Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho một họ phương trình toán tử tuyến tính giới nội

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ HUẾ

PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH
TÌM NGHIỆM CHUNG CHO MỘT HỌ PHƯƠNG TRÌNH
TỐN TỬ TUYẾN TÍNH GIỚI NỘI

Chun Ngành: TỐN ỨNG DỤNG
Mã ngành: 60460112

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn : GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG

Thái Ngun - 2013

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

1

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Chương 1.

Giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh và một

số khái niệm liên quan

4

1.1. Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm . . . . . . . .

4

1.1.1. Một số khái niệm về các khơng gian . . . . . . . .

4

1.1.2. Tốn tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.1.3. Phương trình tốn tử . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2. Giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . .

11

1.2.1. Tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1.2.2. Phương pháp hiệu chỉnh . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2.3. Sự tồn tại của tốn tử hiệu chỉnh . . . . . . . . .

12

1.2.4. Hiệu chỉnh hệ phương trình đại số tuyến tính điều
kiện xấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

1.2.5. Cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov . . . . . . . .

17

Chương 2. Phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho
một hệ các phương trình với tốn tử tuyến tính giới nội 20
2.1. Bài tốn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2.2. Thuật tốn cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

2.3. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

2

MỞ ĐẦU
Xét một bài tốn ở dạng phương trình tốn tử
Ax = f,

(1.1)

ở đây A : X → Y là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào khơng
gian Banach Y và f là phần tử thuộc Y .
Giả sử A−1 khơng liên tục và thay cho f ta chỉ biết fδ là xấp xỉ của
f thỏa mãn

fδ − f ≤ δ.
Bài tốn đặt ra là dựa vào thơng tin về (A, fδ ) và sai số δ, tìm một
phần tử xấp xỉ nghiệm đúng x0 . Rõ ràng khơng thể xây dựng phần tử
xấp xỉ xδ theo quy tắc xδ = A−1 fδ do A−1 có thể khơng xác định hoặc
A−1 tồn tại nhưng khơng liên tục, nên A−1 fδ khơng cho ta xấp xỉ nghiệm
đúng x0 .
Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình
(1.1). Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp
xỉ phụ thuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương
thích với δ sao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm
đúng x0 . Ta cũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f0 ∈ Y ta có phần tử
xấp xỉ tương ứng thuộc X. Tức là tồn tại một tốn tử nào đó tác động
từ khơng gian Y vào khơng gian X.
Năm 2011 GS. TS. Nguyễn Bường và nghiên cứu sinh Nguyễn Đình
Dũng đã đưa ra phương pháp chung để giải quyết một hệ phương trình
tốn tử tuyến tính giới nội.
Mục đích của luận văn này là trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm
nghiệm chung cho một hệ phương trình tốn tử tuyến tính giới nội và
đưa ra một số ví dụ minh họa cho phương pháp hiệu chỉnh đã trình bày.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

3

Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, luận văn gồm 2 chương.
Chương 1. Giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh và một số khái niệm
liên quan
Chương 2. Trình bày phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm chung cho

một họ phương trình tốn tử tuyến tính giới nội
Luận văn này được hồn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình
của GS.TS. Nguyễn Bường - Viện Cơng nghệ Thơng tin, Viện Hàn lâm
Khoa học và Cơng nghệ Việt Nam. Từ đáy lòng mình, em xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo
hướng dẫn của thầy.
Em xin trân trọng cảm ơn tới các Thầy Cơ trong trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Ngun, phòng đào tạo trường Đại học Khoa
học. Đồng thời tơi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Tốn K5 Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ tơi trong q trình học
tập và làm luận văn này.
Tơi xin cảm ơn tới sở giáo dục - đào tạo tỉnh Bắc Ninh, ban Giám
hiệu, các đồng nghiệp trường THPT Tiên Du số 1 - Tiên Du - Bắc Ninh
đã tạo điều kiện cho tơi học tập và hồn thành kế hoạch học tập.
Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khn khổ của luận văn
thạc sĩ, nên chắc rằng trong q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi
những thiếu sót, tơi rất mong được sự chỉ dạy và đóng góp ý kiến của
các Thầy Cơ và độc giả quan tâm tới luận văn này.
Thái Ngun, ngày 10 tháng 4 năm 2013
Tác giả

Nguyễn Thị Huế

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

4

Chương 1
Giới thiệu về phương pháp hiệu

chỉnh và một số khái niệm liên quan
Các kiến thức trong chương này có tham khảo tài liệu [1].
1.1.

Một số kiến thức cơ bản của giải tích hàm

1.1.1.

Một số khái niệm về các khơng gian

Định nghĩa 1.1. Khơng gian định chuẩn thực là một khơng gian tuyến
tính thực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số

x

gọi

là chuẩn của x, thoả mãn các điều kiện:
1.

x > 0, ∀x = 0,

2.

αx = |α| .

3.

x+y ≤ x

x = 0 ⇔ x = 0;

x , ∀x ∈ X, α ∈ R;
y , ∀x, y ∈ R.

