skkn hinh hoc khonh gian; tìm THIẾT DIỆN của HÌNH CHÓP,HÌNH LĂNG TRỤ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẾN TRE
TRƯỜNG THPT PHAN VĂN TRỊ GIỒNG TRÔM
TỔ TOÁN - TIN HỌC

ÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI

TÌM THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHÓP,HÌNH LĂNG
TRỤ
KHI CẮT BỞI MỘT MẶT PHẲNG

1


PHN I :M U
I/GII THIU TI

Mụn hỡnh hc khụng gian lp 11 l mụn hc m a s hc sinh cho l
khú khn. Hc sinh thụứng thy skhi hc mụn ny.c bit dng toỏn
tỡm thit din ca hỡnh chúp ,hỡnh lng tr khi ct bi mt mt phng (P) l
dng toỏn gõy khú khn nhiu trong a s hc sinh, cỏc em thng b hn
khi gp cõu toỏn ny
Qua thc t ging dy v kinh nghim nhiu nm ,tụi xin c trỡnh by
vn ny .Bng cỏch hửụựng daón c th ,chi tit thụng qua vic hiu nhieu
vớ d ,hc sinh s t gii quyt cỏc bi tp tng t t ú hiu rừ vn
ny .Chc chn rng hc sinh s khụng cũn thy ngi khi gp dng toỏn ny
II / PHNG PHP

La chn cỏc vớ d t n gin , dn nõng cao
Nờu phng phỏp gii ,hng dn cỏch suy ngh tỡm li gii

Bi tp tng t
PHN II : NI DUNG

I/C S KHOA HC

Da trờn nguyờn tc quỏ trỡnh nhn thc ca con ngi, qui l v
quen,cỏc nguyờn tc dy hc v c im quỏ trỡnh nhn thc ca hc
sinh

2


II/ NỘI DUNG CỤ THỂ

Thiết diện của hình chóp (hlt) khi cắt bởi mặt phẳng (P) là một đa
giác có:
+ đỉnh nằm trên cạnh (cạnh bên ,cạnh đáy) của hình chóp (hlt)
+ cạnh của thiết diện là đoạn giao tuyến của mp(P) và mặt (mặt
bên ,mặt đáy) của hình chóp (hlt)

Dạng 1:Sử dụng phương pháp sau đây để tìm thiết diện :
+xem trong mặt phẳng (P) có những điểm nào (những điểm đã có tên
sẵn)
+tìm trong mp(P) đường nào cắt được cạnh của hình chóp,hlt .Giao điểm
đó chính là điểm chung của mp (P) và mặt của hình chóp,hlt.Từ đó xác
đònh được giao tuyến của mp(P) với mặt của hình chóp,hlt
Chú ý đỉnh của thiết diện là điểm chung của cạnh hình chóp ,hlt với
mp(P)

Ví dụ 1:cho hình chóp S.ABCD với AB và CD cắt nhau, gọi A’ là một

điểm nằm giữa hai điểm S và A.Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mp(A’CD)

3


** HƯỚNG DẪN :
HS cần phải có suy nghó: +(A’CD) đã có sẳn giao tuyến với
(SAD),(SCD),(ABCD)
+nó có điểm chung với các (SAB) (điểm A’),(SBC) (điểm C)
Do đó ta phải tìm giao tuyến của nó với các mặt này.
Rõ ràng hai mp(SAB) và (SBC) cóSB chung .
Vì vậy ta chỉ cần tìm giao điểm của SB và (A’CD)

**BÀI GIẢI:

-)cách 1
Gọi Olà giao điểm của AC vàBD
+nối S với O ,SO cắt A’C tại I .Vì I ∈ A'C nên
+kéo dài DI cắt SB tại B’
Suy ra B’ là giao điểm của SB và (A’CD)
TÓM LẠI: (A’CD)

I (SAB) = A’B’

(A’CD)

I (SBC) =B’C’

(A’CD)

I (SCD) =CD

(A’CD)

I (SAD) =DA’

Thiết dòên cần tìm làtứ giác A’B’CD
4

I ∈ ( A'CD)

các mặt


cách giải 2:
Gọi Klà giao điểm của AB và CD. Khi đó giao tuyến của (SAB) và
(A’CD) là A’K,nhưng vì K không thuộc cạnh của hình chóp nên K không
là đỉnh của thiết diện
Nối A’với K , A’K cắt SB tại B’.thiết diện cần tìm la øtứ giác A’B’CD

