Giải tích hàm nâng cao

1
Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng
-------------------------------------------------------------------------------------
Giải tích hàm nâng cao
Chương 1.
Không gian Banach và các định lý cơ bản
•
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (9/2007)
2
Chương 1. Không gian Banach và các định lý cơ bản.

1.1. Dạng giải tích và dạng hình học của định lý Hahn-Banach.

1.2. Định lý Banach – Steinhauss.
Chương 2. Tôpô yếu và các không gian đặc biệt.
2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*.
2.2. Các không gian đặc biệt: phản xạ, khả ly, lồi đều.
Chương 3. Không gian Hilbert.
3.1. Định nghĩa, tính chất cơ bản. Hình chiếu xuống tập lồi đóng.

3.2. Định lý Stampacchia và Lax-Milgram.
ĐỀ CƯƠNG MÔN HỌC
3
Chương 4. Các không gian L
p
.
4.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.
4.2. Tính phản xạ, khả ly của L
p
. Đối ngẫu của L

p
.
4.3. Tiêu chuẩn compact mạnh trong L
p
.
Chương 5. Toán tử compact. Phân tích phổ của toán tử tự
liên hợp compact.
5.1. Định nghĩa và tính chất cơ bản.
5.2. Định lý Riesz – Fredholm.
5.3. Phân tích phổ của toán tử compact.
5.4. Phân tích phổ của toán tử tự liên hợp.
4
Đánh giá, kiểm tra.
Thi giữa học kỳ: hình thức viết (20%)
Seminar trên lớp (30%)
Thi cuối kỳ: hình thức vấn đáp (50%)
5
Tài liệu tham khảo
1. Haim Brezis. Giải tích hàm: lý thuyết và ứng dụng. Nguyễn Thành
Long và Nguyễn Hội Nghĩa dịch, NXB ĐHQG tp. HCM, 2002.
2. Hoàng Tụy. Giải tích hiện đại, tập 1,2,3. NXB Giáo dục, 1978.
3. Nguyễn Xuân Liêm. Giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.
4. Nguyễn Xuân Liêm. Bài tập giải tích hàm. NXB Giáo dục, 1997.
5. Dương Minh Đức. Giải tích hàm. NXB ĐHQG tpHCM, 2000.
6. Walter Rudin. Functional analyse. MC Graw – Hill Book
company, 2000.
7. N.I. Vilenkin. Functional analysis. Netherlands, 1972.
6
Nội dung
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

0.2 – Dạng hình học của định lý Hahn-Banach.
0.3 – Định lý Banach-Steinhauss.
0.1 – Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
7
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
1 2 1 2 1 2
1. ( , ) ( ) ( ) ( )x x X x x x x
ϕ ϕ ϕ
∀ ∈ + ≤ +
2. ( , 0) ( ) ( )x X x x
α ϕ α αϕ
∀ ∈ ≥ =
Hàm thực trên không gian tuyến tính X được gọi là hàm
dưới tuyến tính (sơ chuẩn), nếu
ϕ
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính từ không gian tuyến tính X vào tập số
thực R được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
f
8
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho S là tập hợp, trong đó giữa một số cặp phần tử a, b của
nó có xác định một quan hệ < sao cho:
1. a < a (phản xạ)
2. a < b và b < c suy ra a < c (bắc cầu)
3. a < b và b < a suy ra a = b (phản xứng)

Khi đó quan hệ < được gọi là quan hệ thứ tự trên tập S và S
được gọi là sắp một phần theo thứ tự đó.
9
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định nghĩa
Cho S là tập hợp được sắp một phần theo thứ tự <, một tập
hợp con P được gọi là sắp toàn phần (sắp tuyến tính) nếu
( , ) a b P a b b a∀ ∈ < ∨ <
Một phần tử được gọi là cận trên của tập hợp P nếu
a S∈
Định nghĩa
( ) b P b a∀ ∈ <
Một phần tử được gọi là phần tử tối đại của S nếu
( , ) a S m a m a∀ ∈ < =
m S∈
10
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bổ đề Zorn
Nếu S là tập được sắp một phần và mọi tập con được sắp
tuyến tính của S đều có cận trên, thì S phải có một phần tử
tối đại.
11
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Định lý Hahn-Banach
là một phiếm hàm tuyến tính trên M.f
Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X.
Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính , sao cho

: X R
ϕ
→
: ( ) ( )x M f x x
ϕ
∀ ∈ ≤
thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính , sao cho
:F X R→
1. ( ) ( ) ( )x M F x f x
∀ ∈ =
2. ( ) ( ) ( )x X F x x
ϕ
∀ ∈ ≤
12
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Các bước chứng minh
Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định
trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau:
1 2 1 2
( , ) g g G g g∈ < ⇔
1
1 2
2. ( ) ( ) ( )
g
x D g x g x∀ ∈ =
2
2
3. ( ) ( ) ( )
g

x D g x x
ϕ
∀ ∈ ≤
1 2
1.
g g
D D
⊂
Kiểm tra S là tập được sắp một phần.
{ | } S g G g f= ∈ <
13
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trên
của nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xác
định của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng với
giá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g.
Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F.
F là hàm cần tìm.
14
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Kiểm tra
F
D X=
0
\
F
x X D∃ ∈
Giả sử