+

Một khơng gian định chuẩn đầy đủ là khơng gian Banach.
Định nghĩa 1.2. Dãy các phần tử xn trong khơng gian Banach X được
gọi là hội tụ đến phần tử x0 ∈ X khi n → ∞, nếu xn − x0 → 0 khi
n → ∞, và được ký hiệu là xn → x0 . Sự hội tụ theo chuẩn được gọi là
hội tụ mạnh.
Dãy {xn } ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X, kí hiệu là xn

x0 ,

nếu với ∀f ∈ X ∗ - khơng gian liên hợp của X, ta có f (xn ) → f (x0 ), khi
n → ∞.
Ví dụ 1.1. Khơng gian Lp [a, b] với 1 < p < ∞ là một khơng gian
Banach với chuẩn


b

 p1
|ϕ(x)|p d(x) .

ϕ =
a

Ví dụ 1.2. Khơng gian Lp [a, b] , p > 1 là khơng gian phản xạ. Mọi khơng

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

5

gian định chuẩn hữu hạn chiều đều là phản xạ.
Định nghĩa 1.4. Cho X là một khơng gian tuyến tính trên R. Một tích
vơ hướng trong X là một ánh xạ ., . : X × X → R thoả mãn các điều
kiện sau:
i) x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0;
ii) x, y = y, x , ∀x, y ∈ X;
iii) αx, y = α x, y , ∀x, y ∈ X, α ∈ R;
iv) x + y, z = x, z + y, z , ∀x, y, z ∈ X.
Khơng gian tuyến tính X cùng tích vơ hướng ., . được gọi là khơng
gian tiền Hilbert. Khơng gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là khơng gian
Hilbert.
Ví dụ 1.3. Các khơng gian Rn , L2 [a, b] là các khơng gian Hilbert với
tích vơ hướng được xác định tương ứng là:
n

ξi ηi , x = (ξ1 , ξ2 , ..., ξn ) , y = (η1 , η2 , ..., ηn ) ∈ R,

x, y =
i=1
b

ϕ (x)ψ (x) dx, ϕ, ψ ∈ L2 [a, b] .

ϕ, ψ =
a

Định nghĩa 1.5. Khơng gian Banach X được gọi là lồi chặt nếu mặt
cầu đơn vị S = S (X) = {x ∈ X : x = 1} của X là lồi chặt, tức là từ
x, y ∈ S : x = 1, y = 1 kéo theo x + y < 2.
Ví dụ 1.4. Khơng gian Lp [a, b] là khơng gian lồi chặt.
Định nghĩa 1.6. Khơng gian Banach X được gọi là khơng gian Ephimov
Stechkin (hay khơng gian có tính chất E-S) nếu X phản xạ và trong X
sự hội tụ yếu các phần tử xn

x và sự hội tụ chuẩn ( xn → x ) ln

kéo theo sự hội tụ mạnh ( xn − x → 0).
Ví dụ 1.5. Khơng gian Hilbert có tính chất E-S.
1.1.2.

Tốn tử tuyến tính

Định nghĩa 1.7. Cho A : X → Y là một tốn tử đơn trị và X và Y là
hai khơng gian Banach. Chúng ta kí hiệu miền xác định của A là D(A)

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

6

với

D(A) = domA = {x ∈ X/Ax = ∅}
và miền giá trị là
R(A) = {f ∈ Y /f ∈ Ax, x ∈ D(A)} .
Tốn tử A gọi là tốn tử tuyến tính nếu
1)A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1, x2 ∈ X;
2)A (αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ R.
Nếu Y ≡ R thì ta có phiếm hàm tuyến tính f với miền xác định của
hàm f là
domf = {x ∈ X/f (x) = ∅} .

Định nghĩa 1.8. Tốn tử A được gọi là tốn tử tuyến tính liên tục nếu
nó là tốn tử tuyến tính, đồng thời là tốn tử liên tục giữa hai khơng
gian X và Y .
Ví dụ 1.6. Cho X = Rk , Y = Rm , tốn tử A được xác định bởi
A(x1 , x2 , ..., xk ) = (y1 , y2 , ..., ym )
với

k

yi =

aij xj , i = 1, ..., m,
j=1

trong đó aij là các hằng số. Ma trận (aij )k×m gọi là ma trận của tốn tử
tuyến tính A và đó là dạng tổng qt của mọi tốn tử tuyến tính từ Rk
vào Rm . Một tốn tử tuyến tính từ Rk vào Rm bao giờ cũng liên tục.
Định nghĩa 1.9. Tốn tử A được gọi là
1) h-liên tục (hemicontinuous) trên X nếu A(x + ty)

Ax khi t → 0

với mọi x, y ∈ X;
2) d-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra Axn
Ax khi n → ∞.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

7

Định nghĩa 1.10. Tốn tử tuyến tính A : X → Y được gọi là bị chặn
(giới nội) nếu tồn tại số K > 0 thỏa mãn:
Ax

Y

≤K x

X , ∀x

∈ X.

Ví dụ 1.7. Cho A : L2 [a, b] → L2 [a, b] là một tốn tử xác định bởi
b

(Aϕ)(x) =

K(x, s)ϕ(s)ds,

a

trong đó K(x, s) là một hàm hai biến có bình phương khả tích, nghĩa là
b

b

K 2 (x, s)dxds = N 2 < ∞.
a

a

Khi đó, A là một tốn tử tuyến tính liên tục. Tốn tử này gọi là tốn tử
tích phân Fredholm sinh bởi hạch K(x, s).
Định nghĩa 1.11. Cho A : X → Y là một tốn tử tuyến tính liên tục.
Khi đó số
inf {K, K > 0 : Ax ≤ K. x , ∀x ∈ X}
được gọi là chuẩn của tốn tử A, kí hiệu là A .
Nhận xét 1.1.
1) Ba chuẩn thường dùng trong Rn là
n

x

1

|xi |

=
i=1

1
2

n

x

2

|xi |2

=
i=1

x

∞

= max |xi |
1≤i≤n

ở đây x = (x1 , x2 , ..., xn ) .
2) Trong khơng gian hữu hạn chiều Rn , khi có một cơ sở cố định, tốn
tử tuyến tính A được cho bởi ma trận (aij )ni,j=1 thì ba chuẩn tương ứng