Ví dụ 2 cho hình chóp S.ABCD A’,B’,C’ lần lượt là các điểm trên ba
cạnh SA, SB, SC, nhưng không trùng vơí S,A,B,C .Xác đònh thiệt diện của
hình chóp khi cắt bởi (A’B’C’)

HƯỚNG DẪN:+ gọi O là giao điểm của AC và BD
+SO cắt A’C’ tại I
+ kéo dài B’I cắt SD tại D’
TH1:D’ thuộc đoạn SD thì D’ là một đỉnh của thiết diện
. Thiết dòên cần tìm làtứ giác A’B’C’D’(hình a)

TH2:D’ nằm trên phần kéo dài của SD (hình b) nên D’ không là đỉnh
của thiết diện ,(SCD) vàØ ((A’B’C’) có hai điểm chung C’ và D’ , khi đó nối
C’ Và D’ cắt CD tại M. M là một đỉnh của thiết diện .,như vậy (A’B ’C’) và
5


(ABCD) có điểm M chung do đó phải tìm giao tuyến của ((A’B’C’) và
(ABCD) , ((A’B’C’)
Và(SAD)
Rõ ràng (SAD) và ((A’B’C’) có hai điểm chung là A’ và D’
A’D’ cắt AD tại N .N là đỉnh của thiết diện
Thiết diện là ngũ giác A’B’C’MN

***HS cần hiểu rõ:ở th1 ((A’B’C’) chỉ cắt (SAB),(SBC),(SCD),(SAD)
Ở th2 ((A’B’C’) cắt luôn (ABCD)
VÍ DỤ 3
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có M,N,P lần lượt là trung điểm của
AB,AA’,A’C’.Tìm thiết diện của lăng trụ với (MNP)

6


HD:+kéo dài MN cắt B’B tại J ,cắt B’A’ tại I
Như vậy I,J thuộc (MNP).Khi đó (MNP)và(A’B’C’) có hai điểm chung I và
P nhưng I không nằm trên cạnh của lăng trụ nên I không là đỉnh của
thiết diện
+Nối I với P , IPcắt B’C’ tại K .Klà đỉnh của thiết diện
+Nôí K với J cắt BC tại H
Thiết diện cần tìm la øngũ giác MNKPH

VÍ DỤ 4
cho hình chóp S.ABCD,N là một điểm trên cạnh SD .Tìm thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi (BCN)

Hs phải nhận xét được :
(BCN) đã có giao tuyến với (ABCD) là BC ,với (SBC) là BC ,với (SCD) là
CN .
(SAB) và (BCN) có điểm B chung do đó ta phải tìm giao tuyến của hai mp
này.
7


Muốn vậy ta tìm giao điểm của SA và (BCN)
HD:
+Gọi O là giao điểm của AC và BD
+SO cắt BN tại I
+Kéo dài CI cắt SA tại E (trong (SAC))
Thiết diện cần tìm là tứ giác BCNE
VÍ DỤ 5:
Cho hình chóp S.ABCD gọi M là một điểm trong tam giác SCD .T thiết
diện của hình chóp khi cắt bởi (ABM)

HS cần nhận xét thấy :
+(ABM) đã có giao tuyến với (ABCD) là AB,với (SAB)là AB
+với (SAD) có điểm A chung ,vậy phải tìm giao tuyến của (ABM) và
(SAD)
,do đó cần tìm giao điểm của SD và (ABM)
+Suy ra phải tìm giao tuyến của (ABM) và (SCD)

Hướng dẫn:

8


+kéo dài SM cắt DC tại N
+gọi P là giao điểm của AC và B
+SP cắt BM tại Q
+kéo dài AQ cắt SC tại R
+kéo dài RM cắt SD tại I
Thiết diện cần tìm là tứ giác ABRI

