Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số vô tỷ ( TIẾP)

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

II. Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa về tích số

A

A
3

A
3

A

3

B

A B

B

AB
3

B

A B
A  B2
AB
A B

A2  3 AB  3 B2
3

B

AB

3

A B3

A B AB
2

3

A2  3 AB  3 B2

2
3

A 2  B 3 A  B2

 Phân tích bài toán và hướng tư duy đi đến lời giải (tương tự cho

f ( x ))

f ( x)  g( x)  h( x)  0

Gi


3

f ( x)  g( x)

ướng

h( x)

f ( x)  g( x)

3x  2  x  1  2x2  x  3,

(3x  2)  ( x  1)  2x  3

2x  3
f ( x)  g( x)

2x2  x  3  (2x  3)( x  1)
h( x),


PP
x  xo 
 ghép h ng s .

ướng .

f (X)  g(X)  h(X)

x  xo .
( f (X)  g(X)  h(X)) : ( X  xo )

x  xo
x  xo

m, n
m

f ( xo ), n  g( xo )

x  xo

[ f ( x)  m]  [n  g( x)]  h( x)  m  n  0

h( x)  m  n.
17


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

câu:

3x  1  6  x  3x2  14x  8  0.

x  5 nên

m  3.5  1  4

n 65 1

( 3x  1  4)

x  5.

(1  6  x )

3x  14x  5  ( x  5)(3x  1)

x  5.

2



ẹp x  x1 , x  x2  ghép ax  b.
PP

ướng

ax  b
a, b
 f ( x )  ax  b
1
1
 a, b

 f ( x2 )  ax2  b

f ( x)

c

g( x). Thí d gi i: 2 3x  4  3 5x  9  x2  6x  13.

ax  b

x  0, x  1

ax  b

3x  4


b  2
 3.0  4  a.0  b


a1

 3.( 1)  4  a.( 1)  b 

2  3x  4  ( x  2)


3.  5x  9  ( x  3) .



5x  9


l sau hi nhân lượng liên hợp

( x  xo )  f ( x)  0

(ax2  bx  c). f ( x)  0.
nh f ( x)  0,

f ( x)

f ( x)  0,



f ( x)

x
f ( x)), suy ra f ( x)



f ( x)  0
( A  B,

A  B ,...)

A  B  k)

18

f ( x)  0

x.


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

. Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ hoặc dễ xác định nhân t .
 Nhóm I: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn lại

3x  2  x  1  2 x 2  x  3

Ví dụ 21.

()

Học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm 2014
x

 Lời giải
() 


2

3

( 3x  2  x  1)( 3x  2  x  1)
3x  2  x  1
2x  3
3x  2  x  1

 2 x2  x  3

 (2 x  3)( x  1)  0


3
x  2


1
 (2 x  3)  
 ( x  1)   0  
1

 3x  2  x  1

 x  1 (1)
 3x  2  x  1

2
5
2
(2)
x 
f ( x)  x  1   1   1

3
3
3
3
1
2
g( x) 

 0, x  
g( x)  3x  2  x  1
3
2 3x  2 2 x  1
2

1
1
g( x)
 3 ;   nên h( x)  g( x) 
3x  2  x  1


2

2
15
h  x  h   
 1 hay h( x)  1
 3 ;    max
5


  23 ;  
 3


(3)



f ( x)  h( x)
x  3/2.
f ( x) trong (2x  3). f ( x)  0

Kết luận
Bình luận. S
1
3X  2  X  1

 ( X  1)

f ( x)

f ( x)



Ví dụ 22. Gi

g( x)

g( x)  h( x)

x  1  1  4 x 2  3x

()

Đề thi thử Đại học khối D năm 2013 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc
19


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

3x  ( x  1)  2x  1

Phân tích. Khi ghép

4x  1  (2x  1)(2x  1)
2

ế
ẳ

A B

:

é

( A  B )( A  B )
A B



x  0.

 Lời giải

2x  1

()  (4 x2  1)  ( 3x  x  1)  0  (2 x  1)(2 x  1) 

0

3x  x  1



1
1
 (2 x  1)   2 x  1 
  0  2x  1  0  x  
2
3x  x  1 

 0, x  0

x

Kết luận

1


2

()

3.(2  x  2)  2x  x  6

Ví dụ 23. Gi

Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự
Phân tích Rú

ọ

()  2.(3  x)  x  6  3 x  2  x  6  9 x  18 và

3x

ghép ( x  6)  (9x  18)  8x  24  8.(3  x)
é

ờ

 Lời giải

ả

ế

:

x  2  0
 x  2.

x  6  0
8.(3  x)

()  2.(3  x)  x  6  9 x  18  2.(3  x) 

x  6  9 x  18
 x  3 (TM)


4
 (3  x)   1 
0
x  6  9 x  18 

 x  6  9 x  18  4

(1)

(1)  10x  12  2 ( x  6)(9 x  18)  16  9 x2  36 x  108  14  5x

 14
 14
11  3 5
x 
x 



x
(TM)
5
5
2
9 x2  36 x  108  (14  5x)2
16 x2  176 x  304  0


x  3, x 

Kết luận
Ví dụ 24.

2 x2  x  9  2 x2  x  1  x  4

Phân tích

20

()

ế
ế

x  4  0  x  4

11  3 5


2

ọ

ả

ả
é

ờ


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

: (2x2  x  9)  (2x2  x  1)  2( x  4)

x4
ế
x  4  0  x  4.

