SKKN rèn luyện kĩ năng xác định thiết diện cho học sinh trong dạy học hình học không gian lớp 11 trường trung học phổ thông

PHẦN 1: ĐẶT VẤN ĐỀ
1.Lí do chọn đề tài
Xã hội ngày càng phát triển, đòi hỏi ở mỗi con người cần có những sự
thay đổi, tiến bộ sao cho phù hợp với tốc độ phát triển đó. Nguồn tri thức mà ta
cần phải lĩnh hội là vô tận, song làm sao để ta không trở nên lạc hậu vì những tri
thức cũ? Đây là một câu hỏi mà khiến nhiều người phải băn khoăn. Nhưng liệu
cứ nhồi nhét tri thức mới liệu có hiệu quả. Câu trả lời là bản thân mỗi người cần
có kiến thức, tư duy, tính chủ động, tích cực, sáng tạo, không ngừng học hỏi…
Luật Giáo dục Việt Nam, năm 2005, trong điều 28, cũng quy định: “
Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi
dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,
tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Do vậy, nhiệm vụ của bộ môn phương pháp dạy học môn Toán là trang bị
những tri thức cơ bản về dạy học môn Toán, rèn luyện những kĩ năng cơ bản về
dạy học môn Toán, bồi dưỡng tình cảm nghề nghiệp, phẩm chất đạo đức của
người thầy giáo dạy học môn Toán và phát triển năng lực tự đào tạo, tự nghiên
cứu về phương pháp dạy học môn Toán.
Tuy vậy, thực trạng giáo dục phổ thông nước ta hiện nay còn nặng về
thuyết trình, giảng giải, dắt tay chỉ việc, học trò tiếp thu một cách thụ động,
nhồi nhét, học để lấy điểm, thi cử. Đặc biệt là học trò rất yếu về tư duy, thiếu
tính độc lập, sáng tạo, không yêu thích môn học, cảm thấy xa rời thực tiễn,…
Hình học không gian là một nội dung khó đối với học sinh và với nhiều
giáo viên và có nhiều học sinh không muốn học nội dung hình học không gian.
Tiếp cận hình học không gian đầu tiên phải nhắc đến những bài toán về
thiết diện. Song chưa có đề tài nào nêu được những cách thức rèn luyện nội
dung đó như thế nào và bằng con đường nào?
Xuất phát từ những lí do trên nên đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ
năng xác định thiết diện cho học sinh trong dạy học Hình học không gian lớp
11 trường trung học phổ thông”.
2. Mục đích nghiên cứu

1
Tìm ra một cách thức hiệu quả rèn luyện kĩ năng xác định, thiết diện trong
dạy học hình học không gian lớp 11.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
a) Đưa ra những lí do phải chú trọng rèn luyện kĩ năng xác thiết diện trong
dạy học hình học 11?
b) Cách thức rèn luyện kĩ năng xác định thiết diện trong dạy học hình học
11.
c) Những kết quả đạt được sau khi rèn luyện kĩ năng xác định, thiết diện
trong dạy học hình học 11 bằng cách đã nêu.
4. Đối tượng và khách thể nghiên cứu
* Đối tượng: Chương trình hình học không gian lớp 11 ở trung học phổ thông
* Khách thể: Học sinh lớp 11 ở trung học phổ thông
5. Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT Nguyễn Duy Thì, Bình Xuyên, Vĩnh
Phúc
6. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu, các phương pháp sau đây được vận dụng:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận và điều tra quan sát
- Phương pháp thử nghiệm sư phạm
7. Cấu trúc: Sáng kiến kính nghiệm gồm 3 phần chính: Đặt vấn đề; nội dung;
kết luận và kiến nghị.
2
PHẦN 2: NỘI DUNG
I. VAI TRÒ VÀ THỰC TRẠNG CỦA KĨ NĂNG XÁC THIẾT DIỆN
TRONG HỌC TẬP HÌNH HỌC KHÔNG GIAN Ở TRƯỜNG PHỔ
THÔNG
1. Vai trò của kĩ năng xác định thiết diện trong học tập hình học không
gian ở trường phổ thông.
Nhờ có kĩ năng xác định thiết diện học sinh có thể hình dung tốt hơn mỗi
điểm, đường thẳng hay mặt phẳng trong không gian được biểu thị bởi những kí

