Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 6 lý thuyết đàn hồi tuyến tính

®¹i häc

CƠ
CƠ SỞ
SỞ CƠ
CƠ HỌC
HỌC MƠI
MƠI TRƯỜNG
TRƯỜNG LIÊN
LIÊN TỤC
TỤC
VÀ
VÀ LÝ
LÝ THUYÊT
THUYÊT ĐÀN
ĐÀN HỒI
HỒI
Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu
Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

1(39)


Chương 6

Lý thuyết đàn hồi tuyến tính

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

2(39)


NỘI DUNG
6.1.
6.1.Định
Địnhluật
luậtHooke
Hooke
6.2.
6.2.Biểu
Biểuthức
thứcnội
nộinăng
năng
6.3.
6.3.Sự
Sựthu
thugọn
gọncác
cáchằng
hằngsố

sốđàn
đànhồi
hồi
6.4.
6.4.Bài
Bàitốn
tốnđàn
đànhồi
hồituyến
tuyếntính
tínhđẳng
đẳnghướng
hướng
6.5.
6.5.Các
Cáccách
cáchgiải
giảibài
bàitốn
tốnlýlýthuyết
thuyếtđàn
đànhồi
hồi

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

3(39)

6.1. Định luật Hooke
6.1.
6.1.Định
Địnhluật
luậtHooke
Hooke
Chương 3:
Tĩnh
Tĩnhhọc:
học:trạng
trạngthái
tháiứng
ứngsuất
suất

Chương 4:
Hình
Hìnhhọc:
học:trạng
trạngthái
tháibiến
biếndạng
dạng
Tính
Tínhchất
chấtvật
vậtlý:
lý:Quan

Quanhệ
hệứng
ứngsuất
suất-biến
biếndạng
dạng???
???
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

4(39)


6.1. Định luật Hooke
Tổng quát: các ứng suất có thể biểu diễn bằng hàm của các biến dạng

σ ij = f (ε ij )
Đối với vật liệu đàn hồi= tuyến tính khi bỏ qua những mất mát nhiệt
năng, quan hệ ứng suất – biến dạng là các quan hệ thuần nhất
tuyến tính

⎧σ 11 ⎫
⎪σ ⎪
⎪ 22 ⎪
⎪⎪σ 33 ⎪⎪
⎨ ⎬=
⎪σ 12 ⎪
⎪σ 23 ⎪

⎪ ⎪
⎪⎩σ 13 ⎪⎭
July 2009

⎡ C11
⎢C
⎢ 21
⎢ C31
⎢
⎢ C41
⎢ C51
⎢
⎣ C61

C16 ⎤ ⎧ε 11 ⎫

C12

C13

C14

C15

C22

C23

C24

C25

C33

C34

C35

C42

C43

C44

C45

C52

C53

C45

C55

C46 ⎥ ⎪ε 12 ⎪
C56 ⎥ ⎪ε 23 ⎪

C62

C63

C64

C65

C66 ⎦ ⎩
⎪ε 13 ⎭⎪

C32

.

⎪

⎪

⎥ ⎨

⎬

C26 ⎥ ⎪ε 22 ⎪
⎥
C36 ⎥ ⎪
⎪ε 33 ⎪⎪

⎥ ⎪

[Cij]6x6 ma trận các
hằng số đàn
hồi – 36 phần

tử

⎪

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

5(39)


6.1. Định luật Hooke

1

⎡σ11
⎢σ
⎢ 21
⎢⎣σ 31

July 2009

⎡σ1 ⎤
⎢σ ⎥
6
5
σ12 σ13 ⎤ ⎢ 2 ⎥
⎢σ 3 ⎥
⎥
4
σ 222 σ 23 ⎥ ⇒ ⎢ ⎥

σ4 ⎥
⎢
3
σ 32 σ 33 ⎥⎦
⎢σ 5 ⎥
⎢ ⎥
⎣⎢σ 6 ⎦⎥

σ1 = σ11
σ 2 = σ 22
σ 3 = σ 33
σ 4 = σ 23
σ 5 = σ13
σ 6 = σ12

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

6(39)


