Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông

MỞ ĐẦU
1.Lí do chọn đề tài
Định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được ghi rõ trong các văn
bản pháp quy của nhà nước và ngành Giáo dục. Luật Giáo dục (2005) cũng
quy định: “ …Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, sáng tạo cho học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học,
môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn…”.
Theo GS. Nguyễn Cảnh Toàn: dạy Toán là dạy kiến thức, kĩ năng, tư
duy và tính cách, trong đó dạy kĩ năng có một ví trí đặc biệt quan trọng, bởi vì
không có kĩ năng thì không thể phát triển được tư duy và không tìm được lối
thoát cho việc giải quyết vấn đề.
Tuy vậy, thực trạng giáo dục phổ thông nước ta hiện nay còn nặng về
thuyết trình, giảng giải, dắt tay chỉ việc, học trò tiếp thu một cách thụ động,
nhồi nhét, học để lấy điểm, thi cử. Đặc biệt là học trò rất yếu về tư duy, thiếu
tính độc lập, sáng tạo, không yêu thích môn học, cảm thấy xa rời thực tiễn,…
HHKG là một nội dung khó đối với học sinh và với nhiều giáo viên.
Chính vì thế sự quan tâm, đầu tư cho giờ dạy, giờ học chưa được quan tâm
thích đáng dẫn đến kết quả học tập giảm sút, và có nhiều học sinh không
muốn học nội dung HHKG.
Muốn cho những trở ngại tâm lí, cũng như việc học tập nội dung một
cách dễ dàng hơn thì ngay từ những bước đầu tiếp cận với HHKG thì các thầy
cô cần có những biện pháp dạy học tích cực, khiến cho nội dung trở nên thú
vị, hấp dẫn, dễ hiểu, làm cho các em yêu thích học tập nội dung hơn. Đó là
một băn khoăn của không ít các thầy, cô giáo.
Tiếp cận HHKG đầu tiên phải nhắc đến những bài toán về giao điểm,
giao tuyến và thiết diện. Nếu như không làm tốt từ những khâu đầu tiên thì

1

làm sao có thể hiểu được những nội dung sau đó, chưa nói đến việc làm tốt
nó. Ở nước ta hiện nay, đã có một số đề tài nghiên cứu về việc rèn luyện kĩ
năng trong một nội dung dạy học cụ thể. Tuy nhiên, có rất ít tài liệu trình bày
cụ thể cách thức rèn luyện nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết
diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông.
Xuất phát từ những lí do trên nên đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ
năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy
học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm ra một cách thức hiệu quả để rèn luyện kĩ năng xác định giao
điểm, giao tuyến, thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11.
3. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Quá trình dạy và học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông.
3.2. Khách thể nghiên cứu
Các kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học
HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông.
4. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng được một số quy tắc tựa thuật toán xác định giao điểm,
giao tuyến, thiết diện và truyền thụ các quy tắc đó cho học sinh lớp 11 khi dạy
học HHKG thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh những kĩ năng tương
ứng bởi vì tập luyện theo các quy tắc là cách hiệu quả để rèn luyện kĩ năng.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
a) Hệ thống hóa cơ sở lí luận về kĩ năng.
b) Thực trạng rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết
diện trong dạy học HHKG lớp 11.

2

c) Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong
dạy học HHKG lớp 11 theo các quy tắc tựa thuật toán.
d) Tiến hành thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính hiệu quả của các quy
tắc tựa thuật toán và hệ thống bài tập đưa ra trong đề tài.
6. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, các phương pháp sau đây được vận dụng:
a) Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp, phân loại, hệ
thống hóa, khái quát hóa các tài liệu có liên quan đến đề tài.
b) Phương pháp điều tra - quan sát: Xây dựng và sử dụng những mẫu
điều tra về tình hình dạy và học rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao
tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông.
c) Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Triển khai thử nghiệm một số
giáo án để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
7. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, và phụ lục, luận
văn bao gồm ba chương:
Chương 1.Kĩ năng toán học và vấn đề rèn luyện kĩ năng toán học cho
học sinh trong dạy học HHKG ở lớp 11
Chương 2. Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện
cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông
Chương 3. Thử nghiệm sư phạm

3


Chương 1
KĨ NĂNG TOÁN HỌC VÀ VẤN ĐỀ RÈN LUYỆN
KĨ NĂNG TOÁN HỌC CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
1.1. Kĩ năng toán học

1.1.1. Kĩ năng
“Kĩ năng là khả năng vận dụng những tri thức khoa học vào thực tiễn”
[1, tr.548]. Do đó, kĩ năng có các đặc điểm sau:
- Kĩ năng được dựa trên nền tảng những kiến thức xung quanh liên quan
đến nó. Cần có một hệ thống kiến thức vững vàng, kết hợp với sự cố gắng rèn
luyện của bản thân người học thì mới hình thành được kĩ năng. Phải nói thêm là
sự rèn luyện của người học không chỉ đơn thuần là cố gắng học mà có sự tác
động của môi trường, cách thức rèn luyện và nội dung tri thức có phù hợp
không? Như vậy hệ thống kiến thức là cốt yếu và rèn luyện là quan trọng.
- Kĩ năng chỉ phát triển và thực sự phát triển nếu con người luyện tập,
thực hành nó. Không chỉ đơn thuần lí thuyết, vì như vậy lí thuyết thì sâu sắc
mà thực tiễn thì không có gì. Khi đó kĩ năng trở nên lệch lạc, không đầy đủ.
- Kĩ năng có tính chất tương đối ổn định. Khi được rèn luyện nhiều thì kĩ
năng sẽ như một thói quen, nó không dễ bị phá bỏ, còn khi có sự thay đổi của
nguồn tri thức mới thì người có kĩ năng có thể phân biệt, hiểu rõ sự thay đổi đó để
nhận biết có được áp dụng những kĩ năng cũ trong tình huống mới hay không?
- Kĩ năng chịu ảnh hưởng trực tiếp của tri thức và sự hoạt động của
con người. Song nó có tác dụng ngược trở lại. Cụ thể, khi có kĩ năng kết hợp
với tích cực rèn luyện thì hiểu tri thức một cách rõ ràng và có thể tạo ra được
những kiến thức mới.

