Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 7 bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc

®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MƠI
MƠI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC
VÀ
VÀ LÝ
LÝ THUYÊT
THUYÊT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(39)


Chương 7

Bài tốn đàn hồi phẳng
trong hệ toạ độ vng góc

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2(39)


NỘI DUNG
7.1.
7.1.Bài
Bàitoán
toánứng
ứngsuất
suấtphẳng
phẳng
7.2.
7.2.Bài
Bàitoán
toánbiến
biếndạng
dạngphẳng
phẳng
7.3.
7.3.Giải
Giảibài

bàitoán
toánphẳng
phẳngtheo
theoứng
ứngsuất
suất--Hàm
Hàmứng
ứngsuất
suấtAiry
Airy

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(39)


Mở đầu
Bài tốn khơng gian: là bài tốn tổng qt, các đại lượng tính tốn như
ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ
không gian ba chiều.
Bài toán phẳng: Các đại lượng cần xác định chỉ phụ thuộc vào hai
trong ba biến số toạ độ. Loại bài tốn này chia làm hai nhóm: bài toán
ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng.
Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong
một mặt phẳng. Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên
chiều dày tấm và song song với mặt trung bình.
Bài tốn biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong

một mặt phẳng. Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng
khơng đổi theo chiều dài thuộc lớp bài tốn này.
Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong
mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vng góc với
mặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z.
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

4(39)


7.1. Bài toán ứng suất phẳng
7.1.
7.1.Bài
Bàitoán
toánứng
ứngsuất
suấtphẳng
phẳng

Giả thiết:
- Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy)
- Chiều dày tấm là bé so với các kích thước
cịn lại (h<- Ví dụ: tấm mỏng
τ xy

σy

τ xy

σx

(σ z )z =± h = 0
(τ zx )z =± h = 0

(τ )

zy z = ± h

=0

τ xy

σy
τ xy

σ x , σ y ,τ xy
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(39)

σx

7.1. Bài toán ứng suất phẳng
1. Đặc điểm:
ƒ Giả thiết: σ zx
ƒ

= σ zy = σ zz = 0 (mặt trên và dưới khơng có tải trọng)=>
γ zx = γ zy = 0
Các ẩn số ứng suất: σ xx ; σ yy ; σ xy

ƒ Các ẩn số biến dạng:

ε xx ; ε yy ; ε xy

⎛
⎞
1
μ
⎡
⎤
⎡
⎤
ε
μ
σ
σ
ε
ε
0
=
−

+
=
+
≠
yy ) ⎦
xx
yy ⎦
⎜ zz
⎟
⎣ ( xx
1− μ ⎣
E
⎝
⎠

2. Phương trình cân bằng:

∂σ xx ∂σ yx
+
+ fx = 0
∂x
∂y

∂σ xy
∂x
July 2009

+

∂σ yy

∂y

+ fy = 0

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6(39)


7.1. Bài tốn ứng suất phẳng
3. Phương trình động hình học Cauchy

∂v
ε yy =
∂y

∂u
ε xx =
∂x

1 ∂u ∂v
ε xy = ( + )
2 ∂y ∂x

4. Phương trình tương thích:

2
∂ 2ε xy
∂ 2 ε xx ∂ ε yy

+
=2
2
2
∂x∂y
∂y
∂x
5. Phương trình định luật Hooke:

1
ε xx = ⎡⎣σ xx −νσ yy ⎤⎦
E
1
ε yy = ⎡⎣σ yy −νσ xx ⎤⎦
E

ε xy =

1
1 +ν
σ xy =
σ xy
2μ
E

July 2009

⎧σ x ⎫
E
⎪ ⎪

⎨σ y ⎬ =
2
−
1
ν
⎪τ ⎪
⎩ xy ⎭

⎡
⎤⎧ ⎫
1
0
ν
⎢
⎥⎪ ε x ⎪
⎢ν 1
0 ⎥⎨ ε y ⎬
⎢
1 −ν ⎥⎪ ⎪
⎢0 0
⎥ ⎩γ xy ⎭
2 ⎦
⎣

ν
ε zz = −
ε xx + ε yy )
(
1− ν

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

7(39)


7.2. Bài toán biến dạng phẳng
7.2.
7.2.Bài
Bàitoán
toánbiến
biếndạng
dạngphẳng
phẳng

Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng
Đập nước

γ xy

ε x , ε y , γ xy

εy
γ xy

Đoạn chiều dài 1 đ.v

1

τ xy

y

σy

σz

τ xy

σx

x
Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài,
hai đầu bị ngàm chặt

July 2009

z

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

8(39)

εx


July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9(39)


7.2. Bài toán biến dạng phẳng
1. Đặc điểm:
ƒ Giả thiết:

ε zx = ε zy = ε zz = 0 ⇒ σ zx = σ zy = 0;

(σ zz ≠ 0 )