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

8

của ma trận A là:
n

A
A

1

|aij |

= max

1≤j≤n

i=1
1

2

= { max λi AT A } 2
1≤i≤n

n

A

∞

|aij | ,

= max

1≤i≤n

j=1

trong đó λi AT A là các giá trị riêng của ma trận đối xứng AT A .
Định nghĩa 1.12. Tốn tử A được gọi là tốn tử bức (coercive) nếu

lim

x →+∞

Ax, x
= +∞, ∀x ∈ X
x

Định nghĩa 1.13. Cho X là khơng gian Banach thực, A : D(A) → X ∗
là một tốn tử với miền xác định là D(A) = X và miền ảnh R(A) nằm
trong X ∗ . Tốn tử A được gọi là
1) đơn điệu (monotone) nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ D(A);
2) đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉ xảy ra khi x = y;
3) đơn điệu đều nếu tồn tại một hàm khơng âm δ(t) khơng giảm với
t ≤ 0, δ(t) = 0 và
A(x) − A(y), x − y ≥ δ ( x − y ) , ∀x, y ∈ D(A).
Nếu δ(t) = cA t2 với cA là một hằng số dương thì tốn tử A được gọi là
đơn điệu mạnh.

Ví dụ 1.8. Tốn tử tuyến tính A : RM → RM được xác định bởi
A = BT B

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

9

với B là một ma trận vng cấp M , là một tốn tử đơn điệu.
Định nghĩa 1.14. Ánh xạ U s : X → X ∗ (nói chung là đa trị ) xác định
bởi
U s (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ . x ; x∗ = x

s−1

,s ≥ 2

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng qt của khơng gian X. Khi s = 2 thì
U s thường được viết là U và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của
X.
Nhận xét 1.2.
i) Trong khơng gian Hilbert H, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc chính là
tốn tử đơn vị I trong H.
ii) Ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về tốn tử đơn điệu,
nó tồn tại trong mọi khơng gian Banach.
Ví dụ 1.9. Với X = Lp (Ω), 1 < p < ∞ và Ω là một tập đo được của
khơng gian Rn thì ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc có dạng
(U x) (t) = x
1.1.3.

2−p

|x(t)|p−2 x(t), t ∈ Ω.

Phương trình tốn tử

Cho X là một khơng gian Banach phản xạ thực, X ∗ là khơng gian
liên hợp của X với f ∈ X ∗ cho trước.
Bổ đề 1.1.
Cho X là một khơng gian Banach thực, f ∈ X ∗ và A là một tốn tử
h-liên tục từ X vào X ∗ . Khi đó, nếu có
A(x) − f, x − x0 ≥ 0, ∀x ∈ X,
thì
A(x0 ) = f.
Chứng minh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

10

Giả sử
A(x0 ) = f.
Khi đó, theo định nghĩa về chuẩn tồn tại một véctơ z khác 0 của X sao
cho
1
z A(x0 ) − f > 0.
2

Mặt khác, do A là h-liên tục nên với t khá nhỏ ta có
A(x0 ) − f, z >

| A(x0 − tz) − A(x0 ), z | ≤

1
z
3

A(x0 ) − f .

(1.1)

Nhưng từ điều kiện của bổ đề này ta có thể viết
A(x0 − tz) − f, (x0 − tz) − x0 ≥ 0,
hay
A(x0 − tz) − A(x0 ), −tz + A(x0 ) − f, −tz ≥ 0,
hoặc
A(x0 − tz) − A(x0 ), −z ≥ A(x0 ) − f, z .
Do đó,
| A(x0 − tz) − A(x0 ), z | >

1
z
2

A(x0 ) − f > 0

Bất đẳng thức cuối cùng này trái với (1.1).
Bổ đề được chứng minh.

Định lý 1.1. Cho A là một tốn tử h-liên tục, đơn điệu và bức từ khơng
gian Banach phản xạ X vào X ∗ . Khi đó, A là tồn ánh, tức là phương
trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ X ∗ .
Chứng minh.
Do A là bức, cho nên tồn tại một hàm thực khơng âm γ(t), γ(t) → +∞
khi t → +∞ và
A(x), x ≥ x γ( x )

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

11

Xét ánh xạ af (x) = A(x) − f , ở đây f ∈ X ∗ là một phần tử bất kì. Khi
đó, af cũng là một ánh xạ liên tục và đơn điệu. Hơn thế nữa,
af (x), x = A(x), x − f, x ≥ x (γ( x ) − f ).
Từ đó suy ra tồn tại một số dương Mf sao cho với x

≥ Mf , thì

af (x), x > 0. Vì vậy, tồn tại phần tử x0 sao cho A(x0 ) = f . Định lý
được chứng minh.
1.2.

