BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ HUYỀN TRANG

BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO MỘT SỐ
LỚP HỆ KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN

Chuyên ngành: Toán Giải tích
(Phương trình vi phân và tích phân)
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Văn Hiện

HÀ NỘI, 2014


LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện luận văn thạc sỹ, tôi đã nhận được sự giúp đỡ, tạo
điều kiện nhiệt tình và quý báu của nhiều cá nhân, tập thể.
Lời đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS.Lê Văn
Hiện,người không chỉ hướng dẫn và truyền đạt cho tôi kiến thức,kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học quý báu mà còn khuyến khích động viên tôi vượt qua
những khó khăn trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu đề tài.
Tôi xin chân thành cảm ơn toàn thể các thầy cô trong tổ bộ môn giải tích,
khoa Toán-Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã tận tình hướng dẫn, truyền
đạt kiến thức trong suốt thời gian theo học, thực hiện và hoàn thành luận văn,
cảm ơn sự giúp đỡ của bạn bè, người thân và các đồng nghiệp trong thời gian

làm luận văn.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình
và năng lực của mình, tuy nhiên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, tôi rất mong nhận được những đóng góp quý báu của thầy cô và các bạn.
Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Trang


MỤC LỤC

Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Một số kiến thức và kết quả bổ trợ
1.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Bài toán điều khiển H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ . . . . . 9
1.4. Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ
biến thiên và nhiễu phi tuyến
2.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Điều kiện ổn định hóa H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.4. Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Chương 3. Bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ
hỗn hợp biến thiên
3.1. Tính ổn định H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2. Bài toán ổn định hóa H∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3. Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Kết luận chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40


DANH MỤC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN
R+

tập hợp các số thực không âm.

Rn

không gian vectơ Euclide n-chiều.

,

tích vô hướng trên Rn , x, y = xT y.

x

chuẩn của vectơ x =

∑ni=1 x2i

1
2

.

Rn×r

tập hợp các ma trận thực cỡ n × r.

AT

ma trận chuyển vị của ma trận A.

I

ma trận đơn vị.

λ (A)

tập tất cả các giá trị riêng của ma trận A.

λmax (A)

= max{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ (A)}.

λmin(A)
η (A)
A>0

= min{Reλ j (A) : λ j (A) ∈ λ (A)}.

chuẩn phổ của ma trận A, η (A) =

λmax(AT A).

ma trận A xác định dương, tức là

Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0.

A≥0

ma trận A nửa xác định dương, tức là
Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn .

A>B
M+

ma trận A − B xác định dương.
tập các ma trận đối xứng, xác định dương.

C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị
trong Rn với chuẩn supa≤t≤b x(t) .
L2 ([0,t], Rn ) không gian các hàm khả tích bậc 2 trên [0,t] có giá trị
trong Rn .
BM +(0, ∞)

tập hợp các hàm ma trận đối xứng, nửa xác định dương
và bị chặn trên (0, ∞).


PHẦN MỞ ĐẦU

Lý thuyết ổn định là một hướng nghiên cứu quan trọng của lý thuyết định
tính các hệ phương trình vi phân. Trải qua hơn một thế kỉ phát triển, cho đến
nay lý thuyết ổn định của Lyapunov vẫn đang là một lý thuyết phát triển sôi
động, vẫn đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu, cả lý thuyết cũng như tìm kiếm các mô hình ứng dụng [1].

Cùng với sự phát triển của lý thuyết điều khiển hệ thống thì bài toán nghiên
cứu tính ổn định của các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hóa
cũng được quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong thực tiễn
[1, 2, 4]. Từ đó đến nay, hai tính chất này đã trở thành hướng nghiên cứu
không thể thiếu trong lý thuyết hệ thống và ứng dụng.
Trong các mô hình ứng dụng từ các bài toán thực tiễn thường xuất hiện các
độ trễ thời gian [12]. Sự xuất hiện của các độ trễ đó ảnh hưởng đến dáng điệu
của hệ cũng như ảnh hưởng đến tính ổn định của hệ [1, 4, 7, 12]. Chính vì vậy
bài toán nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ thu hút sự
chú ý đặc biệt của nhiều tác giả trong và ngoài nước trong vài thập kỉ gần đây
(xem [8, 11, 20] và các tài liệu trích dẫn trong đó). Cách tiếp cận chính của
các nghiên cứu gần đây là dựa trên phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii
và các bất đẳng thức ma trận tuyến tính [4] hoặc phương trình Riccati đại số
[14]. Tuy nhiên cách tiếp cận này không áp dụng được cho các hệ không dừng
nảy sinh trong các bài toán điều khiển các hệ kĩ thuật [10, 3]. Khó khăn chính
là nghiệm của phương trình vi phân Riccati ma trận không xác định dương
đều để sử dụng trong các hàm Lyapunov-Krasovskii [10]. Đồng thời, cho đến
1


