ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HỒNG NGỰ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THỊ XÃ HỒNG NGỰ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THỊ XÃ
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 05/ 02/ 2012

Đề gồm 01 trang

Bài 1: (3 điểm).
a) Giải phương trình: 2 x + 1 + 4 2 x − 3 + 2 x − 2 − 2 2 x − 3 = 3.
x + 2 y = 5

b) Giải hệ phương trình: 

2
2
 x + 2 y − 2 xy = 5

Bài 2: (3 điểm). Chứng minh rằng:
a). Biểu thức N = 1 + 20112 +

20112 2011
+
có giá trị là một số tự nhiên.
20122 2012

b). Biểu thức M = 6 + 4 2 − 3 − 2 2 có giá trị là một số nguyên.
Bài 3: (4 điểm).


1

1   2 x + x −1

−
Cho biểu thức A = 
÷: 
1− x
x  
1 − x
Với x > 0; x ≠ 1 .
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 17 - 12 2

+

2x x + x − x 
÷
÷
1+ x x


Bài 4: (5 điểm). Cho hình thang vuông ABCD (AB//CD, A = 90 0) đường cao BH.
Điểm M thuộc đoạn HC. Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với BM, đường thẳng này
cắt BH và BM theo thứ tự ở E và F.

a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH =
ED.EF
b) Cho AB = 10 cm; BM = 13 cm; DM = 15 cm. Tính độ dài của các đoạn thẳng AD;
DF và BF (chính xác đến 02 chữ số thập phân).
c) Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào?
Bài 5: (5 điểm). Cho hình thang vuông ABCD (góc A = góc D = 90 0). Tia phân giác
của góc C đi qua trung điểm I của cạnh AD.
a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA).
b) Cho AD = 2a. Tính AB.CD theo a.
c) Gọi H là tiếp điểm của BC với đường tròn (I; IA); K là giao điểm của AC
và BD. Chứng minh KH song song với DC.
----- HẾT -----


HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THỊ XÃ
NĂM HỌC 2011-2012
MÔN: TOÁN
-----Bài 1:

3 điểm
1,5 điểm

a) Giải phương trình: 2 x + 1 + 4 2 x − 3 + 2 x − 2 − 2 2 x − 3 = 3.
Điều kiện x ≥
⇔

(

3
.

2

2x − 3 + 2

⇔ 2x − 3 + 2 +

)

0,25 đ

2

+

(

)

2x − 3 −1

2

=3

0,25 đ

2x − 3 −1 = 3 ⇔ 1 − 2x − 3 =

2x − 3 −1

0,25 đ

Do đó 1 − 2 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 2.

0,25 đ

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta có:

3
≤ x ≤ 2.
2

0,25 đ



3
2




Vậy phương trình đã cho có tập hợp nghiệm là: S = ∀x ∈ Q : ≤ x ≤ 2 
 x + 2 y = 5(1)

b) Giải hệ phương trình: 

1,5 điểm

2

2
 x + 2 y − 2 xy = 5(2)

Từ (1) ta có: x = 5 – 2y. Thế vào (2) ta được: (5 – 2y)2 + 2y2 – 2(5 – 2y)y = 5
Biến đổi ta được: y2 – 3y + 2 = 0
⇔ (y – 1) . (y – 2) = 0. Suy ra y = 1 hoặc y = 2
* Nếu y = 1 thì x = 5 – 2.1 = 3
* Nếu y = 2 thì x = 5 – 2.2 = 1
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (x = 3; y = 1) ; (x = 1; y = 2)
Bài 2: Chứng minh rằng:

a). Biểu thức N = 1 + 20112 +

20112 2011
+
có giá trị là một số tự nhiên.
20122 2012

Ta có: N = ( 1 + 2011) − 2.1.2011 +
2

= ( 2012 ) − 2.2012.
2

0,25 đ

20112 2011
+
20122 2012

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
3 điểm
1,5 điểm
0,25 đ

2011 20112 2011
+
+
2012 20122 2012

0,25 đ

2

2011 
2011 2012 − 2011 + 2011
=  2012 −
=
÷ +


2012  2012
2011 2011
+
= 2012 = 2012

2012 2012

2012

2012

Vậy N có giá trị là một số tự nhiên.
b). Biểu thức M = 6 + 4 2 − 3 − 2 2 có giá trị là một số nguyên.
Ta có M = 4 + 2.2 2 + 2 − 2 − 2. 2.1 + 1
=

( 2+ 2)

2

−

(

)

2 −1

2

= 2 + 2 − 2 −1 = 2 + 2 − 2 +1 = 3

Vậy M có giá trị là một số nguyên.
Bài 3:

0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
1,5 điểm
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
4 điểm


1   2 x + x −1 2 x x + x − x 
+
÷
÷
1− x
1+ x x


x 2x + x −1 
x −1+ x  2x + 2 x − x − 1

:
+
x 1− x  1− x 1+ x
1+ x 1− x + x 




1

−
a) Rút gọn biểu thức A = 
÷: 
x  
1 − x

A=
=
=
=
=

(

(

)