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:
1) cho hình chóp S.ABCD có AB và CD cắt nhau gọi M là một điểm trên
SD(không trùng với S và D)
Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MAB)
2)Cho tứ diện ABCD H,K lần lượt là trung điểm của AB,BC trên CD lấy
điểm Msao cho KM không song song với BD.Tìm thiết diện của tứ diện
với (HKM)
HD:phân biệt th M ở giữa C và D ,và M nằm ở ngoài đoạn CD
3)Cho hình chóp có đáy làhbh tâm O ,gọi M,N,I lần lượt là ba điểm trên
các đoạn AD,CD,SO . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (MNI)

4)Cho hình chóp có đáy là hình thang với hai đáy là AB và CD gọi I,J lần
lượt là trung d0iểm của AD và BC .Gọi G là trọng tâm tam giác SAB
.Tìm thiết diện của hình chóp với (IJG)

5)Cho tứ diện ABCD g M,N lần lượt là trung điểm của AC và BC .P là
điểm trên cạnh BD sao cho PB=2PD. Tìm thiết diện của hình chóp khi
cắt bởi (MNP)

9

6) Cho hình chóp có đáy làhbh tâm O,gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của
SB, SD, OC . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (IJK)

DẠNG 2 :dùng quan hệ song song

Sử dụng các cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng như sau:

+)

a // b


a ⊂ ( P)

 ⇒ ( P) ∩ (Q) = I X // a // b
b ⊂ (Q)

I ∈ ( P ) ∩ (Q ) 

(nếu hai mp lần lượt chứa hai đường thẳng song song và có một điểm
chung thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua điểm đó và song
song với hai đường thẳng ấy)

+)

a //( P )



a ⊂ (Q)
 ⇒ ( P ) ∩ (Q) = At // a
A ∈ ( P) ∩ (Q) 

(Mp (Q) phải là mp chứa a và có điểm chung với (P))
+)

( P ) //(Q)


( R ) ∩ ( P) = a  ⇒ ( P) ∩ (Q) = Ay // a
A ∈ ( R ) ∩ (Q) 

(mp (R) phải là mp đã có giao tuyến sẵn với (P) và có điểm chung với (Q))

Ví dụ 6
cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang (AB//CD) .Gọi I,J lần lượt là
trung điểm của AD và BC ,G là trọng tâm tam giác SAB .Tìm thiết diện
của hình chóp khi cắt bởi (IJG)
10


Nhận xét:
(SAB) và (IJG) có điểm G chung
⇒ ta phải tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)

(SBC) và (IJG) có điểm J chung, (IJG) và(SAD) có điểm I chung
⇒ phải tìm giao tuyến của (IJG)và hai mp này

HD:

IJ // AB


IJ ⊂ ( IJG )

 ⇒ ( SAB ) ∩ ( IJG ) = GX // IJ // AB
AB ⊂ ( SAB )

G ∈ ( IJG ) ∩ ( SAB ) 

Gx cắt SA tại H cắt SB tại K
Thiết diện cần tìm là hình thang IJKH

Ví dụ 7
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành I,J lần lượt là trọng tâm
các tam giác SAB và SAD
M là trung điểm của CD. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (IJM)
11


HD
IJ // BD


IJ ⊂ ( IJM )

 ⇒ ( IJM ) ∩ ( ABCD) = M X // BD // IJ
BD ⊂ ( ABCD )

M ∈ ( IJM ) ∩ ( ABCD ) 

MX cắt BC tại N ,cắt BA kéo dài tại K
I,J là điểm chung của (IJM) và (SAB)
+Nối I với K cắt SA tại R,cắt SB tại P
(IJM) và (SAD) có R và J chung nhưng J không là đỉnh của thiết diện
+ta kéo dài RJ cắt SD tại F
Thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPRF

VÍ DỤ 8
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.Gọi G là trọng tâm tam
giác SAC.(P) qua G và song song với SC,BD .Tìm thiết diện của hình chóp
khi cắt bởi mặt phẳng (P)
12


NHẬN XÉT:
G là trọng tâm tam giác SBD cũng là trọng tâm tam giác SAC
( P ) // SC


SC ⊂ ( SAC )
 ⇒ ( SAC ) ∩ ( P) = GX // SC
G ∈ ( P ) ∩ ( SAC ) 

GXcắt AC tại N, cắt SA tại M
BD //( P)