4


1.1.2. Sự hình thành kĩ năng
Theo từ điển giáo dục học, để hình thành được kĩ năng trước hết cần có
kiến thức làm cơ sở cho việc hiểu biết, luyện tập từng thao tác riêng rẽ cho
đến khi thực hiện được hành động theo đúng mục đích, yêu cầu…
Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết
các nhiệm vụ đặt ra. Khi tiến hành tư duy trên các sự vật thì chủ thể thường

phải biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra các khía cạnh và những thuộc
tính mới. Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích, tổng hợp, trừu
tượng hóa và khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt
nào đó của đối tượng mang ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho.
Có thể dạy cho học sinh kĩ năng bằng những con đường khác nhau:
Con đường thứ nhất là truyền thụ cho học sinh những tri thức cần thiết,
rồi sau đó đề ra cho học sinh những bài toán vận dụng những tri thức đó. Từ
đó, học sinh sẽ phải tìm tòi cách giải, bằng những con đường thử nghiệm
đúng đắn hoặc sai lầm (thử các phương pháp rồi tìm ra phương pháp tối ưu),
qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải
biến thông tin, những thủ thuật hoạt động. Người ta còn gọi con đường dạy
học này là dạy học nêu vấn đề. Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định
giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, xác định giao tuyến của hai mặt
phẳng, xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng (P), có thể
thông qua một hệ thống bài tập, trên cơ sở đó học sinh tự rút ra được quy trình
giải để vận dụng cho một lớp các bài tập cùng dạng.
Con đường thứ hai là dạy cho học sinh nhận biết những dấu hiệu mà từ đó
có thể xác định được đường lối giải cho một dạng bài toán và vận dụng đường
lối giải đó vào bài toán cụ thể. Chẳng hạn, để hình thành kĩ năng xác định giao
điểm của đường thẳng và mặt phẳng, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, xác
định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng (P), có thể xây dựng quy
trình giải, sau đó cho học sinh áp dụng giải các ví dụ minh họa.

5


Con đường thứ ba là dạy cho học sinh chủ yếu là những hoạt động tâm
lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức. Trong trường hợp này, giáo viên
không những chỉ cho học sinh tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các
dấu hiệu và các thao tác, mà còn tổ chức hoạt động cho học sinh trong việc

cải biến, sử dụng thông tin thu được để giải các bài toán đặt ra.
Trong giai đoạn đầu những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất)
của đối tượng được đưa ra trước học sinh dưới dạng có sẵn, được vật chất hóa
dưới dạng sơ đồ, kí hiệu về các đối tượng, còn các thao tác và các mốc định
hướng thì được thực hiện dưới hành động đối tượng.
Ở giai đoạn thứ hai, các mốc định hướng và các thao tác cho đối tượng
được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ.
Như vậy, người giáo viên đã định hướng cho học sinh: để đưa ra lời
giải bài toán, trước hết phải phân loại dạng bài tập và tìm nội dung đã được
học để tìm cách giải bài toán qua các giai đoạn cụ thể. Từ đó xây dựng được
cho học sinh các phương pháp giải bài toán.
Tuy nhiên để phát triển bài toán và để khắc sâu cho học sinh, giáo viên
cần cho học sinh mở rộng bài toán: tìm cách giải khác, thêm dữ kiện, thay đổi
dữ kiện, …
Như vậy, học sinh được hình thành kĩ năng tư duy suy luận logic.
Người ta còn gọi phương pháp trên là phương pháp hình thành các hành động
trí tuệ qua từng giai đoạn.
Thực chất của sự hình thành kĩ năng là tạo dựng cho học sinh những
khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và
sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán.
Khi hình thành kĩ năng cho học sinh cần tiến hành:
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho, yếu tố
phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.

