SKKN Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

I.PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Đối với học sinh lớp 8, để giải bài toán tìm x với những phép tính cộng, trừ,
nhân, chia đã rất quen thuộc, nhưng việc giải phương trình lại là một khái niệm hoàn
toàn mới. Được giảng dạy ở lớp có đầu vào tốt cũng như các em có lực học trung bình,
trở lên nên tôi muốn khai thác sâu ở các em học sinh dạng toán giải phương trình tích.
Nhằm giúp học sinh có kĩ năng giải phương trình và nắm bắt dạng phương trình, các
em cần phân biệt được giữa bài toán tìm x và bài toán giải phương trình có điểm gì
giống và khác nhau. Trên cơ sở đó giúp các em hiểu và vận dụng nhanh hơn trong giải
toán, đặc biệt là giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình
tích. Trong SGK Toán 8 đã trình bày các phương pháp phân tích vế trái thành tích của
những đa thức bằng các phương pháp đặt nhân tử chung, tách hạng tử, phương pháp
thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, …để làm một số dạng bài tập giải phương
trình tích. Nếu chỉ giải những phương trình đơn giản thì người đọc sẽ chỉ cảm thấy
rằng việc học sinh giải phương trình tích là điều hiển nhiên có thể làm được, nhưng nếu
là giáo viên trực tiếp giảng dạy họ sẽ nhận ngay ra được rằng lỗi mà học sinh hay vấp
phải nhất khi giải phương trình đó là tìm sai hướng giải, máy móc một cách giải cho tất
cả các bài toán và đương nhiên khả năng tư duy logic của các em sẽ không được phát
huy.
Khi dạy chuyên đề này tôi nhận thấy học sinh khi giải phương trình tích dạng
A(x).B(x) thì học sinh làm được và làm một cách máy móc. Nhưng khi gặp những
phương trình khó hơn và được nâng cao dần về kiến thức thì các em lại không làm
được, thậm chí không tìm được hướng để giải bài toán. Nếu học sinh lớp 8 giải phương
trình tích và các phương trình đưa về dạng tích không tốt thì khi gặp các bài học sau và
thậm chí khi lên lớp 9 các em sẽ gặp khó khăn khi giải những phương trình bậc cao
hơn, hay những bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai. Điều đó khiến tôi trăn trở
và muốn tìm ra phương pháp đưa đến các em những kiến thức cơ bản nhất và cần thiết
nhất để các em không thấy khó khăn khi giải phương trình.

Trong quá trình giảng dạy các em theo trình tự các bước của đề tài, tôi nhận thấy
các em học sinh rất thích thú. Vì có các ví dụ đa dạng, có nhiều bài vận dụng cách giải
khác nhau nhưng cuối cùng cũng đưa về được dạng tích. Từ đó giúp các em học tập
kiến thức mới và giải được một số bài toán từ đơn giản đến mức độ khó. Vì vậy, trong
những nội dung mà tôi đưa ra sẽ nhằm hướng các em hiểu về phương trình, phương
trình tích. Vận dụng các phương pháp để đưa một phương trình về phương trình tích và
giải phương trình, giải bài toán. Và tôi nhận thấy rằng, khi đưa đến cho các em các
lượng kiến thức vừa đủ và đa dạng ở phương trình tích và phương trình đưa được về
phương trình tích từ “đơn giản’’ đến “khó dần’’ là việc đưa lại hiệu quả cao, tạo được
hứng thú cho các em và giúp các em nắm chắc kiến thức. Đó là lí do để tôi chọn đề tài
này. Ngoài ra bằng sự kết hợp linh hoạt của máy tính và hướng dẫn cơ bản của giáo
Giáo viên: Dương Thị Nga

1

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

viên, các em học sinh dễ dàng đưa được phương trình về dạng phương trình tích tìm
được nghiệm.
2. Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài
Qua những năm giảng dạy, tôi thấy để “giải phương trình tích’’ và những dạng
bài tập vận dụng cần hướng dẫn học sinh cách nhận dạng bài toán để biết được nên áp
dụng phương pháp nào để vừa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu, giúp cho học sinh biết nhìn
nhận cách học bộ môn toán và cách giải toán theo mạch kiến thức mang tính logic, chỉ
ra các phương pháp dạy học các loại bài tập “Giải các dạng phương trình đưa về dạng
phương trình tích’’.

Để làm được điều này, người giáo viên cần định hình cho học sinh hiểu thế nào
là giải phương trình? Phương trình tích là phương trình có dạng như thế nào và các
cách giải? Hướng dẫn cho các em biết cách giải các phương trình đơn giản, biết đoán
nghiệm của phương trình thông qua việc sử dụng máy tính từ đó phân tích, biến đổi
phương trình về dạng phương trình tích. Nên có thể khai thác ở các em vận dụng các
cách giải khác nhau và kích thích các em sự hứng thú, tò mò muốn giải quyết bài toán.
Linh hoạt trong giải toán, phục vụ tốt cho các em trong việc luyện thi Toán Internet và
Toán Casio với bài toán phương trình.
3.Đối tượng nghiên cứu
Một số biện pháp hướng dẫn học sinh lớp 8 trường THCS Lương Thế Vinh học
tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng
phương trình tích (căn cứ theo năng lực của học sinh để mở rộng các dạng phương
trình tích cho học sinh).
4.Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Hướng dẫn học sinh giải phương trình tích và phương trình đưa được về dạng
phương trình tích, các bài tập vận dụng trong chương trình học kì II môn Đại số lớp 8.
Được áp dụng cho học sinh lớp đại trà và lớp chọn khối 8 trường THCS Lương Thế
Vinh năm học 2014 – 2015.
5. Phương pháp nghiên cứu
Dựa trên những định hướng ban đầu, nội dung được dựa trên những phương
pháp sau:
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: thông qua quá trình trực tiếp giảng dạy học
sinh lớp 8.
- Phương pháp đọc sách và tài liệu: Sách giáo khoa Toán 8 tập II; Sách Toán cơ
bản và nâng cao Đại số 8; Sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 8.
- Phương pháp nghiên cứu sản phẩm.

Giáo viên: Dương Thị Nga

2

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm giáo dục: Thông qua quá trình giảng dạy,
giáo viên đúc kết ra những hướng đi giúp học sinh tìm đến kiến thức.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề.
II NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Trong chương trình Giáo dục phổ thông môn Toán của BGD & ĐT ban hành
kèm theo quyết định số 16/2006 QĐ – BGD & ĐT ngày 5/5/2006. Quy định giáo viên
là người thiết kế, tổ chức, hướng dẫn điều khiển quá trình học tập, còn học sinh là chủ
thể nhận thức, biết cách tự học, tự rèn luyện. Từ đó nhằm phát triển nhân cách và các
năng lực cần thiết. Vì vậy, trong hoạt động giáo dục hiện nay đòi hỏi học sinh cần phải
tự học, tự nghiên cứu rất cao. Tức là cái đích cần phải biến quá trình giáo dục thành
quá trình tự giáo dục. Như vậy học sinh có thể phát huy được năng lực sáng tạo, tư duy
khoa học từ đó xử lý linh hoạt được các vấn đề của đời sống xã hội. Riêng với chương
trình Đại số lớp 8, việc học sinh không giải được phương trình tích sẽ khiến cho các
em học sinh có lực học trung bình và khá mất đi một kiến thức cơ bản để giải những
phương trình đưa được về dạng tích, học sinh giỏi sẽ cảm thấy khó và không có hướng
giải với những phương trình đa dạng, phức tạp với lũy thừa lớn. Nhờ phương trình tích,
học sinh có thể giải nhiều phương trình bậc cao có dạng f(x) = 0. Nhiều trường hợp còn
đòi hỏi các em học sinh phải thêm bớt, tách hạng tử, đặt ẩn phụ để giải được bài toán.
Một trong những phương pháp để học sinh đạt được điều đó đối với môn toán
(cụ thể là môn đại số lớp 8) đó là khích lệ các em sau khi tiếp thu thêm một lượng kiến
thức các em cần khắc sâu tìm tòi những bài toán liên quan. Để làm được như vậy thì

giáo viên cần gợi sự say mê học tập, tự nghiên cứu, đào sâu kiến thức của các em học
sinh.
2. Thực trạng
2.1. Thuận lợi – khó khăn
* Thuận lợi: Là giáo viên còn trẻ nên bản thân tôi nhận thấy việc giáo viên cần
học hỏi và trau dồi kiến thức, phương pháp để đưa đến cho các em kiến thức là một
vấn đề rất quan trọng và được đặt lên hàng đầu khi soạn giảng.
Trong quá trình giảng dạy và công tác tại trường tôi được học hỏi ở đồng nghiệp
các phương pháp giảng dạy và kĩ năng khi đứng lớp, được dự các tiết chuyên đề, thao
giảng, hội giảng về bộ môn toán của đồng nghiệp. Trường có điều kiện cơ sở vật chất
đầy đủ, thư viện thông minh với các tài liệu tham khảo đa dạng nên có rất nhiều sách
tham khảo viết về chuyên đề phương trình nói chung, phương trình tích nói riêng cho
học sinh tìm hiểu và nghiên cứu. Từ đó giúp tôi tự tin hơn về kiến thức và phương
pháp để thực hiện chuyên đề này.
Giáo viên: Dương Thị Nga