nay chưa có thuật toán nào hữu hiệu có thể tìm nghiệm dương đều của các
bất đẳng thức ma trận [20]. Vì vậy, nghiên cứu tính ổn định của các hệ không
dừng trở nên khó khăn hơn và trở thành đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà
toán học và kĩ sư.
Bên cạnh đó, các quá trình trong thực tiễn thường xảy ra một cách không
chắc chắn (có sự xuất hiện các đại lượng “nhiễu” hệ thống). Các nhiễu này
có thể xuất hiện do sai số vận hành, do ảnh hưởng lẫn nhau giữa các thành tố
trong hệ thống hoặc giữa các hệ thống khác nhau. Vì vậy, việc đòi hỏi phải
biết chính xác tất cả các tham số của hệ trong mô hình là điều không tưởng
hoặc rất khó áp dụng trong thực tế. Do đó, việc đánh giá tối ưu mức ảnh

hưởng của nhiễu đối với đầu ra của hệ thống (bài toán điều khiển H∞ ) là bài
toán có tính thời sự, được nhiều nhà toán học và kỹ sư quan tâm nghiên cứu
[5, 13, 14, 16, 17, 19].
Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một
số lớp hệ không dừng có trễ biến thiên dựa trên cách tiếp cận bằng phương
pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và phương trình vi phân Riccati ma trận.
Nội dung của luận văn được trình bày trong ba chương. Chương 1 là phần
kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi giới thiệu sơ lược về bài toán ổn định của
hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán điều khiển H∞ , đồng thời nêu một
số kết quả bổ trợ dùng để trình bày các kết quả trong các chương sau. Trong
chương 2, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho lớp hệ tuyến tính

2


không ô-tô-nôm có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến dạng



x(t)
˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + B1 (t)ω (t)







+ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), t ≥ 0,











z(t) = C(t)x(t) +C1 (t)x(t − h(t)) + D(t)u(t), t ≥ 0,

x(t) = φ (t), t ∈ [−hu, 0].

Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và dựa trên cách tiếp cận
bằng các điều kiện dạng phương trình vi phân Ricatti ma trận, chúng tôi xây
dựng hàm điều khiển ngược dạng có trọng cho lời giải bài toán H∞ của hệ.
Một số ví dụ được đưa ra nhằm minh họa cho các điều kiện nhận được. Nội
dung của chương này phát triển từ nội dung bài báo [18].
Trong chương 3, dựa trên phương pháp xây dựng các hàm Lyapunov-Krasovskii
đưa ra trong bài báo [3], chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho lớp
hệ tuyến tính không dừng có trễ hỗn hợp biến thiên dạng sau

p
q
t



x(s)ds
x(t)

˙ = A0(t)x(t) + ∑ Ai (t)x(t − hi (t)) + ∑ Dk (t)



t−r
(t)
k
i=1
k=1

+ B(t)u(t) + B1 (t)w(t), t ≥ 0,






x(t) = φ (t), t ∈ [−hu , 0].

Giả sử rằng, hàm quan sát không phụ thuộc tường minh vào điều khiển,
z(t) = C(t)x(t), t ≥ 0. Cách tiếp cận của chúng tôi trong chương này có thể mô
tả như sau. Bằng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii, trước hết chúng tôi
tìm điều kiện ổn định H∞ cho hệ. Tức là, khi không có điều khiển (u(t) = 0),
chúng tôi thiết lập các điều kiện thông quan một lớp phương trình Riccati ma
trận sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: (i) Hệ là α -ổn định mũ với
3


w(.) = 0; và (ii) Điều kiện γ -mức
sup

c0 φ

∞
2
0 z(t) dt
2 + ∞ w(t) 2 dt
0

≤γ

được thỏa mãn. Dựa trên các điều kiện ổn định H∞ thu được, chúng tôi sau
đó tìm điều kiện ổn định hóa H∞ với lớp hàm điều khiển ngược dạng u(t) =
K(t)x(t) với ma trận đạt được K(t) được xây dựng thông qua nghiệm của lớp
phương trình Riccati tương ứng.

Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả

Nguyễn Thị Huyền Trang

4


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC VÀ KẾT QUẢ BỔ TRỢ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức về bài toán ổn định
cho hệ phương trình vi phân có trễ, hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ
và giới thiệu sơ lược về bài toán điều khiển H∞ .

1.1. Hệ phương trình vi phân có trễ và bài toán ổn định
Với số thực h ≥ 0, kí hiệu C = C([−h, 0], Rn ) là không gian Banach các hàm
liên tục trên đoạn [−h, 0] với chuẩn

φ = sup

φ (s) .