6


- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán
cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến

thức tương ứng.
Sự hoạt động để hình thành kĩ năng và kĩ xảo cũng bao gồm cả sự vận
dụng bước đầu kiến thức vào thực tiễn và cả công việc luyện tập để hoàn
thiện hành động đó. Sự hình thành kĩ năng sẽ diễn ra thông minh hơn nếu
ngoài hoạt động thực hành quá trình đó còn có cả những hoạt động trí tuệ tích
cực của học sinh [3, tr 11 – 14].
Ta có sơ đồ hình thành kĩ năng:
Kiến thức ⇔ Hoạt động thực tiễn ⇔ Kĩ năng
1.1.3. Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng
- Nội dung của bài toán: Nhiệm vụ đặt ra được trừu tượng hóa hay bị
che phủ bởi những yếu tố phụ làm lệch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự
hình thành kĩ năng.
- Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng. Việc
tạo ra tâm thế thuận lợi trong học tập sẽ giúp cho học sinh dễ dàng trong việc
hình thành kĩ năng.
- Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay thấp.
1.2. Kĩ năng toán học và vai trò của kĩ năng toán học ở trường phổ thông
Một yêu cầu quan trọng trong việc dạy học Toán là học sinh cần nắm
vững kiến thức, có kĩ năng, kĩ xảo để vận dụng trong giải Toán. Với mỗi nội
dung cần tập trung rèn luyện cho học sinh những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo
tương ứng. Việc rèn luyện kĩ năng cũng quan trọng như truyền thụ tri thức.
Bởi nhờ có kĩ năng học sinh mới có thể hiểu sâu sắc kiến thức và kiến tạo ra
những tri thức mới. Theo [8, trang 9 – 10], cần rèn luyện một số kĩ năng sau
cho học sinh trong dạy học toán phổ thông:

7


- Kĩ năng tính toán
Bên cạnh việc rèn luyện tư duy, khả năng suy luận độc lập, sáng tạo,

không xem nhẹ việc rèn luyện kĩ năng tính toán. Vì kĩ năng tính toán có vai
trò quan trọng đối với học sinh trong việc học tập hiện tại và cuộc sống sau
này. Trong hoạt động thực tế ở bất kì lĩnh vực nào cũng đòi hỏi kĩ năng tính
toán: tính đúng, tính nhanh và tính hợp lí.
- Kĩ năng vận dụng thành thạo các quy tắc
Về mặt kĩ năng này thì cần yêu cầu học sinh vận dụng một cách linh hoạt.
Tức là không dập khuôn một quy tắc cho một lớp bài toán, có thể sử dụng nhiều
hơn một quy tắc để tìm ra lời giải một cách thuận tiện nhất. Mặt khác, khi bài
toán có thay đổi dữ kiện thì cần rèn cho học sinh biết cách chuyển về bài toán
quen thuộc rồi áp dụng những quy tắc được học để giải quyết.
- Kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán
Học sinh được rèn luyện kĩ năng này trong quá trình tìm tòi lời giải bài
toán. Thật vậy, đứng trước mỗi bài toán học sinh cần vận dụng những tri thức
đã biết để xác định những yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm của bài toán và cần
phải tìm ra mối liên hệ giữa những yếu tố đó để tìm lời giải.
- Kĩ năng chứng minh toán học
Để có kĩ năng chứng minh toán học, học sinh cần phải: Hình thành động
cơ chứng minh; Rèn luyện những hoạt động thành phần trong chứng minh;
Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh, các phép suy luận.
- Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến
đổi xuôi chiều và ngược chiều
Kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch, kĩ năng biến đổi xuôi
chiều và ngược chiều là một điều kiện quan trọng để học sinh nắm vững và vận
dụng kiến thức. Bên cạnh đó cần rèn luyện cho học sinh kĩ năng biến đổi xuôi
chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng
ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận.

8

- Kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc
Đây là kĩ năng cần thiết và phải rèn luyện cho học sinh một cách cẩn
thận. Đặc biệt, với kĩ năng vẽ hình, học sinh phải hình thành và rèn luyện thói
quen vẽ hình chính xác theo quy ước và phù hợp với lí thuyết biểu diễn hình,
vẽ cẩn thận, đẹp. Bởi nhờ có kĩ nẵng này, học sinh có thể dễ dàng hơn trong
việc dự đoán và tìm lời giải bài toán.
- Kĩ năng toán học các tình huống thực tiễn
Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn được cho trong bài toán
hoặc nảy sinh từ thực tế đời sống nhằm tạo điều kiện cho học sinh biết và vận
dụng những kiến thức toán học trong nhà trường gây hứng thú trong học tập
giúp học sinh nắm được thực chất nội dung vấn đề và tránh hiểu các sự kiện
toán học một cách hình thức.
- Kĩ năng hoạt động tư duy hàm
Tư duy hàm là quá trình nhận thức liên quan đến sự tương ứng, những
mối liên hệ phụ thuộc giữa các phần tử của một hay nhiều tập hợp trong sự
vận động của chúng. Tư duy hàm đóng vai trò quan trọng và xuyên suốt trong
chương trình toán phổ thông. Những hoạt động tư duy hàm là: hoạt động phát
hiện và thiết lập sự tương ứng; hoạt động nghiên cứu sự tương ứng.
- Kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh sai lầm
khi giải toán
Trong học tập giải toán, việc phát hiện sai lầm và sửa sai lầm của lời
giải là một thành công của người học toán. Trên thực tế, có nhiều học sinh
vẫn mắc sai lầm khi giải toán. Do vậy mà giáo viên cần giúp học sinh có khả
năng và thói quen phát hiện những sai lầm (nếu có) sau mỗi bài tập, bài kiểm
tra, phân tích được những nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó. Qua đó học
sinh cũng cần được rèn luyện kĩ năng trình bày lời giải, chẳng hạn như: câu
chữ, các kí hiệu, vẽ hình chính xác, hình thức … Việc hình thành và rèn luyện
kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá và biết tự điều chỉnh góp phần nâng cao thành
tích, chất lượng dạy và học.