3

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

- Đa số các giáo viên giảng dạy môn toán 8 đã quan tâm nhiều đến việc dạy cho
các em học sinh các cách giải phương trình tích.
- Được nhà trường quan tâm, động viên trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi,
nên bản thân mỗi giáo viên và học sinh đều cố gắng nâng cao kiến thức.
- Bên cạnh đó, đội ngũ giáo viên trong tổ bộ môn có năng lực vững vàng, nhiệt
tình đã giúp tôi học được nhiều kinh nghiệm trong phương pháp truyền đạt đến học

sinh cũng như bồi dưỡng kiến thức chuyên môn.
- Các em ham học, thích nghiên cứu tài liệu và ham muốn được mở rộng kiến
thức.
* Khó khăn: Lực học của các em học sinh không đồng đều giữa các lớp. Một số
em học sinh tiếp thu kiến thức cơ bản còn chậm, không đáp ứng được yêu cầu của
chương trình, bằng lòng với những kiến thức mình đã có.
- Điều kiện kinh tế và hoàn cảnh gia đình số ít học sinh còn khó khăn nên có sự
ảnh hưởng rất lớn đến chất lượng học tập của học sinh.
- Đã có nhiều loại sách tham khảo viết các chuyên đề về phương trình, phương
trình tích nhưng để đi sâu về hướng dẫn học sinh giải phương trình đưa được về
phương trình tích thì còn hạn chế, còn mang tính tổng quát, chưa cụ thể.
- Các chuyên đề khác có hướng dẫn học sinh giải phương trình tích nhưng tôi
nhận thấy còn chưa cụ thể, đặc biệt chưa quan tâm nhiều đến các bước hướng dẫn học
sinh đi đến kiến thức và trình bày bài giải. Chưa khai thác sâu ở các em học sinh khả
năng tư duy logic, mối liên hệ giữa các phương trình trong quá trình biến đổi phương
trình về phương trình tích. Các chuyên đề khác chỉ đưa ra cho các em các dạng toán và
bài giải, thiếu tính logic từ dễ đến khó, chưa nâng mức độ khó của bài toán lên cao dần.
2.2.Thành công – hạn chế
* Thành công:
- Giáo viên được bồi dưỡng kiến thức về phương trình từ đơn giản đến những
phương trình bậc cao trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi văn hóa, học sinh giỏi
Toán Internet và Toán Casio. Nâng cao kĩ năng đứng lớp và truyền đạt kiến thức một
cách khéo léo. Tích lũy cho bản thân được nhiều phương pháp đổi mới trong dạy học.
- Đa số các em đã nhận thức đúng đắn về ý thức học tập, cần phải hăng say học
tập.
- Học sinh đã nắm được kiến thức một cách có hệ thống, các em đã nắm được
các dạng bài tập và phương pháp giải phương trình tích và các bài toán liên quan.
- Đã gợi được sự say mê học tập của các em học sinh.
- Là bước khởi đầu để các em vận dụng tốt cho các dạng toán về giải bài toán
bằng cách lập phương trình, bất phương trình ở lớp 8 và các dạng toán khi lên lớp 9.

Giáo viên: Dương Thị Nga

4

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

* Hạn chế:
- Số tiết thực hiện giảng dạy về phương trình tích và phương trình đưa được về
dạng tích còn hạn chế. Một số em học sinh tiếp thu còn chậm.
- Thời gian thực tế trên lớp để luyện tập về giải phương trình còn ít, các dạng bài
tập ở sách giáo khoa và sách bài tập đa dạng ở nhiều dạng phương trình khác nhau nên
việc lồng ghép các dạng toán có liên quan đến phương trình tích còn khó khăn. Do đó
có những bài toán mới học sinh còn bỡ ngỡ chưa biết cách giải. Hoặc khi mới bắt đầu
hiểu về bài toán đó chưa được củng cố đã phải chuyển sang dạng toán khác, điều đó
khiến các em nhớ kiến thức và vận dụng chưa sâu, chưa thành thạo.
- Các tài liệu tham khảo mang những chuyên đề rộng, ít tài liệu viết riêng về chủ
đề này nên việc tìm tài liệu tham khảo, chọn lọc bài toán của học sinh mất nhiều thời
gian.
2.3. Mặt mạnh – mặt yếu
* Mặt mạnh:
Với cách thiết lập các bài tập theo thứ tự từ dễ đến khó và khó dần, từ đơn giản
đến bậc cao, và lồng ghép các ví dụ cụ thể, cùng với hướng dẫn giải của giáo viên sẽ
tạo cho người đọc dễ hiểu, dễ vận dụng. Học sinh dễ tham khảo ngay cả không có sự
hướng dẫn của giáo viên.
Đã kết hợp đổi mới các phương pháp dạy học toán để học sinh có thể tiếp cận
với kiến thức một cách nhanh nhất, vận dụng linh hoạt vào giải toán.

Khi học sinh lớp 8 học tốt dạng toán về phương trình tích và phương trình đưa
được về dạng tích, học sinh sẽ tư duy tốt các dạng toán khác như giải bài toán bằng
cách lập phương trình, bất phương trình. Tao cho các vốn kiến thức vững vàng khi lên
lớp 9.
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên kết hợp cho học sinh sử dụng
máy tính bỏ túi, phương pháp sơ đồ Hoocner, để đoán nghiệm của phương trình từ đó
tìm ra hướng giải bài toán.
Ban giám hiệu nhà trường chỉ đạo thường xuyên coi việc phát triển năng lực
chuyên môn là then chốt, nhà trường đã phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh
công tác chuyên môn. Tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để các thầy cô giáo có điều
kiện học hỏi đúc rút được nhiều kinh nghiệm cho bản thân. Đa số giáo viên nhiệt tình
trong công tác giảng dạy, học sinh ham học. Cơ sở vật chất đầy đủ, đồ dung học tập
phong phú. Vì vậy đề tài được thực hiện với khả năng tiếp thu của học sinh khá tốt, học
sinh được mở rộng kiến thức với những phương trình bậc cao đưa được về dạng
phương trình tích.
* Mặt yếu:
Giáo viên: Dương Thị Nga

5

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Trong một lớp lực học của các em không đồng đều nên mức độ tiếp thu kiến
thức và khả năng vận dụng chưa cao. Thời gian để các em giải các phương trình đưa
được về dạng tích mất nhiều thời gian. Thao tác thực hiện của các em thiếu tính logic
và chính xác.