Giới thiệu về phương pháp hiệu chỉnh

Xét một bài tốn ở dạng phương trình tốn tử
A(x) = f,

(1.2)

Định nghĩa 1.15. Cho A là một tốn tử từ khơng gian Banach X vào
khơng gian Banach Y , f là phần tử thuộc Y . Bài tốn tìm x ∈ X theo
dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài tốn chỉnh trên cặp khơng gian Banach
(X, Y ), nếu có:
1) Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X;
2) Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất;
3) Bài tốn này ổn định trên cặp khơng gian (X, Y ).
Định nghĩa 1.16. Cho A là một tốn tử từ khơng gian X vào khơng
gian Y . Bài tốn (1.2) được gọi là bài tốn đặt khơng chỉnh nếu ít nhất
một trong ba điều kiện trên khơng thỏa mãn.
Chú ý 1.2. Một bài tốn có thể đặt chỉnh trên cặp khơng gian này
nhưng lại đặt khơng chỉnh trên cặp khơng gian khác.
1.2.1.

Tốn tử hiệu chỉnh

Định nghĩa 1.17. Tốn tử R(f, α) đa trị, phụ thuộc tham số α, tác
động từ Y vào X được gọi là một tốn tử hiệu chỉnh cho phương trình
A(x) = f0 , nếu:

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

12

1. Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho tốn tử R(f, α) xác định với
mọi α ∈ (0, α1 ) và với mọi f ∈ Y : ρY (f, f0 ) ≤ δ, δ ∈ (0, δ1 );

2. Tồn tại một sự phụ thuộc α = α(f, δ) sao cho ∀ε > 0 : ∀f ∈
Y, ρY (f, f0 ) ≤ δ ≤ δ1 ⇒ ρY (xα , x0 ) ≤ ε, ở đây xα ∈ R(f, α(f, δ)).
Phần tử xα ∈ R(fδ , α) được gọi là nghiệm hiệu chỉnh của phương trình
A(x) = f0 , ở đây α = α(fδ , δ) = α(δ) được gọi là tham số hiệu chỉnh.
Tham số hiệu chỉnh α(δ, fδ ) được chọn sao cho:
lim α(δ, fδ ) = 0.

δ→0

Cũng dễ dàng nhận thấy từ định nghĩa trên, nghiệm hiệu chỉnh ổn định
với dữ kiện ban đầu là vế phải f của phương trình (1.2).
1.2.2.

Phương pháp hiệu chỉnh

Việc tìm nghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ liệu vế phải của
phương trình A(x) = f gồm các bước:
1. Xây dựng tốn tử hiệu chỉnh R(f, α).
2. Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thơng tin của bài
tốn về phần tử fδ và mức sai số δ.
Phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ theo qui tắc trên gọi là phương pháp
hiệu chỉnh.
1.2.3.

Sự tồn tại của tốn tử hiệu chỉnh

Giả sử phương trình A(x) = f0 có nghiệm duy nhất x0 khi vế phải f0
cho chính xác. Nếu vế phải fδ chỉ biết xấp xỉ theo nghĩa :
ρY (fδ , f0 ) ≤ δ, δ → 0
thì việc tìm phần tử xδ xấp xỉ nghiệm x0 phải giới hạn trong tập

Qα = {z ∈ X : ρY (Az, fδ ) ≤ δ} .

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

13

Do x0 ∈ Qδ , ta cũng khơng thể lấy xδ là phần tử bất kì nào đó của Qδ ,
với mỗi δ cố định, vì nếu lấy bất kì thì chưa chắc chúng ta đã có xδ → x0
khi δ → 0.
Tuy nhiên, ta có thể chỉ ra ngun lí chọn phần tử xδ thỏa mãn u cầu
trên. Ngun tắc này dựa trên quy tắc cực tiểu phiếm hàm đặc biệt,
được gọi là phiếm hàm ổn định.
Định nghĩa 1.18. Phiếm hàm Ωx ≥ 0 xác định trên X1 ⊆ X được gọi
là phiếm hàm ổn định của hệ Ax = f0 đối với nghiệm x0 nếu
a) x0 ∈ D (Ω), miền xác định của Ω
b)∀d0 > 0, X1d0 = {z ∈ X1 :Ω(x) ≤ d0 } là một tập compact.
Lưu ý là ở đây tập rỗng cũng được coi là tập compact.
Khi đã có một phiếm hàm như vậy ta có thể tiến hành tìm nghiệm
xấp xỉ zδ dựa vào việc giải bài tốn sau:
Ω (zδ ) = inf1 Ω (z) , Q1δ = Qδ ∩ X1 .
z∈Qδ

Phần tử zδ nếu tồn tại, có thể coi như là kết quả của một sự tác động
˜ nào đó phụ thuộc vào tham số δ, có nghĩa
lên fδ ∈ Y bởi một tốn tử R
là
˜ δ , δ).
zδ = R(f

1.2.4.

Hiệu chỉnh hệ phương trình đại số tuyến tính điều kiện
xấu

Cho hệ phương trình đại số tuyến tính
Ax = f0 ,

(1.3)

ở đây A là một ma trận vng cấp n, x = (x1 , x2 , ..., xn )T là một véc tơ
cột và là nghiệm của (1.3) với vế phải f0 = f10 , f20 , ..., fn0

T

cho trước.