 Lời giải
() 

é
ả

ờ

ả

:

( 2 x2  x  9  2 x2  x  1)( 2 x2  x  9  2 x2  x  1)
2 x2  x  9  2 x2  x  1

x4

(do : 2x2  x  9  2x2  x  1  2x  8  x  4, x  4)



2( x  4)
2x  x  9  2x  x  1
2

2

 x  4  2 x2  x  9  2 x2  x  1  2

(1)

 2x2  x  9  2x2  x  1  2
 2
 2x  x  9  2x2  x  1  x  4

(),

2 2x2  x  9  x  6  4(2x2  x  9)  ( x  6)2

 7 x2  8 x  0  x  0

x

8
:
7
x  0, x 

Kết luận
Bình luận

8

7

x  4,

ế

f ( x)  0
đưa về hệ tạm

ế

ọ
ả

V

?!  T

TL

f ( x)  g( x)  ax  b.

ờ

f ( x)  g( x), (hay ax  b  f ( x))

é

é
ế

 Lời giải

ờ

x2  9x  24  6x2  59x  149  5  x

Ví dụ 25. Gi
Phân tích

ế

()

(6x2  59x  149)  ( x2  9x  24)  5x2  50  125  5( x  5)2
x5
é
D .

()  6x2  59x  149  x2  9x  24  x  5



5.( x  5)2

x5
6 x2  59 x  149  x2  9 x  24


5.( x  5)
 ( x  5)  
 1  0
2
2

 6 x  59 x  149  x  9 x  24

21


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

x5

6x2  59x  149  x2  9x  24  5.( x  5)

(1)

2
2

(2)
 x  9 x  24  6 x  59 x  149  5  x

2
2
(3)

 6 x  59 x  149  x  9 x  24  5.( x  5)

19
x  5
x2  9 x  24  2 x  10   2
x 
3

3x  31x  76  0

(), (1),

(2)  (3), suy ra:

19

3

x  5, x 

Kết luận
3

Ví dụ 26.

x 2  x  1  x 2  2  3 2 x  3  3x

( x2  x  1)  (2x  3)  x2  3x  2

Phân tích
3

:

A3B

( 3 A  3 B )  ( A2  3 AB  B2 )
3

3

( A  AB  B )
3

2

3

x2  3x  2,

D .

 Lời giải

3

2

ờ

()

é
AB



ả

( A  3 AB  3 B2 )
3

2

:

a  3 x2  x  1; b  3 2x  3

()  ( 3 x2  x  1  3 2x  3)  ( x2  3x  2)  0

x2  3x  2



( x  x  1)  ( x  x  1)(2 x  3)  (2 x  3)
2

3

2

3

2

3

2

 ( x2  3x  2)  0

x  1

1

 ( x2  3x  2)   2
 1   0  x2  3x  2  0  
2
 a  ab  b


x  2

Nhận xét T

é

ả

a  A , b  B.
3

3

ẳ
2

: (a  b).(a2 ab  b2 )  a3  b3

q

3

Ví dụ 27. Gi

: a2

x  2  3 x  1  3 2x2  3 2x2  1

()

D .

 Lời giải.

()  ( 2x  x  1)  ( 3 2x2  1  3 x  2)  0
3


b  3b2
ab  b2   a
 0.
 
2
4


2

3

(1)

a  3 2x2 , b  3 x  1, m  3 2x2  1, n  3 x  2.

2 x2  x  1
2 x2  x  1

0
a2  ab  b2 m2  mn  n2


1
1
 (2 x2  x  1)   2
 2
2
a

ab

b
m

mn
 n2


(1) 

Kết luận
22


1
x 
0 x1 h
2

x  0,5 và x  1.

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

()

( x  3  x  1)( x2  x2  4x  3)  2x

Ví dụ 28.
Nhận xét

ờ
ế

ế
( x  3)  ( x  1)  2

x

ả

ế
x 3  x1  0
x  0 ?!

 Lời giải

ế
ờ

ả

ế
x

:

()  x2  ( x  1)( x  3)  x.( x  3  x  1)

 ( x2  x x  3)   ( x  1)( x  3)  x x  1   0


 x( x  x  3)  x  1( x  3  x)  0  ( x  x  3)( x  x  1)  0

 x3 x
1 5

x
2
 x  1  x

x

1  13
2
x

Kết luận

1 5
1  13
, x


2
2

()

Ví dụ 29. Gi i: ( x2  x  1  4x2  x  1).( 5x2  1  2x2  1)  3x2
(5x2  1)  (2x2  1)  3x2

Phân tích
ế

ờ

 Lời giải

ế

ả

ả
:
D .

x0


 V

x  0, ta có: () 

x2  x  1  4x2  x  1
5x  1  2 x  1
2

2

 3x2  3x2

 4 x  x  1  x  x  1  5x 2  1  2 x 2  1
2

2

(1)

Do x  0 thì

x2  x  1  4x2  x  1 và 5x2  1  2x2  1 nên:
3x2
3x2
(1) 

4 x2  x  1  x2  x  1
5x2  1  2 x2  1
1
1


2

2
2
4x  x  1  x  x  1
5x  1  2 x 2  1
 4 x 2  x  1  x 2  x  1  5x 2  1  2 x 2  1
(2)
2
2
2
2
 4 x  x  1  x  x  1  5x  1  2 x  1 (3)
(1), (2), suy ra: 
 4 x2  x  1  x2  x  1  5x2  1  2 x2  1 (4)
(3)  (4)  4x2  x  1  5x2  1  x2  x  0  x  0

Kết luận

x  1 (TM)

x  0, x  1.
23


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

5.( x  3)

()
2 x2  18
Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương

x1 2 4 x 

Ví dụ 30. Gi

Phân tích. Có

x  1  2 4  x  x  1  16  4x và ( x  1)  (16  4x)  5.( x  3)

é

ờ

ả sau:

1  x  4.