−h≤s≤0

Với x(.) là hàm liên tục trên R+ , nhận giá trị trong Rn , chúng ta xây dựng
hàm xt ∈ C như sau xt (s) = x(t + s), ∀s ∈ [−h, 0],t ≥ 0. Như vậy, xt là một
quỹ đạo trên [t − h,t] của hàm x(.) với chuẩn trong C được xác định bởi
xt = sup

x(t + s) .

−h≤s≤0

Xét hệ phương trình vi phân có trễ
x(t)
˙ = f (t, xt ),
x(t) = φ (t),

t ≥ 0,

(1.1)

t ∈ [−h, 0],

ở đó f : R+ × C → Rn, f (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0 và φ ∈ C là hàm ban đầu và thỏa

mãn điều kiện sao cho với mỗi t0 ∈ R+ , φ ∈ C , hệ (1.1) có nghiệm duy nhất

xác định trên [t0, ∞)

5


Định nghĩa 1.1.1 ([7, 8]). Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định
nếu với mọi t0 ∈ R+ , ε > 0, tồn tại δ = δ (t0 , ε ) > 0 sao cho với mọi nghiệm

x(t0 , φ )(t) của (1.1) thỏa mãn

φ < δ ⇒ x(t0 , φ )(t) < ε ,

∀t ≥ t0 .

Định nghĩa 1.1.2 ([7, 11]). Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là ổn định
mũ nếu tồn tại số N > 0, α > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0 , φ )(t) của (1.1) thỏa
mãn đánh giá
x(t0 , φ )(t) ≤ N φ e−α (t−t0 ) ,

∀t ≥ t0.

Số N được gọi là hệ số ổn định Lyapunov, α gọi là số mũ ổn định và α , N gọi
là các chỉ số ổn định mũ.
Định nghĩa 1.1.3 ([8]). Nghiệm không của hệ (1.1)được gọi là ổn định tiệm
cận nếu nó ổn định và tồn tại số δ0 = δ0(t0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm x(t0 , φ )(t)

của (1.1) với φ ∈ C thỏa mãn φ < δ0 thì lim x(t0 , φ )(t) = 0
t→∞

Định nghĩa 1.1.4 ([11]). Nghiệm không của hệ (1.1) được gọi là α -ổn định
mũ nếu nó ổn định mũ với số mũ α > 0 cho trước.
Để ngắn gọn, thay vì nói nghiệm không của hệ (1.1) là ổn định (ổn định
mũ, ổn định tiệm cận) ta sẽ nói hệ (1.1) là ổn định (ổn định mũ, ổn định tiệm
cận). Khi t0 đã rõ ta viết x(t, φ ) thay cho x(t0 , φ )(t).
Định lí 1.1.5 (Định lí ổn định mũ [8]). Giả sử đối với hệ (1.1) tồn tại hàm
V = V (t, xt ) thỏa mãn các điều kiện
(i) ∃λ1, λ2 > 0 sao cho λ1 x(t)

2

≤ V (t, xt ) ≤ λ2 xt 2.
6


(ii) V˙ (t, xt ) ≤ −2λ3 x(t) 2 , λ3 > 0.
Khi đó nghiệm hệ (1.1) ổn định mũ toàn cục đều, hơn nữa mọi nghiệm
x(t, φ ) của (1.1) thỏa mãn đánh giá
x(t, φ ) ≤

λ 2 − λ3 t
e
φ ,
λ1

t ≥ 0.

Định lí 1.1.6 (Định lí Razumikhin [7]). Giả sử rằng, u, v, ω : R+ → R+ là
hàm không giảm và u(s), v(s) là dương với s ≥ 0, v(0) = u(0) = 0. Giả sử có
hàm V : R+ × Rn → R+ sao cho

(i) u( x ) ≤ V (t, x) ≤ v( x ), ∀t ∈ R+ , x ∈ Rn .
(ii) Tồn tại q > 1 sao cho V˙ (t, x(t)) ≤ −ω ( x(t) ) khi V (t + s, x(t + s)) <
qV (t, x(t)), ∀s ∈ [−h, 0],t ∈ R+ .

Khi đó hệ (1.1) là ổn định tiệm cận toàn cục đều.