6.1. Định luật Hooke

1
ε
⎡ 11
⎢ε
⎢ 21
⎢⎣ε 31

July 2009

⎡ ε1 ⎤
⎢ε ⎥
5
6
ε12 ε13 ⎤ ⎢ 2 ⎥
⎢ε 3 ⎥
⎥
ε 22 2 ε 234⎥ ⇒ ⎢ ⎥
γ4⎥
⎢
3
ε 32 ε 33 ⎥⎦
⎢γ 5 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣γ 6 ⎥⎦

ε1 = ε11
ε 2 = ε 22
ε 3 = ε 33
γ 4 = 2ε 23
γ 5 = 2ε13
γ 6 = 2ε12

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

γ = 2ε

7(39)


6.1. Định luật Hooke
Dị hướng: ứng suất đơn có thể gây nên biến dạng dài và biến dạng góc

⎛ σ 1 ⎞ ⎛ C11
⎜ ⎟ ⎜
⎜ σ 2 ⎟ ⎜ C21
⎜σ ⎟ ⎜ C
⎜ 3 ⎟ = ⎜ 31
⎜ σ 4 ⎟ ⎜ C41
⎜ ⎟ ⎜
⎜ σ 5 ⎟ ⎜ C51
⎜σ ⎟ ⎜ C
⎝ 6 ⎠ ⎝ 61

C12

C13

C14

C15

C22

C23

C24

C25

C32
C42

C33
C43

C34
C44

C35
C45

C52
C62

C53
C63

C54
C64

C55
C65

C16 ⎞⎛ ε 1 ⎞
⎟⎜ ⎟
C26 ⎟⎜ ε 2 ⎟

C36 ⎟⎜ ε 3 ⎟
⎟⎜ ⎟
C46 ⎟⎜ ε 4 ⎟
⎟
⎜
⎟
C56 ⎟⎜ ε 5 ⎟
C66 ⎟⎠⎜⎝ ε 6 ⎟⎠

Tương tác kéo - cắt
Tương tác cắt - cắt
Tương tác kéo - kéo
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

8(39)


Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh trong nền
epoxy, và (d) a tinh thể khối lập phương.
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

9(39)

6.2. Biểu thức nội năng
6.2.
6.2.Biểu
Biểuthức
thứcnội
nộinăng
năng
Khi phân tố biến dạng, các nội lực (ứng suất) trên các mặt của phân tố
sẽ thực hiện các công (A) trên các chuyển vị đường và chuyển vị góc
tương ứng của phân tố.
Vật thể đàn hồi lý tưởng: năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo
tồn do vậy cơng của nội lực trên phân tố sẽ hồn tồn chuyển hố
thành thế năng biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong trong phân tố:
A = W ⇒δ A = δW

Mà:

δ A = σ 11δε 11 + σ 22δε 22 + σ 33δε 33 + σ 12δε 12 + σ 13δε 13 + σ 13δε 13 = σ ijδε ij
Mặt khác thế năng biến dạng đàn hồi là hàm của các thành phần biến dạng

W = W (ε ij )
July 2009

⇒ δW =

∂W
δε ij
∂ε ij

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi

Email:

10(39)


6.2. Biểu thức nội năng
Định lý Green: các thành phần nội lực (ứng suất) bằng đạo hàm riêng của
thế năng biến dạng đàn hồi đối với biến dạng tương ứng

σ ij =

∂W
∂ε ij

(5.5)

Công thức Clapeyron xác định thế năng biến dạng đàn hồi

1
W = σ ij ε ij
2

(5.6)

Định lý Castigliano

ε ij =
July 2009

∂W

∂σ ij

(5.7)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

11(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.3.
6.3.Sự
Sựthu
thugọn
gọncác
cáchằng
hằngsố
sốđàn
đànhồi
hồi
6.3.1. Vật liệu đàn hồi dị hướng

Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, các tính chất
đối xứng hình học làm giảm đi số lượng các hằng số độc lập của ma
trận độ cứng hay ma trận độ mềm. => 21 hằng số