 Lời giải

()  2x2  18.( x  1  16  4 x )  5.( x  3)



 x  3 : TMĐK
 5.( x  3)  
2
x  1  16  4 x
 2 x  18  x  1  16  4 x (1)

5.( x  3) 2 x2  18

(1)  2x2  3x  1  4 ( x  1)(4  x)  4 x2  3x  4  2 x2  3x  1

(2)

x  1, x 

Nhận xét S
( x  1).(2x  3)  2x2  x  3,

3
, hay
2
:

AB

Hướng 1


1
2 x2  3x  1  0
 x  1  x  
(2)   4

2

3
2
( x  1)(2 x  3)(2 x2  7 x  21)  0
4 x  12 x  29 x  42 x  63  0


3
 x  1
x :
2
2x2  x  3.
Hướng 2
(3)
(2)  (2 x2  x  3)  4. ( x  1)  x2  3x  4   0



x  1

Xét x  1  x2  3x  4  0  x  1
Xét x  1  x2  3x  4  0  x  1,
(3)  (2 x2  x  3) 

4.(2 x  x  3)
2

x  1   x 2  3x  4

x  (1; 4].
0

 x  1


4

2
 (2 x  x  3)   1 

  0  2 x  x  3  0  

2
x  3
x  1   x  3x  4 


2
2

 0, x  ( 1;4].

a n  bn

Hướng 3.
ẵ

(2)  4  2.2. x2  3x  4  ( x2  3x  4)  x2  6 x  9

24


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

 2   x2  3x  4  x  3
 (2   x2  3x  4)2  ( x  3)2  
 2   x2  3x  4   x  3


  x 2  3x  4  x  2
3

 x  1  x  
2
2
  x  3x  4  x  5  0 : VN x  1; 4 
o



2x  4  2 2  x 

Ví dụ 31. Gi

()

x2  4

(2x  4)  (8  4x)  6x  4

Phân tích.
ế
 Lời giải

6x  4

ế

é

ờ

ả

ả

:

2  x  2.

()  x2  4.( 2 x  4  8  4 x )  6 x  4 


 (6 x  4)  



(6x  4) x2  4

 6x  4
2x  4  8  4x

2

x2  4
x  3

1  0  


2x  4  8  4x

 2 x  4  8  4 x  x2  4 (1)

(1)  2x  12  2 (2x  4)(8  4 x)  x2  4  4 8  2 x2  x2  2 x  8
2  x  2
x  2

  x  4  x  2

 x  2.
 f (2)  0
 f ( x)  x 4  4 x 3  20 x 2  32 x  64  0


x

Kết luận
Nhận xét Q

ế 31
é
ả q

2
, x  2.
3
ế
é

ẳ

S

ế

.

 Nhóm II: S dụng casio, tìm nghiệm duy nhất x  xo  ghép hằng số.
PP

()

3x  1  6  x  3x2  14x  8  0

Ví dụ 32. Gi

Đại học khối B năm 2010
Phân tích

é
:

=

ả

3X  1  6  X  3X2  14X  8 và
X  5.

2

ú ( 3X  1  6  X  3X 2  14X  8) : ( X  5) và
ế shift solve 2 = thì cho ế q ả

ế
25


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

T

ẳ

1

é

é : ( 3x  1  m)  (n  6  x )  3x  14x  8  m  n  0
2

T

x  5,

ĩ

m, n

m  3x  1  3.5  1  4




n  6  x  6  5  1

 ( 3x  1  4)  (1  6  x )  3x2  14x  5  0

(  )

( x  5)

ờ

ả

ế

:

3x  1  0
1
   x  6.

3
6  x  0

 Lời giải

()  ( 3x  1  4)  (1  6  x )  3x2  14 x  5  0



3( x  5)



x5

 (3x  1)( x  5)  0
3x  1  4 1  6  x


3
1
 ( x  5)  

 3x  1   0  x  5.
 3x  1  4 1  6  x


 1 
Do x    ; 6  , suy ra:
 3 
Kết luận

3
3x  1  4



1
1 6  x

 3x  1  0.

x  5.
()

3x2  10x  3x  3  x3  26  5  2x

Ví dụ 33. Gi

x2

Phân tích S
é

: ( 3x  3  m), ( 5  2x  n)

m  3x  3  3.2  3  3, n  5  2x  5  2.2  1

ờ

ả:

3x  3  0
5
 1  x  


5

2
x

0
2


 Lời giải

()  ( 3x  3  3)  (1  5  2x )  x3  3x2  10 x  24  0



3( x  2)



2( x  2)

 ( x  2)( x2  x  12)  0

3x  3  3 1  5  2 x


3
2
 ( x  2)  


 ( x2  x  12)  0
5  2x  1
 3x  3  3

3
2
x2

 x2  x  12
(1)
3x  3  3
5  2x  1
 5
1
f ( x)  x2  x  12
 1; 2  có f ( x)  2 x  1  0  x  2 



5
33  1 
49
Mà f ( 1)  10, f     , f      Suy ra: max f ( x)  10.
 5
2
2
2
2
 1; 2 



26




khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

VP(1)  f ( x)  10, mà VT(1) 

3
3x  3  3

 5
 0, x  1;  ,
5  2x  1
 2
2



x  2.

Kết luận
Ví dụ 34. Gi i:

3x 2  4 x  2  3 x  1  2 x  1  6 x 3  7 x 2  3  0

()

x1

Phân tích S
é
x  1,

ờ

ả

:

2 x  1  0; 3x  1  0
1

x 
 2
2

3x  4 x  2  0

 Lời giải.

