Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 2 một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ

®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MÔI
MÔI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC VÀ
VÀ
LÝ
LÝ THUYẾT
THUYẾT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1


Chương 2

Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2


Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ
2.1.
2.1.Hệ
Hệthống
thốngký
kýhiệu
hiệu
2.2.
2.2.Qui
Quiước
ướcvề
vềchỉ
chỉsố
số
2.3.
2.3.Hệ
Hệthống
thốngđối
đốixứng

xứngvà
vàphản
phảnđối
đốixứng
xứng
2.4.
2.4.Trường
Trườngvô
vôhướng
hướnghay
hayten-xơ
ten-xơhạng
hạngkhông
không
2.5.
2.5.Vec
Vectơtơhay
hayten-xơ
ten-xơhạng
hạngnhất
nhất
2.6.
2.6. Ten
Tenxơ
xơhạng
hạnghai
hai
2.7.
2.7. Ten
Tenxơ

xơhạng
hạngnn

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3


Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ
M
Mởởđầu
đầu

• Nghiên cứu Cơ học môi trường liên tục và Lý thuyết đàn
hồi => Công cụ toán học => tenxơ
• Thường gặp các đại lượng toán học, vật lý có các tính
chất khác nhau.
⎡a1 ⎤
⎢ ⎥
Ai = ⎢a2 ⎥
⎢⎣a3 ⎥⎦

A = [a ]
Vô hướng: khối lượng

July 2009

Vec tơ: vận tốc

⎡a11 a12 a13 ⎤
⎢
⎥
Aij = ⎢a21 a22 a23 ⎥
⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦
Tenxơ: ứng suất

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

4


Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ
- Đại lượng vô hướng: là những đại lượng mà với một đơn vị đo
đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ,
khối lượng, …
- Đại lượng vec tơ : là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo
đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng
hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, …
- Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng thái xác định nào
đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, …
Ten xơ là một đại lượng tổng quát. Các đại lượng ten xơ có đặc điểm
chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng.
Ten xơ bậc cao

July 2009

⎡ a111 a121
⎢
Aijk = ⎢a211 a221
⎢⎣ a311 a321

a131 ⎤
⎥
a231 ⎥
a331 ⎥⎦

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.1. Hệ thống ký hiệu

Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn:

ai , a j , aijk ,...
qui ước: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3

ai
aij

biểu thị một trong 3 phần tử

a1 , a2 , a3

biểu thị một trong 9 phần tử

a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33
aijk biểu thị một trong 27 phần tử a111 , a112 ,..., a333

2.1.2. Qui ước về chỉ số

Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3. Chỉ số
như vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác

ai bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ak bk
Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 đến 3
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.3. Hệ thống đối xứng và phản đối xứng
Trong hệ thống

aij

nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ
thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là

aij = a ji => hệ thống này là hệ thống đối xứng
aij = − a ji => hệ thống phản đối xứng

Kí hiệu Kronecker

Ký hiệu Levi-Chivita

ε ijk

July 2009

⎧0
⎪
= ⎨1
⎪−1
⎩

⎧1
δ ij = ⎨
⎩0

i=j
i≠ j

2 chi so bat ky bang nhau
chieu quay ijk theo thu tu 123
chieu quay ijk theo thu tu 321
Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

⎡1 0 0 ⎤
δ ij = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥
⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
3
1
2
7


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không
Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ ( x1 , x2 , x3 , t )

( x1 , x2 , x3 ) : toạ độ các điểm trong miền không gian ; t là tham số thời gian
Gradient của trường vô hướng

Ký hiệu ∇ đọc là “nabla”

∂ϕ JG ∂ϕ JJG ∂ϕ JG
gradϕ = ∇ϕ =
e1 +
e2 +
e3
∂x1
∂x2
∂x3

JG
ei là vec tơ đơn vị của hệ trục toạ độ Oxi
- nếu trường vô hướng là nhiệt độ

thì gradient là thông lượng nhiệt
(flux of thermal energy)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