9


1.3. Tình hình dạy học xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong
học tập HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông
1.3.1. Nội dung và mục tiêu SGK yêu cầu của việc rèn luyện kĩ năng xác
định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong dạy học HHKG lớp 11
trường trung học phổ thông
1.3.1.1. Nội dung SGK liên quan đến rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm,
giao tuyến và thiết diện cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường
trung học phổ thông
Nội dung này học sinh được học trong chương 2 sách giáo khoa hiện hành.
Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
Quan hệ song song

(16 tiết)

Bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

(4 tiết)

Bài 2: Hai đường thẳng song song

(2 tiết)

Bài 3: Đường thẳng song song với mặt phẳng

(2 tiết)

Bài 4: Hai mặt phẳng song song

(3,5 tiết)

Bài 5: Phép chiếu song song

(2,5 tiết)

Ôn tập chương II

(2 tiết)

Dưới đây là bảng thống kê những ví dụ và bài tập về nội dung xác định
giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong SGK hình học 11 nâng cao hiện hành.
Giao tuyến
Giao điểm
Thiết diện
Tổng số
Ví dụ
6
3
3
12
Bài tập
5
5
12
22
Bảng thống kê số lượng ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa hiện hành
Tổng số ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa hiện hành là 34 câu.
Ví dụ xác định giao tuyến của hai mặt phẳng chiếm 17,6%.

Ví dụ xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chiếm 8,8%.
Ví dụ xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng chiếm 8,8%.
Bài tập xác định giao tuyến của hai mặt phẳng chiếm 14,7%.

10


Bài tập xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng chiếm 14,7%.
Bài tập xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi một mặt phẳng
chiếm 35,4%.
1.3.1.2. Mục tiêu dạy học nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện
cho học sinh trong dạy học HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông
Giáo viên cần cho học sinh thấy rằng: Các bài toán xác định thiết diện của
một hình đóng vai trò quan trọng trong việc giúp học sinh nhớ lại các khái niệm,
các tính chất đã học và hình dung được hình dáng của các hình. Việc rèn luyện
những kĩ năng như xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện là những bước
đầu cho những bài toán trong không gian khác. Vì vậy cần thấy được rằng rèn
luyện những kĩ năng trên là rất cần thiết trong dạy học HHKG lớp 11.
Phần kiến thức HHKG lớp 11 trường trung học phổ thông nhằm trang
bị cho học sinh một số cơ sở khoa học để hiểu rõ các khái niệm cơ bản: điểm,
đường thẳng, mặt phẳng và quan hệ “thuộc” (đi qua) với các tiên đề, nhờ lập
luận lôgic dẫn tới các kiến thức về vị trí tương đối giữa các đường thẳng và
mặt phẳng, về tương giao của các hình, quan hệ song song giữa các đường
thẳng và mặt phẳng, sự vận dụng các kiến thức Toán học vào việc nghiên cứu
các khối đa diện.
1.3.2. Thực trạng rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết
diện trong dạy học HHKG lớp 11
Chúng tôi đã tiến hành điều tra tình hình dạy và học nội dung xác định
giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong HHKG lớp 11 THPT đối với cả giáo
viên và học sinh.

- Học sinh
Chúng tôi đã tiến hành điều tra 101 HS thuộc lớp 11A5, 11A6 năm học
2011-2012, trường THPT Nghĩa Dân, Kim Động, Hưng Yên để tìm hiểu thực

11


trạng học tập nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong
HHKG lớp 11 của các em. Các câu hỏi chúng tôi đưa ra là:
Câu hỏi 1: Em thấy vẽ hình không gian có gặp khó khăn trong việc xác
định nét liền, nét đứt không?
Câu hỏi 2: Khi có sẵn một hình không gian, việc tưởng tưởng ra vật thể
có hình dáng như hình được vẽ sẵn trên tờ giấy có khó khăn với em không?
Câu hỏi 3: Em có xác định được hai đường thẳng bất kì trong hình vẽ
cắt nhau không?
Câu hỏi 4: Khi học nội dung này, các em có biết chứng minh một số
định lí, tính chất và hệ quả hay chỉ học thuộc định lí, tính chất và hệ quả?
Câu hỏi 5: Em có nhận thấy mối quan hệ giữa các nội dung xác đinh
giao điểm, giao tuyến và thiết diện không?
Dưới đây là bảng tổng kết kết quả điều tra HS
Câu hỏi 1
Câu hỏi 2
Câu hỏi 3
Câu hỏi 4
Câu hỏi 5

Đáp án C
10
24
8

5
5

Đáp án B
51
43
40
30
47

Đáp an A
40
34
53
66
49

- Giáo viên
Chúng tôi đã tiến hành điều tra 30 GV trường THPT Nghĩa Dân, Kim
Động, Hưng Yên và GV trường THPT Kim Động, Kim Động, Hưng Yên để
tìm hiểu thực trạng dạy học nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết
diện trong HHKG lớp 11. Các câu hỏi chúng tôi đưa ra là:
Câu hỏi 1: Khi vẽ hình không gian, thầy (cô) có gặp khó khăn trong
việc giải thích các đường nét liền, nét đứt không?