2.4 . Các nguyên nhân, các yếu tố tác động
Xuất phát từ thực trạng nói trên nguyên nhân chủ yếu là nhằm giúp cho các em
học sinh có ý thức học tập đúng đắn, tạo sự ham mê học tập giúp các em có điều kiện
lĩnh hội được một số kiến thức để các em học tập sau này được tốt hơn. Bởi nếu các em
hiểu sai về phương trình tích sẽ tạo cho các em cảm giác không muốn giải phương
trình này, cảm giác sẽ giải sai phương trình này và từ đó mất dần đi đam mê học toán.
Xuất phát từ sự ham học hỏi của học sinh và sự ham mê nghiên cứu và lòng yêu
nghề của bản thân trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi. Trong công
tác bồi dưỡng học sinh giỏi giáo vên không thể bỏ qua dạng toán này cho học sinh, bởi
đó là cơ sở để các em tự tin khi giải các phương trình bậc cao.
2.5. Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra
Trước đây, để dạy cho học sinh giải phương trình tích, tôi thường lấy ví dụ cho
học sinh phương trình tích dạng đơn giản(A(x).B(x) = 0) và đưa những bài tập tương
tự. Vì vậy học sinh thường hiểu máy móc và làm rập khuôn theo cách giải của giáo
viên, không chủ động tư duy tìm tòi kiến thức, nên khi gặp dạng phương trình bậc hai,
bậc ba,… học sinh chỉ phân tích các hạng tử có chứa ẩn thành nhân tử, hạng tử tự do
thì chuyển vế sang vế phải của phương trình, dẫn đến hiểu sai và giải sai bài toán.
Trong quá trình làm bài tập hoặc những đề thi có chứa những phương trình dạng đưa
về phương trình tích học sinh thường gặp khó khăn và không tự tin khi giải, các bước
trình bày bài giải lũng củng, thiếu tính chính xác. Vậy thì vì sao giáo viên không làm
thay đổi lối tư duy của học sinh, khiến các em có thể giải tốt dạng toán đưa về phương
trình tích. Từ đó, thay vì đưa kiến thức trực tiếp đến học sinh tôi dành thời gian cho
học sinh học từng kiến thức và đưa ra những phương trình khó dần nhưng có liên quan
logic đến những kiến thức cũ “theo bậc thang”. Và thực tế, tôi nhận thấy ở các em
niềm vui khi hiểu và giải từng dạng toán được nâng cao dần.
3. Giải pháp, biện pháp
3.1. Mục tiêu của giải pháp, biện pháp
Trong thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy chính bản thân giáo viên nếu cứ rập
khuôn bài dạy cho tất cả các đối tượng học sinh, điều đó chỉ đem lại cho giáo viên sản
phẩm đó là những con người rập khuôn, máy móc, thiếu chủ động trong tư duy, “ nghe

– làm theo” tạo cho các em đặt niềm tin hoàn toàn vào giáo viên, không tự đặt được
câu hỏi vì sao lại vậy? điều đó có đúng không? Làm thế nào để được như vậy? làm
cách khác có được không? Làm vậy có tác dụng gì? Áp dụng vào đâu?...Vì vậy, trong
tôi chỉ nau náu mong muốn ở mỗi tiết dạy là làm sao, bằng phương pháp nào để đưa
Giáo viên: Dương Thị Nga

6

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

các em rõ cái gốc của vấn đề, của kiến thức từ đó khơi lên ở chính các em niềm vui và
đam mê khi giải phương trình tích, bởi lẽ đó không phải là dạng toán khó, cũng không
phải là qua dễ để các em hời hợt, chủ quan. Giải tốt dạng toán này là hành trang kiến
thức để phần nào giúp các em đến với các lớp trên.
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ các phương pháp giải
phương trình tích và phương trình đưa được về dạng phương trình tích. Để đạt được
điều này, tôi chọn giải pháp là cho học sinh tiếp cận với những kiến thức từ đơn giản
trong sách giáo khoa toán 8 đến những kiến thức được cũng cố ở sách bài tập toán 8 và
kiến thức nâng cao trong các sách tham khảo nhằm mục đích đưa đến các em cách tư
duy đầy đủ và logic nhất để các em thấy sự lôi cuốn của bài toán, từ đó có động lực để
làm toán.
3.2. Nội dung và cách thực hiện giải pháp, biện pháp
Để bài giảng về phương trình tích và phương trình đưa được về dạng tích đạt
hiệu quả tốt nhất, trước tiên tôi đặt ra yêu cầu đối với học sinh như sau:
3.2.1. Lí thuyết:
- Các em cần nắm được kiến thức chính: Phương trình tích có dạng:

A(x).B(x) = 0.
- Nắm được các dạng phương trình đưa được về phương trình tích: phương trình
bậc hai một ẩn, phương trình trùng phương, phương trình chứa mẫu, phương trình chứa
ẩn ở mẫu, phương trình đối xứng, …
3.2.2. Kĩ năng:
- Các em biết dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra nghiệm của một phương trình từ
đơn giản đến phức tạp. Việc hướng dẫn học sinh sử dụng máy tính bỏ túi trước khi
thực hiện các bước giải phương trình, các em nhận biết được nghiệm, thông qua đó
định hướng cách giải. Điều này sẽ giúp học sinh không bị lúng túng khi phát hiện ra
bài giải sai, hoặc phải giải lại bài toán từ đầu để giành thời gian cho các bài tập tiếp
theo.
- Rèn học sinh kĩ năng nhận biết phương trình và định hướng cách giải phương
trình tích. Các ví dụ từ những phương trình dạng phương trình tích đến những phương
trình khó theo mức độ tăng dần. Đưa ra phương pháp hướng dẫn của giáo viên và
hướng dẫn học sinh trình bày bài toán. Các ví dụ đưa ra không chỉ nhằm mục đích là
giải bài toán, mà còn ví dụ cơ bản để giáo viên định hình từng bước làm cho học sinh.
- Rèn học sinh kĩ năng năng giải các phương trình ở dạng tích có sẵn: hướng dẫn
học sinh giải phương trình tích trong sách giáo khoa toán 8 tập II (củng cố sau tiết dạy
kiến thức của bài Phương trình tích), giáo viên đưa thêm một số bài tập trong sách bài
tập toán 8 tập II.
Giáo viên: Dương Thị Nga

7

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

- Rèn học sinh nhận biết những phương trình đơn giản đưa được về phương
trình tích bằng các cách biến đổi như quy tắc chuyển vế, phân tích thành nhân tử, …
(Bài tập trong sách giáo khoa và sách tham khảo toán 8).
- Đến dần với hệ thống các bài tập đưa được về dạng tích nhưng bằng các cách
tư duy của từng học sinh như thêm, bớt hạng tử, đặt ẩn phụ, hằng đẳng thức,…: Bài tập
trong sách tham khảo như Toán nâng cao và các chuyên đề đại số 8, Toán bồi dưỡng
học sinh lớp 8 đại số, Bồi dưỡng học sinh giỏi đại số 8 (giáo viên lồng ghép các bài tập
phù hợp với từng đối tượng học sinh khá hoặc giỏi).
- Sau khi học sinh hiểu và vận dụng giải được những phương trình trên, giáo
viên mở rộng thêm cho học sinh các phương trình bậc cao với những cách giải mới. Ở
đây, cần yêu cầu học sinh đạt được là: nhận dạng được phương trình, nắm rõ các bước
giải, thao tác giải chính xác, trình bày bài giải logic.
- Với mỗi dạng, giáo viên đều gợi mở cho học sinh suy luận, giải và sửa bài giải
của học sinh, sau mỗi bài giải đều đưa ra những bài tập vận dụng.
3.2.3. Vận dụng:
a. Cách sử dụng máy tính bỏ túi để đoán nghiệm của phương trình
Khi nhìn vào phương trình, có những phương trình học sinh có thể đoán và nhận
ra ngay được giá trị nào là nghiệm. Nhưng với những phương trình phức tạp hơn, bậc
cao hơn thì kĩ năng sử dụng máy tính là rất quan trọng. Điều này giúp các em tự tin
hơn để giải phương trình. Tôi chỉ hướng dẫn các em sử dụng trên hai loại máy tính mà
các em hay sử dụng nhất đó là fx - 500 MS và fx – 570VN PLUS.
+ Đối với máy tính fx - 500 MS: giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra nghiệm
bằng hai cách
Cách 1: (Chỉ dùng được cho những phương trình đưa được về dạng cơ bản ax 2 +
bx + c = 0 hoặc ax3 + bx2 + cx + d = 0)
ON -> MODE -> MODE -> 1 -> PHÍM mũi tên sang phải -> 2 (chọn phương
trình bậc 2) hoặc 3 (chọn phương trình bậc 3)
+ Đối với máy tính fx – 570VN PLUS: giáo viên hướng dẫn học sinh kiểm tra
nghiệm theo hai cách:
Cách 1: (Chỉ dùng được cho những phương trình đưa được về dạng cơ bản ax 2 +

bx + c = 0 hoặc ax3 + bx2 + cx + d = 0)
ON -> MODE -> 5 -> 3(chọn phương trình bậc 2) hoặc 4 (chọn phương trình
bậc 3)
Cách 2: ON -> bấm phương trình bằng các phím ALPHA X (để biểu diễn ẩn) ->
SHIFT SOLVE
Ví dụ: Dùng máy tính bỏ túi tìm nghiệm của phương trình 2x2 – 5x + 3 = 0
Giáo viên: Dương Thị Nga