hiệu nào trên một mặt phẳng.
Thông qua rèn luyện kĩ năng xác định thiết diện học sinh có thể hiểu sâu sắc
định lí, tính chất, hệ quả. Vì mỗi một bước làm trong rèn luyện kĩ năng xác định
thiết diện đều cần có những định lí, tính chất, hệ quả thì mới làm được. Nhờ việc
hiểu sâu sắc các định lí, hệ quả và tính chất giúp các em trình bày lời giải khoa
học.
Hình học không gian có nhiều điểm khác với hình học phẳng, qua nội dung xác
định thiết diện, học sinh có thể hiểu rõ hơn về hình học không gian và rèn luyện
được kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá, trình bày lời giải để tránh được những sai
lầm khi học hình học không gian.
2. Thực trạng rèn luyện kĩ năng xác định thiết diện trong dạy học hình
học không gian lớp 11.
Qua việc tham khảo ý kiến của các giáo viên cũng như học sinh về việc
dạy và học nội dung Hình học không gian lớp 11, tác giả nhận thấy: Hình học
không gian lớp 11 là nội dung khó đối với nhiều học sinh và cả với giáo viên
trong việc truyền thụ tri thức. Vì vậy thực trạng học tập hình học không gian lớp
11 thường được diễn ra dưới hình thức dắt tay chỉ việc, học sinh hiểu một cách
mơ hồ.
Học sinh học các định lí, hệ quả và tính chất dừng lại ở mức độ học thuộc,
mà không hiểu ý nghĩa của nó. Chỉ cần nhớ được nội dung của các định lí, hệ
quả và tính chất là làm được bài. Đấy là một sai lầm trong quan niệm của nhiều
người. Do đó học sinh thường biểu hiện ngộ nhận và mắc phải những sai lầm
khi học hình học không gian lớp 11 như: mối quan hệ giữa hai đường thẳng
phân biệt trong không gian gồm có cắt nhau (một điểm chung) và song song,
chéo nhau (không có điểm chung), hay hai đường thẳng phân biệt cùng vuông
3
góc với một đường thẳng thì chúng có thể song song, cắt nhau và chéo nhau, hai
đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc có thể không vuông góc, hai đường
thẳng không song song thì có thể cắt nhau, chéo nhau. Hai mặt phẳng phân biệt
cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song….

Mặt khác, cũng vì thiếu sự quan tâm thích đáng đến học định lí, hệ quả và
tính chất dẫn đến học sinh thường yếu trong khâu trình bày lời giải. Rất nhiều
học sinh có thể chỉ ra được thiết diện trong không gian, nhưng việc trình bày lời
giải thì thấy khó khăn. Lí do là các em chưa hiểu tính chất cơ bản của cấu trúc
không gian. Ví dụ với hai đường thẳng phân biệt bất kì trong mặt phẳng thì có
thể là cắt nhau (có một điểm chung) hoặc song song (không có điểm chung), còn
trong không gian thì có thể cắt nhau (có một điểm chung), song song hoặc chéo
nhau (không có điểm chung). Như vậy muốn xác định giao điểm của hai đường
thẳng thì cần xem 2 đường thẳng đó có cùng thuộc một mặt phẳng hay không,
sau đó quy về tìm giao điểm của hai đường thẳng như các em đã được học.
Giáo viên cũng ít quan tâm đến việc rèn kĩ năng vẽ hình, đọc hiểu hình
học không gian cho học sinh. Một trong số nguyên nhân là hệ thống bài tập hình
học không gian nhằm rèn kĩ năng xác định giao tuyến, thiết diện ít. Toán học là
một môn học có tính trừu tượng cao độ, song nó cũng có những gắn kết với thực
tiễn. Từ việc quan sát những hình trên một tờ giấy (mặt phẳng) chuyển sang việc
tưởng tưởng xem sự vật đó trong thực tế như thế nào cũng rất khó khăn. Các em
phải học cách để nhìn những hình bình hành sẽ tương ứng với những mặt của
vật thể trong thực tế, hình dung xem vật thể có hình dạng thế nào với những mặt
nào nhìn thấy, mặt nào bị che khuất, sau đó là những bài toán về thiết diện, cần
tưởng tượng xem mặt phẳng cắt vật thể dưới hình gì để thuận lợi trong việc làm
bài tập. Chính vì yếu trong quá trình tưởng tưởng hình không gian nên kéo theo
việc học những nội dung khác trong hình học không gian trở nên khó khăn hơn.
II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CHO HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11 TRƯỜNG
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
2.1. Rèn luyện kĩ năng xác định thiết diện cho học sinh lớp 11 theo các
quy tắc tựa thuật toán
2.1.1. Các quy tắc xác định thiết diện.
4
Để xác định được thiết diện thiết diện của hình (H) khi cắt bởi

mặt phẳng (P)., trước hết cần biết xác định giao tuyến giữa 2
mặt
2.1.1.1. Quy tắc xác định giao tuyến của hai mặt.
Quy tắc thứ nhất: Tìm hai điểm chung
Quy tắc này dựa trên nhận xét: Nếu hai mặt phẳng có hai điểm chung thì
giao tuyến của chúng là đường thẳng nối hai điểm chung đó.
Bước 1: Tìm điểm chung thứ nhất
Điểm chung thứ nhất được xác định có thể đã cho sẵn trong kí hiệu hai
mặt phẳng, cũng có thể là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi đường nằm
trong một mặt phẳng đã cho ( hai đường thẳng này có thể cho sẵn trong hình, có
thể phải kẻ thêm).
Bước 2: Tìm điểm chung thứ hai
Tương tự như bước 1.
Bước 3: nối hai điểm chung vừa tìm được ta có giao tuyến cần xác định.
Quy tắc thứ hai: tìm một điểm chung và tìm phương của giao tuyến.
Quy tắc này dựa trên các định lí sau:
• Nếu mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a và a song song với mặt phẳng
(Q) thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng (P) và (Q) là đường thẳng song
song với a.
• Nếu mặt phẳng (P) đi qua đường thẳng a, mặt phẳng (Q) đi qua đường
thẳng b mà hai đường thẳng này song song với nhau thì giao tuyến nếu có của
(P) và (Q) là đường thẳng song song với a (song song với b).
Bước 1: Tìm điểm chung của hai mặt phẳng
Điểm chung của hai mặt phẳng được xác định có thể đã cho sẵn trong kí
hiệu hai mặt phẳng, cũng có thể là giao điểm của hai đường thẳng mà mỗi
đường nằm trong một mặt phẳng đã cho ( hai đường thẳng này có thể cho sẵn
trong hình, có thể phải kẻ thêm).
Bước 2: tìm phương của giao tuyến
5
Chỉ ra đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng

(Q) hoặc song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Q) thì đường thẳng
giao tuyến có phương song song với a.
Bước 3: Vẽ đường thẳng đi qua điểm chung ở bước 1 và song song với a.
Đường thẳng đó là đường thẳng cần tìm.
2.1.1.2. Quy tắc xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng
(P).
Muốn xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P), ta cần
xác định được giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H). Ta có thể
xác định thiết diện bằng một trong hai cách sau:
Quy tắc thứ nhất: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt
phẳng (P) bằng phương pháp giao tuyến gốc hay còn gọi là phương pháp vết.
Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp này:
• Hình (H) phải là một hình có đáy là các đa giác như hình chóp, hình hộp,
hình lăng trụ tam giác, …
• Cần lựa chọn một mặt phẳng trong hình (H) gọi là mặt phẳng đáy.
Bước 1: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt phẳng đáy (Q) được gọi
là giao tuyến gốc.
Bước 2: Xác định các giao điểm của giao tuyến gốc với các đường thẳng nằm
trong mặt phẳng đáy.
Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H).
Bước 4: Xác định thiết diện.
Quy tắc thứ hai: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng
(P) bằng phương pháp đường dóng hay còn gọi là phương pháp chiếu xuyên
tâm.
Một số lưu ý khi dùng phương pháp này:
• Phương pháp sử dụng được trong những bài toán mà hình (H) là hình
chóp. Nếu chưa là hình chóp thì cần chuyển bài toán về hình chóp.
• Phương pháp này tỏ ra hữu hiệu với những bài toán có những điểm nằm
bên trong một mặt phẳng.
6

Bước 1: Xác định một tam giác thuộc mặt phẳng thiết diện là tam giác cơ sở.
Qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp (H), xác định hình
chiếu các đỉnh của tam giác cơ sở lên mặt phẳng đáy.
Bước 2: Trên mặt phẳng đáy, xác định giao điểm của các đường thẳng trong mặt
phẳng đáy và các cạnh là hình chiếu của tam giác cơ sở trên mặt phẳng đáy.
Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng thiết diện và các mặt của hình chóp.
Bước 4: Xác định thiết diện.
Quy tắc thứ ba: xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng
(P) song song với đường thẳng hoặc mặt phẳng.
Lưu ý khi dùng phương pháp này:
Có thể chưa cho sẵn mặt phẳng (P) song song với đường thẳng hay mặt
phẳng nào.
Bước 1: Xác định mặt phẳng thiết diện song song với đường thẳng hay mặt
phẳng nào đó.
Bước 2: Qua những điểm thuộc mặt phẳng thiết diện, kẻ các đường thẳng song
song với đường thẳng, mặt phẳng đã nêu ra ở bước 1.
Bước 3: Xác định giao tuyến của mặt phẳng thiết diện và các mặt của hình (H).
Bước 4: Xác định thiết diện.
2.1.2. Cách truyền thụ các quy tắc đó
Mỗi quy tắc được xem như một tri thức phương pháp. Vì vậy cách truyền
thụ quy tắc cũng giống như cách truyền thụ một tri thức phương pháp. Theo
Nguyễn Bá Kim, có ba cách truyền thụ một tri thức phương pháp:
• Truyền thụ tường minh. Cách này được dùng cho những tri thức được quy
định phải dạy trong chương trình. Với cách dạy này thì người giáo viên cần phát
biểu tri thức một cách tường minh, mỗi hoạt động tương ứng với tri thức phương
pháp này cần được thực hành theo từng bước, học sinh cần hiểu được những
ngôn ngữ diễn tả và hành động được theo những ngôn ngữ được nêu ra.
• Thông báo tri thức phương pháp. Cách này được sử dụng trong quá trình
hoạt động, nhưng nó chỉ dành cho những tri thức có thể diễn đạt ngắn gọn, dễ
hiểu và tốn ít thời gian. Tri thức này không được quy định trong chương trình