()  ( 3x2  4x  2  1)  ( 3x  1  2)  ( 2 x  1  1)  6 x3  7 x2  1  0




3x2  4 x  1

3x  4 x  2  1
( x  1)(3x  1)
2




3x  3
3x  1  2
3( x  1)




2x  2
2x  1  1
2( x  1)

 6 x3  7 x2  1  0
 ( x  1)(6 x2  6 x  1)  0

3x  1  2
2x  1  1
3x  4 x  2  1


3x  1
3
2
 ( x  1)  



 6 x2  6 x  1   0


2
3x  1  2
2x  1  1
 3x  4 x  2  1

2

x  1


3x  1
3
2


 6 x2  6 x  1  0 (1)
 3x2  4 x  2  1
3x  1  2
2x  1  1

1

1
f ( x)  6x2  6x  1 trên  ;   có f (t )  12 x  6  0, x  
2

2

1

1 7
 2 ;   , suy ra: f ( x)  f  2   2 
 


3x  1
3
2
1
Mà g( x) 


 0, x  
2
3x  1  2
2x  1  1
3x 2  4 x  2  1
VT(1)  f ( x)  g( x)  0,

f ( x)

x  1.

Kết luận:

x2  15  3x  2  x2  8

Ví dụ 35. Gi

x  1,

Phân tích S

: ()  x  15  x2  8  3x  2
2

ghé
và có

()

x2  15  x2  8  0, x

()

3x  2  0. V

ế
27


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

2

3

x

 Lời giải 1
()  x2  15  4  x2  8  3  3x  3 

 ( x  1)  



 x 1

VT(1)  ( x  1) 




x  1  0
nên VT(1)  0  3  VP1
 2
2
x

8

x

15

1


0



x  1.

Kết luận

: ()  x  15  x2  8  3x  2  0

 Lời giải 2

2

2
có:
3
x2  8  x2  15 
2
  3  0, x  
2
2
3
( x  8)( x  15) 

f ( x)  x2  15  x2  8  3x  2 v

f ( x) 



x2  1

 3( x  1)
x2  15  4
x2  8  3

x1
x1

 3  0

x2  15  4
x2  8  3

x1
x1
(1)

3
2
2
x  15  4
x 8 3

1
1
x2  8  x2  15  1



(
x

1)


x2  15  4
x2  8  3 
( x2  15  4)( x2  8  3)

2
, suy ra:
3

x

x2  1

x
x2  15




 3  x. 

x2  8
x

x>

2

 ;   và có f (1)  0, nên x  1
3


f ( x)

3

Ví dụ 36. Gi

x  9  2 x 2  3x  5x  1  1

()

Học sinh giỏi Tp. Hà Nội 2013

x  1.

Phân tích S
é

ờ

5x  1  0  x 

ả 1

:

1

5

 Lời giải 1
()  ( 3 x  9  2)  (2  5x  1)  2x2  3x  5  0



28

x 1
( x  9)  2 x  9  4
3

2

3



5( x  1)
5x  1  2

 ( x  1)(2 x  5)  0

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821



1
5
 ( x  1) 

 2x  5  0  x  1 :
2
3
5x  1  2
 ( x  9  1)  3

1
5
5 2
1
Do

 2 x  5     5  0, x  
2
3
2 5
5
( x  9  1)  3
5x  1  2

Nhận xét

é
( x  xo ). f ( x)

q

ế
f ( x)

f ( x)

ả

Đối với loại ghép h ng số
phương pháp truy ngư c d u

f ( x)

đối với phương trình c nghiệm duy nh t

 Bước 1.

ả

ả

:

é

:

ế

()  x  9  5x  1  2x2  3x  1  0
3

 Bước 2

ax
3

:

x  9  2  ( x  1) 

1
( x  9)  2 3 x  9  4
2

3

,

1

:

( x  9)  2 3 x  9  4
2

3

2  5x  1 

5(1  x)
2  5x  1

( m  A ) thành

 ( x  1) 

5
2  5x  1

A ( A  m)),

:

,

5x  1  ( 5x  1  2) 

5( x  1) 5x  1
5x  1  2

5x  1( 5x  1  2)  5x  1  2 5x  1

5x  1

ế

ờ

ả

:

 Lời giải 2. Ta có: ()  2 x  9  2 5x  1  4x  6x  2  0
2

3

 2( 3 x  9  2)  5x  1( 5x  1  2)  4 x2  x  5  0



x 1
( x  9)  2 x  9  4
3

2

3



5( x  1) 5x  1
5x  1  2

 ( x  1)(4 x  5)  0



1
5 5x  1
 ( x  1)  

 (4 x  5)  0  x  1  0  x  1.
2
3
5x  1  2
 ( x  9  1)  3


Ví dụ 37. Gi

x  2  4  x  2 x  5  2 x 2  5x

()

Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng
5
 x  4.
2
 Phân tích và lời giải 1. (L

ờ
é

:S

x3
:
29


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

( x  2  m), ( 4  x  n), ( 2x  5  p)

m, n, p

x  3,
m  x  2  1, n  4  x  1, p  2x  5  1.
()  ( x  2  1)  ( 4  x  1)  ( 2x  5  1)  2x2  5x  3



x3



3x

2( x  3)



 ( x  3)(2 x  1)
x2 1

4 x 1
2x  5  1


1
1
2
 ( x  3)  


 (2 x  1)  0
4 x 1
2x  5  1
 x2 1

x  3
 
1
2
1

 2x  1 
(1)
 x  2  1
2x  5  1
4 x 1


1
2

1 2

  3
VT(1) 
5 

x2 1
2x  5  1 1 1
(1) vô nghi m do x   ; 4  có 
1
5
2 
VP  2 x  1 
 2 x  1  2.  1  6
(1)

2
4x 1
Kết luận: So v
u ki
m duy nh t x  3.
 Phân tích và lời giải 2. (T
c d u): Sau khi chuy n vế sao cho h s

thì ()  2x2  5x  x  2  4  x  2x  5  0 nếu ghép và liên

th c luôn

ờng thì (1  x  2) 

h

(1  2 x  5) 

2(3  x)
1  2x  5

3x
1 x  2

( a), (1  4  x ) 

(c) th y bi u th c (a), (c) b

x3
1 4  x

(b) và

c d u so v i bi u th c

c l i theo d ng m  A  A( A  m) và có lời giải 2.