8

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Với máy tính fx – 500 MS: ON -> MODE -> MODE -> 1 -> PHÍM mũi tên sang
phải -> 2 -> Phím 2 -> Phím mũi tên đi xuống hoặc phím ‘’=” (trên máy tính sẽ hiển
thị a? ) -> phím – 5 (trên máy tính hiển thị b?) -> Phím mũi tên đi xuống -> Phím 3
(trên máy tính hiển thị c?) -> “ = ’’. Lúc này trên máy tính sẽ hiển thị nghiệm của
phương trình là x1 = 1,5 ; x2 = 1
Với máy tính fx – 570VN PLUS:
Học sinh có thể bấm: MODE -> 5 -> 3 -> 2 (tương ứng với giá trị của a) -> phím
“ =” hoặc mũi tên sang phải -> - 5 (tương ứng với b) -> phím “ = “ -> 2 (tương ứng với
c) -> 2 lần phím “ =”. Lúc này trên máy tính sẽ hiển thị nghiệm của phương trình x 1 =
3
hoặc x2 = 1.
2

Hoặc học sinh có thể bấm: (giáo viên hướng dẫn bấm phím x bằng cách ALPHA

-> Phím ) ). Từ đó học sinh chỉ việc bấm phương trình như phương trình của để bài là
tìm được giá trị của x.
b. Nắm được dạng tổng quát của phương trình tích và cách giải phương trình
tích.
Giáo viên cần đưa ra mục tiêu cần đạt được là tất cả các học sinh phải nắm chắc
dạng này và giải tốt 100%
Đầu tiên, giáo viên nhắc lại cho học sinh kiến thức cơ bản: Một tích bằng 0 khi
nào? Trong một tích nếu có một thừa số bằng 0 thì tích có bằng 0 hay không?
Phương trình tích có dạng A(x)B(x) = 0. trong đó A(x), B(x) là các đa thức của biến x.
Để giải phương trình A(x)B(x) = 0 ta giải hai phương trình A(x) = 0 và
B(x) = 0 rồi lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình đó.
Ví dụ 1 : Giải phương trình : (3x – 2) (4x + 5) = 0 ( I ) (Bài 21- Trang 17/sgk
toán 8 tập II)
Khi đưa ra ví dụ này, sẽ có những luồng ý kiến trái chiều như: bài toán này khá
đơn giản, không nhất thiết phải đưa ra. Hay bài toán phù hợp với học sinh trung bình,
yếu. Nhưng theo tôi, không thể bỏ qua những kiến thức cơ bản. Học sinh có hiểu rõ “
cái gốc’’ của vấn đề thì tư duy mới logic và chặt chẽ. Với những bài toán như trên, tôi
đặt ra yêu cầu là tất cả học sinh phải làm được, làm tốt.
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
dạng phương trình tích (Phương Ta có: ( 3x – 2 ) (4x + 5 ) = 0
pháp phát hiện)
⇔ 3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5 = 0
+ Giáo viên cần hướng cho học sinh
Giáo viên: Dương Thị Nga

9

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích
2
nhận dạng được A(x) và B(x) trong
Với 3x -2 = 0 ⇔ 3x = 2 ⇔ x =
3
bài toán: 3x – 2 và 4x + 5

+ Học sinh cần giải những phương Với 4x + 5 = 0 ⇔ 4x = -5 ⇔ x = −5
4
trình nào để giải bài toán: 3x – 2 = 0
và 4x + 5 = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình (I) là
+ Phương trình (I) có bao nhiêu
 −5 2 
nghiệm? Liệt kê nghiệm của phương S =  4 ; 3 
trình (I)
+ Học sinh viết được tập nghiệm của
phương trình
+ Yêu cầu học sinh kiểm tra nghiệm
của phương trình bằng máy tính

Giải phương trình như trên được gọi là giải phương trình tích.
c. Nắm được dạng tổng quát của phương trình tích với nhiều nhân tử.
Với bài toán trên, giáo viên cần sử dụng những phương pháp thuyết trình, vấn
đáp giữa cô và trò để giải quyết vấn đề. Điều đó giúp các em từng bước nắm được kiến

thức cơ bản của bài toán. Bài toán còn giúp các em rèn kĩ năng trình bày bài giải
phương trình tích. Từ bài toán cụ thể, giáo viên dần hình thành cho học sinh bài toán
tổng quát. Giáo viên đưa ra dạng phương trình tích tổng quát như sau: Để giải phương
trình tích A(x 1 ) . A(x 1 ) . …………….A(x n ) = 0 (II) thì ta cần giải những phương
trình nào ?
HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải các phương trình sau
A(x 1 ) = 0

(1)

A(x 2 ) = 0

(2)

……………………..
A (x n ) = 0

(n)

Nghiệm của các phương trình (1) ; (2) …….(n) là nghiệm của phương trình (II)
Với các giá trị của x thỏa mãn điều của phương trình (II)
Ví dụ 2: Giải phương trình ( 2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0 ( Bài 21 – trang 17/sgk
toán 8 tập II)

Giáo viên: Dương Thị Nga

10

Trường THCS Lương Thế Vinh

Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
dạng phương trình tích. Nêu được Ta có: ( 2x + 7)(x – 5)(5x + 1) = 0
điểm khác nhau của phương trình ở ví
⇔ 2x + 7 = 0 hoặc x - 5 = 0 hoặc 5x + 1 = 0
dụ 1 và ví dụ 2.
+ Giáo viên cần hướng cho học sinh Với 2x + 7 = 0 ⇔ 2x = - 7 ⇔ x = −7
2
nhận dạng được A(x1), A(x2), A(x3)
trong bài toán: 2x + 7, x- 5 và 5x + 1
Với x - 5 = 0 ⇔ x = 5
−1
+ Học sinh cần giải những phương
Với 5x + 1 = 0 ⇔ 5x = -1 ⇔ x =
5
trình nào để giải bài toán: 2x + 7 = 0 ;
x - 5 = 0 và 5x + 1 = 0
Vậy tập nghiệm của phương trình là
+ Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
 −7 −1 
S =  ; ;5
liệt kê nghiệm của phương trình
2 5



+ Học sinh viết được tập nghiệm của
phương trình



+ Học sinh kiểm tra nghiệm của
phương trình bằng máy tính bỏ túi

Giáo viên lồng ghép thêm các bài tập tương tự nhằm mục đích rèn thêm cho học
sinh kĩ năng giải phương trình là phương trình tích sẵn.
*Bài tập tương tự: Giải phương trình
a) (2,3x – 6,9)(0,1x + 2) = 0;

b) ( 4x + 2) (x2 + 1) = 0

c) (4x – 10)(24x + 5) = 0;

d) (3,5 – 7x) (0,1x + 2,3)(x + 1)(x – 1) = 0

(Đây là các bài tập được lấy từ sách giáo khoa và sách bài tập toán 8 tập II. Giáo viên
chọn lọc những bài toán cùng dạng để học sinh ban đầu dễ dàng vận dụng. Tạo cho các
em tự tin khi giải toán).
d. Đối với phương trình đưa được về dạng phương trình tích bằng quy tắc
chuyển vế, phân tích đa thức thành nhân tử.
Đây là bước mà học sinh vận dụng những kiến thức đã học để đưa về phương
trình tích (mức độ khó dần)
Sau khi học sinh đã nắm vững các bước giải phương trình tích, tôi đặt vấn đề với
những phương trình không phải ở dạng phương trình tích, xem học sinh sẽ suy nghĩ và

tìm ra hướng giải bằng cách nào. Để các em tư duy theo nhiều hướng khác nhau. Để
Giáo viên: Dương Thị Nga

11

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

các em giải theo chính hướng mà các em nghĩ ra. Điều đó giúp các em tự tin, giám
nghĩ, giám làm.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
dạng có là phương trình tích hay * Có trường hợp học sinh giải theo cách:
không?
Ta có 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
+ Học sinh bấm máy tính để đoán
nghiệm của phương trình
+ Để học sinh tự thảo luận, suy nghĩ ⇔ (x – 3) ( 2x + 5) = 0 ( học sinh phát hiện ra
và tìm hướng giải( có thể có học sinh nhân tử chung của hai biểu thức)
áp dụng quy tắc nhân đơn thức với đa ⇔ x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
thức, có thể có học sinh nhìn thấy nhân
Với x – 3 = 0 ⇔ x = 3
tử chung của hai biểu thức là x – 3;