BD ⊂ ( ABCD )
 ⇒ ( P ) ∩ ( ABCD ) = NY // BD

N ∈ ( P ) ∩ ( ABCD) 

NY cắt BC tại H,cắt CD tại K
Tương tự qua K, H kẽ đường thẳng song song với SC lần lượt cắt SD tại
J,cắt SB tại R
Thiết diện cần tìm là ngũ giác KHJMR

VÍ DỤ 9:
13


Gọi M là một điểm trên cạnh AD của hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm thiết
diện của hình hộp khi cắt bởi mp(P) qua M và song song với BD;AC ’

HD:ta có:
+BD//(P),BD ⊂ (ABCD),Hai mặt này có điểm Mchung
.suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua M và song song với
BD,đương thẳng này cắt CD,CB kéo dài lần lượt t F và E ,cắt AC tại
I ,cắt BA tại N
+Tương tự AC’//(P),AC’ nằm trong (ACC’) và
hai mặt này có điểm I chung .
suy ra giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua I và song song với AC ’,
đường thẳng này cắt CC’ tại Q
+(CDD’C’) và (P)có hai điểm chung Q và F nhưng F không nằm trên cạnh
của hình hộp nên không là đỉnh của thiết diện.
Do đó nối Q với F,cắt DD’ tại H
+ tương tự nối Q với R cắt BB’ tại R
Thiết diện cần tìm là ngũ giác MNRQH
14

VÍ DỤ 10 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O.Tam giác SBD
đều . một mặt phẳng (P) đi qua điểm I nằm trên đoạn AC và song song
với (SBD) . Tìm thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp(P)

HD: I có thể thuộc đoạn OA hoặc đoạn OC nên phải chia làm hai trường
hợp
+TH1:I ∈ OA
Vì (SBD)//(P),(ABCD) cắt ø (SBD) theo giao tuyến là BD.
Như vậy ((ABCD) cắt (P) theo giao tuyên là đường thẳng đi qua I và song
song với BD,giao tuyến này cắt AB tại M, cắt AD tại N
Tương tự (P) cắt (SAB) theo giao tuyến MP//SB,cắt (SAD) heo giao tuyến
NQ// SD
thiết diện cần tìm là tam giác đều MNP
Lí luận tương tự cho th2
Đặc biệt :nếu I ≡ O thì thiết diện là tam giác SBD
15


Bài giải:
TH1: I∈ OA
( SBD) //( P)


Ta có: ( ABCD) ∩ (SBD) = BD  ⇒ ( ABCD ) ∩ ( P) = I X // BD

I ∈ ( ABCD) ∩ ( P )


IX cắt AB tại M, cắt AD tại N

( SBD) //( P)


( SBD) ∩ ( SAB) = SB  ⇒ ( SBD) ∩ ( P ) = M Y // SB
M ∈ ( SBD) ∩ ( P ) 

My cắt AD tại N
Tóm lại:
(P) ∩ (ABCD)=MN
(P) ∩ (SAD)=NQ
(P) ∩ (SAB)=QM
Thiết diện cần tìm là tam giác đều MNQ
TH2 tương tự

VÍ DỤ 11:
Cho tứ diện ABCD , G1 ,G2 ,G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC
,ACD, ADB.Tìm thiết diện của tứ diện khi cắt ( G1 G2 G3 )

16


HD
Gọi M,N,I lần lượt là trung điểm của BC,CD,BD
Ta chứng minh được ( G1 G2 G3 ) //(BCD).
Như vậy hai mp này cùng cắt (ABC) theo hai giao tuyến song song
mà (BCD) cắt(ABC) theo giao tuyến là BC
Suy ra ( G1 G2 G3 ) và (ABC) có giao tuyến ss với BC
ngoài ra (ABC) và ( G1 G2 G3 ) có điểm G1 chung

.Như vậy giao tuyến của chúng là đường thẳng qua G1 và song song với
BC

BÀI GIẢI:
AG

AG

2

3
1
Ta có: AM = AI = 3 ⇒ G1G3 // MI ⇒ G1G3 //( BCD ) (1)

AG2 AG3 2
=
= ⇒ G2G3 // NI ⇒ G2G3 //( BCD) (2)
AN
AI
3

Từ (1) và (2) suy ra (BCD)// ( G1 G2 G3 )
( G1 G2 G3 ) //(BCD)
(ABC) ∩ (BCD)=BC
G1 ∈ ( ABC ) ∩ ( G1 G2 G3 )



