Bài tập bất đẳng thức cosi (phần 4)-Trần Phương

Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

B T

ng

B t đ ng th c Cô - si

NG TH C CÔ-SI (PH N 04)
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: TR N PH

NG

Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng B t đ ng th c Cô - si (Ph n 04) thu c khóa h c B i
d ng h c sinh gi i Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph ng t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u qu , b n
c n h c tr c bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

C NG THÊM H NG S
a,b,c  0

1. Cho 

a  b  c  3abc

. Ch ng minh r ng:

1
1
1

 7  7 3
7
a
b
c

HD
a , b, c  0
1
1
7
 7 11111
7
ab
a
b
1
1
7
 7 11111
7
bc
b
c
1
1
7
 7 11111
7
ca

c
a
1
1
 1
 2  7  7  7
b
c
a
1
1
 1
 7  7  7
b
c
a

1
1 

 1

   21
  15  7 
ab
bc
ca





3


2. Cho a , b, c  0 th a mãn a 3  b 3  c 3  3 . Ch ng minh r ng a 5  b 5  c 5  3
HD
a , b, c  0
a 5  a 5  a 5  1  1  5a 3
b 5  b 5  b 5  1  1  5b 3
c 5  c 5  c 5  1  1  5c 3









 3 a 5  b 5  c 5  6  5 a 3  b 3  c 3  15
 a 5  b5  c5  3

3. Cho a , b, c  0 th a mãn a 3b 3  b 3 c 3  c 3 a 3  1 . Ch ng minh r ng: a 7  b 7  c 7  61

3

HD
a , b, c  0
a 7  a 7  a 7  b7  b7  b7 

1

 3
6

Hocmai.vn – Ngôi tr

7



7 3 3
a b
3

6

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

b7  b7  b7  c7  c7  c7 

1

 3
6

a 7  a 7  a 7  c7  c7  c7 

1

 3
6



7



7

7



6



3

ng

B t đ ng th c Cô - si

b 3c 3

7 3 3
c a
3

6





7
7
 6 a 7  b 7  c 7  63  6 a 3b 3  b 3c 3  c 3a 3  6
3 3
3
3
 a 7  b 7  c 7 

1
3

6

4. Cho a , b, c  0 th a mãn a 2  b 2  c 2  3 . Ch ng minh r ng:

a 5 b5 c5


3
b2 c2 a 2

HD
V i a , b, c  0 ta có
a5 a5
 2  b 2  b 2  1  5a 2
2
b
b
b5 b5

 c 2  c 2  1  5b 2
c2 c2
c5 c5
 2  a 2  a 2  1  5c 2
2
a
a
 a 5 b5 c5 
 2 2  2  2   2 a 2  b2  c2  3  5 a 2  b2  c2
c
a 
b















3
a 5 b5 c5 3 2
 2  2  a  b2  c2   3
2
2
2
b
c
a

6
6
6
2
2
2
5. Cho a , b, c  0 th a mãn a b  b c  c a  3 . Ch ng minh r ng: a 3  b 3  c 3  3

c

a

b

b

c

a

HD
V i a , b, c  0 ta có
2

a 6  a 6  b6  b6  1  1  6 a b
c
b3 b3 c3 c3
2

b6  b6  c6  c6  1  1  6 b c
a
c3 c3 a 3 a 3
2
c6  c6  a 6  a 6 11  6 c a
b
a 3 a 3 b3 b3
6
6

2
2
 6

 2

 4  a 3  b 3  c 3   6  6  a b  b c  c a   18
a
b 
c
a 
b
 c
6
6
6
 a 3  b3  c 3  3
b
c
a

6. Cho a , b, c  0 th a mãn a  b  c  1 . Ch ng minh r ng:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

a6
b6
c6

1



2 2
2 2
2 2
3
b c
c a
a b

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khoá h c BDHSG Chuyên đ B t đ ng th c – Th y Tr n Ph

ng

B t đ ng th c Cô - si

HD
V i a , b, c  0 ta có
a6
 b 2  c 2  3a 2
2 2
b c
b6

 c 2  a 2  3b 2
c 2a 2
c6
 a 2  b 2  3c 2
2 2
a b




 

a6
b6
c6


 2 a 2  b2  c2  3 a 2  b2  c2
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2



a  b  c 1
a6
b6
c6
 2 2  2 2  2 2  a 2  b2  c2 

3
3

b c
c a
a b
2

7. Cho a , b, c là đ dài 3 c nh tam giác th a mãn a 2  b 2  c 2  1 .
9

3
3
3
Ch ng minh r ng: S   2b  2c  a    2c  2a  b    2a  2b  c   1

3

ang updateầầầầ.
8. [Iran MO 1997] Cho a , b, c, d  0 th a mãn abcd  1 . Ch ng minh r ng:



a 3  b3  c 3  d 3  max a  b  c  d ; 1  1  1  1
a b c d



ang updateầầầầ.
2



a b c
9. [UKMO 2005] Ch ng minh r ng:       a  b  c  1  1  1
a b c
b c a



a, b, c > 0

ang updateầầầầ.

Giáo viên : Tr n Ph
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

:

ng

Hocmai.vn

- Trang | 3 -