ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 ĐỒNG THÁP NĂM 2011 2012

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

_______________________________

_____________________________________________

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN TOÁN
Ngày thi: 11/3/2012
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
(Đề thi gồm có: 01 trang)
Câu 1: (3 điểm)
a) Chứng tỏ rằng số sau đây là một số hữu tỉ:
a = 3 − 5 .(3 + 5 ).( 10 − 2 )

b) Chứng minh rằng số:
n = 7 + 7 2 + 7 3 + ...... + 7 2003 + 7 2004 chia hết cho 400

Câu 2: (4 điểm)

x 2 − x 2 x + x 2 ( x − 1)
−
+
x + x +1
x
x −1

a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị x tương ứng.
3P
c) Tìm các số nguyên x để
nhận giá trị nguyên rồi tính giá trị nguyên đó.
x
Cho biểu thức: P =

Câu 3: (5 điểm)
a) Giải phương trình:

x+4

+

x+3

2009 2010
x−2
> 11
b) Giải bất phương trình:
x−3

=

x+2
2011

+

x +1
2012

( m − 1) x − my = 3m − 1
.
2 x − y = m + 5

c) Cho hệ phương trình: 

Hãy xác định tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình này có một nghiệm duy
nhất ( x ; y ) mà S = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 4: (4 điểm)
a) Cho tam giác ABC ( không có góc nào vuông). Dựng về phía ngoài của tam giác các
hình vuông ABDE và ACGH. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EH, EB, BC, CH.
a1. Chứng minh: BH = CE và BH ⊥ CE.
a2. Chứng minh: Tứ giác MNPQ là hình vuông.
b) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H. Tính tổng:
HA ' HB ' HC '
+
+
.
AA ' BB ' CC '

Câu 5: (4 điểm)
Cho tứ giác lồi ABCD với bốn điều kiện sau đây:
AB // CD; AB < CD; AB = BC = DA; BD ⊥ BC.
a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?
b) Tính các góc của tứ giác ABCD.
c) So sánh diện tích của tam giác ABD với diện tích của tứ giác ABCD.HẾT
Họ và tên thí sinh: ________________________

Chữ ký GT1:_____________________________

Số báo danh: ___________________________
Chữ ký GT2:____________________________


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỒNG THÁP

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP TỈNH NĂM HỌC 2011 - 2012

_______________________________

_____________________________________________

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Ngày thi: 11/3/2012
(Hướng dẫn chấm gồm có: 04 trang)
Câu 1 : (3 điểm)
NỘI DUNG
a)

ĐIỂM

Ta có: a = 3 − 5 .(3 + 5 ).( 10 − 2 )

(

) ( )

= 6 − 2 5 .(3 + 5 )(. 5 − 1)
= ( 5 − 1) .(3 + 5 )
= (6 − 2 5 )(. 3 + 5 )
= 2(3 − 5 )(. 3 + 5 )

0,25

= 3 − 5. 3 + 5 . 2 5 −1

0,25
0,25

2

0,25
0,25
0,25

= 2.( 9 − 5) = 2.4 = 8

b)

Ta có: n = 7 + 7 2 + 7 3 + ...... + 7 2003 + 7 2004

(

) (
)
(
= 7(1 + 7 + 7 + 7 ) + 7 (1 + 7 + 7 + 7 ) + ......7 (1 + 7 + 7

= ( 1 + 7 + 7 + 7 ) . ( 7 + 7 + ....... + 7 )
= 400.( 7 + 7 + ...... + 7 )  400

= 7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 + 7 5 + 7 6 + 7 7 + 7 8 + ...... + 7 2001 + 7 2002 + 7 3003 + 7 2004
2

2

3

5

3

2

5

5

3

2001

2

+ 73

)

)

2001

2001

Vậy n  400

0,25
0,25
0,25
0,5
0,25

Câu 2 : (4 điểm)
NỘI DUNG
x − x 2 x + x 2 ( x − 1)
−
+
Cho biểu thức: P =
x + x +1
x
x −1
a) Tìm điều kiện xác định rồi rút gọn biểu thức P.
- ĐKXĐ: x > 0 ; x ≠ 1

ĐIỂM

2

x

- Rút gọn: P =

(

) − x(2

3

x −1

) (

)(

x +1

x + x +1
x
P = x x −1 − 2 x +1 + 2

(

) + 2(

) (

0,5

x +1

)

)

x −1

x −1

x +1

P = x − x +1
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P và giá trị x tương ứng.