⎡ C11
⎢
⎢

⎢
[C ] = ⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
July 2009

C12

C13

C14

C15

C22

C23

C24

C25

C33

C34

C35

C44

C45

§

X

C55

C16 ⎤

C26 ⎥

⎥
C36 ⎥
⎥
C46 ⎥
C56 ⎥
⎥
C66 ⎦

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

12(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
Trục đối xứng đàn hồi:

Trong hệ trục toạ độ Ox1x2x3 và Ox’1x’2x’3
(x3≡x’3) tại 1 điểm xác định nếu các hằng
số đàn hồi Cij không thay đổi khi chuyển
từ hệ trục này sang hệ trục khác bằng phép
quay => x3 (x’3) là trục đối xứng đàn hồi
Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:
Nếu phép biến đổi là đối xứng gương của
các trục đối với một mặt phẳng nào đó thì
mặt phẳng này gọi là mặt phẳng đối xứng
đàn hồi (mặt phẳng x1x2)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

13(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:
Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ:

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

14(39)

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.3.2. Vật liệu đơn nghiêng (monoclinic)
Nếu tồn tại một mặt phẳng đối xứng đàn
hồi (mặt phẳng vng góc với e3) thì gọi
là vật liệu đơn nghiêng, khi đó số các
hằng số độc lập trong ma trận độ cứng
và độ mềm là 13.

b
c
e2
e3
July 2009

a
e’2

e1

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

e’3
e’1
15(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.3.3. Vật liệu trực hướng (orthotropic)

Vật liệu có 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi vng góc với nhau từng
đơi một, khi đó ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn 9
hằng số độc lập.
⎡1 0 0 ⎤
⎡1 0 0⎤
⎡ − 1 0 0⎤
⎢0 1 0 ⎥
⎢0 − 1 0⎥
⎢ 0 1 0⎥
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢⎣0 0 − 1⎥⎦
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦

b
a
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

c

16(39)

6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.3.4. Vật liệu đẳng hướng ngang
Nếu một trong các mặt phẳng đối xứng đàn hồi của vật liệu trực
hướng là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng ngang.
Ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn lại 5 hằng số độc lập.

⎡C11
⎢C
⎢ 12
⎢C12
⎢
⎢0
⎢
⎢0
⎢⎣ 0

C12 C12
C22 C23
C23 C22

July 2009

0
0
0

0

0

0
0

0
0

1
(C22 − C23 ) 0
0
2
0
0
C66
0
0
0

0 ⎤
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
⎥
0 ⎥
C66 ⎥⎦

⎡ cosθ
[Q] = ⎢⎢− sin θ

⎢⎣ 0

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

sin θ
cosθ
0

0⎤
0⎥⎥
1⎥⎦

17(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
6.3.5. Vật liệu đẳng hướng
Nếu mọi mặt phẳng đối xứng vật liệu trong vật liệu trực hướng đều là
đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng. Tính chất của vật liệu theo
mọi phương là như nhau, lúc này số các hằng số độc lập chỉ còn 2
⎡ C11 C12 C12
⎢C
⎢ 12 C11 C12
⎢C12 C12 C11
⎢
⎢ 0
0
0
⎢

⎢
⎢ 0
0
0
⎢
⎢
0
0
⎢ 0
⎣
July 2009

0

0

0
0

0
0

1
C11 − C12 )
(
2

0

0

1
( C11 − C12 )
2

0

0

⎤
⎥
0
⎥
⎥
0
⎥
⎥
0
⎥
⎥
⎥
0
⎥
⎥
1
C11 − C12 ) ⎥
(
2
⎦

C12 = λ

0

1
C11 − C12 ) = μ
(
2

λ, μ - hằng số Lamé

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

18(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng có thể viết dưới dạng sau:

σ 11 = 2με11 + λθ

σ 12 = 2 με12

σ 22 = 2 με 22 + λθ

σ 13 = 2 με13

σ 33 = 2με 33 + λθ

σ 23 = 2με 23

σ ij = 2 με ij + δ ij λθ
(5.13a)