−5
…)
Với 2x + 5 = 0 ⇔ x =
2

+ Giáo viên để học sinh giải phương
trình theo các cách mà các em suy Vậy tập nghiệm của phương trình là
luận.
 −5 
S =  ;3
2 
+ Phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Liệt kê nghiệm của phương trình
* Có trường hợp học sinh không nhận thấy
+ Học sinh viết được tập nghiệm của nhân tử chung ngay, mà thực hiện quy tắc đơn
thức nhân đa thức:
phương trình
* Với trường hợp học sinh nhận thấy 2x( x - 3 ) + 5(x – 3) = 0
nhân tử chung ngay, đó là các làm ⇔ 2x2 – 6x + 5x – 15 = 0
nhanh và dễ tìm được tập nghiệm của
⇔ 2x2 – x – 15 = 0
phương trình.
⇔ 2x2 – 6x + 5x – 15 = 0 (Giáo viên hướng
* Với trường hợp học sinh thực hiện
quy tắc nhân, giáo viên không nên vội dẫn học sinh cách tách. Thông qua đây, nhấn
vàng kết luận với các em rằng cách mạnh với học sinh rằng không phải lúc nào
làm này dài dòng và phức tạp khiến cũng chỉ nhìn và phụ thuộc những gì bài toán
các em nản và không có động lực tiếp đã cho mà có thể thêm bớt và tách hay kết hợp
tục giải bài toán. Mà cần từng bước như thế nào đó đúng quy tắc toán học để giải
hướng dẫn và gợi mở thêm vấn đề cho bài toán)

các em hình thành thêm cách làm mới ⇔ (2x2 – 6x) + (5x – 15) = 0 (sau khi tách thì
(tách hạng tử, thêm bớt hạng tử). Với được những hạng tử giống với hạng tử bân đầu)
những học sinh trung bình và yếu, giáo ⇔ 2x(x – 3) + 5(x – 3) = 0
Giáo viên: Dương Thị Nga

12

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

viên có thể cho học sinh biết cách tách ⇔ (x – 3) (2x + 5) = 0
thông qua việc sử dụng máy tính bỏ túi ⇔ x – 3 = 0 hoặc 2x + 5 = 0
(giáo viên hướng dẫn)
Với x – 3 = 0 ⇔ x = 3
+ Sau khi học sinh hoàn thành những
bài giải của mình, giáo viên cần xoay Với 2x + 5 = 0 ⇔ x = −5
2
ngược lại vấn đề, trong trường hợp này
cách giải nào giúp các em tiết kiệm Vậy tập nghiệm của phương trình là
được thời gian và giải gọn hơn?
 −5 
S
=
 ;3
Qua đó, giáo viên hướng học sinh,
2

trước khi giải bài toán, cần nhìn bài
toán và chọn cách giải phù hợp nhất.



Nhận xét : Qua ví dụ 3, tôi mở rộng cho học sinh làm quen với phương trình có
thể đưa được về phương trình tích bằng các bài toán cho sẵn những hạng tử có nhân tử
chung.
+ Vế phải của phương trình bằng 0
+ Đưa vế trái của phương trình về dạng tích(đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức,
nhóm các hạng tử,…)
+ Giải phương trình tích
Ví dụ 4: Giải phương trình 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1)
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận xét Giải:
về phương trình trước (đây không là Ta có: 0,5x(x – 3) = (x – 3)(1,5x – 1)
phương trình tích)
⇔ 0,5x(x – 3) - (x – 3)(1,5x – 1) = 0
+ Học sinh dùng máy tính kiểm tra
⇔ (x – 3)(0,5x – 1,5x + 1) = 0 (giáo viên lưu ý
nghiệm của phương trình.
học sinh quy tắc phá dấu ngoặc)
+Giáo viên để hướng mở cho học sinh
⇔ (x – 3)(1 – x) = 0 ( thu gọn biểu thức trong
suy luận hướng giải bài toán
ngoặc)
+ Học sinh rút kinh nghiệm từ ví dụ 3

nên sẽ nhìn thấy có thể đặt x – 3 làm ⇔ x – 3 = 0 hoặc 1- x = 0
nhân tử chung.
Với x -3 = 0 ⇔ x = 3
+ Nhưng để làm được điều đó, mục Với 1 – x = 0 ⇔ x = 1
đích của giáo viên là để học sinh phát
Vậy tập nghiệm của phương trình là
hiện ra có thể sử dụng quy tắc chuyển
S = { 1;3}
vế để giải bài toán.
Giáo viên: Dương Thị Nga

13

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Qua ví dụ, giáo viên củng cố cho học sinh đưa phương trình về dạng phương
trình tích, học sinh cần :
+ Chuyển vế các hạng tử ở vế phải sang vế trái, để vế phải bằng 0
+ Phân tích vế trái thành nhân tử
+ Giải phương trình tích
* Bài tập tương tự : giải phương trình (Bài tập 22 ; 23/sgk và 28/ SBT toán 8 tập
II)
a) (x2 – 4) + (x – 2)(3 – 2x) = 0 ;

b) x(2x – 7) – 4x + 14 = 0

c) (x – 1)(5x + 3) = (3x -8)( x – 1) ;

d) (2x – 1)2 + (2 – x )(2x – 1) = 0

e) (2x2 + 1)(4x – 3 ) = (2x2 + 1) (x – 12) ;

f) ( x + 2) (3 – 4x) = x2 + 4x + 4

g) 3x – 15 = 2x(x – 5) ;

h)

3
1
x – 1 = x( 3x – 7)
7
7

e. Đối với phương trình bậc cao
Nâng cao thêm cho học sinh, với những phương trình học sinh không nhận thấy
nhân tử chung, làm thế nào để đưa phương trình về dạng phương trình tích ?
Ví dụ 5: Giải phương trình x2 - 5x + 6 = 0
Khi gặp phương trình này, tôi nhận thấy các em thường không biết tách hạng tử
-5x như thế nào, hoặc nếu có dùng máy tình kiểm tra được nghiệm thì chỉ muốn ghi
trực tiếp nghiệm ra chứ không biết cách tách đúng. Vì vậy, theo tôi học sinh cần thực
hiện như sau :
+ Đối với phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0. Giáo viên hướng dẫn các em
tìm nghiệm bằng máy tính.
+ Sau khi được nghiệm, đổi dấu của nghiệm rồi đem nhân với hệ số a. Kết quả
nhân với x. Đó là hai giá trị được tách ra từ bx.

Tức là x1 = 3 được đổi dấu thành -3 đem nhân với a = 1 ta được hạng tử tách
được là -3x.
Còn x2 = 2 được đổi dấu thành -2 đem nhân với a = 1 ta được hạng tử tách được
là -2x.
Vậy -5x được tách thành -3x và -2x
Phần việc còn lại học sinh đã dễ dàng hơn để hoàn thành

Giáo viên: Dương Thị Nga

14

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải:
xét về phương trình trước (đây Ta có: x2 - 5x + 6 = 0
không là phương trình tích)
⇔ x2 – 2x – 3x + 6 = 0
+ Học sinh dùng máy tính kiểm tra
⇔ x (x – 2) – 3( x – 2) = 0
nghiệm của phương trình
+ Giáo viên để hướng mở cho học ⇔ (x – 3)(x – 2 ) = 0
⇔ x – 3 = 0 hoặc x – 2 = 0

sinh suy luận hướng giải bài toán
+ Giáo viên hướng dẫn học sinh Với x -3 = 0 ⇔ x = 3
cách tách – 5x thành -2x và -3x
Với x -2 = 0 ⇔ x = 2
+ Hướng dẫn học sinh phân tích vế
Vậy tập nghiệm của phương trình là
trái thành nhân tử.
S = { 2;3}
+ Hướng dẫn học sinh giải bài toán

Qua ví dụ, với những phương trình có dạng bậc hai mà học sinh không nhận
thấy nhân tử chung. Cần:
+ Đưa phương trình về dạng ax2 + bx + c = 0
+ Tách hạng tử bx thành mx và nx sao cho bx = mx + nx ( sao cho có thể phân
tích thành nhân tử ở vế trái của phương trình, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử
sụng máy tính bỏ túi xác định nghiệm và tách dựa vào nghiệm)
+ Đưa phương trình về dạng phương trình tích.
+ Giải phương trình tích
Ngoài ra, học sinh có thể dùng sơ đồ Hoocner để giải các phương trình bậc cao,
nhẩm nghiệm, đặc biệt với nghiệm nguyên. Sau khi dùng máy tính đoán được nghiệm
của phương trình x2 – 5x + 6 = 0 là x = 2

m=2

a=1

b = -5

c=6

F1 = a = 1

F2 = m.F1+ b

F3 = m.F2+ c

= -3

=0

Chú thích: Với giá trị của F3 = 0 thì m = 2 được gọi là nghiệm của phương trình
Khi đó phương trình (*) ⇔ (x – m)(F1x +F2) = 0
⇔ (x – 2)(x – 3) = 0
Giáo viên: Dương Thị Nga

