + ( q p − q p − n ) (e1 ) T

1 −1 −1 p
P Γ p ( q − q p − n ) (e1 ) T P −1 Γ p−1
α

(2.2.29)

2.2.11. Phương pháp Steffensen.
Nếu đặt h k = f ( x k ) ở (2.2.1) ta có phương pháp Steffensen trong
không gian một chiều:
x k +1 = x k −

f (x k )

(

)

f ( x k ) ; k = 0,1,...

f x + f (x ) − f (x )
k

k

k

(2.2.30)

Tương ứng với phương pháp cát tuyến 2 điểm (2.2.17)_(2.2.23) ta có
thể định nghĩa phương pháp Steffensen tương tự (2.2.17) với việc chọn:
x k , j = x k + Pj ,k F x k ; j = 1,.., n dẫn đến dạng 1 và dạng 2 sau đây:
j
Dạng 1: Nếu Pj ,k = (0,...,0, e ,0,...,0) thì ta có phương pháp Steffensen đặc biệt:


11

(2.2.31)

x k +1 = x k − J ( x k , F x k ) −1 F x k

với J được xác định bởi (2.2.19).
Dạng 2: Tương ứng với phương pháp cát tuyến
1
j
(2.2.20)_(2.2.22) nếu chọn Pj ,k = (e ,..., e ,0,...,0) thì ta có phương pháp
Steffensen dạng (2.2.31) với J được xác định bởi (2.2.22).
Dạng 3: Tổng quát, tương ứng với phương pháp cát tuyến n + 1 điểm
(2.2.24), ta có thể chọn:
p

x k , j = x k + ∑ Pi , j ,k F x k −i +1 ;

j = 1,..., n.

i =1

(2.2.32)

tương ứng với các điểm phụ trợ x k , j ở (2.2.25), trường hợp đặc biệt của
(2.2.32) là ta đặt x k , j = x k + F x k − j +1 ; j = 1,..., n và dẫn đến phương pháp
Steffensen:
 x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 F x k

k
k − n +1
)
 H k = ( F x ,.., F x

(2.2.33)

với J ( x, H ) được xác định bởi (2.2.11).
Dạng 4: Phương pháp Steffensen phát sinh từ mối liên quan với phương
trình điểm bất động x = G x , các điểm phụ trợ x k ,i có thể được chọn là
x k ,i = G i x k ; i = 1,..., n
và được sinh ra bởi toán tử G , đặt F x = x − G x ở
(2.2.17), ta có phương pháp Steffensen dạng:

[

 x k +1 = x k − J ( x k , H k ) −1 x k − G x k


k
k
n k
k
 H k = G x − x ,..., G x − x

(

)

]

(2.2.34)

2.2.12. Chú ý và nhận xét.
2.3. Một số biến thể.
2.4. Các phương pháp sử dụng tính liên tục của ánh xạ.
Thay vì ánh xạ F : D ⊂ R n → R n , ta xét họ các ánh xạ:
H : D × [ 0 ;1 ] ⊂ R n × [ 0 ;1 ] → R n
sao cho:
H ( x,0) = F0 x ; H ( x,1 ) = F x ; ∀ x ∈ D
(2.4.1)
0
với: H ( x,0) = 0 được biết trước một nghiệm x , còn H ( x,1) = 0 là giải được.
Có nhiều cách xác định ánh xạ H . Chẳng hạn:
Cách 1:
H ( x, t ) = t F x + ( 1 − t ) F0 x ; x ∈ D, t ∈ [ 0 ;1 ]
(2.4.2)
với F0 là ánh xạ sao cho phương trình F0 x = 0 được biết trước một nghiệm

x0 .
Cách 2:
H ( x, t ) = F x + (t − 1) F x 0 ; x ∈ D, t ∈ [ 0 ;1 ]
(2.4.3)
0
với x cố định.
Mọi cách xác định H , ta đều có thể xét phương trình:
H ( x, t ) = 0 ; t ∈ [ 0 ;1 ]
(2.4.4)
Giả sử (2.4.4) có nghiệm x = x (t ) là ánh xạ liên tục theo t ∈ [ 0 ;1 ] . Nghĩa là
giả sử tồn tại ánh xạ liên tục x : [ 0 ;1 ] → D sao cho:
H ( x (t ), t ) = 0 ; ∀ t ∈ [ 0 ;1 ]
(2.4.5)


12

2.4.1. Định nghĩa.
F : R n → R n được gọi là ánh xạ cưỡng bức chuẩn nếu
lim
x →∞

Fx =∞

.

2.4.2. Định lí: Giả sử F : R n → R n khả vi liên tục trên R n và F ' x không suy
biến với ∀ x ∈ R n , hoặc F là ánh xạ cưỡng bức chuẩn hoặc F là ánh xạ thoả
mãn
F ' ( x) −1 ≤ β ; ∀ x ∈ R n . Khi đó với x 0 ∈ R n cố định tuỳ ý, tồn tại duy nhất một

ánh xạ: x : [ 0 ;1 ] → R n , sao cho (2.4.5) xảy ra với H xác định bởi (2.4.3). Hơn
nữa x khả vi liên tục và:
−1
x ' (t ) = − F ' ( x (t ) ) F x 0 ; x (0) = x 0 ; ∀ t ∈ [ 0 ;1 ]
(2.4.6)
2.4.3. Các phương pháp sử dụng tính liên tục của ánh xạ.
2.4.3.1. Phương pháp thứ nhất.
Phép xấp xỉ để thu được x * = x (1) .
2.4.3.2. Phương pháp thứ hai.
Phép xấp xỉ tới nghiệm của (2.4.4).
2.4.4. Chú ý và nhận xét.
2.5. Các phương pháp đặc biệt đối với hàm một biến.
Cho hàm số f : [ a ; b ] ⊂ R → R . Xét phương trình:
f ( x) = 0