1

2

3

- Ta có: P = x − x + 1 =  x − ÷ +
2 4


0,5
0,25
0,25
0,5

2

3
1

( ∀x > 0 ; x ≠ 1)
- Mà  x − ÷ ≥ 0 nên P ≥
4
2

3
1
1
⇔ x=
Vậy Min P =
khi và chỉ khi x =
4
2
4

c) Tìm các số nguyên x để

(

)

x

0,5

3P
nhận giá trị nguyên rồi tính giá trị nguyên đó.
x

3 x − x +1
- Ta có: 3P =
=3
x

0,5

(

)

x −1 +

3
x

0,25


3P
nhận giá trị nguyên thì
x
Khi đó: x = 3 ⇔ x = 9
3P
=7

- Suy ra:
x
- Để

x ∈ Ư(3) , ( ∀x ∈ Z , x > 0 ; x ≠ 1)

0,25
0,25
0,25

Câu 3 : (5 điểm)
NỘI DUNG

x + 4 x + 3 x + 2 x +1
+
=
+
2009 2010 2011 2012
x+4
x+3
x+2
x +1
⇔(
+ 1) + (
+ 1) = (
+ 1) + (
+ 1)
2009
2010
2011

2012

ĐIỂM

a)

(cộng vào hai vế của

0,5

phương trình với số 2)

x + 2013 x + 2013 x + 2013 x + 2013
+
=
+
2009
2010
2011
2012
1
1
1
1
⇔ ( x + 2013 )(
+
−
−
)=0
2009 2010 2011 2012

⇔ x + 2013 = 0 ⇔ x = – 2013
Vậy S = { −2013}
x−2
> 11
b)
x−3
x−2
−10 x + 31
⇔
− 11 > 0 ⇔
>0
x−3
x−3
31

−10 x + 31 > 0
x <
⇔  10 ⇔
Trường hợp 1 : 
x − 3 > 0
 x > 3
⇔

31

−10 x + 31 < 0
x >
⇔  10 ⇔
Trường hợp 2 : 
x

−
3
<
0

 x < 3

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : 3 < x <

0,5
0,5
0,5

0,25
3 < x <

31
10

0,5

không tồn tại x
0,5
0,25

31
10

( m − 1) x − my = 3m − 1
2 x − y = m + 5

c) 

m − 1 −m
⇔ m ≠ –1
≠
2
−1
x = m + 1
Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế giải tìm được 
y = m − 3
Để hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì

Khi đó S = x 2 + y 2 = (m+1) 2 + (m – 3 ) 2 = 2m 2 – 4m + 10 = 2(m – 1)
Để S đạt giá trị nhỏ nhất thì m = 1, khi đó minS = 8
Vậy m = 1

2

+8

0,25
0,5
0,5
0,25


Câu 4: (4,0 điểm)
NỘI DUNG
a)

a1. Chứng minh: BH = CE và BH ⊥
CE.
∆ ABH và ∆ AEC có :
AB = AE

E

M

D
H
A
K

·
·
·
BAH
= EAC
( = 900 + BAC
)

AH = AC
=> ∆ ABH = ∆ AEC (c-g-c)

N

Q

ĐIỂM

L

G
P

C

B

=> BH = CE
Gọi K là giao điểm của BH và AC, L
là giao điểm của BH và CE. Ta có :
·AHK = LCK
·
·
; ·AKH = LKC

Mà

·AHK + ·AKH = 900 ⇒ LCK
·
·
+ LKC
= 900
·
=> CLK
= 900 . Vậy : BH ⊥ CE

0,5

0,25
0,25
0,25
0,25

a2. Chứng minh: MNPQ là hình
vuông.
1
BH
2
1
MQ = NP = CE , BH = CE
2

MN = PQ =

=> MN = NP = PQ = QM
Do BH ⊥ CE nên : MN ⊥ NP
·
=> MNP
= 900
Vậy MNPQ là hình vuông
b) Tính tổng:

A

C'

0,25
0,25

0,25
0,25

HA ' HB ' HC '
+
+
AA ' BB ' CC '

S1 HA ' S 2 HB ' S3 HC '
=
; =
; =
S AA ' S
BB ' S CC '
HA ' HB ' HC ' S1 + S 2 + S3
+
+
=
=1
=>
AA ' BB ' CC '
S

Ta có:

H
C
A'

0,25

Đặt S = S ∆ ABC ; S1= S ∆ HBC ;
S2 = S ∆ HAC ; S3 = S ∆ HAB

B'

B

0,25

0,75
0,25

Câu 5 : (4 điểm)
NỘI DUNG
·
a) vẽ AE // BC ⇒ ·AED = BCD
(1)

ĐIỂM
0,25


⇒ AE = BC = AD

và

AB = EC

⇒ Tam giác ADE cân tại A

⇒ ·ADC = ·AED (2)
·
Từ (1) và (2) ⇒ ·ADC = BCD

Tứ giác ABCD có AB // CD và
·ADC = BCD
·
nên tứ giác ABCD là hình
thang cân.
b) AE cắt BD tại I
AE // BC, BD ⊥ BC (gt)
⇒ AE ⊥ BD

∆ABD cân tại A ( AB = AD ) có AI là
đường cao nên AI cũng là trung tuyến
∆BDC có IE // BC, I là trung điểm BD
Do đó E là trung điểm DC : DE = EC
Suy ra : AD = AE = DE (= AB)
⇒ ∆ADE đều ⇒ ·ADC = 600
·
Vậy BCD
= ·ADC = 600
·
·
Và DAB
= CBA
= 1800 − 600 = 1200
c) Gọi h là độ dài đường cao vẽ từ D đến
AB
1

h. AB
2
1
S ABCD = h. ( AB + DC )
2
1
3
= h ( AB + 2 AB ) = h. AB
2
2
Vậy : S ABCD = 3S ABD
S ABD =

---HẾT---

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25
0,25
0,25

0,25

0,25
0,25
0,25