Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 3 lý thuyết về ứng suất

®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MÔI
MÔI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC
VÀ
VÀ LÝ
LÝ THUYÊT
THUYÊT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(35)


Chương 3

Lý thuyết về ứng suất

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2(35)


NỘI DUNG
3.1.
3.1.Định
Địnhnghĩa
nghĩavề
vềứng
ứngsuất
suất
3.2.
3.2.Điều
Điềukiện
kiệncân
cânbằng
bằng
3.3.
3.3.Ứng
Ứngsuất
suấttrên
trênmặt

mặtcắt
cắtnghiêng
nghiêng
3.4.
3.4.Trạng
Trạngthái
tháiứng
ứngsuất
suất––Tenxơ
Tenxơứng
ứngsuất
suất
3.5.
3.5.Mặt
Mặtchính
chính––Phương
Phươngchính
chính––ứng
ứngsuất
suấtchính
chính
3.6.
3.6.Ứng
Ứngsuất
suấttiếp
tiếpcực
cựctrị
trị
3.7.
3.7.Cường

Cườngđộ
độứng
ứngsuất
suất
3.8.
3.8.Bài
Bàitập
tậptự
tựgiải
giải
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(35)


3.1. Định nghĩa về ứng suất
3.1. Định nghĩa về ứng suất
Vật thể chịu tác dụng của ngoại lực
Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác giữa các
phần tử vật chất của vật thể khi có ngoại lực tác
dụng.
Nội lực:

Ứng suất:

mặt cắt – pháp tuyến ν
mặt cắt – pháp tuyến ν

điểm P(x1, x2, x3)

JG
JG
ΔP
pν = lim
ΔA → 0 Δ A

ΔP

ν

pν - ứng suất toàn phần
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

4(35)


3.1. Định nghĩa về ứng suất
Phân tích vec tơ ứng suất

pν2

JG
G
G
G

pν = pν 1 e1 + pν 2 e 2 + pν 3 e 3
pν =

ν
pν1

pν21 + pν22 + pν23

pν1, pν2, pν3 – các thành phần ứng suất
theo các phương 1, 2, 3

pν3

JG JG
JG
pν = σ νν + σ νη

σνη

σνν – ứng suất pháp

pν

σνν
ν

pν = σνν2 + σνη2

σi j

σνη – ứng suất tiếp
pháp tuyến
July 2009

pν

phương ư.s

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(35)


3.1. Định nghĩa về ứng suất
Tenxơ ứng suất

σ 33

⎡σ 11 σ 12 σ 13 ⎤
Tσ = ⎢⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥⎥
⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦

σ 31

Qui ước chiều dương của ứng suất

σ 12

σ 21

x3

x2

σ 32

x1

σ 22

σ 11

σ σ xy

σ 13

23

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một

trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các
trục tương ứng

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một

trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các
trục tương ứng

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6(35)


3.2. Điều kiện cân bằng
3.2. Điều kiện cân bằng

3.2.1.

Đặt vấn đề:

Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực gồm:
• Lực bề mặt có cường độ f * ( f1* , f 2* , f 3* )

(

• Lực thể tích có cường độ f f1 , f 2 , f 3

)

Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các
mặt song song mặt phẳng toạ độ

f*
S
V

- Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật
- Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện

f

Vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân bằng.
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

7(35)


3.2. Điều kiện cân bằng
3.2.2. Phương trình vi phân cân bằng Navier-Cauchy
(Điều kiện cân bằng phân tố loại 1)

x2

- Lực tác động lên phân tố gồm:

P

- Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i
- Nội lực: các thành phần ứng suất σij
- Các thành phần ứng suất trên các
mặt lân cận xi, (xi+dxi):

∑ X1 = 0 ⇒

⎛ ∂u ⎞
∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31
+
+
+ f1 = 0 ⎜ ρ 21 ⎟
∂x1
∂x2
∂x3
⎝ dt ⎠
2

⎛ ∂ 2 u2 ⎞
∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32
∑ X 2 = 0 ⇒ ∂x + ∂x + ∂x + f2 = 0 ⎜ ρ dt 2 ⎟ (3.7)
⎝
⎠
1
2
3
⎛ ∂ 2 u3 ⎞
∂σ 13 ∂σ 23 ∂σ 33
∑ X 3 = 0 ⇒ ∂x + ∂x + ∂x + f3 = 0 ⎜ ρ dt 2 ⎟
⎝
⎠
1
2
3