( b)

()  2x2  5x  x  2  4  x  2x  5  0

 x  2( x  2  1)  (1  4  x )  2x  5( 2x  5  1)  2x2  8x  6  0



( x  3) x  2



x3



2( x  3) 2 x  5

 2( x  3)( x  1)  0
x2 1
1 4  x
2x  5  1
 x2

1
2 2x  5
 ( x  3)  


 2( x  1)  0
2x  5  1
 x  2  1 1  4  x

x  3
5 



 0 : VNo x   ; 4  .
x2
1
2 2x  5
0




2(
x

1)
2 

x  2 1 1 4  x
2x  5  1

Kết luận: So v
u ki
m duy nh t x  3.

30


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

()

x3  5x2  6x  ( x  2)( 2x  2  5  x )

Ví dụ 38. Gi

Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Bạc Liêu

1  x  5.
()  x( x  5x  6)  ( x  2)( 2x  2  5  x )
2

 x( x  2)( x  3)  ( x  2)( 2x  2  5  x )

 x( x  3)  2x  2  5  x

(1)

(do: : x  2  0, x  
 1; 5



x  1.

 Lời giải 1
(1)  ( 2x  2  2)  ( 5  x  2)  ( x  3x  4)  0
2



2( x  1)

1 x

 ( x  1)( x  4)  0
2 5x
2
1
 x 1
(2)

x4
2x  2  2 2  5  x

2
2
 1
VT(2) 

2x  2  2 2
Ta có: x  
 1; 5  
1
VP 
x4x43
(2)

2 5x
2x  2  2



x  1.
( x  1). f ( x)  0 có f ( x)  0.

Kết luận
 Lời giải 2
(1)  x2  3x  2x  2  5  x  0

 2x  2( 2x  2  2)  2(2  5  x )  2 x2  4 x  6  0



( x  1) 2 x  2
2x  2  2

 x  1 ho c 0 



( x  1)
2 5x
2x  2
2x  2  2

 ( x  1)( x  3)  0



1
2 5x

 x  3  0 vô nghi m x  1; 5 .

x  1.

Kết luận
3

Ví dụ 39. Gi

()

x  6  x  1  x2  1

x  1  0  x  1.
 Lời giải 1.

x  2,

()  ( x  6  2)  ( x  1  1)  x  4
2

3

x2


3

( x  6)  2. x  6  4
2

3



x2
x 1 1

 ( x  2)( x  2)



1
1
 ( x  2)  

 x  2  0
2
3
x 1 1
 ( x  6  1)  3


(1)

31


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

Do

1

1



( x  6  1)  3
x 1 1
(1)  x  2  0  x  2.
2

3

x2

1
2
 1  x  2    x  0, x  1 nên:
3
3

x  2.

Kết luận


 Phân tích và lời giải 2. Chuyên vế thì ()  4x2  4  4 3 x  6  4 x  1  0 và
ả

3

m 3 A

ờ

ờ

A ( 3 A2  m2 )

ả

ế

:

(2)  x  6  x  1  x  1
2

3

 4x2  5x  6  3 x  6   3 ( x  6)2  4   4 x  1( x  1  1)  0



 ( x  2)(4 x  3) 

( x  2)( x  14) 3 x  6
3

( x  6)  4 x  6  16
2

3



4( x  2) x  1
x 1 1

0


( x  14) 3 x  6
4 x 1 
 ( x  2)  4 x  3 

  0  x  2  0  x  2.
( 3 x  6  2)2  12
x  1  1 

 0,  x  1

x  2.

Kết luận

x3  2x2  x2  2x  5  2 4x  5  5x  4 ()

Ví dụ 40. Gi

2

5
x  2x  5  0
x 

4
4
x

5

0


 Phân tích và lời giải 1. S
é
ờ ả 1

x  1,
:

()  x  2x  5x  4  (2  x  2x  5)  2(3  4 x  5)  0
3

2

2

 ( x  1)( x2  x  4) 

x2  2x  1

4x  4

0
4x  5  3


x 1
8
 ( x  1)   x2  x  4 

0

4 x  5  3 
x2  2 x  5  2

x2  2 x  5  2

 2

(1)

f ( x)

( x  1)2  4  2  ( x  1)2  x  1  x  1  

5

x   , suy ra
4

32

8
4x  5  3



x 1
( x  1)2  4  2

8
8
8


3
3
4x  5  3

 1 (2)

(3)


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821
2

11 
1
1
5
f ( x)  x  x  4    x   
 0, x  
3 
2  12
4
2

(4)

(1)  x  1  0  x  1.

x  1.

Kết luận
 Phân tích và lời giải 2.
2 4 x  5( 4 x  5  3) 

T

8( x  1) 4 x  5
4x  5  3

3

5
4

( ax  b)  x2  2x  5 



(2  x  2x  5)
2

m.( x  1)

4x  5  3

 0, x  

3 4x  5

2 4x  5( 4x  5  3)  2(4x  5)  3.2 4x  5

ế

8 4x  5

ọ

a1

2
( x  b)  x2  2x  5   (2b  2)x  b  5



x  b  x2  2x  5
m  2b  2
ả

2
m  b  5
ả
ọ b1
ờ ả
:

x2 .
m.( x  1)

b1

b  3.

()  3x3  6x2  15x  12  3 x2  2x  5  6 4x  5  0

 3( x  1  x2  2x  5)  2 4x  5( 4x  5  3)  3x3  6x2  4x  1  0



12( x  1)

8( x  1) 4 x  5



4x  5  3

 ( x  1)(3x2  3x  1)  0

x  1  x  2x  5


12
8 4x  5
 ( x  1)  

 3x2  3x  1   0  x  1.
 x  1  x2  2x  5

4x  5  3


x  1.
Kết luận
2

()

(5x  4) 2x  3  (4x  5) 3x  2  2

Ví dụ 41. Gi

Chọn đội tuyển VMO năm 2015 – Tỉnh Đồng Nai

x  6.