1.2. Bài toán điều khiển H∞
Xét hệ điều khiển được mô tả bởi hệ phương trình vi phân
x(t)
˙ = f (t, x(t), u(t)),

x(t0 ) = x0 ,

(1.2)

ở đó x(t) ∈ Rn là trạng thái của hệ, u(t) ∈ Rm là biến điều khiển. Một hệ thống
điều khiển mô tả một quá trình vận hành thông tin dạng “vào-ra”, ở đó, với
mỗi hàm điều khiển (đóng vai trò thông tin “đầu vào"), hệ (1.2) sẽ cho một
quỹ đạo “đầu ra” xu (t) tương ứng. Một hàm điều khiển dạng u(t) = h(t, x(t))
phụ thuộc trạng thái x(t) gọi là hàm điều khiển ngược (SFC) (state feedback
7


control). Bài toán ổn định hóa đối với hệ (1.2) là tìm hàm điều khiển SFC sao
cho hệ đóng tương ứng (closed-loop system), tức là hệ phương trình
(1.3)

x(t)
˙ = f (t, x(t), h(t, x(t)))
là ổn định (mũ hoặc tiệm cận) [2].
Đối với các hệ tuyến tính dạng

(1.4)

x(t)
˙ = Ax(t) + Bu(t)

người ta thường thiết kế SFC dạng u(t) = Kx(t), ma trận K gọi là ma trận đạt
được (matrix gain) của hệ [2].
Các hệ thống trong thực tiễn kĩ thuật không chỉ phụ thuộc các tham số điều
khiển mà còn có sự xuất hiện các nhiễu trạng thái, tức là các tham số không
biết trước (có thể do sai số hoặc mất dữ liệu khi vận hành hệ thống). Vì vậy
bài toán tối ưu định mức chuẩn các hàm quan sát đầu ra so với các độ nhiễu
(bài toán H∞ ) là bài toán có ý nghĩa ứng dụng kĩ thuật, đã và đang được nhiều
tác giả nghiên cứu (xem [5, 14, 16, 17, 19]). Bài toán H∞ đối với hệ tuyến
tính
x(t)
˙ = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t),
z(t) = Cx(t) + Eu(t)

t ≥ 0,
(1.5)

x(0) = x0
ở đó z(t) ∈ Rr là hàm quan sát, w(t) ∈ L2 (0; ∞, Rs ) là nhiễu đầu vào; A, B,C, D, E
là các ma trận cho trước với số chiều thích hợp. Bài toán điều khiển H∞ đối

với hệ (1.5) là bài toán tìm hàm điều khiển SFC u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng
x(t)
˙ = [A + BK]x(t)
8


là ổn định mũ và với mỗi γ > 0 cho trước, tồn tại hằng số c0 > 0 sao cho ta
có đánh giá

∞
2
0 z(t) dt
sup
c0 x0 2 + 0∞ w(t) 2 dt

≤ γ,

(1.6)

ở đó, supremum lấy theo mọi w(t) = 0 trong L2 ([0, ∞), Rs ).

1.3. Bài toán ổn định hóa hệ phương trình vi phân điều
khiển có trễ
Xét hệ phương trình vi phân điều khiển có trễ
x(t)
˙ = f (t, xt , u(t)),
x(t) = φ (t),

t ≥0

t ∈ [−h, 0],

(1.7)
h ≥ 0,

trong đó x(t) ∈ Rn là vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm là vectơ điều khiển thuộc

lớp hàm điều khiển L2 ([0, s], Rm ), ∀s > 0, xt ∈ C , φ ∈ C là hàm ban đầu với
chuẩn φ = sup

−h≤s≤0

φ (s) , h là hằng số trễ, f : R+ × C × Rm −→ Rn là hàm

vectơ cho trước thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ 0
Định nghĩa 1.3.1. Hệ (1.7) được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại hàm
g : Rn −→ Rm sao cho hệ đóng tương ứng
x(t)
˙ = f (t, xt , g(x(t)))

(1.8)

là ổn định tiệm cận. Hàm u(t) = g(x(t)) gọi là hàm điều khiển ngược.
Định nghĩa 1.3.2. Cho số α > 0. Hệ (1.7) được gọi là α -ổn định hóa được
nếu tồn tại hàm g : Rn −→ Rm sao cho hệ đóng (1.8) là α -ổn định mũ, tức là
tồn tại số N > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, φ ) của (1.8) thỏa mãn đánh giá
x(t, φ ) ≤ Ne−α (t−t0 ) φ , ∀t ≥ t0.
9

1.4. Một số kết quả bổ trợ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số kết quả bổ trợ dùng trong chứng
minh các kết quả chính trong các chương tiếp theo.
Mệnh đề 1.4.1 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [11]). Giả sử Q, S là các ma
trận có số chiều thích hợp và S là ma trận đối xứng xác định dương. Khi đó
2 Qy, x − Sy, y ≤ QS−1 QT x, x ,

∀x, y.

Nhận xét 1.4.1. Giả sử P ∈ Rn×n là ma trận đối xứng xác định dương. Khi
đó, ta có
2xT y ≤ xT Px + yP−1y,

∀x, y ∈ Rn .