Hệ phương trình (1.3) được gọi là hệ điều kiên xấu nếu số điều kiện
cond(A)»1.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

14

Trong đại số tuyến tính, ta đã biết là nếu det A = 0, thì hệ (1.3) cũng
có thể vơ nghiệm và cũng có thể có vơ số nghiệm. Các hệ phương trình
đại số tuyến tính, trong thực tế, thường thu được ở các bước trung gian
của q trình tìm nghiệm xấp xỉ, các bài tốn liên quan đến phương

trình tích phân, phương trình vi phân thường cũng như phương trình
đạo hàm riêng. Do đó thay cho dữ kiện chính xác {A, f0 } ta có những
giá trị xấp xỉ {Ah , fδ }. Như vậy ta có một họ các bài tốn (1.3) với ma
trận Ah và vế phải fδ . Bởi có thể với giá trị nào đó của Ah và fδ thì hệ
trên có nghiệm, vơ nghiệm hoặc vơ định. Bài tốn đặt ra là phải hiểu
thế nào là nghiệm cho tất cả các trường hợp. Tiếp theo là phải xây dựng
một thuật tốn để giải hệ đại số tuyến tính cho tất cả các trường hợp
đó.
Định nghĩa 1.19. Phần tử x˜ ∈ Rn được gọi là giả nghiệm của hệ
phương trình đại số tuyến tính (1.3), nếu
A˜
x − f0 = infn Ax − f0 ,
x∈R

ở đây
1
2

n

x2i

x =

.

i=1

Phần tử x0 ∈ S = {x : Ax − f0 ≤ A˜
x − f0 } có chuẩn nhỏ nhất

được gọi là nghiệm chuẩn tắc của hệ (1.3). Đối với hệ phương trình đại
số tuyến tính, dễ dàng kiểm tra được là nghiệm chuẩn tắc tồn tại và duy
nhất. Nếu hệ (1.3) khơng giải được, thì
inf

x∈Rn

Ax − f0 = µ > 0.

Nghiệm xấp xỉ cho (1.3) được chọn từ tập
Qδ = {x : Ax − fδ ≤ µ + δ} ,
khi tốn tử A cho chính xác, tức là Ah = A, ∀h. Nhưng ở đây thay cho
f0 ta chỉ biết fδ , vế phải của bất đẳng thức trên khơng có nghĩa vì khơng

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

15

biết được µ. Tuy nhiên, do có thể tìm được
µδ = infn Ax − fδ
x∈R

và
Ax − fδ ≤ Ax − f0 + f0 − fδ ,
Ax − f0 ≤ Ax − fδ + fδ − f0 ,
suy ra
µ ≤ µδ + δ,
µδ ≤ µ + δ.

Như vậy, |µ − µδ | ≤ δ. Do đó, phần tử xấp xỉ xδ nên chọn từ tập
˜ δ = {x : Ax − fδ ≤ µδ + 2δ} .
Q
Nếu có thơng tin hệ phương trình (1.3) giải được thì µ = 0 và
˜ δ = {x : Ax − fδ ≤ δ}.
Q
Vì nghiệm chuẩn tắc là một giả nghiệm có chuẩn nhỏ nhất, cho nên một
˜ δ mà có chuẩn nhỏ
điều tự nhiên là phần tử xấp xỉ cho x0 , nên lấy từ Q
nhất. Tức là để tìm nghiệm xấp xỉ cho bài tốn
Ω (zδ ) = inf1 Ω (z) , Q1δ = Qδ ∩ X1 với X1 ⊆ X
z∈Qδ

Ta giải bài tốn: tìm phần tử x˜δ làm cực tiểu phiếm hàm Ω(x) = x
˜ δ . Ta có định lý sau:
trên tập Q

2

Định lý 1.2. Phần tử cực tiểu x˜δ được xác định một cách duy nhất với
mọi fδ ∈ Rn và δ > 0. Khi δ → 0 dãy x˜δ → x0 .
Chứng minh: Do Ω(x) ≥ 0, cho nên tồn tại
Ω0 = inf Ω(x)
˜δ
x∈Q

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

16

˜ δ . Tức là Ω (˜
và một dãy cực tiểu hóa {˜
xn } ∈ Q
xn ) = x˜n

2

→ Ω0 , khi

n → ∞. Khơng giảm tổng qt, ta giả thiết
x˜n ≤ x˜n−1 ≤ ... ≤ x˜1 , x˜1 = 0
˜ δ và D
¯ = {x : x ≤ x˜1 } . Tập D
¯ trong Rn
Như vậy, dãy x¯n thuộc Q
là một tập compact, cho nên theo định lý Bolsano - Weierstrass, tồn tại
một dãy con {˜
xnk } hội tụ đến một phần tử x˜δ nào đó, khi k → ∞. Xét
˜δ : x ≤ r ,
Sδ,r = x ∈ Q
˜ δ . Mặt khác, do
ở đây r = x˜1 . Do x˜δ ∈ Sδ,r cho nên x˜δ ∈ Q
Ax0 − fδ ≤ Ax0 − f0 + δ ≤ µδ + 2δ,
˜ δ . Trong khi đó vì x˜δ là phần tử thuộc Q
˜ δ có chuẩn nhỏ
cho nên x0 ∈ Q
nhất dẫn đến x˜δ ≤ x0 .
Bây giờ ta chứng minh x˜δ → x0 , khi δ → 0.