12


Câu hỏi 2: Khi có sẵn một hình không gian, việc hướng dẫn học sinh
tưởng tưởng ra vật thể có hình dáng như hình được vẽ sẵn trên tờ giấy có gây

khó khăn gì với các thầy (cô) không?
Câu hỏi 3: Theo thầy (cô) việc hướng dẫn học sinh tìm giao điểm của
các đường thẳng bất kì trong hình vẽ có khó khăn gì không?
Câu hỏi 4: Khi học nội dung này, các thầy cô có chứng minh một số
định lí, tính chất và hệ quả hay chỉ yêu cầu học sinh học thuộc định lí, tính
chất và hệ quả?
Câu hỏi 5: Thầy (cô) có chỉ ra mối quan hệ giữa các nội dung xác đinh
giao điểm, giao tuyến và thiết diện cho các em không?
Dưới đây là bảng tổng kết kết quả điều tra GV
Câu hỏi 1
Câu hỏi 2
Câu hỏi 3
Câu hỏi 4
Câu hỏi 5

Đáp án C
3
5
4
2
3

Đáp án B
15
16
15
10
10

Đáp an A

12
9
11
18
17

Qua việc điều tra ý kiến của các giáo viên môn Toán, cũng như học
sinh về việc dạy và học nội dung HHKG lớp 11 cho thấy:
Học sinh học các định lí, hệ quả và tính chất dừng lại ở mức độ học
thuộc, mà không hiểu ý nghĩa của nó. Chỉ cần nhớ được nội dung của các
định lí, hệ quả và tính chất là làm được bài. Đấy là một sai lầm trong quan
niệm của nhiều người. Do đó học sinh thường biểu hiện ngộ nhận và mắc phải
những sai lầm khi học HHKG lớp 11 như: mối quan hệ giữa hai đường thẳng
phân biệt trong không gian gồm có cắt nhau (một điểm chung) và song song,
chéo nhau (không có điểm chung), hay hai đường thẳng phân biệt cùng vuông
góc với một đường thẳng thì chúng có thể song song, cắt nhau và chéo nhau,
hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc có thể không vuông góc, hai

13


đường thẳng không song song thì có thể cắt nhau, chéo nhau. Hai mặt phẳng
phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song….
Mặt khác, cũng vì thiếu sự quan tâm thích đáng đến học định lí, hệ quả
và tính chất dẫn đến học sinh thường yếu trong khâu trình bày lời giải. Rất
nhiều học sinh có thể chỉ ra được giao điểm, giao tuyến, thiết diện trong
không gian, nhưng việc trình bày lời giải thì thấy khó khăn. Lí do là các em
chưa hiểu tính chất cơ bản của cấu trúc không gian. Ví dụ với hai đường
thẳng phân biệt bất kì trong mặt phẳng thì có thể là cắt nhau (có một điểm
chung) hoặc song song (không có điểm chung), còn trong không gian thì có

thể cắt nhau (có một điểm chung), song song hoặc chéo nhau (không có điểm
chung). Như vậy muốn xác định giao điểm của hai đường thẳng thì cần xem 2
đường thẳng đó có cùng thuộc một mặt phẳng hay không, sau đó quy về tìm
giao điểm của hai đường thẳng như các em đã được học.
Giáo viên cũng ít quan tâm đến việc rèn kĩ năng vẽ hình, đọc hiểu
HHKG cho học sinh. Một trong số nguyên nhân là hệ thống bài tập HHKG
nhằm rèn kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện ít. Toán học là
một môn học có tính trừu tượng cao độ, song nó cũng có những gắn kết với
thực tiễn. Từ việc quan sát những hình trên một tờ giấy (mặt phẳng) chuyển
sang việc tưởng tưởng xem sự vật đó trong thực tế như thế nào cũng rất khó
khăn. Các em phải học cách để nhìn những hình bình hành sẽ tương ứng với
những mặt của vật thể trong thực tế, hình dung xem vật thể có hình dạng thế
nào với những mặt phẳng nào nhìn thấy, mặt phẳng nào bị che khuất, sau đó
là những bài toán về thiết diện, cần tưởng tượng xem mặt phẳng cắt vật thể
dưới hình gì để thuận lợi trong việc làm bài tập. Chính vì yếu trong quá trình
tưởng tưởng hình không gian nên kéo theo việc học những nội dung khác
trong HHKG trở nên khó khăn hơn.
1.4. Vai trò của kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện trong
học tập HHKG ở trường phổ thông

14


- Giúp phát triển kĩ năng đọc và vẽ hình, đo đạc. Bởi nhờ có kĩ năng
xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện học sinh có thể hình dung tốt hơn
mỗi điểm, đường thẳng hay mặt phẳng trong không gian được biểu thị bởi
những kí hiệu nào trên một mặt phẳng. Ngoài ra là mối quan hệ giữa các
điểm, đường thẳng và mặt phẳng, hay của chính các đối tượng như điểm –
điểm, đường thẳng – đường thẳng, mặt phẳng – mặt phẳng. Hiểu rõ mối quan
hệ giữa các đối tượng trên giúp các em có điều kiện tập luyện kĩ năng vẽ hình,