Đặt
0
0
;
( , ) ( ) ( )
h F
F
D D Rx
t R x D h x tx F x t
α
= +


∀ ∈ ∈ + = +

trong đó là hằng số cần tìm để .
α
h S∈
Kiểm chứng rằng
0
( , ) ( ) ( )
F
x D t R F x t x tx
α ϕ
∀ ∈ ∀ ∈ + ≤ +
vì nên cần kiểm tra
( ) ( )x x
ϕ λ λϕ
=
0

0
( ) ( )
( ) ( )
F x x x
F x x x
α ϕ
α ϕ
+ ≤ +


− ≤ −

15
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cần chọn sao cho
α
0 0
| ( ) ( ) | | ( ) ( ) |
sup
inf
F
F
x D
y D
F y y x x x F x
ϕ α ϕ
∈
∈
− − ≤ ≤ + −

vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được
α
( ) ( ) ( ) ( )F x y F x F y x y
ϕ
+ = + ≤ +
0 0
( ) ( ) ( ) ( )F x F y x x y x
ϕ ϕ
⇔ + ≤ + + −
0 0
( ) ( ) ( ) ( )F y y x x x F x
ϕ ϕ
⇔ − − ≤ + −
Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■.
16
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Cho E và F là hai không gian định chuẩn.
L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.
( ( , )) || || inf{ : ( ) , }f L E F f k f x kx x F∀ ∈ = ≤ ∀ ∈
0 || || 1 || || 1
|| ( ) ||
2. || || || ( ) || || ( ) ||
sup sup sup
|| ||
≠ ≤ =
= = =
x x x
f x
f f x f x

x
1. Hàm là một chuẩn trong L(E,F).
|| ||f fa
Định lý
17
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 1
Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian
f
con M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
1. | ;
M
F f
=
2. || || || ||F f=
18
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Để sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn
( ) ( ) || || || || x E x f x
ϕ
∀ ∈ = ⋅
1. Cần kiểm tra là một sơ chuẩn
ϕ
2. ( ) | ( ) | || || || || ( )x M f x f x x
ϕ
∀ ∈ ≤ ⋅ =

Tồn tại phiếm hàm tuyến tính , sao cho và
:F E R→
|
M
F f=
( ) | ( ) | ( ) || ||.|| ||x E F x x f x
ϕ
∀ ∈ ≤ =
Suy ra F(x) liên tục và
0 0
|| ( ) || || ||.|| ||
|| || sup || || || ||
sup sup
|| || || ||
x x
F x f x
F f f
x x
≠ ≠
= ≤ = =
Mặt khác
( ) ( ) ( ) || || || ||x M F x f x F f∀ ∈ = ⇒ ≥
Vậy ||F|| = ||f||
19
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 2
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho

\ : ( , ) inf || || 0
x M
v E M d v M v x
δ
∈
∈ = − = >
1. ( ) ( ) 0x M F x
∀ ∈ =
2. ( )F v
δ
=
3. || || 1F =
20
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt
, G M v=< >
:g G R→
( )g x v
λ λδ
+ =
0 ( ) 0g x
λ
= ⇒ =
0: || || | |.|| ( ) || | |.
x
x v v
λ λ λ λ δ
λ

≠ + = − − ≥
| ( ) | | | || ||g x v x v
λ λ δ λ
⇒ + = ≤ +
⇒ lieân tuïc tsu rey ra .ân g G
21
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
λ
λ
∈ ∈
+
= = ≤
+
| ( ) | | ( ) |
|| || sup sup 1
|| || || ||
x G x G
g x g x v
g
x x v
Ta có
Vì
δ
= >( , ) 0, neând v M
δ
−
∃ ∈ < < − ≤
1
( ,0 1) || ||z M r v z r

δ
⇔ − ≤|| ||r v z
Khi đó
δ
− = ≥ −| ( ) | || ||g v z r v z
Vậy
−
≥ ≥
−
| ( ) |
|| ||
|| ||
g v z
g r
v z
Vì r tùy ý, r < 1, nên
≥|| || 1g
⇒ =|| || 1g
22
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Theo hệ quả 1, tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên
E:
và ■.
= =|| || || || 1F g
=|
G
F g
⇒ ∀ ∈ = =( ) ( ) ( ) 0x M F x g x
23

1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Hệ quả 3
Giả sử M là không gian con của không gian định chuẩn E và
Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục F trên E,
sao cho
\ : ( , ) inf || || 0
x M
v E M d v M v x
δ
∈
∈ = − = >
1. ( ) ( ) 0x M F x
∀ ∈ =
2. ( ) 1F v =
1
3. || ||
( , )
F
d v M
=
24
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Chứng minh
Đặt
, G M v=< >
:g G R→
( )g x v
λ λ

+ =
Tương tự phần chứng minh hệ quả 3.
25
1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài tập 1
Với mọi của không gian định chuẩn E, tồn tại phiếm
hàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho
1. || || 1F
=
2. ( ) || ||F v v=
≠
0v
Giải
Sử dụng Hệ quả 2 (slide 19), đặt M = {0}