ρ

July 2009

là khối lượng riêng

σ13
σ11
σ12

σ12 + σ12 d x1

x1

σ11 + σ11 d x1
x1
M

x1

K

σ13 + σ13 d x1

x3
x1
••Hệ
Hệphương
phươngtrình
trìnhcân
cânbằng
bằng

Navier-Cauchy
Navier-Cauchy

∂σ ji

⎛ ∂ 2 ui ⎞
+ fi = 0 ⎜ ρ 2 ⎟
∂x j
⎝ dt ⎠

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

8(35)


3.2. Điều kiện cân bằng
3.2.3.Định luật đối ứng của ứng suất tiếp

σ ij = σ ji

(3.8)

3.2.4. Điều kiện biên theo ứng suất

(điều kiện cân bằng của phân tố loại 2)

x2

Xét điều kiện cân bằng phân tố tứ diện

∑ X = 0 ⇒ σ l +σ l +σ l = f
∑ X = 0 ⇒ σ l + σ l + σ l = f (3.9)
*
X
=
0
⇒
σ
l
+
σ
l
+
σ
l
=
f
∑ 3
13 1
23 2
33 3
3
1

2

••Điều
Điềukiện
kiệnbiên:

biên:

11 1

12 1

21 2

22 2

31 3

*
1

32 3

*
2

σ ji l j = f i

*

C

σ13
σ11
σ12
A

x3

ν
f2*
*
3

f

σ21 σ22

f1*

B
x1

σ23

G JJG
li = cos ν , xi

(

)

- (3.7) và (3.9): điều kiện cân bằng
của toàn thể môi trường
- (3.9) là điều kiện biên để xác định các hằng số tích phân
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9(35)


3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
x2

3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
Cosin chỉ phương của mặt nghiêng:

G JJG
li = cos ν , xi

(

)

Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:

pν 1 , pν 2 , pν 3

σ13
p
ν2
σ11
p
ν1 B
σ12 pν3

σ23
A
σ21 σ22
x3

pν 1 ≈ f1*
pν 2 ≈ f 2*

C

pν

ν
x1

ν

Từ (3.9):

pν 3 ≈ f3*
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10(35)


3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng
x2

Các thành phần ứng suất trên mặt nghiêng:

σ 11l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = pν 1
σ 12 l1 + σ 22 l2 + σ 32 l3 = pν 2

(3.10)

σ 13l1 + σ 23l2 + σ 33l3 = pν 3

C

σ13
p
ν2
σ11
p
ν1 B
σ12 pν3
σ23
A
σ21 σ22

ν

x3

•• Ứng
Ứngsuất
suấttrên
trênmặt

mặtnghiêng:
nghiêng:

σ ji l j = pν i
•• Ứng
Ứngsuất
suấttoàn
toànphần:
phần:
July 2009

pν =

pν21 + pν22 + pν23

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

(3.12)
11(35)

x1


3.3. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

•• Ứng
Ứngsuất
suấtpháp:
pháp:

Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần ứng suất lên pháp tuyến

σνν = pν 1l1 + pν 2 l2 + pν 3l3

σ νν = σ 11l12 + σ 22 l22 + σ 33 l32 + 2 (σ 12 l1l2 + σ 13 l1l3 + σ 23 l2 l3 )

ν

•• Ứng
Ứngsuất
suấttiếp:
tiếp:

σνν

σ νη = pν2 − σ νν2
July 2009

(3.13)

(3.14)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

σνη
12(35)


3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất

3.4.1. Trạng thái ứng suất

σ 33

Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp
tất cả những thành phần ứng suất trên tất
cả các mặt cắt đi qua điểm đó.
Ứng suất:

mặt cắt – pháp tuyến ν

điểm P(x1, x2, x3)
Trạng thái ứng suất:
- điểm P(x1, x2, x3)

σ 31

σ 12

σ 21

x3

x2

σ 32

x1

σ 22

σ 11

σ σ xy

σ 13

23
Qui ước chiều dương của ứng suất
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một
trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các
trục tương ứng
- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một
trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các
trục tương ứng
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(35)


3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.4.2. Ứng suất khi biến đổi hệ trục toạ độ

σ ij' = cik c jlσ kl

- hệ trục ban đầu xi
'

x
- hệ trục mới i

- cosin chỉ phương của góc giữa hệ trục mới và cũ:

cij
σ 33

3.4.3. Tenxơ ứng suất

•• Ten
Tenxơ
xơứng
ứngsuất:
suất:

σ 31

⎡σ 11 σ 12 σ 13 ⎤
⎢
⎥
Tσ = ⎢σ 21 σ 22 σ 23 ⎥
⎢⎣σ 31 σ 32 σ 33 ⎥⎦

σ 12

σ 21

x3

x2

σ 32

x1

σ 22

σ 11

σ σ xy

σ 13

23

Tenxơ hạng 2, đối xứng
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

14(35)


3.4. Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất

Tσ = Dσ + Tσ 0

•• Ten

Tenxơ
xơ lệch
lệchứng
ứngsuất:
suất:

σ 12
σ 13 ⎤
⎡σ 11 − σ tb
⎢
⎥
Dσ = ⎢ σ 21
σ 22 − σ tb
σ 23 ⎥
⎢⎣ σ 31
σ 32
σ 33 − σ tb ⎥⎦
•• Ten
Tenxơ
xơ cầu
cầuứng
ứngsuất:
suất:

July 2009

0 ⎤
⎡σ tb 0
Tσ = ⎢⎢ 0 σ tb 0 ⎥⎥
⎢⎣ 0

0 σ tb ⎥⎦

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

Biến đổi
hình dáng

Biến đổi
thể tích

15(35)


3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính

σtb

σ 22
σ11
σ33

σ22 - σtb

σtb

=
σtb

σ11 - σtb

σ33 - σtb

Biến đổi
thể tích

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

Biến đổi
hình dáng

16(35)


3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính

- Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0.
- Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính
- Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính
Giả sử phương chính có các cosin chỉ phương trong hệ toạ độ xi là li,
ứng suất chính là σ
Vì mặt chính có ứng
suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có
.
pν i = σ li
phương trùng với pháp tuyến và có giá trị bằng σ:
Thay vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng

(σ 11 − σ ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = 0
σ 12 l1 + (σ 22 − σ ) l2 + σ 32 l3 = 0
σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ ) l3 = 0
July 2009

l12 + l22 + l32 = 1

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

17(35)


3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
Điều kiện để hệ phương trình không có nghiệm tầm thường cho ta
phương trình đặc trưng
Các ứng suất chính σ xác định từ phương trình đặc trưng:

σ 3 − I1σ 2 + I2σ − I3 = 0
I1 = σ 11 + σ 22 + σ 33

σ 11 σ 12 σ 22 σ 23 σ 11 σ 13
I2 =
+
+
σ 12 σ 22 σ 23 σ 33 σ 13 σ 33

July 2009

(3.23)

σ 11 σ 12 σ 13
I3 = σ 12 σ 22 σ 23
σ 13 σ 23 σ 33

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

18(35)


3.5. Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
- Phương chính ν của ứng suất chính σi có các cosin chỉ phương trong hệ
xi là li xác định từ 3 trong hệ 4 phương trình:

(σ 11 − σ i ) l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = 0
σ 12 l1 + (σ 22 − σ i ) l2 + σ 32 l3 = 0
σ 13l1 + σ 23l2 + (σ 33 − σ i ) l3 = 0

(3.24)

l12 + l22 + l32 = 1

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

19(35)

3.6. Ứng suất tiếp cực trị

x2

τ max

τ

3.6.
3.6.Ứng
Ứngsuất
suấttiếp
tiếpcực
cựctrị
trị

σ2
σ

σ1
σ3

σ2

σ3

σ1

x1

x3
Mặt có ứng suất tiếp cực trị là
những mặt có pháp tyến nghiêng
góc 450 so với các trục ứng suất
chính.
July 2009

τ

1
max

τ

2
max

=
=

σ1 −σ2
2
σ2 −σ3
2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3
τ max
=

σ1 −σ3
2
20(35)


3.7. Cường độ ứng suất
3.7. Cường độ ứng suất
Cường độ ứng suất là một trị số tỉ lệ với căn bậc hai của bất biến thứ hai
của tenxơ lệch ứng suất

••Cường
Cườngđộ
độứng
ứngsuất
suấttiếp
tiếp
1
τi =
6

τ i = I2 ( Dσ )

(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )

••Cường
Cườngđộ

độứng
ứngsuất
suấtpháp
pháp
σi =
July 2009

2
2

2

2

2

σ i = 3I2 ( Dσ )

(σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 )
2

2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2

21(35)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

22(35)


July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

23(35)