đọc mối quan hệ giữa các đối tượng trên hình. Tránh những sai lầm như cứ
hai đường thẳng không song song là các em xác định được giao điểm, mà cần
phải xác định xem chúng có thuộc cùng một mặt phẳng hay không?
- Giúp rèn kĩ năng vận dụng tri thức vào giải toán. Hiểu sâu sắc định
lí, hệ quả, tính chất là việc cần thiết trong việc học HHKG. Bởi vì mối quan
hệ giữa các đại lượng trong không gian không hoàn toàn giống hình học
phẳng như các em đã được học. Vì vậy việc thấu hiểu được những định lí,
tính chất, hệ quả là việc quan trọng tất yếu. Mà thông qua rèn luyện kĩ năng
xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện học sinh có thể hiểu sâu sắc định
lí, tính chất, hệ quả. Vì mỗi một bước làm trong rèn luyện kĩ năng xác định
giao điểm, giao tuyến và thiết diện đều cần có những định lí, tính chất, hệ quả
thì mới làm được. Nhờ việc hiểu sâu sắc các định lí, hệ quả và tính chất giúp
các em trình bày lời giải khoa học.
- Giúp rèn kĩ năng tự kiểm tra, tự đánh giá trình bày lời giải và tránh
sai lầm khi giải toán. Để xác định được giao điểm, giao tuyến và thiết diện cũng
có rất nhiều cách làm. Do đó học sinh cần chọn ra những cách làm phù hợp,
những cách hay, ngắn gọn hoặc có thể làm lợi cho những câu sau. Cách làm
ngắn nhất chưa chắc đã là cách làm tốt nhất. HHKG có nhiều điểm khác với
hình học phẳng, qua nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện, học
sinh có thể hiểu rõ hơn về HHKG và rèn luyện được kĩ năng tự kiểm tra, đánh
giá, trình bày lời giải để tránh được những sai lầm khi học HHKG.

15


- Là một phần trong mạch kiến thức và giúp việc giải toán HHKG
được dễ dàng hơn. Thật vậy, trong giải toán HHKG không thể thiếu quy trình
xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện. Bởi nhờ nội dung xác định giao
điểm, giao tuyến và thiết diện học sinh có thể giải các bài toán HHKG khác.
1.5. Tiểu kết chương 1

Rèn luyện kĩ năng toán học là điều cần thiết, và việc làm đó cần được
thực hiện trong mọi nội dung Toán học. Tuy nhiên, từng nội dung cụ thể ta lại
cần chú trọng vào những kĩ năng toán học riêng. Nội dung HHKG lớp 11 là
nội dung khó. Không chỉ khó trong việc học của các em, mà còn khó trong
quá trình giảng dạy đối với giáo viên. Chính vì những sự quan tâm chưa thích
đáng với nội dung xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện làm cho việc học
tập nội dung HHKG lớp 11 chưa đạt được kết quả cao. Thông qua việc học
tập nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện giúp người học có
thể hiểu hơn về những định lí, hệ quả và tính chất về mối quan hệ giữa điểm,
đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Ngoài ra học tập nội dung này
còn giúp người học phát triển trí tưởng tượng không gian, và từ đó có thể giải
quyết các bài toán khác trong không gian.
Trên cơ sở lí luận và thực tiễn, luận văn đã chỉ ra những kĩ năng cần phải
rèn luyện và vai trò của những kĩ năng đó thông qua nội dung xác định giao
điểm, giao tuyến và thiết diện. Qua đây người giáo viên cần có những quan tâm
thích đáng đến nội dung xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện nhằm giúp
các em lĩnh hội tri thức một cách dễ dàng với niềm yêu thích môn Toán.

Chương 2
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG XÁC ĐỊNH

16


GIAO ĐIỂM, GIAO TUYẾN, THIẾT DIỆN CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11
TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1.

Rèn luyện kĩ năng xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện cho

học sinh lớp 11 theo các quy tắc tựa thuật toán
2.1.1. Quy tắc tựa thuật toán
Theo [4, trang 376 - 384], Thuật toán theo nghĩa trực giác được hiểu
như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị, kết thúc sau
một số hữu hạn bước và đem lại kết quả là biến đổi thông tin vào của một lớp
bài toán hay thông tin ra mô tả lời giải bài toán đó.
Đây chưa là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu,
giúp ta hình dung khái niệm thuật toán một cách trực giác.
Trong quá trình dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc chưa mang
đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật toán, nhưng có một số trong các đặc
điểm đó và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán. Đó
là những quy tắc tựa thuật toán.
Quy tắc tựa thuật toán được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn
thực hiện được theo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin của một
lớp bài toán thành thông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán.
Đặc điểm của quy tắc tựa thuật toán:
- Mỗi chỉ dẫn trong quy tắc có thể chưa mô tả hành động một cách xác định.
- Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị.
- Quy tắc không đảm bảo chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì
đem lại kết quả là lời giải của lớp bài toán đó.
2.1.2. Các quy tắc tựa thuật toán xác định giao điểm, giao tuyến, thiết diện
Quy tắc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

17


Quy tắc thứ nhất: Tìm hai điểm chung
Quy tắc này dựa trên nhận xét: Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung
thì giao tuyến của chúng là đường thẳng nối hai điểm chung đó.

Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất
Điểm chung thứ nhất được xác định có thể đã cho sẵn trong kí hiệu hai
mặt phẳng, cũng có thể là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi đường nằm
trong một mặt phẳng đã cho (hai đường thẳng này có thể cho sẵn trong hình,
có thể phải kẻ thêm).
Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai
Tương tự như bước 1.
Bước 3: nối hai điểm chung vừa tìm được ta có giao tuyến cần xác định.
Quy tắc thứ hai: tìm một điểm chung và tìm phương của giao tuyến
Quy tắc này dựa trên các định lí sau:
- Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến
đó hoặc đồng qui hoặc song song với nhau.
- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a và a song song với mặt
phẳng (Q) thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng
song song với a.
- Nếu mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a, mặt phẳng (Q) đi qua
đường thẳng b mà hai đường thẳng này song song với nhau thì giao tuyến nếu
có của (P) và (Q) là đường thẳng song song với a (song song với b).
- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng a
thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó cũng song song với đường thẳng a.
- Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt
(P) thì cũng cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song với nhau.
Quy tắc xác định giao tuyến bằng cách đi qua một điểm và tìm phương
của đường thẳng đó gồm:

18


Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng
Điểm chung của hai mặt phẳng được xác định có thể đã cho sẵn trong

kí hiệu hai mặt phẳng, cũng có thể là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi
đường nằm trong một mặt phẳng đã cho (hai đường thẳng này có thể cho sẵn
trong hình, có thể phải kẻ thêm).
Bước 2: tìm phương của giao tuyến
Chỉ ra đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt
phẳng (Q) hoặc song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q) thì
đường thẳng giao tuyến có phương song song với a.
Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua điểm chung ở bước 1 và song song với
a. Đường thẳng đó là đường thẳng cần tìm.
Quy tắc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Giao điểm của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có thể là điểm cho
sẵn trong kí hiệu của đường thẳng và mặt phẳng đó, hoặc có thể phải xác định
theo quy tắc sau:
Bước 1: Xác định mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (a) và cắt (P).
Bước 2: Xác định giao tuyến của (P) và (Q), gọi là đường thẳng (d).
Bước 3: Xác định giao điểm của (d) và (a), đó chính là giao điểm của
đường thẳng (d) và mặt phẳng (P).
Quy tắc xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P)
Muốn xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P), ta cần
xác định được giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H). Ta có
thể xác định thiết diện bằng một trong hai cách sau:
Quy tắc thứ nhất: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt
phẳng (P) bằng phương pháp giao tuyến gốc hay còn gọi là phương pháp vết.
Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp này:

19


- Hình (H) phải là một hình có đáy là các đa giác như hình chóp, hình
hộp, hình lăng trụ tam giác, …

- Cần lựa chọn một mặt phẳng trong hình (H) gọi là mặt phẳng đáy.
Quy tắc gồm:
Bước 1: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng đáy (Q)
được gọi là giao tuyến gốc.
Bước 2: Xác định các giao điểm của giao tuyến gốc với các đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H).
Bước 4: Xác định thiết diện.
Quy tắc thứ hai: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt
phẳng (P) bằng phương pháp đường dóng hay còn gọi là phương pháp
chiếu xuyên tâm
Một số lưu ý khi dùng phương pháp này:
- Phương pháp sử dụng được trong những bài toán mà hình (H) là hình
chóp. Nếu chưa là hình chóp thì cần chuyển bài toán về hình chóp.
- Phương pháp này tỏ ra hữu hiệu với những bài toán có những điểm
nằm bên trong một mặt phẳng.
Quy tắc gồm:
Bước 1: Xác định một tam giác thuộc mặt phẳng thiết diện là tam giác
cơ sở. Qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp (H), xác định
hình chiếu các đỉnh của tam giác cơ sở lên mặt phẳng đáy.
Bước 2: Trên mặt phẳng đáy, xác định giao điểm của các đường thẳng
trong mặt phẳng đáy và các cạnh là hình chiếu của tam giác cơ sở trên mặt
phẳng đáy.
Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng thiết diện và các mặt của
hình chóp.
Bước 4: Xác định thiết diện.

20

Quy tắc thứ ba: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt
phẳng (P) song song với đường thẳng hoặc mặt phẳng.
Lưu ý khi dùng phương pháp này:
Có thể chưa cho sẵn mặt phẳng (P) song song với đường thẳng hay mặt
phẳng nào.
Bước 1: Xác định mặt phẳng thiết diện song song với đường thẳng hay
mặt phẳng nào đó.
Bước 2: Qua những điểm thuộc mặt phẳng thiết diện, kẻ các đường
thẳng song song với đường thẳng, mặt phẳng đã nêu ra ở bước 1.
Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng thiết diện và các mặt của
hình (H).
Bước 4: Xác định thiết diện.
2.2.2. Cách truyền thụ các quy tắc đó
Mỗi quy tắc được xem như một tri thức phương pháp. Vì vậy cách
truyền thụ quy tắc cũng giống như cách truyền thụ một tri thức phương pháp.
Theo Nguyễn Bá Kim, có ba cách truyền thụ một tri thức phương pháp:
- Truyền thụ tường minh. Cách này được dùng cho những tri thức
được quy định phải dạy trong chương trình. Với cách dạy này thì người giáo
viên cần phát biểu tri thức một cách tường minh, mỗi hoạt động tương ứng
với tri thức phương pháp này cần được thực hành theo từng bước, học sinh
cần hiểu được những ngôn ngữ diễn tả và hành động được theo những ngôn
ngữ được nêu ra.
- Thông báo tri thức phương pháp. Cách này được sử dụng trong quá
trình hoạt động, nhưng nó chỉ dành cho những tri thức có thể diễn đạt ngắn
gọn, dễ hiểu và tốn ít thời gian. Tri thức này không được quy định trong
chương trình nhưng sẽ được giáo viên hướng dẫn, thông báo trong quá trình
hoạt động.
- Tập luyện hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp. Nó được sử
dụng đối với những tri thức phương pháp phức tạp không truyền thụ được