 ⇒ ( ABC ) ∩ ( G1 G2 G3 )=G1 x // BC




G1 x cắt AC tại E,cắt AB tại F
Kéo dài EG2cắt AD tại H
Tóm lại:
( G1 G2 G3 ) ∩ (ABC)=FE
17


( G1 G2 G3 ) ∩ (ACD)=EH
( G1 G2 G3 ) ∩ (ABD)=HF
Thiết diện cần tìm là tam giác FEH

VÍ DỤ 12
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi d là giao tuyến của (AB’C’) và
(A’BC).H là trung điểm của A’B’ .
Tìm thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi mp(H,d)

BÀI GIẢI
Gọi O ,O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABB’A’ và ACC’A’
Thì (AB’C’) ∩ ø (A’BC).=OO’=d
Kéo dài HO cắt AB tại K
Ta có

18






'
 ⇒ ( ABC ) ∩ ( HOO ) = Kx // BC ,Kx cắt AC tại J
'
'
OO ⊂ ( HOO )

' 
K ∈ ( ABC ) ∩ ( HOO ) 
BC // OO '
BC ⊂ ( ABC )

Mặt khác:


(HOO ) ∩ ( ABC ) = KJ  ⇒ (HOO' ) ∩ ( A'B'C')=Ht//KJ
H ∈ (HOO' ) ∩ ( A'B'C') 
( A'B'C')//(ABC)
'

Ht cắt A’C’ tại I
Tóm lại:
(H,d) ∩ (ABC)=KJ
(H,d) ∩ (ACC’A’) =JI
(H,d) ∩ (A’B’C’) =IH
(H,d) ∩ (ABB’A’) =HK
Rõ ràng tứ giác KJIH là hình bình hành (vì K,J,I,H lần lượt là trung
điểm của AB,AC,A’C’,A’B’)
Vậy Thiết diện cần tìm là hình bình hành KJIH

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1)cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi I,J lần lượt là
trung điểm của SA,SB,M là một điểm trên cạnh BC. Tìm thiết diện của
hình chóp khi cắt bởi (IJM)
2) cho hình chóp S.ABCD ,M,N là hai điểm trên AB,CD, (P) qua MN và
song song với SA. Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
3) cho hình chóp S.ABCD ,M.N là hai điểm bất kì trên cạnh SB,CD . (P)
qua MN và song song với SC.
Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
19


4) cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi .Gọi O là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD.Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi
mp qua O và song song với AB,SC
5)cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.Gọi M,N,E lần lượt là trung điểm của
AB,AA’,A’D’.
Tìm thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mp (MNE)
6) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ gọi I,K,G lần lượt là trọng tâm của các
tam giác ABC,A’B’C’,ACC’ . Tìm thiết diện của hình lăng trụ khi cắt bởi
mp (IKG)

III/ YÊU CẦU:
Học sinh đọc kó ví dụ,từ những hướng dẫn cụ thể đó ,học sinh phải tự giác tự
trình bày bài giải (dựa vào các ví dụ có trình bày lời giải sẵn),để hiểu bài
một cách thật sự.Từ đó sẽ tự giải quyết được bài tập tương tự

20


KẾT LUẬN

Trên đây là vài kinh nghiệm nhỏ của tôi khi dạy về vấn đề tìm thiết diện
của hình chóp ,hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng .Tôi đã dùng
cách hướng dẫn này với các lớp mình dạy và thấy rằng qua sự phân
tích ,hướng dẫn thật kó của giáo viên ,đã giúp học sinh hiểu được cách
giải quyết dạng toán này .Các em đã tích cực hơn khi làm dạng bài tập
này ,với những bài tập tương tự vừa sức như đã nêu chắc chắn rằng các
em sẽ tự giải được.Dựa vào kiến thức này các em có thể áp dụng mở
rộng khi tìm thiết diện của một đa diện khi cắt bởi một mặt phẳng mà
các em sẽ gặp

Rất mong được sự đóng góp ý kiến của Qúi Thầy Cô để đề tài được hoàn
chỉnh hơn

21


22