nhưng sẽ được giáo viên hướng dẫn, thông báo trong quá trình hoạt động.
7
• Tập luyện hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp. Nó được sử dụng
đối với những tri thức phương pháp phức tạp không truyền thụ được theo hai
cách trên. Giáo viên nhắc đi nhắc lại những câu hỏi một cách có dụng ý để học
sinh dần dần làm quen và vận dụng trong những tình huống tương tự như một
công cụ, một phương pháp giải toán.
Đối với những quy tắc xác định thiết diện ta có thể sử dụng cách
truyền thụ sau cùng, tức là thông qua một hệ thống bài tập được chọn lọc
chúng ta cho học sinh tập luyện hoạt động ăn khớp với từng bước giải trong
mỗi quy tắc mà không thông báo tường minh quy tắc đó.
2.2. Hệ thống ví dụ và bài tập rèn luyện kĩ năng xác định giao tuyến, thiết
diện.
Nội dung xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trên SA, SC lần lượt
lấy M, N là trung điểm của mỗi đoạn thẳng. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N, B.
Xác định giao tuyến của:
a) Mặt phẳng (P) với (SAB) và (SAD).
b) Mặt phẳng (SAC) và (SBD).
c) Mặt phẳng (P) với (SAD).
Hình vẽ minh họa
a) Xác định giao tuyến của (P) và (SAB):
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Các em đã nhìn thấy được Ngay trong kí hiệu hai mặt phẳng
8
ngay điểm chung nào của hai mặt
phẳng đó chưa?
Còn điểm chung nào nữa
không?

Vậy giao tuyến của hai mặt
phẳng này là đường thẳng nào?
thì thấy được điểm B thuộc hai mặt
phẳng đó.
Ngoài ra ta cũng thấy được điểm
M thuộc hai mặt phẳng đã cho.
Đường thẳng MB.
b) Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD).
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Có thể chỉ ngay được điểm
chung nào của hai mặt phẳng?
Em hãy tìm xem trên hai mặt
phẳng đó có hai đường thẳng tương
ứng thuộc hai mặt phẳng đó mà lại
cắt nhau không?
Giao tuyến O của hai đường
thẳng đó có thuộc vào cả hai mặt
phẳng đó không? Vì sao?
Vậy ta có thể tìm được giao
tuyến của hai mặt phẳng là đường
thẳng nào.
Điểm S thuộc cả hai mặt phẳng.
Có đường thẳng AC và BD.
Có. Vì điểm O nằm trên hai
đường thẳng thuộc hai mặt phẳng nên
O cũng thuộc hai mặt phẳng.
Nối S với O ta được đường thẳng
SO là đường thẳng cần tìm.
c) Xác định giao tuyến của (P) và (SAD).
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh

Em hãy chỉ ra điểm chung của
(P) và (SAD).
Em hãy tìm xem trên hai mặt
phẳng đó có hai đường thẳng tương
ứng thuộc hai mặt phẳng đó mà lại cắt
nhau không?
Có được 1 điểm chung là M,
ngoài ra chưa thể tìm ngay được điểm
chung nào khác.
Chưa tìm ngay được hai đường
thẳng nào thỏa mãn.
9
Em có thể kẻ thêm hình để xác
định được hai đường thẳng nằm trong
hai mặt phẳng đó lại cắt nhau. Hãy cố
gắng tìm thêm những điểm là điểm
chung của 1 đường thẳng nằm trong
mặt phẳng đang xét với một đường
thẳng trong hình vẽ để được điểm mới
Vậy đã có hai đường thẳng nào
lần lượt nằm trong (P) và (SAD) lại
cắt nhau không?
Do đó điểm T thuộc vào cả hai
mặt phẳng đó. Vậy giao tuyến của (P)
và (SAD) là đường thẳng nào?
MN và SO cùng nằm trong một
mặt phẳng.
MN SO I∩ =
.
Có SD, BI cùng thuộc mặt phẳng

SDB,
SD BI T
∩ =
.
Đường thẳng MT.
Ví dụ 2:
Cũng với giả thiết như bài toán trên, tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC)
và xác định giao tuyến của (P) và (ABCD).
Hình vẽ minh họa:
Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC).
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Chúng ta có thể xác định được
điểm chung nào của hai mặt phẳng
đã cho?
Điểm S là điểm chung được xác
định ngay trong kí hiệu của hai mặt
phẳng.
10
Còn có thể nhìn thấy điểm
chung nào nữa không?
Vậy em có tìm được hai
đường thẳng lần lượt nằm trong hai
mặt phẳng đã cho mà lại cùng nằm
trong một mặt phẳng không? Chúng
có cắt nhau không?
Hai mặt phẳng phân biệt
(SAD) và (SBC) có chứa lần lượt
hai đường thẳng song song với nhau
không?
Vậy ta có thể xác định được

giao tuyến của hai mặt phẳng này
được không? Dựa vào định lí, hệ
quả hay tính chất nào?
Không.
Có đường thẳng AD, BC nằm
trong mặt phẳng (ABCD), nhưng chúng
không cắt nhau mà lại song song với
nhau.
Có AD//BC.
Có. Là đường thẳng Sx qua S và
song song với AD. Có một hệ quả nói
rằng: nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần
lượt đi qua hai đường thẳng song song
thì giao tuyến của chúng song song với
hai đường thẳng đó.
Xác định giao tuyến của (P) và (ABCD).
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời tương ứng của
học sinh
Các em đã có những điểm
chung nào của hai mặt phẳng rồi?
Các em vừa xác định được
giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và
(ABCD) nhờ ví dụ trước. Còn có
cách nào khác nhanh hơn để chỉ ra
giao tuyến của hai mặt phẳng đó
Điểm B là điểm chung sẵn có,
ngoài ra dựa vào ví dụ trên ta cũng thấy
MT và AD nằm trong mặt phẳng
(SAD). Có
MT AD K∩ =