15

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Dễ dàng giải được x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm của phương trình.
* Bài tập tương tự: Giải phương trình: ( Bài 30/SBT toán 8 tập II)
a) x2 - 3x +2 = 0 ;

b) – x2 + 5x – 6 = 0

c) 4x2 – 12x + 5 = 0 ;

d) 2x2 + 5x + 1 = -2

e) x2 – 3x = - 4x + 2;

f) (x +1) (x + 2) = x( 7 – x)

Khi đến với dạng này, học sinh giải tốt. Điều đó tương ứng với việc học sinh đã
giải phương trình khá linh hoạt. giáo viên có thể đưa đến tiếp cho học sinh những dạng
toán khó hơn có thể đưa được về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình : x3 + 3x 2 + 2 x = 0
Đối với phương trình bậc cao hơn (bậc 3) này thì học sinh có thể có các cách
giải khác nhau chẳng hạn ở đây ta có thể tham khảo hai cách giải sau

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh Giải:
nhận xét về phương trình trước
3
2
2
(đây không là phương trình tích) Cách 1 : x + 3 x + 2 x = 0 ⇔ x ( x + 3x + 2 ) = 0
2
+ Yêu cầu học sinh dùng máy tính ⇔ x ( x + x + 2 x + 2 ) = 0 (tách 3x = x + 2x )
tìm nghiệm của phương trình
⇔ x ( x 2 + x ) + ( 2 x + 2 )  = 0 (nhóm hạng tử )
+ Hướng dẫn học sinh phân tích
vế trái của phương trình thành ⇔ x  x ( x + 1) + 2 ( x + 1)  = 0 (đặt nhân tử chung)

nhân tử.
+Đưa phương trình đã cho về ⇔ x ( x + 1) ( x + 2 ) = 0 (đặt nhân tử chung)
dạng phương trình tích.

⇔ x = 0 hoặc x = -1 hoặc x = -2

+ Giải phương trình tích

Vậy nghiệm của phương trình là :

+ Một nghiệm của phương trình
có giá trị đúng bằng nghiệm máy S = { 0; −1; −2}
tính tìm được
Cách2: x3 + 3x 2 + 2 x = 0 ⇔ x 3 + x 2 + 2 x 2 + 2 x = 0
+ Ngoài ra, học sinh có thể dùng (tách 3x 2 = x 2 + 2 x 2 )
sơ đồ Hoocner để giải bài toán
⇔ (x3+x2)+(2x2+2x)=0
⇔ ( x + 1) ( x 2 + 2 x ) = 0 ⇔ ( x + 1) x ( x + 2 ) = 0 (đặt
nhân tử chung )
⇔ x =0 hoặc x = -1 hoặc x = - 2
Giáo viên: Dương Thị Nga

16

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Vậy nghiệm của phương trình là :
S = { 0; −1; −2}

Ngoài ra, khi gặp phương trình chưa ẩn ở mẫu, học sinh cũng có trường hợp phải
đưa phương trình về phương trình tích. Đây là dạng phương trình mà khi giải ta cần
phải tìm điều kiện xác định của phương trình. Điều kiện xác định của phương trình là
tìm giá trị của ẩn để mẫu thức khác đa thức 0.
f. Đối với phương trình chứa mẫu, chứa ẩn ở mẫu
Ví dụ 7: Giải phương trình :
Hướng dẫn của giáo viên

x+2 1
2
− =
x − 2 x x ( x − 2)

(I)

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Yêu cầu học sinh tìm điều kiện
x+2 1
2
−
=
Ta
có
:
xác định của phương trình.
x − 2 x x ( x − 2)

+ Học sinh dùng máy tính tìm
Điều kiện xác định của phương trình là :
được 1nghiệm của phương trình x
x ≠ 0
x ≠ 0
= -1

⇔

x
−
2
≠
0
+ Học sinh cần thực hiện quy 
x ≠ 2

đồng mẫu thức các phân thức
x+2 1
2
trong hai vế của phương trình.
− =
Giải : Ta có ( I ) ⇔
x − 2 x x ( x − 2)
Bài toán giúp học sinh rèn kĩ năng
tìm ĐKXĐ của phương trình, quy
2
đồng phân thức, nhân đơn thức ⇔ ( x + 2 ) x − ( x − 2 ) =
x ( x − 2)
x ( x − 2)

với đa thức, quy tắc dấu ngoặc và
giải phương trình tích.
(quy đồng mẫu thức của các phân thức ở hai vế
+ Học sinh thu gọn phương trình của phương trình và khử mẫu)
sau khi khử mẫu của phương
⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = 2 ⇔ x2 + 2x − x + 2 = 2
trình.
+ Học sinh dùng phương pháp (sử dụng phương pháp nhân đơn thức với đa thức
phân tích đa thức thành nhân tử và quy tắc dấu ngoặc)
(đặt nhân tử chung) đưa phương ⇔ x2 + x = 0
trình về phương trình tích.
⇔ x ( x + 1) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = -1
Giáo viên: Dương Thị Nga

17

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Vì điều kiện xác định của phương trình là : x ≠ 0
và x ≠ 2
Nên với x = 0 không thỏa mãn điều kiện.
Do đó nghiệm của phương trình là : S = { −1}
*Bài tập tương tự: Giải phương trình :
a)

2 ( x − 11)
x−2
3
;
−
= 2
x+2 x−2
x −4
13

1

6

x +1

c) ( x − 3) ( 2 x + 7 ) + 2 x + 7 = x 2 − 9 ;

d)

2− x
1− x
x
−1 =
−
;
2001
2002 2003

f)

e)

x −1

3

b) x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 = x x 4 + x 2 + 1
(
)
1
2 x2 − 5
4
+ 3
= 2
x −1 x −1 x + x + 1

x +1 x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 6
+
+
=
+
+
94
93
92
91
90
89

g. Đối với phương trình bậc cao(dành cho học sinh khá, giỏi)
Ví dụ 8: (Phương pháp đặt ẩn phụ) Giải phương trình : (Sách toán cơ bản và
nâng cao toán 8 tập II) (x + 1)(x + 2) (x + 3 )(x + 4) - 120 = 0
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: Ta có:
xét về phương trình trước (đây (x + 1)(x + 2) (x + 3 )(x + 4) - 120 = 0 (*)
không là phương trình tích)
⇔ (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) -120 = 0
+ Giáo viên để hướng mở cho học
Đặt t = x2 + 5x + 4 (hướng dẫn học sinh các
sinh suy luận hướng giải bài toán
cách đặt ẩn phụ khác)
+ Yêu cầu học sinh dùng máy tính
Ta có :(*) ⇔ t(t + 2) -120 = 0
tìm một nghiệm của phương trình
2
+ Có thể học sinh nhận thấy quy luật ⇔ t + 2t – 120 = 0
của bài toán, nhưng chưa được làm Giải được t = 10 hoặc t = -12
quen với cách giải. (Có thể học sinh
Với t = 10 ta có x2 + 5x + 4 = 10
sẽ dùng máy tính để kiểm tra nghiệm
⇔ x2 + 5x – 6 = 0
của phương trình)
+ Khi học sinh vẫn chưa tìm được ⇔ (x – 1)( x + 6) = 0
hướng giải, giáo viên có thể gợi mở ⇔ x= 1 hoặc x = -6
vấn đề.(phương pháp đặt ản phụ)
Với t = - 12 ta có x2 + 5x + 4 = -12

+ Với phương pháp đặt ẩn phụ, học
⇔ x2 + 5x + 16 = 0 (1)
sinh có thể đặt khác nhau. Nhưng
Giáo viên: Dương Thị Nga

18

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích
5
49
giáo viên cần định hướng cho học ⇔
(x + )2 +
=0
2
4
sinh nhìn nhận bài toán và định ra
hướng giải. Điều đó giúp các em tư
5 2
49 49
duy logic và tạo cho các em suy nghĩ Vì(x + 2 ) + 4 ≥ 4 > 0 nên phương trình(1) vô
tích cực khi giải toán.
nghiệm
+ Với bài toán, giáo viên cũng cố Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là S =
cho học sinh quy tắc nhân đa thức, { −6;1}
biện luận để chứng minh phương
trình vô nghiệm.