Phân tích S
ế

ế
ế

(2x  3)(5x  4)2  (3x  2)(4 x  5)2  2

A B C

ế

ế

1

é

 Lời giải.

x

ả
ú
ờ

ỉ
ả

:

3

2

()  (5x  4) 2x  3  2  (4x  5) 3x  2

 50x3  155x2  152x  48  48x3  152x2  155x  46  4(4x  5) 3x  2

33


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

 2x3  3x2  3x  2  4(4x  5) 3x  2  0

(1)

 (4x  5) 3x  2.( 3x  2  4)  2x  15x  20x  12  0
3



3( x  6)(4 x  5) 3x  2

2

(2)

 ( x  6)(2 x2  3x  2)  0

3x  2  4
 3(4 x  5) 3x  2

 ( x  6)  
 2 x 2  3x  2   0  x  6 
3x  2  4



Do

3(4 x  5) 3 x  2

3x  2  4
Kết luận
Bình luận T
ế

 2 x2  3x  2  0, x 

3

2

x  6.
ỹ

1

4(4x  5)(4  3x  2) thành (4x  5) 3x  2.( 3x  2  4)
( x  1) x  2  ( x  6) x  7  x2  7 x  12

Ví dụ 42. Gi

x  2.
 Phân tích và lời giải 1. S
é

()

x  2,
é ( x  1).( x  2  m), ( x  6).( x  7  n).

()  ( x  1)( x  2  2)  ( x  6)( x  7  3)  ( x2  2x  8)  0

 ( x  1) 

x2
x2 2

 ( x  6) 

x2
x7 3

 ( x  2)( x  4)  0

 x1


x6
 ( x  2) 

 x  4   0  x  2.
x2 3
 x2 2

Do x  2, suy ra: x  2  0, x  6  0 và lúc này, ta luôn có:
 x2
x2  x6
x6
x4




2   x7 3
2 
x2 2
x7 3
 x2 2
1
x2 x2 x6 x6
1
x6
1









0
2
2
3
2
6
x2 2
x2 2
x2 2
x  2.
Kết luận
( x  1)( x  2)
 Phân tích và lời giải 2. Nếu liên h p d ng ( x  1)( x  2  2) 
x2 2
x1
x  2
ĩ ế
2
ả
( x  2)( x  1) sau khi
x1



x6

x  1, x  2

( x  2)( x  1)
é
34

( ax  b)  x  2 




khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

( x  2)( x  1)),

ả


1
4
khi x  2  x  2  2  2  2  ax  b  2a  b
a , b 

3
3

khi x  1  x  2  1  2  1  ax  b   a  b

 1


4
é ( x  1)   x    x  2 
3
 3


ả

ế

3

ế

( x  1)( x2  x  2) ( x  2)( x  1)2
ả
ả
( x  1) ( x  4)  3 x  2  



x43 x2
x43 x2
( x  6)( x  2)
( x  1)2
:
: ( x  6)(3  x  7 )  
 0, x  2.
x43 x2

3 x7

x60

x  2,

: ( x  6)(3  x  7 )

( x  6) x  7( x  7  3) 

T

ờ

( x  2)( x  6) x  7

ả

( x  6) x  7

x7 3
:

x7 3

 0, x  2.

()  ( x  1)( x  4  3 x  2)  ( x  6) x  7( x  7  3)  x2  3x  10  0



( x  1)2 ( x  2)

 ( x  6) x  7 

x2

 ( x  2)( x  5)  0
x43 x2
x7 3


( x  1)2
( x  6) x  7
 ( x  2) 

 x  5   0  x  2.
x7 3
 x  4  3 x  2

 0,  x   2

x  2.

Kết luận

( x  1) 4x  5  2( x  5) x  3  3x  14x  13 ()
2

Ví dụ 43. Gi

4x  5  0.
 Lời giải 1.

x1

()  ( x  1)( 4x  5  3)  2( x  5)( x  3  2)  3x2  7 x  10



4( x  1).( x  1)



2( x  5)( x  1)

 ( x  1)(3x  10)  0
4x  5  3
x3 2
 4( x  1)

2( x  5)
 ( x  1)  

 (3x  10)  0  x  1.
x3 2
 4x  5  3


5 4 x  5  0


Do x    
4 x  5  0

4( x  1)
4x  5  3



2( x  5)
x3 2

 (3x  10)

 4x  5
4x  5 
2( x  5)
5x  25
5





3
3
x3 2
4x  5  3
 4x  5  3

4x  5 4x  5 2( x  5) 5x  25

5
2 x  10
5







0
3
3
2
3
3
4x  5  3
4x  5  3

35


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

có nghi m duy nh t x  1.

Kết luận
 Lời giải 2.

()  2( x  1). ( x  2)  4 x  5   2( x  5) x  3.( x  3  2)  2 x2  6 x  8  0






2( x  1)2 ( x  1)

2( x  5)(x 1) x  3

 2( x  1)( x  4)  0
x  2  4x  5
x3 2
 2( x  1)2

2( x  5) x  3
 ( x  1)  

 2( x  4)   0  x  1.
x3 2
 x  2  4 x  5

2( x  1)2



2( x  5) x  3

5
 2( x  4)  0, x   
4

x  2  4x  5
x3 2
Kết luận
m duy nh t x  1.
Sai lầm thường gặp
i v i cách gi i 1, sai l
ng g p c a h c sinh là
4( x  1)
2( x  5)
4
2

 (3x  10)  ( x  1)   ( x  5)  (3x  10)
3
2
4x  5  3
x3 2
2 x  23
5
5

 0, x    B i lẻ v i x   thì d u c a x  1 c
nh âm
3
4
4
t.