nên K cũng là
một điểm chung khác nữa của hai mặt
phẳng. Vậy giao tuyến của hai mặt
phẳng là đường thẳng KB.
Nhận thấy điểm B là điểm chung
của hai mặt phẳng đó, lại có MN//AC
nên giao tuyến là đường thẳng qua B và
11
không? song song với AC.

Bài tập luyện tập:
Bài 1. Cho tứ diện ABCD. I, M, N lần lượt là trung điểm của AD, AB, AC. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M là một điểm nằm trong tam giác SCD.
Xác định giao tuyến của (SBM) và (SAC).
Bài 3. Cho tứ diện ABCD. Trên cạnh AB lấy trung điểm I, trong hai tam giác
BCD và ACD lấy hai điểm J, K sao cho J là trọng tâm tam giác BCD, K không
nằm trên trung tuyến AM của tam giác ACD. Tìm các giao tuyến của hai mặt
phẳng (IJK) và (ABD).
Hướng dẫn và kết quả:
Bài 1:
MD BI P
ND CI Q
∩ =


∩ =

nên giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng PQ.
Bài 2: có ngay được điểm chung S của hai mặt phẳng.

Kéo dài SM cắt DC ở G. BG cắt AC ở F khi đó F là điểm chung của hai mặt
phẳng.
Do đó giao tuyến là đường thẳng SF.
Bài 3:
12
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Các em đã có những điểm
chung nào của hai mặt phẳng rồi?
Các em hãy xác định hai
đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt
phẳng mà cắt nhau? Nếu chưa thấy
hai đường thẳng sẵn có thì em có
thể dựng thêm hình.
Vậy giao tuyến của hai mặt
phẳng đó là điểm nào?
Điểm I là điểm chung của hai mặt
phẳng (IJK) và (ABD). Ngoài ra chưa
chỉ ra được điểm chung nào khác.
Có IJ cắt AM tại H. Nên ta có
được HK, AD cùng thuộc mặt phẳng
(ACD). HK cắt AD ở N
Điểm N.
Nội dung xác định thiết diện
Ví dụ 3:
Với giả thiết như của ví dụ 1, hãy chỉ ra giao tuyến của mặt phẳng (P) và
các mặt của hình chóp.
Giải:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
( ) ( )
P SAD MT
P SDC NT
P SBC BN
P SAB BM
P ABCD KH
∩ =


∩ =


∩ =


∩ =

∩ =


Giáo viên khẳng định tứ giác có các cạnh nằm trên những giao tuyến của
(P) và các mặt của hình chóp S.ABCD. Và các đỉnh của tứ giác thiết diện đều
13
nằm trên các cạnh của hình chóp.Tứ giác đó được gọi là thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P).
Ví dụ 4:
Cho hình tứ diện ABCD. Trên AB, BC, CD lần lượt lấy các điểm H, K, M
sao cho HA=HB, KB=KC, MD<MC. Hãy xác định thiết diện của tứ diện cắt bởi
mặt phẳng đi qua ba điểm H, K, M.

Giải
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Ta có thể coi tứ diện là một
hình chóp đỉnh bất kì, khi đó mặt
phẳng đáy của hình chóp là mặt
phẳng đi qua ba điểm còn lại. Các
em hãy chọn cho cô một mặt đáy
mà việc xác định giao tuyến của
mặt phẳng thiết diện với mặt đáy
là dễ dàng?
Chúng ta quy ước gọi giao
tuyến đó là giao tuyến gốc. Nếu cô
cũng chọn là hình chóp đỉnh A,
đáy là (BCD) và giao tuyến của
(BCD) và (HKM) là đường thẳng
KM. Hãy xác định giao điểm của
giao tuyến gốc với các đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đáy
vừa chọn.
Nhờ có điểm E vừa mới xác
Học sinh sẽ trả lời được là có thể coi
tứ diện là hình chóp đỉnh A, đáy là (BCD)
và giao tuyến của (BCD) và (HKM) là
đường thẳng KM. Hoặc nếu chọn đỉnh của
chóp tam giác là D, thì đáy là (ABC) và
giao tuyến của (ACD) và (HKM) là đường
thẳng HK.
Hoàn toàn có thể. Bởi theo giả thiết
thì KM không song song với BD nên KM
kéo dài cắt BD tại E.