Lấy một dãy {δk } bất kì sao cho fδk − f0 ≤ δk → 0, khi k → ∞.
Ta có tương tự một dãy {˜
xδk }:
Ω(˜
xδk ) = inf Ω(x)
˜δ
x∈Q
k

và µδk = infn Ax − fδk → µ, khi k → ∞.
x∈R

Theo định lý Bolsano - Weierstrass tồn tại một dãy con
˜δ
x˜δks → x˜. Vì x˜δks ∈ Q
ks

x˜δks

:

cho nên
A˜
xδks − fδks ≤ µks + 2δks
khi s → ∞ , ta được |µks − µ| → 0. Do đó A˜
x − f0 ≤ µ. Đối với mọi
x ∈ Rn thì Ax − f0 ≥ µ, suy ra A˜
x − f0 ≥ µ. Như vậy phải có
A˜
x − f0 = µ. Mặt khác, từ x˜ ≤ x0 , suy ra x˜ = x0 , do nghiệm

chuẩn tắc là duy nhất. Bằng lập luận tương tự ta có mọi dãy con hội tụ
của dãy {˜
xδ } đều hội tụ đến x0 . Vì vậy, cả dãy {˜
xδ } hội tụ đến x0 . Định
lý được chứng minh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

17

1.2.5.

Cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov

Bài tốn:
Tìm x˜δ làm cực tiểu của phiếm hàm
M α [x, fδ ] = Ax − fδ

2

+ α x 2 , α > 0.

Định lý 1.3. Cho x0 là nghiệm chuẩn tắc của phương trình
Ax = f0
cho β1 (δ) và β2 (δ) là các hàm thực xác định trên [0, δ2 ], dương trên [0, δ2 ]
và đơn điệu giảm đến 0 khi δ → 0 sao cho
δ
β1 (δ)

≤ β2 (δ) , β2 (0) = 0.

Khi đó, với một hàm bất kì α (δ) và dương trên (0, δ2 ] và
δ
β1 (δ)

≤ α (δ) ≤ β2 [δ] ,

phần tử x˜α(δ) làm cực tiểu phiếm hàm
M α [x, fδ ] = Ax − fδ

2

+ α x 2 , α > 0,

hội tụ đến x0 khi δ → 0.
Chứng minh: Phiếm hàm Ω (x) ở đây thỏa mãn hai điều kiện của phiếm
hàm ổn định, do khơng gian X = Rn . Vì vậy, sự tồn tại duy nhất phần
tử cực tiểu x˜α(δ) của phiếm hàm trên là hiển nhiên. Còn lại ta phải đi
chứng minh x˜α(δ) , kí hiệu là x˜α , hội tụ đến x0 . Dễ dàng nhận thấy.
µ2δ + α x˜α

2

≤ M α [˜
xα , fδ ]
≤ M α [x0 , fδ ]
≤ Ax0 − fδ

2

+ α x0

2

≤ ( Ax0 − f0 + f0 − fδ )2 + α x0
≤ ( Ax0 − f0 + δ)2 + α x0
≤ (µ + δ)2 + α x0

Số hóa bởi trung tâm học liệu

2

2

2

.

/>

18

Như vậy, với mọi α > 0 và fδ ∈ Rn : fδ − f0 ≤ δ ta có
µ2δ + α x˜α

2

≤ (µ + δ)2 + α x0 2 .

Do µ ≤ µδ + δ, cho nên
2

x˜α

δ
≤ 4 (µδ + δ) + x0 2 .
α

Từ đây và điều kiện của định lý suy ra
x˜α

2

≤ β1 (δ) 4 (µδ + δ) + x0

2

≤ 4β1 (δ) (µ + 2δ) + x0

2

,

hay
2

x˜α

≤ ϕ (δ) + x0 2 ,
≤ ϕ (δ2 ) + x0 2 ,

ϕ (δ) = 4 (µ + 2δ) β1 (δ) → 0,
khi δ → 0.
Lấy một dãy con bất kì δk → 0, khi k → ∞. Với {fδk } : fδk − f0 ≤ δk
ta có tương ứng một dãy cực tiểu {˜
xαk }, αk = δ (δk ), thỏa mãn:
x˜αk

2

≤ ϕ (δ2 ) + x0

2

Do đó, có thể chọn được một dãy con {˜
xαks } hội tụ đến phần tử x˜ nào
đó, khi s → ∞. Dễ dàng kiểm tra được là
0 ≤ A˜
xαks − f0 − µ ≤ A˜
xαks − fδks + δks − µ
≤

M αks x˜αks , fδks + δks − µ

≤

M αks x0 , fδks + δks − µ

≤

( Ax0 − f0 + δks )2 + αks x0

≤

(µ + δks )2 + αks x0

2

2

+ δks − µ

+ δks − µ.

Vì αks ≤ β2 (δks ), cho nên
0 ≤ A˜
xαks − f0 − µ ≤

Số hóa bởi trung tâm học liệu

(µ + δks )2 + β2 (δks ) x0 + δks − µ → 0,

/>

19

khi δks → 0. Từ bất đẳng thức cuối cùng suy ra A˜
x − f0 = µ. Điều đó

chứng tỏ x˜ là một giả nghiệm của phương trình (1.3) và đó cũng là giả
nghiệm có chuẩn nhỏ nhất trong tất cả các giả nghiệm. Nhưng nghiệm
chuẩn tắc là duy nhất, cho nên x˜ = x0 . Qua đó dễ dàng nhận thấy là
mọi dãy con hội tụ của x˜α(δ) đều hội tụ đến x0 . Cho nên dãy x˜α(δ)
hội tụ đến x0 . Định lý được chứng minh.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

20

Chương 2
Phương pháp hiệu chỉnh tìm
nghiệm chung cho một hệ các
phương trình với tốn tử tuyến tính
giới nội
Các kết quả trong chương này sử dụng tài liệu [5].
2.1.