Mệnh đề 1.4.2 ([6]). Với mọi ma trận đối xứng xác định dương W , nếu tồn
tại một số σ > 0 và một hàm vectơ ω : [0, σ ] → Rn , sao cho các tích phân
dưới đây tồn tại, thì ta có
ν
0

ω (s)ds

ν

T

W
0

ω (s)ds ≤ ν

10

ν
0

ω T (s)W ω (s)ds.


Chương 2
BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN H∞ CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH
KHÔNG DỪNG CÓ TRỄ BIẾN THIÊN VÀ NHIỄU PHI TUYẾN

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ cho một
lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến. Bằng
phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và dựa trên cách tiếp cận bằng các
điều kiện dạng phương trình vi phân Ricatti ma trận, chúng tôi xây dựng hàm
điều khiển ngược dạng có trọng cho lời giải bài toán H∞ dựa trên nghiệm của
lớp phương trình Riccati ma trận được đưa ra. Một số ví dụ được đưa ra nhằm
minh họa cho các điều kiện nhận được. Nội dung của chương này phát triển
từ nội dung bài báo [18].

2.1. Phát biểu bài toán
Xét lớp hệ tuyến tính không dừng có trễ biến thiên và nhiễu phi tuyến dạng



x(t)
˙ = A(t)x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B(t)u(t) + B1 (t)ω (t)








+ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), t ≥ 0,
(2.1)


z(t) = C(t)x(t) +C1 (t)x(t − h(t)) + D(t)u(t), t ≥ 0,






x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],

ở đó x(t) ∈ Rn là biến trạng thái, u(t) ∈ Rm là biến điều khiển, ω (t) ∈ Rr

là nhiễu đầu vào, z(t) ∈ Rq là hàm quan sát, A, A1 , B, B1 ,C,C1 , D là các hàm

ma trận liên tục trên R+ . Kí hiệu xh := x(t − h(t)), hàm nhiễu phi tuyến
f : R+ × Rn × Rn × Rm × Rr −→ Rn thỏa mãn f (t, 0, 0, 0, 0) = 0 ∀t ≥ 0 và
11


điều kiện tăng trưởng sau

f (t, x, xh , u, ω ) ≤ a x + b xh + c u + d ω ,

(2.2)

ở đó a, b, c, d là các hằng số không âm xác định mức độ tăng trưởng của nhiễu
phi tuyến f . Hàm ban đầu φ (.) ∈ C([−h, 0], Rn ) với chuẩn

φ = sup

φ (s) .

−h≤s≤0

Hàm điều khiển u(.) ∈ L2 ([0, s], Rm ), s > 0, và nhiễu ω (.) ∈ L2 ([0, ∞), Rr ).
Hàm trễ h(t) là hàm liên tục thỏa mãn một trong hai điều kiện sau
(H1) 0 ≤ h(t) ≤ h,

˙ ≤ δ < 1,
h(t)

(H2) 0 ≤ h(t) ≤ h,

∀t ≥ 0.

∀t ≥ 0,

Mặc dù (H2) tổng quát hơn (H1) nhưng (H2) không cho đánh giá hiển tốc
độ hội tụ mũ của hệ đóng tương ứng. Vì vậy, với mục đích tìm kiếm điều kiện
ổn định hóa H∞ với sự hội tụ mũ mà tốc độ mũ có thể cho trước hoặc đánh giá
được hiển, chúng tôi xem xét cả hai trường hợp trên. Cụ thể, với (H1), chúng

tôi sử dụng phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii để chứng minh sự hội tụ
mũ của hệ đóng với tốc độ mũ cho trước. Với (H2), chúng tôi dùng định lí ổn
định Razumikhin chứng minh tính ổn định mũ của hệ đóng mà không đánh
giá được hiển tốc độ hội tụ mũ.
Trước hết chúng tôi giới thiệu bài toán điều khiển H∞ cho (2.1) như trong
định nghĩa dưới đây.
Định nghĩa 2.1.1. Hệ (2.1) gọi là H∞ ổn định hóa được nếu với mỗi γ > 0
cho trước, tồn tại một hàm điều khiển dạng u(t) = K(t)x(t) thỏa mãn hai yêu
cầu sau
12


(i) Với nhiễu ω (t) = 0, hệ đóng tương ứng của (2.1)


x(t)
˙ = A(t) + B(t)K(t) x(t) + A1 (t)x(t − h(t)) + B1 (t)ω (t)




+ f (t, x(t), x(t − h(t)), K(t)x(t), ω (t)), t ≥ 0,




x(t) = φ (t), t ∈ [−h, 0],

(2.3)

là α -ổn định mũ, tức là, với số dương α cho trước (chỉ số hội tụ mũ), tồn
tại hằng số N > 0 sao cho mọi nghiệm x(t, φ ) của (2.1) (với w(.) = 0)
thỏa mãn đánh giá mũ
x(t, φ ) ≤ N φ e−α t , t ≥ 0.