0 0 0 ⎤ ⎡ε1 ⎤
λ
λ
⎡σ 1 ⎤ ⎡λ + 2μ
⎢σ ⎥ ⎢ λ
⎥ ⎢ε ⎥
+
2
0
0
0
λ
μ
λ
2
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ 2 ⎥
⎢σ 3 ⎥ ⎢ λ
λ
λ + 2μ 0 0 0 ⎥ ⎢ε 3 ⎥
⎢ ⎥=⎢
⎥⎢ ⎥
τ
0
0

0
0
0
μ
⎢ 4⎥ ⎢
⎥ ⎢γ 4 ⎥
⎢τ 5 ⎥ ⎢ 0
0
0
0 μ 0 ⎥ ⎢γ 5 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
0
0
0 0 μ ⎥⎦ ⎢⎣γ 6 ⎥⎦
⎢⎣τ 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
July 2009

λ- hằng số Lamé

μ – modul đàn hồi trượt

μ=

λ=

E
2 (1 +ν )

νE

(1 +ν )(1 − 2ν )

θ = ε ii = ε11 + ε 22 + ε 33

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

19(39)


6.3. Sự thu gọn các hằng số đàn hồi
Dạng biểu diễn biến dạng qua ứng suất của định luật Hooke

ε 22 =

1 +ν
ε12 =
σ 12
E
1 +ν
ε13 =
σ 13
E

ε 33

ε 23 =

1

ε11 = ⎡⎣σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 ) ⎤⎦
E
1
⎡σ 22 −ν (σ 11 + σ 33 ) ⎤⎦
E⎣
1
= ⎡⎣σ 33 −ν (σ 11 + σ 22 ) ⎤⎦
E

1 +ν
σ 23
E

0
0 ⎤ ⎡σ1 ⎤
⎡ε1 ⎤ ⎡ 1 / E −ν / E −ν / E 0
⎢ε ⎥ ⎢−ν / E 1 / E −ν / E 0
⎥ ⎢σ ⎥
0
0
⎢ 2⎥ ⎢
⎥⎢ 2 ⎥
⎢ε3 ⎥ ⎢−ν / E −ν / E 1 / E
0
0
0 ⎥ ⎢σ 3 ⎥
⎢ ⎥=⎢
⎥⎢ ⎥
γ
μ

0
0
0
1
/
0
0
⎢ 4⎥ ⎢
⎥ ⎢τ 4 ⎥
⎢γ 5 ⎥ ⎢ 0
0
0
0 1 / μ 0 ⎥ ⎢τ 5 ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥⎢ ⎥
0
0
0
0 1 / μ ⎥⎦ ⎢⎣τ 6 ⎥⎦
⎢⎣γ 6 ⎥⎦ ⎢⎣ 0
July 2009

ε ij =

1 +ν
ν
σ ij − δ ijσ kk
E
E

ν - hệ số Poisson
E
μ=
2 (1 +ν )
G (Sức bền Vật liệu)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

20(39)


6.4. Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
6.4.
6.4.Bài
Bàitốn
tốnđàn
đànhồi
hồituyến
tuyếntính
tínhđẳng
đẳnghướng
hướng
6.4.1. Các phương trình cơ bản

Vật thể đàn hồi tuyến tính có thể tích V, mật độ vật chất ρ bề mặt
giới hạn S, nằm cân bằng dưới tác động của ngoại lực thể tích có
cường độ f trong tồn bộ hay một phần thể tích V, của ngoại lực bề
mặt có cường độ f* trên phần S1 của mặt giới hạn, và của các
chuyển vị cưỡng bức cho trước u0 trên phần S2 của mặt giới hạn.

Mục đích: Xác định ứng suất,
chuyển vị và biến dạng của vật thể
đàn hồi
S1
• Bài tốn tĩnh: gia tốc các chuyển vị
V
bằng khơng

• Bài tốn động: gia tốc các chuyển
vị khác không

July 2009

S2

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

21(39)


6.4. Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
Phương hướng giải quyết:

• Các phương trình cân bằng: quan hệ giữa các ứng suất với nhau, giữa
các ứng suất và các ngoại lực.