Bài tốn

Cho X và Yj là khơng gian Hilbert thực với tích vơ hướng và chuẩn
của X lần lượt được ký hiệu bởi ., .

X

và .

X.

Cho Aj , j = 1, ..., N, là

N ánh xạ tuyến tính bị chặn từ X tới Yj .
Vấn đề đặt ra là: tìm giá trị x˜ ∈ X sao cho
Aj x˜ = fj ,

∀j = 1, ..., N,

(2.1)

ở đây fj là một phần tử cho trước trong Yj . Đặt
N

Sj = {x ∈ X : Aj x = fj }, j = 1, ..., N, S =

Sj .
j=1

Giả sử rằng S = ∅. Từ tính chất của Aj ta dễ dàng suy ra rằng mỗi Sj
là một tập lồi đóng trong X. Do đó, S cũng là một tập lồi đóng trong
X.
Xét trường hợp khi dữ liệu đầu vào fj là khơng biết chính xác, tức là
δ

chúng ta chỉ có giá trị xấp xỉ fj j của fj thỏa mãn :
δ

fj − fj j

Yj

≤ δj ,

δj → 0, j = 1, ..., N.

(2.2)

Với các điều kiện trên với ánh xạ Aj , mỗi phương trình thứ j trong (2.1)
là đặt khơng chỉnh, theo nghĩa là tập nghiệm Sj khơng phụ thuộc liên

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

21

tục vào dữ kiện ban đầu fj . Vì vậy, để tìm một nghiệm cho mỗi phương
trình j trong (2.1) ta phải sử dụng các phương pháp giải ổn định. Một
trong các phương pháp đó là phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên
việc cực tiểu phiếm hàm.
δ

Aj x − fj j

2
Yj

+ α x − x∗

2
X,

(2.3)

trong đó x∗ là một phần tử bất kì trong X \ Sj , α = α(δ1 , · · ·δN ) > 0 là
tham số hiệu chỉnh. Theo kết quả trong [10] đã chỉ ra rằng, mỗi bài tốn
αδ

(2.3) cho phương trình thứ j trong hệ (2.1) có duy nhất nghiệm xj j , và
αδ

nếu δj2 /α, α → 0 thì {xj j } hội tụ đến x˜j thỏa mãn
x˜j − x∗

X

= min x − x∗
x∈Sj

X,

j = 1, ..., N.
δ

δ

Trong luận văn này, ta đi xét bài tốn tìm xαj sao cho xαj → x˜ khi
δj , α → 0, đồng thời chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ1 , · · ·δN ) sao
δ

j
cho xα(δ
→ x˜ khi δj → 0, và cuối cùng ước lượng tốc độ hội tụ
1 ,···δN )

của nghiệm hiệu chỉnh trong khơng gian vơ hạn chiều, hay ước lượng
δ

j
xα(δ
− x˜ với x˜ là một nghiệm có x∗ - chuẩn nhỏ nhất trong S
1 ,···δN )

(x∗ −MNS).
Burger and Kaltenbacher [4] đã sử dụng phương pháp lặp NewtonKaczmarz xoay vòng để hiệu chỉnh mỗi phương trình trong hệ (2.1) với
điều kiện nguồn đặt lên mỗi ánh xạ Aj . Phương pháp đường dốc nhất
Descent-Kaczmarz đã được sử dụng xoay vòng bởi Haltmeier Kowar,
Leit˜
ao, và Scherzerfor [8] cho mỗi phương trình riêng biệt trong (2.1)
dưới điều kiện nón tiếp tuyến địa phương đặt lên mỗi tốn tử Aj .
Lưu ý rằng hệ phương trình (2.1) có thể viết được dưới dạng
Ax = f,

(2.4)

trong đó A : X → Y := Y1 × ... × YN xác định bởi Ax := (A1 x, ..., AN x),
và f := (f1 , ..., fN ). Rất gần đây, Halmeier, Leit˜
ao và Scherzer [7] đã

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

22

nghiên cứu phương pháp Landweber-Kaczmarz để giải phương trình
(2.4) với điều kiện nón tiếp tuyến địa phương trên mỗi ánh xạ tuyến
tính Aj . Phương trình (2.4) có thể được xem là trường hợp đặc biệt của
phương trình (2.1) khi N = 1. Tuy nhiên, một trong những lợi thế của
phương trình (2.1) so với (2.4) là nó phản ánh rõ hơn, các thơng tin
quan trọng về (f1 , ..., fN ) khi so sánh với phương trình (2.4) chỉ chứa
thành phần f . Trong [6], để tìm khơng điểm chung của một họ hữu hạn
các ánh xạ đơn điệu và h-liên tục từ khơng gian Banach phản xạ E vào
khơng gian đối ngẫu E ∗ , tác giả Nguyễn Bường đã đề xuất một phương
pháp hiệu chỉnh thơng qua việc giải phương trình hiệu chỉnh sau.
N