8


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
Contours (đường)

Ý nghĩa hình học:

gradient

.

gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ = const
2
2
2
∂
ϕ
∂
ϕ
∂
ϕ

2
Δϕ = ∇∇ϕ = ∇ ϕ = 2 + 2 + 2
∂x1 ∂x2 ∂x3

Ký hiệu Δ gọi là “toán tử Laplace” hay Laplacien
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất
a. Các thành phần vectơ

Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …đặc trưng bởi trị số và
hướng, biểu diễn trong không gian ba chiều bằng đoạn thẳng có hướng
x3
gọi là vec tơ
G JG JJG JJG
- Biểu diễn vec tơ: a = a1 + a2 + a3
a3
hoặc:

G
JG
JJG
JG

a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

ei – vec tơ đơn vị

G
- Độ dài vec tơ: a = a = a12 + a22 + a32 = ai2
- cosin chỉ phương của các vec tơ là li
i=1,2,3 với

July 2009

li = ai / a và

E3`

O
a2

a
e1

e2

a1

x1

x2

l12 + l22 + l32 = 1

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
b. Các phép tính vec tơ

a

• Nhân vô hướng

a ⋅ b = a b cos(a, b)

(a,b)

b

• Nhân có hướng

July 2009

i

j

k

a × b = a1

a2

a3

b1

b2

b3

a×b

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

b

a

11


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
c. Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ

JG
Hệ trục toạ độ vuông góc ban đầu Oxi - vec tơ đơn vị là ei
JG

Phép xoay

Hệ trục vuông góc mới Ox - vec tơ đơn vị là e
'
i

'
i

Các cosin chỉ phương cij là góc hợp bởi trục mới
xi' và trục cũ xj :

JG
⎧ e' ⎫
⎪ JJG1 ⎪ ⎡ c11 c12
⎪ '⎪ ⎢
⎨e2 ⎬ = ⎢ c21 c22
⎪ JG' ⎪ ⎢ c
c
⎪⎩ e3 ⎪⎭ ⎣ 31 32

JJG
JJG
⎧e ⎫
⎧e ⎫
1
c13 ⎤ ⎪ JJG ⎪
⎪ JJ1G ⎪
⎪ ⎪

⎪ ⎪
⎥
c23 ⎥ ⎨e2 ⎬ = [C ] ⎨e2 ⎬
JJG ⎪
JJG ⎪
⎪
⎪
⎥
c33 ⎦ e
⎪⎩ 3 ⎪⎭
⎪⎩e3 ⎪⎭

x3

x3

x1
e3

e3` e1

O

e1
e2

x1

e2

x2
x2

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12


2.1. Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)
JJG
⎧e ⎫ ⎡ c '
⎪ JJ1G ⎪ ⎢ 11
⎪ ⎪
'
⎨e2 ⎬ = ⎢c 21
⎪ JJG ⎪ ⎢ '
⎪⎩e3 ⎪⎭ ⎢⎣ c31

JG
JG
'
⎧ e' ⎫
c13' ⎤ ⎧ e1 ⎫
1
⎪
⎪
⎪

⎪
JJ
G
JJ
G
⎥
⎪
⎪
⎪
⎪
c '23 ⎥ ⎨e2' ⎬ = [C '] ⎨e2' ⎬
JG
⎪ JG' ⎪
' ⎥⎪ ' ⎪
c33 ⎦⎥ ⎪ e3 ⎪
⎪⎩ e3 ⎪⎭
⎩ ⎭

c12'
c 22'
c32'

x1
e3

−1

= [C ]

T

2.1.6 Ten xơ hạng hai:

e3` e1

O

Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là
các ma trận trực giao

[C '] = [C ]

x3

x3

e1
e2

x1

e2

x2
x2

Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần: trạng thái ứng suất, trạng thái biến
dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính đối với các
trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, …
2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống aijkl… gồm 3n thành phần

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13


July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

14