• Các phương trình hình học: quan hệ giữa các biến dạng và chuyển vị,
các quan hệ giữa các biến dạng với nhau.

• Các phương trình vật lý: quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng

(định luật Hooke).

• Tìm cách giải hệ thống các phương trình kể trên.
Các phương trình cơ bản

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

22(39)


6.4. Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
a. Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy (3.7)
∂σ 11 ∂σ 21 ∂σ 31
+
+
+ f1 = 0
∂x1
∂x2
∂x3
∂σ 12 ∂σ 22 ∂σ 32
+
+
+ f2 = 0
∂x1
∂x2

∂x3

(5.16)

∂σ 31 ∂σ 32 ∂σ 33
+
+
+ f3 = 0
∂x1
∂x2
∂x3

b. Hệ phương trình hình học Cauchy (4.15)
∂u1
∂x1
∂u
ε 22 = 2
∂x 2
∂u
ε 33 = 3
∂x 3

ε 11 =

July 2009

γ 12 = γ 21 = 2ε 12 =

∂u3 ∂u2
+

∂x 2 ∂x 3
∂u ∂u
= 3+ 1
∂x1 ∂x3

γ 23 = γ 32 = 2ε 23 =

γ 13 = γ 31 = 2ε 13

∂u2 ∂u1
+
∂x1 ∂x2

(5.17)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

23(39)


6.4. Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
c. Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34)
∂ 2ε 11 ∂ 2ε 22
∂ 2ε 12
∂ 2γ 12
+
=2
=
∂x22

∂x12
∂x1∂x2 ∂x1∂x2
∂ 2ε 13
∂ 2γ 13
∂ 2ε 11 ∂ 2ε 33
+
=2
=
2
2
∂x 3
∂x1
∂x1∂x3 ∂x1∂x3
∂ 2ε 23
∂ 2γ 23
∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33
+
=2
=
2
2
∂x 3
∂x 2
∂x 2 ∂x 3 ∂ x 2 ∂x 3

(5.18)

∂ 2ε 11
∂ ⎛ ∂ε 23 ∂ε 31 ∂ε 12 ⎞
=

+
+
⎜−
⎟
∂x2 ∂x3 ∂x1 ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠
∂ 2ε 22
∂ ⎛ ∂ε 31 ∂ε 12 ∂ε 23 ⎞
=
+
+
⎜−
⎟
∂x3 ∂x1 ∂x2 ⎝ ∂x2 ∂x3 ∂x1 ⎠

∂ 2ε 33
∂ ⎛ ∂ε 12 ∂ε 23 ∂ε 31 ⎞
=
+
+
⎜−
⎟
∂x1∂x2 ∂x3 ⎝ ∂x3 ∂x1 ∂x2 ⎠
July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

24(39)

6.4. Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản
d. Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b)

σ 11 = 2με11 + λθ

σ 12 = 2 με12

σ 22 = 2με 22 + λθ

σ 13 = 2 με13

σ 33 = 2με 33 + λθ

σ 23 = 2με 23

ε 22 =

1 +ν
ε12 =
σ 12
E
1 +ν
ε13 =
σ 13
E

ε 33

ε 23 =

1
ε11 = ⎡⎣σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 ) ⎤⎦
E
1
⎡⎣σ 22 −ν (σ 11 + σ 33 ) ⎤⎦
E
1
= ⎡⎣σ 33 −ν (σ 11 + σ 22 ) ⎤⎦
E

July 2009

1 +ν
σ 23
E

Hệ gồm 15 phương trình
vi phân và đại số:

• 3 phương trình (5.16)
• 6 phương trình (5.17)
(5.19a)

hoặc (5.18)

• 6 phương trình (5.19a)
hoặc (5.19b)

15 hàm ẩn: 6 ứng
suất + 6 biến dạng +

3 chuyển vị
(5.19b)

Điều kiện biên ???

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi
Email:

25(39)