21


theo hai cách trên. Giáo viên nhắc đi nhắc lại những câu hỏi một cách có
dụng ý để học sinh dần dần làm quen và vận dụng trong những tình huống
tương tự như một công cụ, một phương pháp giải toán.
Đối với những quy tắc xác định giao điểm, giao tuyến và thiết diện ta có
thể sử dụng cách truyền thụ sau cùng, tức là thông qua một hệ thống bài tập
được chọn lọc chúng ta cho học sinh tập luyện hoạt động ăn khớp với từng
bước giải trong mỗi quy tắc mà không thông báo tường minh quy tắc đó.
2.3. Hệ thống bài tập rèn luyện kĩ năng và so sánh với hệ thống bài tập
trong sách giáo khoa hiện hành
2.3.1. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
Giao tuyến của hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung là một đường
thẳng. Vì vậy muốn rèn kĩ năng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, giáo
viên cần hướng dẫn học sinh đi tìm đường thẳng chứa các điểm chung của hai
mặt phẳng đó. Nhưng liệu có cần tìm tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng
đó? Do đó, giáo viên có thể đưa ra câu hỏi là: hai mặt phẳng phân biệt có điểm
chung thì chúng cắt nhau theo một đường thẳng, một đường thẳng hoàn toàn
được xác định khi nào? Khi đó học sinh có thể trả lời ngay được: một đường
thẳng hoàn toàn xác định nếu biết đường thẳng đó đi qua hai điểm phân biệt
hoặc đi qua một điểm và phương của đường thẳng đó. Từ đó dần dần hình thành
phương pháp xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
1. Một số ví dụ
Quy tắc 1: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm hai
điểm chung phân biệt
Ví dụ 1
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên SA, SC lần
lượt lấy M, N là trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Gọi (P) là mặt phẳng qua M,
N, B. Xác định giao tuyến của:

a) Mặt phẳng (P) với (SAB)
b) Mặt phẳng (SAC) và (SBD)

22


c) Mặt phẳng (P) với (SAD)
Hình vẽ minh họa

a) Xác định giao tuyến của (P) và (SAB)
Dự đoán câu trả lời

Hệ thống câu hỏi của giáo viên

Của học sinh

Các em đã nhìn thấy được ngay Ngay trong kí hiệu hai mặt phẳng thì
điểm chung nào của hai mặt phẳng thấy được điểm B thuộc hai mặt
đó chưa?

phẳng đó.

Còn điểm chung nào nữa không?

Ngoài ra ta cũng thấy được điểm M

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng thuộc hai mặt phẳng đã cho.
này là đường thẳng nào?

Đường thẳng MB.

23


b) Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD)
Dự đoán câu trả lời tương ứng của

Hệ thống câu hỏi của giáo viên

học sinh

Có thể chỉ ngay được điểm chung Điểm S thuộc cả hai mặt phẳng.
nào của hai mặt phẳng?
Em hãy tìm xem trên hai mặt phẳng Có đường thẳng AC và BD.
đó có hai đường thẳng tương ứng
thuộc hai mặt phẳng đó mà lại cắt
nhau không?
Giao tuyến O của hai đường thẳng Có. Vì điểm O nằm trên hai đường
đó có thuộc vào cả hai mặt phẳng thẳng thuộc hai mặt phẳng nên O
đó không? Vì sao?

cũng thuộc hai mặt phẳng.

Vậy ta có thể tìm được giao tuyến Nối S với O ta được đường thẳng SO
của hai mặt phẳng là đường thẳng là đường thẳng cần tìm.
nào.
c) Xác định giao tuyến của (P) và (SAD)
Dự đoán câu trả lời tương ứng của

Hệ thống câu hỏi của giáo viên

học sinh

Em hãy chỉ ra điểm chung của (P) và Có được 1 điểm chung là M, ngoài ra
(SAD).

chưa thể tìm ngay được điểm chung
nào khác.

Em hãy tìm xem trên hai mặt phẳng đó Chưa tìm ngay được hai đường thẳng
có hai đường thẳng tương ứng thuộc hai nào thỏa mãn.
mặt phẳng đó mà lại cắt nhau không?
Em có thể kẻ thêm hình để xác định được
hai đường thẳng nằm trong hai mặt MN và SO cùng nằm trong một mặt
phẳng đó lại cắt nhau. Hãy cố gắng tìm phẳng. MN ∩ SO = I .
thêm những điểm là điểm chung của 1
đường thẳng nằm trong mặt phẳng đang

24


xét với một đường thẳng trong hình vẽ để
được điểm mới
Vậy đã có hai đường thẳng nào lần lượt Có SD, BI cùng thuộc mặt phẳng
nằm trong (P) và (SAD) lại cắt nhau SDB, SD ∩ BI = T .
không?
Do đó điểm T thuộc vào cả hai mặt Đường thẳng MT.
phẳng đó. Vậy giao tuyến của (P) và
(SAD) là đường thẳng nào?

Quy tắc 2: xác định giao tuyến của hai mặt phẳng bằng cách tìm một
điểm chung và phương của đường thẳng đó.
Ví dụ 2
Cũng với giả thiết như bài toán trên, tìm giao tuyến của (SAD) và
(SBC) và xác định giao tuyến của (P) và (ABCD).
Hình vẽ minh họa

25