Ta có:
14
định hãy xác định những giao
tuyến của (HKM) với các mặt của
hình chóp?
Vậy thiết diện là hình nào?
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
HKM ABC HK
HKM BCD KM
HKM ABD HE
∩ =


∩ =


∩ =

HE AD F∩ =
nên
( ) ( )HKM ACD MF∩ =
Hình tứ giác HKMF.
Ví dụ 5:
Giả thiết giống với giả thiết bài 2 phần giao tuyến. Hãy xác định thiết diện
của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
Giải:
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Ta gọi tam giác ABM là tam

giác cơ sở. Hãy xác định hình
chiếu của tam giác cơ sở qua phép
chiếu xuyên tâm S lên mặt phẳng
đáy của hình chóp?
Xác định giao điểm của các
cạnh của tam giác ABG với các
cạnh của mặt phẳng đáy.
Hãy xác định giao tuyến
của mặt phẳng (ABM) với các
mặt của hình chóp?
Ta có hình chiếu của tam giác cơ sở
ABM qua phép chiếu xuyên tâm S là tam
giác ABG.
BG AC F
AG BD J
∩ =


∩ =

Dựa vào hai điểm F, J ta có:
SF BM I
AI SC K
SJ AM H
BH SD O
∩ =


∩ =



∩ =


∩ =

Do đó:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ABM SAB AB
ABM ABCD AB
ABM SAD AO
ABM SBC BK
ABM SCD KO
∩ =


∩ =


∩ =


∩ =

∩ =



15
Thiết diện là hình gì? Thiết diện là tứ giác ABKO.
Bài tập luyện tập:
Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, AD và SO. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt
phẳng (MNP). Sau đó, hãy viết lại đề bài toán tương đương và trình bày lời giải
tương ứng với đề bài của em.
Bài 2. Xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng đi qua
ba điểm M, N, P lần lượt thuộc (ABD), (ACD), (BCD).
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, AA’, BC. Tìm thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với mặt
phẳng (MNP). Hãy làm bằng hai cách.
Bài 4*. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Trên cạnh AB, DD’, C’B’ lần lượt lấy
ba điểm M, N, P không trùng với các đỉnh sao cho
' '
' ' '
AM D N B P
AB D D B C
= =
. Xác định
thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông. Hình chiếu vuông góc của
S lên mặt phẳng đáy là điểm B. M là điểm nằm bên trong đường chéo BD. Xác
định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng qua M vuông góc với
(ABCD) và (SBD).
Bài 6. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. M, W lần lượt là trung điểm của A’B’, BC.
Xác định thiết diện của lăng trụ cắt bởi mặt phẳng đi qua M và song song với
mặt phẳng (AB’W).
Bài 7*. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Xác định thiết diện của hình lập

phương cắt bởi mặt phẳng trung trực của AC’.
Gợi ý và đáp số:
Bài 1: Dùng phương pháp giao tuyến gốc. Thiết diện là ngũ giác MQHKN.
16
Bài 2: Dùng phương pháp đường dóng. Xác định thiết diện trong hai trường hợp
như hình vẽ mô tả.
Bài 3: Dùng phương pháp giao tuyến gốc, thiết diện là tứ giác MNPR.

Bài 4:
Hình vẽ minh họa:
17
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Em có chỉ ra được mặt phẳng
thiết diện song song với mặt phẳng
nào?
Hãy kẻ các đường thẳng qua M,
N, P song song với đường thẳng AB’
(hoặc B’D’ hoặc AD’)
Hãy xác định giao tuyến của
(MNP) với các mặt phẳng của hình
hộp.
Vậy thiết diện là hình gì?
Dựng MI//BD, khi đó IN//AD’.
Do đó MN//(AB’D’), tương tự với NP//
(AB’D’). Vậy (MNP)//(AB’D’).
Kẻ MI BD//B’D’, kẻ
NJ/DC’//AB’, kẻ PH//BC’//AD’.
( )( )
( )( ' ')
( )( ' ')

( )( ' ')
( )( ' ')
( )( ' ' ' ')
MNP ABCD MI
MNP ABB A MH
MNP ADD A IN
MNP DCC D NJ
MNP BCC B PH
MNP A B C D PJ
=


=


=

=


=

=

Thiết diện là lục giác MINJPH.
Bài 5: Chia làm 3 trường hợp M nằm giữa O và D, M nằm giữa O và B và M
trùng O. Ta sẽ xác định được các thiết diện tương ứng.
Bài 6: thiết diện là ngũ giác MSUVR.
Bài 7: dựa vào gợi ý trên học sinh có thể xác định được thiết diện là lục giác
MNPQRS.