(ii) Tồn tại số c0 > 0 sao cho
sup

0=ω ∈L2 ([0,∞),Rr ) c0

∞
2
0 z(t) dt
2 + ∞ ω (t) 2 dt
0

φ

≤ γ.

(2.4)

2.2. Điều kiện ổn định hóa H∞
Trong phần này, để đơn giản hóa các biểu thức kĩ thuật, chúng tôi giả sử như
trong [5]
DT (t)[C(t) C1(t)] = 0,

DT (t)D(t) = I,

t ≥ 0.

(2.5)

Hơn nữa, với các số dương a, b, c, d, γ , α , β , h, εi , i = 1, 2, 3, 4 cho trước, chúng
tôi kí hiệu

σ

= ε3−1a2 +

3b2
+ c2 + ε4−1 d 2,
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ )

ε = ε1 + ε3 + ε2 he2α h + 2(α + β ),
p = sup P(t) , l = sup η (C1 (t)),
t≥0

t≥0

13


1
ρ 2(t)
3

T
A
(t)A
(t)
−
R(t) =
B(t)BT (t) −
B1 (t)BT
1
1
1 (t) − σ I,
α
h
−2
2
γ − ε4
ε1 e
(1 − δ )
3
Q(t) =
CT(t)C1 (t)C1T (t)C(t) +CT (t)C(t) + ε I,
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l
M = p + β + hε1 + 2h2ε2 ,
Pβ (t) = P(t) + β I,

N=

M
,
β

A = A(t) + α I.

Định lí sau đây cho các điều kiện ổn định hóa H∞ hệ (2.1).
Định lí 2.2.1. Với giả thiết (H1), giả sử tồn tại các số dương α , β , εi , i =
1, 2, 3, 4, ε4 < γ , ε1 > 3le2α h (1 − δ )−1, một hàm liên tục ρ (t),t ≥ 0, và hàm
ma trận P ∈ BM +(0, ∞) thỏa mãn phương trình vi phân Riccati sau
˙ + A T (t)Pβ (t) + Pβ (t)A (t) − Pβ (t)R(t)Pβ (t) + Q(t) = 0.
P(t)

(RDE1)

Khi đó hệ (2.1) là H∞ ổn định hóa được. Hàm điều khiển ngược cho bởi
1
u(t) = − ρ 2(t)BT (t)Pβ (t)x(t),
2

t ≥ 0.

(2.6)

Chứng minh. Với hàm điều khiển u(t) = K(t)x(t), ở đó
1
K(t) = − ρ 2(t)BT (t)Pβ (t), t ≥ 0,
2
xét hệ đóng (2.3). Hàm Lyapunov-Krasovskii được xây dựng dạng sau [18]

V (t, xt ) = V1(t, xt ) +V2(t, xt ) +V3(t, xt ) +V4 (t, xt ),
ở đó
V1 (t, xt ) = P(t)x(t), x(t) ,
V3 (t, xt ) = ε1

t

V2(t, xt ) = β x(t) 2 ,

e2α (s−t) x(s) 2ds,

t−h(t)

14

(2.7)


V4 (t, xt ) = ε2

0

t

−h t+τ −h(t+τ )

e2α (s+h−t) x(s) 2 dsd τ .

Rõ ràng V (t, xt ) là hàm xác định dương. Hơn nữa, từ (2.7) ta có
V (t, xt ) ≥ β x(t) 2 , ∀t ≥ 0.

Lấy đạo hàm của V (t, xt ) đối với t dọc theo nghiệm x(t) của hệ, ta được
˙
V˙1 (t, xt ) + V˙2(t, xt ) = P(t)x(t),
˙ x(t)
x(t) + 2 Pβ (t)x(t),
˙ + AT (t)Pβ (t) + Pβ (t)A(t)
= P(t)
− ρ 2(t)Pβ (t)B(t)BT (t)Pβ (t)x(t), x(t)
+ 2 Pβ (t)A1 (t)x(t − h(t)), x(t)
+ 2 Pβ (t)B1 (t)ω (t), x(t)
+ 2 Pβ (t) f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t) .
(2.8)
˙
x(t − h(t)) 2 ,
V˙3 (t, xt ) = −2αV3(t, xt ) + ε1 x(t) 2 − ε1e−2α h(t) (1 − h(t))
≤ −2αV3(t, xt ) + ε1 x(t)

2

− ε1e−2α h (1 − δ ) x(t − h(t)) 2 ,

V˙4 (t, xt ) = −2αV4(t, xt ) + ε2 he2α h x(t)
−2α h

− ε2e

˙
(1 − h(t))