Giả sử phương trình này có:
(i). Nghiệm ξ duy nhất trên đoạn [ a ; b ]
(ii). f ∈ C 2 [ a ; b ] , f ' ( x) và f ' ' ( x) không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ]
2.5.1. Định nghĩa: Điểm x ∈ [ a ; b ] được gọi là điểm Fourier nếu
f ' ' ( x) f ( x) > 0 .
2.5.2. Phương pháp dây cung.
2.5.3. Phương pháp tiếp tuyến.
2.6. Bàn thảo về các phương pháp lặp giải phương trình và hệ phương
trình phi tuyến.

CHƯƠNG 3: BÀI TẬP
Bài toán 1: Biết rằng hàm số:


13

f : [ 2 ; 3 ] → R, f ( x ) = 0,1 x 5 + 2 x 4 − 5 x 3 + x 2 − 4 x − 1,357824
nghiệm x * . Hãy viết công thức phương pháp Newton cải

có một
không gian một chiều để tìm nghiệm xấp xỉ.
Bài toán 2: Biết rằng hàm
F = ( f1 ,..., f 5 ) : B [ 0 ;1 ] ⊂ R 5 → R 5 có một nghiệm

x* ,

∀x = ( x1 ,..., x5 ) ∈ R 5 :

với

f1 : R 5 
→ R ,

f 1 ( x ) = x1 x 22 + 0,4 x3 + 0,5 x 4 + x53 − 1

f2 : R5 
→ R ,

f 2 ( x) = 0,3 x13 + x 2 x32 + x 43 − x5 + 1

f3 : R5 
→ R ,

f 3 ( x) = 0,2 x1 + x 2 − x3 x 42 + x52 − 1

f4 : R5 
→ R ,

f 4 ( x) = − x12 − x 23 + 0,5 x3 x 4 x5

f5 : R5 
→ R ,

biên trong

f 5 ( x) = x1 + x 2 + x3 + x 4 x5

Hãy viết công thức phương pháp Newton cải biên trong không gian 5
chiều để tìm nghiệm xấp xỉ.
Bài toán 3: Biết rằng hàm số
 π π 
f :  ;  → R,
 24 6 

f ( x) = x − si n 2 x −

π −6
12

có một nghiệm x * . Hãy viết công thức phương pháp Newton trong không
gian một chiều để tìm nghiệm xấp xỉ.
Bài toán 4: Hãy viết công thức phương pháp Newton để tìm nghiệm xấp
xỉ của hệ phương trình:
 e x+ y − x 2 + y = 2


2
2
 ( x + 0,5 ) + y = 1

biết rằng hệ phương trình này có một nghiệm
Bài toán 5: Biết rằng phương trình:

( x* ; y* ) .

1
5
x + t an x − = 0
π
4

có một nghiệm

π π 
x* ∈  ;
.
 7 4,5 

Hãy viết công thức phương pháp Steffensen trong không gian một chiều để
tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình này.

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ


14

Bản luận văn này đã trình bày các phương pháp lặp giải phương trình
và hệ phương trình phi tuyền. Cụ thể:
Chương 1: Trình bày các khái niệm, định lí, tính chất là kiến thức cơ
sở.
Chương 2: Trình bày lý thuyết một số phương pháp lặp giải phương
trình và hệ phương trình phi tuyến.
Chương 3: Một số bài toán giải phương trình và hệ phương trình phi
tuyến sử dụng phương pháp Newton và phương pháp Steffensen. Ứng
dụng giải toán số trên máy tính điện tử bằng ngôn ngữ lập trình Maple
hoặc Pascal.

TÀI LIỆU THAM KHẢO


15

[1]. Phạm Kỳ Anh, (1996), Giải tích số, Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà
Nội.
[2]. Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải
xấp xỉ phương trình toán tử, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, Hà Nội.
[3]. Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nhà xuất bản khoa học và kỹ
thuật Hà Nội.
[4]. Nguyễn Văn Khuê (Chủ biên), Bùi Đắc Tắc, Đỗ Đức Thái (2001), Cơ
sở lý thuyết hàm và giải tích hàm tập 1, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội.
[5]. Nguyễn Văn Khuê (Chủ biên), Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết
hàm và giải tích hàm tập 2, Nhà xuất bản giáo dục, Hà Nội.
[6]. Huỳnh Thế Phùng (2005), Giải tích lồi, Trường đại học khoa học Huế.
[7]. Đoàn Quỳnh (Chủ biên), Nguyễn Doãn Tuấn, Khu Quốc Anh, Tạ
Mân, Nguyễn Anh Kiệt (1998), Đại số tuyến tính và hình học giải tích,
Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội.

[8]. Hoàng Tuỵ (2006), Hàm thực và giải tích hàm, Nhà xuất bản đại học
quốc gia Hà Nội.
[9]. J.M. Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative solution of
nonlinear equations in several variables, University of Maryland College
Park, Maryland Academig Press New York and London.
[10]. Rajendra Akerkar (1999), Nonlinear Functional Analysis, Narosa
Publishing House New Delhi Madras Bombay Calcutta London.