18
Một số bài tập dành cho học sinh khá giỏi
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD. Các điểm M, N, P lần lượt nằm trong các tam
giác SAB, SBC, SCD. Hãy xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MNP).
Bài 2. Thay đề toán trên, với M, N, P lần lượt nằm trong các miền đa giác SAB,
SBC, ABCD hoặc SAB, SCD, ABCD.
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Các điểm M, N, P lần lượt nằm trong các
miền đa giác ABB’A’, ACC’A’, ABC. Xác định thiết diện của hình lăng trụ khi
cắt bởi mặt phẳng đi qua M, N, P.
Các em có thể tự mình đưa ra bài tập trên những khối hình mà em đã biết
(các mặt của khối hình đó là các đa giác).
Một số gợi ý của giáo viên dành cho hệ thống bài tập trên:
Bài 1: dùng phương pháp đường dóng là điều kiện thuận lợi để giải quyết những
bài xác định thiết diện đi qua các đỉnh nằm trong các đa giác thuộc các mặt của
hình chóp.
Bài 2: cũng tương tự với suy nghĩ như xác định thiết diện của hình chóp ở bài
trên.
Bài 3:
Hệ thống câu hỏi của giáo viên:
19
Xác định hình chiếu của M, N, P trên mặt phẳng đáy theo phương AA’?
Xác định giao điểm của đường thẳng MP với đường thẳng nối ảnh của chúng
trên đấy được điểm S.
Làm tương tự ta sẽ có điểm O.
Khi đó SO là giao tuyến gốc của (MNP) với mặt phẳng đáy.
Học sinh quay về bài toán quên thuộc.
Nhận xét:
Số lượng bài tập nâng cao không nhiều nhưng giúp học sinh có thể suy nghĩ đến
những hình như hình chóp cụt, hình hộp. Đối với hình chóp cụt thì sử dụng
phương pháp đường dóng một cách dễ dàng với tâm là giao điểm của các cạnh

bên. Đối với hình hộp thì ta có thể làm tương tự như với hình lăng trụ. Sử dụng
phép chiếu song song thuận lợi cho những bài toán với hình lăng trụ, hình hộp
III. THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thử nghiệm
Thử nghiệm sư phạm nhằm mục đích minh họa cách thức truyền thụ cho
học sinh những quy tắc tựa thuật toán.
3.2. Tổ chức thử nghiệm
Chọn lớp có trình độ học sinh ở mức trung bình khá.
Lớp 11A1, trường trung học phổ thông Nguyễn Duy Thì, Bình Xuyên, Vĩnh
Phúc
Giáo viên dạy thử nghiệm là Trần Thị Xuân.
Tổ chức dạy thử nghiệm đúng theo phân phối chương trình do Bộ Giáo dục đề
ra, thực hiện trong năm học 2012 – 2013.
3.3. Nội dung thử nghiệm
Tổ chức thực hiện dạy học chuyên đề: Xác định thiết diện (2 tiết)
Bài soạn: Xác định thiết diện.(2 tiết)
I. Mục tiêu:
1. Về kiến thức: Biết muốn xác định thiết diện của hình (H) cắt bởi mặt phẳng
(P) thì cần xác định được các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình
(H).
20
2. Về kĩ năng: Xác định thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) nhanh
chóng theo một trong hai phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp đường
dóng. Và có kĩ năng lựa chọn phương pháp làm với từng bài cho phù hợp.
3. Về tư duy, thái độ: Học sinh có sự so sánh giữa các phương pháp làm, cũng
như hình thành những quy tắc tựa thuật toán cho mình. Các em tích cực, hứng
thú học tập.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Chuẩn bị của giáo viên:
Hệ thống câu hỏi và bài tập trong quá trình dạy học.

2. Chuẩn bị của học sinh:
Ôn bài trước khi đến lớp.
III. Tiến trình dạy học
1. Kiểm tra bài cũ:
Câu hỏi của giáo viên: “Xem lại giả thiết ví dụ 1, hãy xác định giao tuyến
của mặt phẳng (P) với các mặt của hình (H).”
Hình vẽ minh họa:
Với câu hỏi này học sinh sẽ rất nhanh chóng trả lời được vì đã có nội
dung kiến thức liên quan đến. Và câu trả lời dự kiến là:
21
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
P SAD MT
P SDC NT
P SBC BN
P SAB BM
P ABCD KH
∩ =


∩ =


∩ =


∩ =


∩ =


Giáo viên khẳng định tứ giác có các cạnh nằm trên những giao tuyến của
(P) và các mặt của hình chóp S.ABCD. Và các đỉnh của tứ giác thiết diện đều
nằm trên các cạnh của hình chóp.Tứ giác đó được gọi là thiết diện của hình chóp
S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (P). Các em có thể thấy được các đỉnh của tứ
giác nằm trên các cạnh của hình chóp. Và hôm nay chúng ta sẽ học tiếp cách xác
định thiết diện của một hình khi cắt bởi mặt phẳng cho trước nào đó. Liệu có
cách nào có thể giúp ta xác định được, nên xét giao tuyến của mặt phẳng thiết
diện với mặt phẳng nào của hình đó trước thì giúp bài toán được giải quyết
nhanh hơn không?
1. Bài mới.
Hoạt động 1: Hình thành quy tắc xác định thiết diện bằng quy tắc giao tuyến
gốc cho học sinh thông qua một ví dụ.
Hình vẽ minh họa:
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Cho hình tứ diện ABCD.
Trên AB, BC, CD lần lượt lấy các
điểm H, K, M sao cho HA=HB,
KB=KC, MD<MC. Hãy xác định
thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt
phẳng đi qua ba điểm H, K, M.
Ta có thể coi tứ diện là một
hình chóp đỉnh bất kì, khi đó mặt
phẳng đáy của hình chóp là mặt
Học sinh sẽ trả lời được là có thể coi
tứ diện là hình chóp đỉnh A, đáy là (BCD)
và giao tuyến của (BCD) và (HKM) là