0

−h

2

x(t + s − h(t + s)) 2ds

≤ −2αV4(t, xt ) + ε2 he2α h x(t) 2 .
Do đó, từ (2.8) và (2.9) ta có
V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) = V˙1 (t, x) + 2αV1 (t, x) + V˙2 (t, x) + 2αV (t, x)
+ V˙3 (t, xt ) + 2αV3 (t, xt ) + V˙4(t, xt ) + 2αV4(t, xt )
≤ [P˙ + AT Pβ + Pβ A − ρ 2(t)Pβ BBT Pβ + 2(α + β )I]x(t), x(t)
+ 2 Pβ A1 x(t − h(t)), x(t) + 2 Pβ B1ω (t), x(t)
15

(2.9)


+ 2 Pβ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t)
+ ε1 x(t)

2

− ε1 e−2α h (1 − δ ) x(t − h(t))

2

+ ε2 he2α h x(t)

2

≤ [P˙ + AT Pβ + Pβ A − ρ 2(t)Pβ BBT Pβ + 2(α + β )I]x(t), x(t)
+ 2 Pβ A1 x(t − h(t)), x(t)

ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)), x(t − h(t))
3
+ 2 Pβ (t)B1 (t)ω (t), x(t)
+ 2 Pβ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t)

+ (ε1 + ε2 he2α h) x(t)

2

2ε1 e−2α h(1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2 .
3

(2.10)

Áp dụng Mệnh đề 1.4.1 ta có

ε1 e−2α h (1 − δ )
x(t − h(t)), x(t − h(t))
2 Pβ A1 x(t − h(t)), x(t) −
3
3
Pβ A1 AT

≤
(2.11)
1 Pβ x(t), x(t) .
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ )
Kết hợp với điều kiện (2.2) ta được
2 Pβ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t)
≤ 2 Pβ x(t)

f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t))

≤ 2a Pβ x(t)

x(t) + 2b Pβ (t)x(t)
u(t) + 2d Pβ (t)x(t)

+ 2c Pβ x(t)

x(t − h(t))

ω (t) .

(2.12)

Áp dụng mệnh đề 1.4.1 với Q = I, S = W , ta có
2 Pβ f (t, x(t), x(t − h(t)), u(t), ω (t)), x(t)
≤ ε3−1 a2 Pβ x(t)

2

+ ε3 x(t)
16

2

+ c2 Pβ x(t)

2

+ u(t)

2


3b2
Pβ x(t) 2
+
α
h
−2
ε1 e
(1 − δ )
ε1 e−2α h (1 − δ )
+
x(t − h(t))
3
+ ε4−1d 2 Pβ x(t)

2

+ ε4 ω (t)

≤ σ Pβ2 x(t), x(t) + ε3 x(t)

2

ε1 e−2α h (1 − δ )
x(t − h(t))
+
3
ρ 2(t)
+
Pβ BBT Pβ x(t), x(t) .
4

2
2

+ ε4 ω (t)

2

2

(2.13)

Kết hợp các đánh giá từ (2.10)-(2.13) ta được

V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt )
3ρ 2(t)
T
˙
≤ P + A (t)Pβ + Pβ A (t) −
Pβ RPβ + ε I x(t), x(t)
4
ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2 + 2 Pβ B1ω (t), x(t)
3
+ ε4 ω (t)

2

+ σ Pβ2 x(t), x(t) .

Chú ý rằng, vì P(t) là nghiệm của (RDE1) nên ta có

ρ 2(t)
˙
Pβ BBT Pβ x(t), x(t)
V (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ −
4
3
CTC1C1TC x(t), x(t)
− CTC +
−2
α
h

ε1 e
(1 − δ ) − 3l
ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2 + ε4 ω (t) 2
3
1
−
Pβ B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) + 2 Pβ B1 ω (t), x(t) .
γ − ε4

(2.14)

Giả sử ω (t) = 0, từ (2.14) và (RDE1) ta có
V˙ (t, xt ) + 2αV (t, xt ) ≤ 0,
17

∀t ≥ 0.

(2.15)


Tích phân hai vế của (2.15) từ 0 đến t ta được
V (t, xt ) ≤ V (0, x0 )e−2α t ,
Mặt khác, do β x(t)

2

(2.16)

∀t ≥ 0.

≤ V (t, xt ), ∀t ≥ 0 nên từ (2.16) ta nhận được đánh

giá
V (0, x0 ) −α t
e ,
β

x(t, φ ) ≤

∀t ≥ 0.

Từ
V (0, x0 ) ≤ (p + β + hε1 ) φ

2

≤ (p + β + hε1 ) φ

2

0

+ ε2

0

−h τ −h(τ )

+ 2h2ε2 φ

2

e2α (s+h) x(s) 2 dsd τ

≤M φ

2

,

và với các kí hiệu các hằng số M, N ta được
x(t, φ ) ≤ N φ e−α t ,

∀t ≥ 0.