σ xx ; σ yy ; σ xy
Các ẩn số biến dạng: ε xx ; ε yy ; ε xy

ƒ Các ẩn số ứng suất:
ƒ

∂σ xx ∂σ yx
+
+ fx = 0
∂x
∂y
∂σ xy ∂σ yy
+
+ fy = 0
∂x
∂y
3. Phương trình động hình học Cauchy

2. Phương trình cân bằng:

∂u
ε xx =
∂x

ε yy =

4. Phương trình tương thích:
July 2009

∂v
∂y

1 ∂u ∂v
+ )
2 ∂y ∂x

ε xy = (

2
∂ 2ε xy
∂ 2 ε xx ∂ ε yy
+
=2
2
2
∂x∂y
∂y
∂x

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

10(39)


7.2. Bài tốn biến dạng phẳng
Vì:
Mà:

ε zz =

⇒ σ zz = ν (σ xx + σ yy )

1
⎡σ zz −ν (σ xx + σ yy ) ⎤ = 0
⎦
E⎣

1
1 −ν 2 ⎛
ν
⎞
⎡
⎤
−
ε xx = ⎣σ xx −ν (σ yy + σ zz ) ⎦ =
σ
σ

yy ⎟
⎜ xx
E
E ⎝
1 −ν
⎠

5. Phương trình định luật Hooke:

1
ε xx = ⎡⎣σ xx −ν 1σ yy ⎤⎦
E1
1
ε yy = ⎡⎣σ yy −ν 1σ xx ⎤⎦
E1
1 +ν 1
1
ε xy =
σ xy =
σ xy
E1
2μ
July 2009

1/E1

ν1

⎡
⎧σ x ⎫

1 −ν
ν
⎢
E
⎪ ⎪
⎢ ν
σ
1 −ν
=
⎨ y⎬
⎪τ ⎪ (1 + ν )(1 − 2ν ) ⎢ 0
0
⎢
⎩ xy ⎭
⎣

E1 =

ν1 =

E
1 −ν 2

ν
1 −ν

⎤⎧ ⎫
⎥⎪ ε x ⎪
0 ⎥⎨ ε y ⎬
1 − 2ν ⎥ ⎪ ⎪

⎥ ⎩γ xy ⎭
2 ⎦
0

σ zz = ν (σ xx + σ yy )

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

11(39)


7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.1. Nhận xét chung về các bài toán phẳng:

¾ Các phương trình cơ bản của bài tốn biến dạng phẳng và ứng suất

phẳng về mặt toán học là hồn tồn giống nhau, chỉ khác nhau ở
phương trình vật lý (E và E1, ν và ν1) => Phương pháp giải giống nhau.

¾ Bài tốn phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị).

Ta có 8 phương trình để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động
hình học và 3 pt vật lý)

¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân:

σ xx l + σ xy m = f x*
σ xy l + σ yy m = f y*
¾ Có cùng phương trình tương thích

∇ 2 (σ xx + σ yy ) = 0
July 2009

(Biểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp với
phương trình cân bằng, lực thể tích =const)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12(39)


7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.2. Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng
Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định
ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm
ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn:
--Là
Làhàm
hàmhai
haibiến
biếnđộc
độclập
lập(x,
(x,y)y)
--Khi
Khibỏ
bỏqua
qualực

lựcthể
thểtích:
tích:

σ xx

∂ϕ
= 2
∂y
2

σ yy

∂ϕ
= 2
∂x
2

σ xy

∂ 2ϕ
=−
∂x∂y

Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích =>
Pt điều hồ Levy có dạng:
4
4
4
∂

∂
∂
ϕ
ϕ
ϕ
∇ 4ϕ = 4 + 2 2 2 + 4 = 0
∂x
∂x ∂y
∂y

July 2009

Phương trình
điều hồ kép

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(39)


7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
7.3.4. Đường lối giải bài tốn LTĐH
Thơng thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác
(khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục).
a. Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực
tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó
khăn khi muốn có lời giải chính xác.
b. Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng
từ đk bề mặt. => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản.

VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác. Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và
suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm.
y

y

a

c

b

x
b

July 2009

x

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

14(39)


7.3. Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy
Các bước giải:

• Kiểm tra điều kiện:

∂ 4φ
∂ 4φ
∂ 4φ
∇ ϕ= 4 +2 2 2 + 4 =0
∂x
∂x ∂y
∂y
4

• Xác định các thành phần ứng suất

σ xx =

∂ ϕ
∂y 2
2

σ yy

∂ 2ϕ
= 2
∂x

σ xy

∂ 2ϕ
=−
∂x∂y

•Tìm tải trọng theo điều kiện biên

Trên mỗi biên xác định các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n
với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y)

σxxl + σyxm = fx*
σxyl + σyym = fy*

• Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn)
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

15(39)


c. Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa một số hệ số dưới dạng ẩn,
sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn
đk biên, từ đó xác định được các hệ số và các số hạng chưa biết.

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

16(39)


July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi

Email:

17(39)