22
phẳng đi qua ba điểm còn lại. Các
em hãy chọn cho cô một mặt đáy
mà việc xác định giao tuyến của
mặt phẳng thiết diện với mặt đáy
là dễ dàng?
Chúng ta quy ước gọi giao
tuyến đó là giao tuyến gốc. Nếu
cô cũng chọn là hình chóp đỉnh A,
đáy là (BCD) và giao tuyến của
(BCD) và (HKM) là đường thẳng
KM. Hãy xác định giao điểm của
giao tuyến gốc với các đường
thẳng nằm trong mặt phẳng đáy
vừa chọn.
Nhờ có điểm E vừa mới xác
định hãy xác định những giao
tuyến của (HKM) với các mặt của
hình chóp?
Vậy thiết diện là hình nào?
đường thẳng KM. Hoặc nếu chọn đỉnh của
chóp tam giác là D, thì đáy là (ABC) và
giao tuyến của (ACD) và (HKM) là đường
thẳng HK.
Hoàn toàn có thể. Bởi theo giả thiết
thì KM không song song với BD nên KM
kéo dài cắt BD tại E.
Ta có:
( ) ( )
( ) ( )

( ) ( )
HKM ABC HK
HKM BCD KM
HKM ABD HE
∩ =


∩ =


∩ =

HE AD F∩ =
nên
( ) ( )HKM ACD MF∩ =
Hình tứ giác HKMF.
Hoạt động 2: Hình thành quy tắc xác định thiết diện bằng quy tắc đường
dóng cho học sinh thông qua một ví dụ
Hình vẽ minh họa
Hệ thống câu hỏi của giáo viên Dự đoán câu trả lời của học sinh
Giả thiết giống với giả thiết
23
bài 2 phần giao tuyến. Hãy xác
định thiết diện của hình chóp khi
cắt bởi mặt phẳng (ABM).
Ta gọi tam giác ABM là
tam giác cơ sở. Hãy xác định
hình chiếu của tam giác cơ sở
qua phép chiếu xuyên tâm S lên
mặt phẳng đáy của hình chóp?

Xác định giao điểm của các
cạnh của tam giác ABG với các
cạnh của mặt phẳng đáy.
Hãy xác định giao tuyến
của mặt phẳng (ABM) với các
mặt của hình chóp?
Thiết diện là hình gì?
Ta có hình chiếu của tam giác cơ sở
ABM qua phép chiếu xuyên tâm S là tam
giác ABG.
BG AC F
AG BD J
∩ =


∩ =

Dựa vào hai điểm F, J ta có:
SF BM I
AI SC K
SJ AM H
BH SD O
∩ =


∩ =


∩ =



∩ =

Do đó:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
ABM SAB AB
ABM ABCD AB
ABM SAD AO
ABM SBC BK
ABM SCD KO
∩ =


∩ =


∩ =


∩ =

∩ =


Thiết diện là tứ giác ABKO.
IV. Củng cố và giao bài tập về nhà

Bài 1. Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là
trung điểm của AB, AD và SO. Xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt
phẳng (MNP).
Bài 2. Xác định thiết diện của hình tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng đi qua
ba điểm M, N, P lần lượt thuộc (ABD), (ACD), (BCD).
Bài 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, AA’, BC. Tìm thiết diện của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ với mặt
phẳng (MNP).
24
3.4. Đánh giá kết quả
3.4.1. Đánh giá định tính
Thông qua quá trình thử nghiệm, kiểm tra chất lượng trả lời câu hỏi, cũng như
bài kiểm tra của học sinh, có thể rút ra một số nhận xét sau:
- Học sinh có tập trung chú ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn
- Việc đánh giá tự đánh giá bản thân được sát thực hơn
- Học sinh tự học, tự nghiên cứu ở nhà thuận lợi hơn
- Học sinh tham gia vào bài học sôi nổi hơn, mạnh dạn hơn trong việc bộc lộ
kiến thức của chính mình, nhiều học sinh tỏ ra yêu thích nội dung Hình học
không gian lớp 11.
3.4.2 Đánh giá định lượng
Sau khi dạy thử nghiệm, chúng tôi cho học sinh làm cùng một đề đối với
bài kiểm tra 25 phút.
Nội dung đề kiểm tra:
KIỂM TRA (25 phút)
Câu 1: Cho hình hộp ABCD.A’B’C”D’ và các điểm E, F lần lượt nằm trên các
cạnh AB và DD’ sao cho
1
,
2
EA

AB
=

1
DD' 3
FD
=
. Hãy xác định thiết diện của hình hộp
khi cắt bởi:
a) Mặt phẳng EFC.
b) Mặt phẳng (EFC)
Kết quả thu được sau bài kiểm tra:
Điểm
Lớp
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Số
bài
11A5 0 0 0 3 6 15 17 7 3 0 51
Bảng thống kê kết quả kiểm tra của hai lớp 11A5
25