+ Ngoài ra, học sinh có thể dùng sơ
đồ Hoocner để giải bài toán
Chuyên đề giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ là chuyên đề rộng
với nhiều dạng toán khác nhau. Vì vậy tôi chỉ đưa ra một số dạng toán mà các em hay
gặp (đối với học sinh khá, giỏi)
Ví dụ 9: Giải phương trình ( x + 2)(x – 2) (x2 – 10) = 72 (Sách toán bồi dưỡng
học sinh lớp 8 đại số)
Nếu đột ngột đang giải những bài toán đơn giản, giáo viên đưa ra những bài toán
như ví dụ 7, thì chắc chắn rằng học sinh trung bình, khá sẽ khó tiếp cận. Nhưng sau
những bài tập được củng cố ở trên, học sinh đã được làm quen dần với những dạng
toán khó dần, vì vậy các em sẽ đặt ra cho chính mình những phương pháp trên có còn
sử dụng được để giải phương trình này hay không? Có cách nào giải nhanh hơn không?
Đó là lúc giáo viên gợi mở vấn đề cho học sinh khiến các em bị lôi cuốn theo kiến thức
của bài toán và ham muốn giải được bài toán.
Nếu học sinh thực hiện quy tắc nhân đa thức, thì chỉ làm cho bậc của đa thức cao
hơn (phương trình bậc cao) việc đó làm cho giải phương trình càng khó. Vì vậy, cần
nhấn mạnh học sinh rằng hãy quan sát kĩ bài toán, để thấy ý đồ của tác giả khi để
phương trình ở dạng đa cho có thể giúp gì? …
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên yêu cầu học sinh nhận Giải: Ta có:
xét về phương trình trước (đây ( x + 2)(x – 2) (x2 – 10) = 72 (*)
không là phương trình tích)
⇔ (x2 – 4)(x2 – 10 ) = 72
+ Giáo viên để hướng mở cho học
Đặt y = x2 - 7 (Hướng dẫn học sinh các cách
sinh suy luận hướng giải bài toán

đặt ẩn phụ khác, như a = x2; …)
+ Với bài toán này học sinh cần biến
đổi phương trình về dạng tích, bằng Ta có :(*) ⇔ (y + 3) (y - 3) = 72
cách có thể đặt ẩn phụ. (áp dụng
Giáo viên: Dương Thị Nga

19

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

hằng đẳng thức)

⇔ y2 – 81 = 0 ( dùng hằng đẳng thức đưa

Khi đặt ẩn phụ, để đưa bài toán về phương trình về dạng phương trình tích)
dạng dễ giải, giáo viên có thể hướng Giải được y = 9 hoặc y = - 9
học sinh tính trung bình cộng của
Với y = 9 ta có x2 - 7 = 9
x2 – 4 và x2 – 10 là x2 – 7.
⇔ x2 - 16 = 0
+ Với bài toán này, giáo viên giúp ⇔ x= ±4
học sinh hình thành thêm kiến thức
2
về phương pháp đặt ẩn phụ, rèn học Với y = - 9 ta có x -7 = - 9
sinh kĩ năng giải phương trình tích, ⇔ x2 = -2 ( vô lí) (1)
…

nên phương trình(1) vô nghiệm
+Ngoài ra có thể giải bài toán bằng
Vậy tập nghiệm của phương trình (*) là
sơ đồ Hoocner
S = { ±4}
Qua đó, để đặt ẩn phụ cho phương trình (x + a) n + (x + b)n = c ta thường đặt ẩn
phụ là y = x +

a+b
. Sau đó đưa phương trình về dạng phương trình đã biết và giải
2

phương trình đó. Đối với những phương trình bậc cao, học sinh cần luyện lại các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, đặt ẩn phụ,…
* Bài tập tương tự: Giải phương trình (Bài tập sách toán nâng cao và các chuyên
đề đại số 8; sách toán bồi dưỡng họ sinh lớp 8 đại số)
a) (2x2+ 3x – 1)2 – 5(2x2+ 3x +3) + 24 = 0
b) (x + 1) (x + 2)(x + 3)(x + 4) = 40
c) (3 – x)4 + (2 – x)4 = (5 – 2x)4
d) ( x – 6)4 + (x – 8)4 = 16
h. Đối với phương trình đối xứng(trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi)
Ví dụ 10 : Giải phương trình x 4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 ( Bài tập sách toán bồi
dưỡng học sinh lớp 8 đại số)
Với bài toán phương trình bậc cao (phương trình đối xứng)
a0x2n + a1x2n-1 + ..+ an-1xn+1 +anxn + an+1xn-1 +..+ a1x + a0 = 0 (*) với a 0 ≠ 0
Nếu x = 0 không là nghiệm của phương trình (*) thì ta chia cả hai vế của phương
trình cho xn ≠ 0
n
n −1
1

0
(*) ⇔ a 0 x + a1x + ..... + a n −1x + a n x +

Giáo viên: Dương Thị Nga

a n −1
a
+ .... + 0n = 0
x
x
20

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích




1 





1 


n
n −1
⇔ a 0  x + n ÷+ a1a 0  x + n −1 ÷+ .. + a n = 0 = 0
x
x

Đặt y = x +

1
ta đưa phương trình về phương trình bậc n với ẩn y.
x

Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Đầu tiên cần cho học sinh dùng Giải: Ta có:
máy tính tìm 1 nghiệm của phương x4 – 3x3 + 4x2 – 3x + 1 = 0 (*)
trình x = 1
vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (*)
+ Giáo viên giúp học sinh đưa nên ta chia các hai vế của phương trình cho x 2 ta
phương trình về dạng phương trình được:
mà các em đã học.
3 1
2
+ Hướng dẫn học sinh chia cả hai vế x – 3x + 4 - x + x 2 = 0
của phương trình cho x2 ( khác 0)
1
1
2

+ Sau đó, hướng học sinh đặt ẩn phụ ⇔ (x + x 2 ) – 3(x + x ) + 4 = 0
để đưa phương trình về phương
1
1
trình tích, phương trình đã học.
Đặt y = x + khi đó y2 = x2 + 2 + 2
x
x
+ Để hướng dẫn học sinh hoàn
thành bài tập, giáo viên cần hướng Nên x2 + 12 = y2 - 2
x
dẫn học sinh các bước giải toán
thông qua phương pháp thảo luận (*) ⇔ y2 – 2 – 3y + 4 = 0
nhóm (theo bàn hoặc theo nhóm)
⇔ y2 – 3y + 2 = 0 (Đưa được phương trình về
dạng này học sinh đã có thể dùng phương pháp
tách để giải)
⇔ ( y – 1) ( y – 2 ) = 0 (phương trình tích)
⇔ y = 1 hoặc y = 2

- Với y = 1 ta có x +

1
=1
x

Quy đồng và khử mẫu ta được
x2 – x + 1 = 0( phương trình vô nghiệm)
- Với y = 2 ta có x +

1
=2
x

Hay (x – 1)2 = 0 ⇔ x = 1
Vậy phương trình (*) có tập nghiệm là S = { 1}
Giáo viên: Dương Thị Nga

21

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

Với ví dụ trên, học sinh thấy rằng với những bài toán dạng phương trình đối
xứng, học sinh đã được làm quen thêm với phương pháp giải mới. Nếu không chia cho
x2 và không đặt ẩn phụ thì việc giải bài toán thật sự là khó khăn. Vì vậy các em nhận
thấy sự đa dạng của phương trình, sự lôi cuốn của toán học và qua đó tạo cho các em
long ham thích học toán.
Ví dụ 11: Giải phương trình 5x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + 5 = 0
Học sinh dùng máy tính bỏ túi thấy rằng phương trình vô nghiệm.
Học sinh nhận thấy rằng các hệ số của các lũy thừa 5x4 và 5; 4x3 và 4x đối xứng nhau.
Để giải bài toán, học sinh thấy rằng x = 0 không là nghiệm của phương trình. Nên ta
có thể chia cả hai vế của phương trình cho x2.
Bài toán này giúp học sinh rèn được các kĩ năng thực hiện phép chia, bình
phương hai vế của phương trình, giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ, tách
hạng tử, …
Hướng dẫn của giáo viên