αµj Aj (x) + αU (x) = θ,

(2.5)

j=0

µ0 = 0 < µj < µj+1 < 1, j = 1, 2, ..., N − 1,
trong đó U là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E và ước lượng tốc độ hội
tụ của nghiệm hiệu chỉnh với điều kiện trơn chỉ đặt lên tốn tử A1 , tức
là: A1 (˜
x)∗ z = U (x0 ), với z ∈ E. Trong chương này, để tìm nghiệm của
bài tốn (2.1), ta xét một phương pháp hiệu chỉnh mới dựa trên cơ sở

tìm nghiệm của bài tốn tối ưu hóa khơng ràng buộc sau:
N
δ

Aj x − fj j

min
x∈X

2
Yj

+ α x − x∗

2
X.

(2.6)

j=1

Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh trong (2.6) với sẽ được chỉ ra với
một điều kiện nguồn chỉ đặt lên tốn tử A1 trong mục tiếp theo. Trong
mục 3, ta xét một ví dụ minh hoạ để chỉ ra rằng, bài tốn (2.4) có thể
là đặt chỉnh, mặc dù mỗi phương trình trong (2.1) là đặt khơng chỉnh.
Do đó, phương pháp hiệu chỉnh xoay vòng cho mỗi phương trình riêng
biệt trong (2.1) như trong [4] và [8] là khơng cần thiết. Hơn nữa, phương
pháp này khơng thể hiện được tính đặt chỉnh của hệ phương trình đã
cho. Trong khi đó phương pháp (2.6) vẫn sử dụng tính chất đó.

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>

23

Các kí hiệu

và → lần lượt chỉ sự hội tụ yếu và hội tụ mạnh, và

a ∼ b có nghĩa là a = O(b) và b = O(a).
2.2.

Thuật tốn cơ bản

Với các giả thiết đặt lên tốn tử Aj ta dễ dàng chỉ ra rằng bài tốn
(2.6) có nghiệm duy nhất. Ta có hai câu hỏi cần trả lời trong phần này.
Một là,bài tốn (2.6) có ổn định nghĩa nghiệm phụ thuộc liên tục vào
δ

dữ kiện ban đầu fj j hay khơng? Hai là, nghiệm của (2.6) có hội tụ tới
nghiệm của (2.1) khi α, δj → 0. hay khơng? Trong [9], sự ổn định đã
được chứng minh đối với trường hợp N = 1. Để thuận tiện cho người
đọc và trả lời hai câu hỏi đó ta đi chứng minh trong trường hợp N tùy
ý với N ≥ 1.
δ

δ

Định lý 2.1. Cho α > 0, fj jk → fj j với δj ≥ 0, khi k → ∞, và xk là

δ

δ

cực tiểu của (2.6) với fj j được thay thế bởi fj jk . Khi đó dãy lặp {xk } hội
tụ tới cực tiểu của (2.6).
Chứng minh. Rõ ràng, xδα là một nghiệm của (2.6) khi và chỉ khi nó là
một nghiệm của phương trình
Bx + α(x − x∗ ) = f˜δ ,

(2.7)

ở đây
N

N

A∗j Aj

B=

δ

và f˜δ =

j=1

A∗j fj j ,
j=1
δ

δ

trong đó A∗j là ánh xạ liên hợp của Aj . Vì fj jk → fj j nên suy ra
N

f˜δk

N
δ k
A∗j fj j

=

δ

→ f˜δ =

j=1

A∗j fj j
j=1

khi k → ∞. Gọi xδk
α là nghiệm của phương trình
N

Bx + α(x − x∗ ) = f˜δk ,

δ k

f˜δk =

A∗j fj j .
j=1

Số hóa bởi trung tâm học liệu

/>
(2.8)


24

Từ (2.7), (2.8) và tính chất đơn điệu của B suy ra
δ
xδk
α − xα

X

≤ f˜δk − f˜δ

X /α,

δ
với mỗi α > 0. Nên với f˜δk → f˜δ thì xδk
α → xα khi k → ∞. Định lý được

chứng minh.

Hơn nữa, khơng mất tính tổng qt, giả định rằng δj = δ, δ → 0.
Định lý 2.2. Cho α(δ) là tham số hiệu chỉnh sao cho α(δ) →
0, δ/α(δ) → 0 khi δ → 0, ở đây δ → 0, α = α(δ). Khi đó dãy {xδα },
hội tụ tới nghiệm x˜ có x∗ - chuẩn nhỏ nhất của (2.1) ở đây xδα là một
nghiệm của (2.6),
Chứng minh. Với mỗi y ∈ S, ta có
N

By = f˜,

f˜ =

A∗j fj .

(2.9)

j=1

Bởi vậy, từ (2.7) và (2.9), ta thu được
Bxδα − By, xδα − y + α xδα − x∗ , xδα − y = f˜δ − f˜, xδα − y .
Kết hợp với tính chất đơn điệu của B ta suy ra
N

xδα

−y

X

≤ x∗ − y

X

A∗j

+

(Yj∗ →X)

j=1

δ
α

∀y ∈ S.

(2.10)

Vì Aj là ánh xạ tuyến tính giới nội và δ/α(δ) → 0, suy ra dãy {xδα(δ) }
k
giới nội, nên tồn tại một dãy con {xk := xδα(δ
} của dãy {xδα(δ) } hội tụ
k)

yếu tới phần tử x˜ ∈ X khi k → ∞. Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh
x˜ ∈ S. Thật vậy, từ (2.6) ta có bất đẳng thức sau
N

Al xk −

flδk 2Yl

Aj xk − fjδk

≤

2
Yj

j=1
N

Aj y − fjδk

≤

Yj

+ α(δk ) y − x∗

2
X

j=1

≤ N δk2 + α(δk ) y − x∗

Số hóa bởi trung tâm học liệu

2

X,

/>