Do



3

Ví dụ 44. Gi

 Lời giải.

x

3x  2  x 3x  2  2 2 x 2  1

()

2

3

()  ( 3 3x  2  2)  2  x( 3x  2  2)  2 x  2 2 x2  1
 ( 3 3x  2  2)  x( 3x  2  2)  2 ( x  1)  2 x2  1   0


3( x  2)
3x( x  2)
2 x( x  2)



0
3

3x  2  2 x  1  2 x 2  1
(3x  2)2  2 3 3x  2  4



3
3x
2x
0
 ( x  2) 


 3 (3x  2)2  2 3 3x  2  4
3x  2  2 x  1  2 x 2  1 

3
x(3 2 x2  1  2 3x  2  3x  1) 
 ( x  2) 

0
2
3
2
 ( 3x  2  1)  3 ( 3x  2  2)( x  1  2 x  1) 


 18 x 2  12 x  17

x  
 3x  1  


3
3 2 x2  1  2 3x  2

  0
 ( x  2) 
 

2
3
2
( 3x  2  2)( x  1  2 x  1) 
 ( 3x  2  1)  3


f ( x)
• 8 x2  x  7 
2 
 x  2  0  x  2. Do x   
nên f ( x)  0.
3 
• x  

36


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

x  2.

Kết luận

()

x2  x  18  (2x  9) x  3  2 5x  1  0

Ví dụ 45. Gi
1

5
 Lời giải 1. Liên h
x

ng.

()  (2x  9)( x  3  2)  2(2  5x  1)  x2  3x  4  0

 (2 x  9) 

x 1
x3 2



10.(1  x)
5x  1  2

 ( x  1)( x  4)  0

 2x  9


10
 ( x  1)  

 x  4  0
5x  1  2
 x3 2

1

2x  9
10
f ( x) 

 x  4 trên  ;  
x3 2
5x  1  2
5


f ( x) 

2x  3  8 x  3
2 x  3( x  3  2)

f ( x)

2



5
5x  1( 5x  1  2)

2

 1  0, x 

1

 5 ;   , suy ra f ( x) 


x  1  0  x  1.

(1)

1

5

 1  227  94 5
f 
 0 (2)
10
5

x  1.

Kết luận

 Lời giải 2

c d u.

()  x  3(4x  18  11 x  3)  2 5x  1( 5x  1  2)  ( x  1)(2 x  1)  0

 x3

( x  1)(16 x  39)

10( x  1) 5x  1

 ( x  1)(2 x  1)  0
4 x  18  11 x  3
5x  1  2
 (16 x  39) x  3

10 5x  1
 ( x  1)  

 (2 x  1)  0  x  1.
5x  1  2
 4 x  18  11 x  3


Do x 



(16 x  39) x  3

10 5x  1
1

 2 x  1  0.
, suy ra:
5
4 x  18  11 x  3
5x  1  2

x  1.

Kết luận

 Nhóm III: Có nghiệm đẹp x  x1 , x  x2  ghép bậc nhất ax  b.
PP

x2  x  2x2  x  3  21x  17

Ví dụ 46. Gi

()

X2  X  2X 2  X  3  21X  17

Phân tích. S

X  2.
ú (X  X  2X 2  X  3  21X  17 ) : ( X  2)
2

,

X  1.
37


Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

( x  2)( x  1)  x2  3x  2

é

:  2x2  x  3  (ax  b) ,  (cx  d)  21x  17 


 

 khi


 khi

khi


khi

a , b, c , d

:

x  1  2 x2  x  3  2.12  1  3  2  ax  b  a  b

a  1

và
x  2  2 x  x  3  2.2  2  3  3  ax  b  2a  b b  1
2

2

x  1  21x  17  21.1  17  2  cx  d  c  d

c  d  2
c  3



2
c

d

5
x  2  21x  17  21.2  17  5  cx  d  2c  d 
d  1

é

ờ ả

:
21x  17  0.
 Lời giải.
2
()   2x  x  3  ( x  1)  (3x  1)  21x  17   ( x2  3x  2)  0


 
2
2
x  3x  2
9( x  3x  2)


 ( x2  3x  2)  0
2
2 x  x  3  x  1 3x  1  21x  17


1
9
(1)
 ( x2  3x  2)  

 1  0


2
 2 x  x  3  x  1 3x  1  21x  17


17
1
9
Do x 
, suy ra:

 1  0 nên:
2
21
2 x  x  3  x  1 3x  1  21x  17
(1)  x2  3x  2  0  x  1
Kết luận
Ví dụ 47. Gi

x  2.
x  1, x  2.
2 3x  4  3 5x  9  x2  6x  13

()

3x  4  0
4
x 
u ki n: 
3
5x  9  0
Phân tích S
: x  0, x  1.
é
2.  3x  4  ( ax  b) , 3.  5x  9  (cx  d)  ,






a  1
khi x  0  3x  4  3.0  4  2  ax  b  a.0  b  b
: 

b2

khi x  1  3x  4  3.( 1)  4  1  ax  b  a.( 1)  b  a  b 

c  1
khi x  0  5x  9  5.0  9  3  cx  d  c.0  d  d



d3
khi
x


1

5
x

9


5.(

1)

9

2

cx

d

c
.(

1)

d


c

d



 Lời giải. Ta có: ()  2  3x  4  ( x  2)  3  5x  9  ( x  3)  x2  x





2
2
2( x  x)
3( x  x)


 ( x2  x)  0
3x  4  x  2
5x  9  x  3
x  0


2
3
 ( x 2  x) 

 1   0  x2  x  0  

5x  9  x  3
 3x  4  x  2

 x  1

38


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

4

Do x   , suy ra:
3
Kết luận

2
3x  4  x  2

3



 1  0.
5x  9  x  3
x  1, x  0.