Hướng dẫn học sinh cách trình bày bài giải

+ Giáo viên giúp học sinh đưa Giải: Ta có:
phương trình về dạng phương trình 5x4 + 4x3 + 9x2 + 4x + 5 = 0 (*)
mà các em đã học.
vì x = 0 không là nghiệm của phương trình (*)
+ Hướng dẫn học sinh chia cả hai vế nên ta chia các hai vế của phương trình cho x 2
của phương trình cho x2 ( khác 0)
ta được:
+ Sau đó, hướng học sinh đặt ẩn phụ
4 5
2
để đưa phương trình về phương 5x + 4x + 9 + x + x 2 = 0
trình tích, phương trình đã học.
1
1
2
Vậy phương trình tích vẫn là ⇔ 5(x + x 2 ) + 4(x + x ) + 9 = 0
phương trình trung gian để học sinh
có thể dễ dàng giải một phương Đặt y = x + 1 khi đó y2 = x2 + 12 + 2
x
x
trình bậc cao, phức tạp.
+ Phương pháp tôi vận dụng là Nên x2 + 12 = y2 - 2
x
phương pháp đọc sách và tài liệu,
phương pháp thực nghiệm.
(*) ⇔ 5y2 - 10 + 4y + 9 = 0
⇔ 5y2 +4y -1 = 0 (Đưa được phương trình về

dạng này học sinh đã có thể dùng phương pháp
tách để giải)
⇔ ( y+ 1) ( 5y – 1) = 0 ( phương trình tích)
⇔ y = - 1 hoặc y =
Giáo viên: Dương Thị Nga

22

1
5

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

- Với y = -1 ta có x +

1
= -1
x

Quy đồng và khử mẫu ta được
x2 + x + 1 = 0( phương trình vô nghiệm)
- Với y =

1
1

1
ta có x + =
5
x
5

Hay 5x2 – x + 5
nghiệm)

= 0 ( phương trình vô

Vậy phương trình (*) vô nghiệm.
* Bài toán tương tự: giải phương trình (Sách bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 đại
số)
a) 2x4 – 5x3 + 6x2 – 5x + 2 = 0
b) x4 – 4x3 + 5x2 – 4x + 1 = 0
c) 3x4 – x3 + 2x2 – x + 3 = 0
Có thể thấy rằng, nói về phương trình đó là một chuyên đề rất rộng và phương
trình tích cũng gắn liền với các dạng phương trình khác mà học sinh được học. Vì vậy,
việc giúp cho các em có kiến thức cơ bản để giải các phương trình từ đơn giản đến
phức tạp là một vấn đề mà người giáo viên cần biết cách chọn lọc và kết hợp để phù
hợp với khả năng của các em. Phương trình tích đóng vai trò khá quan trọng, là cầu nối
giúp các em giải tiếp những phương trình dạng khác.
3.3. Điều kiện thực hiện giải pháp, biện pháp
- Được sự góp ý bổ sung của các thành viên trong tổ bộ môn trong quá trình dự
giờ góp ý và trao đổi kinh nghiệm, bản thân tôi thấy rằng đề tài áp dụng được cho học
sinh các lớp đại trà và học sinh khá, giỏi của học sinh khối 8; 9.
- Thực hiện trong quá trình trực tiếp giảng dạy thông qua các tiết học trên lớp;
các tiết giải bài tập.
- Ngoài ra, giáo viên cũng có thể áp dụng biện pháp tổ chức thực hiện tập trung

hoặc phân theo từng nhóm đối tượng học sinh (theo chuyên đề) hoặc bồi dưỡng học
sinh giỏi.
- Các tiết chuyên đề, thao giảng, hội giảng hay thi giáo viên dạy giỏi.
3.4. Mối quan hệ giữa các giải pháp, biện pháp
Với các phương pháp nêu trên như phương pháp biến đổi như giải phương trình
tích đơn giản; phương pháp tách hạng tử; phương pháp đặt ẩn phụ; phương pháp quy
Giáo viên: Dương Thị Nga

23

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

đồng mẫu và khử mẫu; phương pháp cộng vào hai vế; nhóm rồi quy đồng đưa các
hạng tử có tử giống nhau để đặt nhân tử chung, …thì đều có mục đích chung là các
bước trung gian để đưa các phương trình đó về dạng phương trình tích, nhưng để đạt
được hiệu quả tốt nhất, theo tôi không thể xem nhẹ hoặc giảng lướt qua một kiến thức
nào. Vì với những bài toán cơ bản và ở mức độ đơn giản thì các quy tắc nhân đa thức,
quy tắc dấu ngoặc, đặt nhân tử chung đều hỗ trợ nhau trong cùng một bài toán. Chỉ cần
hiểu sai hoặc trình bày sai một phương pháp nào đó thì đều làm ảnh hướng đến quá
trình giải toán. Hay với những bài toán khó hơn cần sử dụng đến các phương pháp tách
hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ thì đều là bước mở đầu gợi mở cho học sinh hướng
giải để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn và tiếp tục sử dụng những phương pháp
ban đầu (đặt nhân tử chung, nhân đa thức, quy tắc dấu ngoặc, …). Điều đó chứng minh
rằng dù học sinh đó có lực học trung bình, hay khá, giỏi thì điều cơ bản là các em phải
vận dụng đúng, chính xác các phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích, vì đó là bước

làm cơ bản và quan trọng ban đầu để vận dụng các phương pháp khác.
3.5. Kết quả khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên cứu
Trên đây là một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải phương trình tích đối
với học sinh khối 8. Được ứng dụng một số phương pháp biến đổi khác nhau trong quá
trình giải để đưa phương trình về dạng phương trình tích. Khi chưa thực hiện theo giải
pháp đưa ra, học sinh chỉ làm được những phương trình dạng đơn giản, với những bài
khó dần theo mức độ khác nhau thì học sinh không trình bày được, hoặc có thì bài làm
chưa chặt chẽ. Qua quá trình thực hiện kết quả đạt được là học sinh đã tiếp thu bài tốt
hơn rất nhiều so với khi chưa thực hiện phương pháp này. Kết quả trước và sau khi
thực hiện kinh nghiệm dạy về phương trình tích khá tích cực, học sinh chú ý hơn với
việc giải các dạng phương trình khác nhau. Quá trình giải phương trình của học sinh
khá chính xác. Học sinh chủ động tư duy hơn với kiến thức được giáo viên đưa ra. Và
lực học của học sinh tiến bộ rõ rệt. Cụ thể với cùng phiếu bài tập như nhau, tôi kiểm tra
với 2 nhóm học sinh, nhưng với học sinh được học bài giảng dạy bình thường và học
sinh được học bài thực hiện theo đề tài thì kết quả thu được như sau:
* Đề bài: Giải các phương trình
a) ( 4x + 2) (x2 + 1) = 0;
c)

b) x2 - 3x +2 = 0

1
2 x2 − 5
4
+ 3
= 2
;
x −1 x −1 x + x + 1

d) 3x4 – x3 + 2x2 – x + 3 = 0

Kết quả thu được:
Số học sinh

Vận dụng chưa tốt

Vận dụng tốt

Nhóm 1 (phương pháp cũ)

27

10

Giáo viên: Dương Thị Nga

24

Trường THCS Lương Thế Vinh


Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 8 học tốt các dạng toán cơ bản về giải phương trình tích
và phương trình đưa được về dạng phương trình tích

37
Nhóm 2 (phương pháp mới)

14

23

37
* Nhóm 1: (nhóm học sinh được học theo phương pháp thông thường) Kết quả chưa
cao, đa số các em chỉ làm được các bài cơ bản, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương
trình bậc 2
* Nhóm 2: (nhóm học sinh được học theo phương pháp mới) Các em vận dụng tốt
các kiến thức vào bài giải, với các phương trình bậc cao các em vận dụng máy tính linh
hoạt, thao tác giải chính xác.
Cụ thể, tôi lấy ra hai bài để so sánh quá trình học sinh vận dụng kiến thức.
Bài làm của học sinh học theo phương
pháp thông thường

Bài làm của học sinh được học theo nội
dung đề tài

4. Kết quả thu được qua khảo nghiệm, giá trị khoa học của vấn đề nghiên
cứu
* Khi chưa thực hiện dạy về phương pháp giải phương trình tích và phương trình
đưa được về dạng tích
Giáo viên: Dương Thị Nga

25

Trường THCS Lương Thế Vinh