Điều này chứng tỏ hệ đóng (2.3) với nhiễu ω () = 0 là α -ổn định mũ.
Để hoàn thành chứng minh, ta cần chứng minh điều kiện γ -mức. Với s > 0
tùy ý, xét tích phân
s

z(t)
0

2

− γ ω (t)

2

s

dt =

z(t)
0

−

s

2

− γ ω (t)

2

+ V˙ (t, xt ) dt

V˙ (t, x(t))dt.

0

Vì V (t, xt ) ≥ 0,t ≥ 0, nên ta có
s

−

0

V˙ (t, xt )dt = V (0, x0 ) −V (s, xs ) ≤ V (0, x0 ),

∀t ≥ 0

và do đó
s

z(t)
0

2

− γ ω (t)

2

s

dt ≤

z(t)
0

18

2

− γ ω (t)

2

+ V˙ (t, xt ) dt +V (0, x0 ).


Mặt khác, từ (2.14) ta có

ρ 2(t)
˙
V (t, xt ) ≤ −
Pβ BBT Pβ x(t), x(t) + 2 Pβ B1 ω (t), x(t)
4
3
− CTC +
CTC1C1TC x(t), x(t)
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l
ε1 e−2α h (1 − δ )
x(t − h(t)) 2 + ε4 ω (t) 2
−
3
1
−
P B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) .
γ − ε4 β

Do đó với mọi s > 0 ta có
s

2

z(t)
0

− γ ω (t)
−

ρ 2(t)

2

s

dt ≤

z(t)
0

2

− (γ − ε4) ω (t)

2

Pβ BBT Pβ x(t), x(t)

4
1
−
Pβ B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) + 2 Pβ B1 ω (t), x(t)
γ − ε4
ε1 e−2α h (1 − δ )
−
x(t − h(t)) 2
3
3
CTC1C1TC x(t), x(t)
− CTC +
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l

dt

+V (0, x0 ).
Sử dụng công thức của hàm điều khiển ngược u(t) = K(t)x(t) ta có
z(t)

2

ρ 2(t)
C C+

PBBT P x(t), x(t) + 2 CTC1 x(t − h(t)), x(t)
4
T

=

+ C1TC1x(t − h(t)), x(t − h(t)) .

(2.17)

Do đó, từ (2.17) ta suy ra
s

z(t)
0

2

− γ ω (t) 2]dt ≤

s
0

2 Pβ B1ω (t), x(t) − (γ − ε4) ω (t)

+ 2 C1TC1x(t − h(t)), x(t)

ε1 e−2α h (1 − δ ) − 3l
−
x(t − h(t))

3
19

2

2


3
CTC1C1TCx(t), x(t)
−2
α
h
ε1 e
(1 − δ ) − 3l
1
−
Pβ B1 BT
1 Pβ x(t), x(t) dt +V (0, x0 ).
γ − ε4
−

Từ các đánh giá trên ta thu được
s

z(t)
0

2

− γ ω (t) 2 ]dt ≤ V (0, x0 ) ≤ (p + β + ε1 h + 2ε2 h2 ) φ

Cho s → ∞ và đặt

2

, ∀s ≥ 0.

p + β + ε1h + 2ε2h2
,
c0 =
γ

ta được
c0 φ

∞
2
0 z(t) dt
2 + ∞ ω (t) 2 dt
0

≤ γ,

với mọi ω ∈ L2 ([0, ∞), Rr ), ω = 0. Do vậy điều kiện γ -mức trong định nghĩa
của bài toán điều khiển H∞ đúng. Định lí được chứng minh.
Trong phần còn lại của chương này, chúng tôi xét bài toán điều khiển H∞
cho hệ (2.1) với hàm trễ liên tục và không nhất thiết khả vi. Chúng tôi kí hiệu
một số ma trận và hằng số như sau
m = a2ε1−1 + b2eh + ε2−1 d 2 + c2,

γ = ε1 + ε2 + ehη 2 (CTC1),

η (CTC1 ) = sup η (CT (t)C1 (t)),
R(t) =

t≥0
2
ρ (t)

2

B(t)BT (t) − eh A1 (t)AT
1 (t) −

Q(t) = CT(t)C(t) + γ I,

1
B1 (t)BT
1 (t) − mI,
γ − ε1

Ph (t) = P(t) + e−hI,

A(t) = A(t) + eh η 2 (C1 ) + 2 I.
Định lí 2.2.2. Với giả thiết (H2), giả sử rằng tồn tại các số dương εi , i = 1, 2,

ε1 < γ , một hàm liên tục ρ (t) và hàm ma trận P ∈ BM +(0, ∞) thỏa mãn
20