3 2 x  1  x 5  4 x2  4 x2

Ví dụ 48. Gi

()

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước
x

Phân tích S

V

1
, x1

2

é


1
1
1
 x   2 x  1  2   1  0  ax  b  a  b a  2
2x  1 thì 


2
2
2
b  1
 x  1  2 x  1  2.1  1  1  ax  b  1.a  b



1
1
2
 khi x   5  4 x  5  1  2  ax  b  a  b a  2
2
2


5  4x thì 
 khi x  1  5  4 x2  5  4.12  1  ax  b  a  b b  3


2

V

1
5
x

2
2

 Lời giải


x

( a)

1
2

1
 2 x  1  2 x  1  0 thì:
2
()  3  2 x  1  (2 x  1)  x.  5  4 x2  ( 2 x  3)   3(2 x2  3x  1)  0





 V



x

6(2 x2  3x  1)



4 x(2 x2  3x  1)

 3(2 x2  3x  1)  0

2x  1  2x  1
5  4x  3  2x


6
4x
 (2 x2  3x  1)  

 3  0
 2x  1  2x  1

5  4 x2  3  2 x


1

 2 x2  3x  1  0  x  (lo i) ho c x  1.
2
1
x  1, x  
Kết luận
2
Nhận xét T
ả é
ờ
1
2x  1  2x  1  0  x  
2
é ế
ờ
ọ

Ví dụ 49. Gi

2

.

3x  5  2 3 19x  30  2x2  7 x  11

()

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng

39

Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

x  2, x  3

Phân tích S
é

ờ
5
3x  5  0  x  
3

 Lời giải

ả

:

( a)

()   3x  5  ( x  1)  2  ( 3 19 x  30  x)  2 x2  10 x  12


2
3x  5  ( x  1)
19 x  30  x3

 2
 2( x  2)( x  3)

3
3x  5  x  1
(19 x  30)2  x 3 19 x  30  x2



( x  2)( x  3)
3x  5  x  1

 2

( x  2)( x  3)( x  5)
3

(19 x  30)2  x 3 19 x  30  x2

 2( x  2)( x  3)



1
2( x  5)
 ( x  2)( x  3) 

 2  0
 3x  5  x  1 3 (19 x  30)2  x 3 19 x  30  x2

 0,  x  ( a )

 ( x  2)( x  3)  0  x  2 ho c x  3.

x  2, x  3.

Kết luận

( x  1) 3x  1  x3  2x2  1  2 x2  x  1  6x ()

Ví dụ 50.


1
3x  1  0
x 
 2
3

x  x  1  0

Phân tích và lời giải 1 S

2
x( x  1)  x  x. D
2

x  0, x  1,
é

: ( x  1).  3x  1  (ax  b) , 2. (cx  d)  x2  x  1 






Khi


Khi

Khi


Khi

x  0  3x  1  1  ax  b  b

a  1

x  1  3x  1  2  ax  b  a  b b  1

x  0  x2  x  1  1  cx  d  d

c  0

 T
x  1  x2  x  1  1  cx  d  c  d d  1

:

:

ờ

ả 1

:

()  ( x  1)  3x  1  ( x  1)  2(1  x2  x  1)  x3  3x2  4 x  0


( x  1)(  x2  x)
2( x2  x)


 ( x2  x)( x  4)  0
2
3x  1  x  1
x x11


x  0
x1
2
 (  x 2  x) 

 x  4  0  

 3x  1  x  1

2
x  x1 1

x  1


x1
2
x1
1
Do

x4
 2  x  4   x  1  0, x   
2
x1
3
3x  1  x  1
x  x1 1

Kết luận
40

x  0, x  1.


khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

f ( x) trong ( x2  x). f ( x) sau khi

Phân tích và lời giải 2 V

: 2.(1  x2  x  1)

liên
3x  1  ( x  1)

2. x2  x  1.( x2  x  1  1)

f ( x) p

:

3x  1.( x  1  3x  1)

T

ờ

ả

:

()  2 x2  x  1( x2  x  1  1)  3x  1( x  1  3x  1)  x3  x  0



2( x2  x) x2  x  1



( x 2  x) 3 x  1

 ( x2  x)( x  1)  0

x  1  3x  1
x  x1 1
 2 x2  x  1

x  0
3x  1
 ( x 2  x)  

 x  1  0  x2  x  0  

 x2  x  1  1 x  1  3x  1

x  1


2

1
2 x2  x  1
3x  1
Do x   , suy ra:

 x  1  0.
3
x2  x  1  1 x  1  3x  1
x  0, x  1.
Kết luận

3  x  x  2  x3  x2  4x  4  x  x  1 ()

Ví dụ 51.

x  1, x  2

 Phân tích và lời giải. S
é

T
é

( x  1)( x  2)  x2  x  2.

ế

ế

ế

ả

ọ

2  x  3.
()  ( 3  x  x  1)  ( 2  x  x )  ( x  2)( x2  x  2)



 x2  x  2

3 x  x 1



 x2  x  2
x2  x

 ( x  2)( x2  x  2)  0



1
1
 (  x2  x  2)  

 x  2  0
 3 x  x 1

x2  x


2
x  2.
 x  x  2  0  x  1
Kết luận

x  1, x  2.

2. Liên hợp với phương trình có nghiệm vô tỷ hoặc có sự biến đổi
 Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản hơn hoặc có sự biến đổi, rồi liên hợp

(8x  13) 4x  7  2( x  2) 2x  3  12x  35

Ví dụ 52. Gi

x

Phân tích. S

2x,
1

()

1
 N
2

ả

q
t  2x  3  2x  t  3.
2

41