) (
)(
) (
)(
)

x ( x + 1) ( 2 x − 1) 
2 x − 1  ( x + 1) ( 2 x − 1)

:
+


x ( x − 1)
1− x ) ( 1+ x )
( 1 + x ) ( 1 − x + x ) 
(

:  2 x −1
x − 1 

2 x −1
x

(

2 x −1
x

x

(

(

)

)

x −1
1

(

(

)

: 2 x −1 :



( 1− x ) ( 1−

1

:

) (1− x ) (1−

x −1

(

1− x + x + x 1− x

x+x

)

=

x+x

)

0,5 đ

)

0,5 đ

1− x + x
x

0,5 đ

b)Tính giá trị của A khi x = 17 - 12 2

1,5 điểm

Tính x = 17 - 12 2 = ( 3 − 2 2 ) ⇒ x =
2

Suy ra A =

(

)

1 − 3 − 2 2 + 17 − 12
3− 2 2

0,5 đ

0,5 đ


x
÷
x+x÷
 



)  1 −1 x + 1 −

2,5 điểm

( 3− 2 2) = 3− 2 2 = 3− 2
2 15 − 10 2 5 ( 3 − 2 2 )
=
=
=5
2

3−2 2

2

3−2 2

Bài 4:

0,75 đ
0,75 đ
5 điểm

A

10

B
F’
F

E

D

H

M

C

15

a) Chứng minh bốn điểm B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn và EB.EH = ED.EF
* Gọi I là giao điểm của BD và AH.
1
2

Ta CM: IF = BD = IB=ID=IH => B, F, H, D cùng nằm trên một đường tròn
* Ta có: ∆FBE : ∆HDE (g.g) nên

EB ED
=
. Suy ra: EB.EH = ED.EF
EF EH

b) Tính độ dài của các đoạn thẳng AD; DF và BF:
* Ta có: ABHD là hình chữ nhật (vì có 3 góc vuông) nên: DH = AB = 10 cm
⇒ HM = DM – DH = 15 – 10 = 5 cm.
Xét ∆ vuông BMH có: BM2 = BH2 + HM2 ⇒ BH = BM 2 − HM 2 = 12 cm
Mà AD = BH (vì ABHD là hình chữ nhật). Vậy AD = 12 cm
∆MBH : ∆MDF
*
Ta
có:
(g.g)
nên
BM MD
BH .MD 12.15
=
⇒ DF =
=
≈ 13,85cm
BH DF
BM
13

1,5 điểm
0,5 đ
1,0 đ
2 điểm
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ


* Xét ∆ vuông BDF có: BD2 = BF2 + DF2
⇒ BF =

2

 BH .MD 
BD − DF = AB + AD − 
÷ ≈ 7, 23cm
 BM 
2

2

2

2

0,75 đ

c) Khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên đường nào? (cho hs hưởng

1,5 điểm
trọn điểm = 1,5đ)
Ta có góc BFD = 900 (gt) và BD cố định nên khi M di chuyển trên đoạn HC thì F
0,5 đ
di chuyển trên đường tròn đường kính BD.
Giới hạn: - Khi M  C thì F  F’ (F’ ∈ BC; DF ' ⊥ BC )
0,5 đ
- Khi M  H thì F  H.
Vậy khi M di chuyển trên đoạn HC thì F di chuyển trên cung nhỏ F ’H của đường
0,5 đ
tròn đường kính BD.
Bài 5:

5 điểm
A

B
K

H

I

D

C

1,5 điểm
a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA).
Kẻ IH ⊥ BC tại H.

0,5 đ
Ta có ∆ vuông IDC = ∆ vuông IHC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ IH = ID
Mà ID = IA (gt) ⇒ IH = ID = IA ⇒ ba điểm A, D, H cùng nằm trên đường
0,5 đ
tròn (I; IA).
0,5 đ
Lại có: IH ⊥ BC tại H ⇒ BC là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA)
2 điểm
b) Tính AB.CD theo a.
Xét 2 tam giác vuông AIB và HIB có:
Do AB cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) nên: BA = BH (tính
0,75 đ
chất 2 tiếp tuyến).
Suy ra: ∆ ABI = ∆ HBI (c.c.c) ⇒ góc AIB = góc HIB
Ta lại có: góc DIC = góc HIC (C/m câu a) ∆ vuông IDC = ∆ vuông IHC)
0,75 đ
Suy ra: góc BIH + góc HIC = 900 ⇒ ∆ BIC vuông tại I ⇒ IH2 = HB.HC
Mặt khác CD cũng là tiếp tuyến của đường tròn (I; IA) ⇒ CD = CH
0,5 đ
⇒ AB.CD = IH2 = a2
1,5 điểm
c)Chứng minh KH // DC.
BH BA
=
(1)
HC CD
AB BK
=
Lại có: AB // CD ( vì ABCD là hình thang) nên:
(2). (theo định lý talet)

CD KD
BH BK
=
⇒ KH / / CD . (theo định lý talet đảo).
Từ (1) và (2) ⇒
HC KD

Ta có: BH = BA; CH = CD (C/m câu b) ⇒

Ghi chú: Học sinh có cách giải khác đúng được hưởng điểm tương

0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ


đương.