Lý thuyết và các dạng bài tập hình học không gian

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

CHỦ ĐỀ:

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

1

MỘT SỐ CÔNG THỨC GIẢI TAM GIÁC & CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH

1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A ta có :
 Định lý Pitago : BC  AB  AC
 BA2  BH .BC; CA2  CH .CB
 AB. AC = BC. AH
2



2

A

2

c

1
1
1


2
2
AH
AB
AC 2

B

b

h
c’

M b’

H

C

a

2

 AH = BH.CH
 BC = 2AM

b
c
b
c
 sin B  , cosB  , tan B  , cot B 
a
a
c
b
 b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a =

b
b

,
sin B cos C

 b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin:
a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
a
b
c
* Định lý hàm số Sin:


 2R
sin A sin B sin C
3. Các công thức tính diện tích.

a/ Công thức tính diện tích tam giác:

1
a.ha
2
1
a.b.c
 p.r 
S = a.b sin C 
2
4R
S

Đặc biệt : * ABC vuông ở A : S 

p.( p  a)( p  b)( p  c) với p 

abc
2

1
AB. AC
2

a2 3
4
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
* ABC đều cạnh a: S 

1
(chéo dài x chéo ngắn)
2
1
d/ Diện tích hình thang : S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
2
d/ Diên tích hình thoi : S =

e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
2
f/ Diện tích hình tròn : S   .R

1


Website: www.alfazi.com

2

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

QUAN HỆ SONG SONG – QUAN HỆ VUÔNG GÓC

A.QUAN HỆ SONG SONG
1. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song với

đường thẳng a nằm trên mp(P)
thì đường thẳng d song song với
mp(P)
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo
giao tuyến song song với a.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau cùng song song với một
đường thẳng thì giao tuyến của
chúng song song với đường
thẳng đó.

d

d  (P)

d / /a  d / /(P)
a  (P)


a / /(P)

 d / /a
a  (Q)
(P)  (Q)  d

(P)  (Q)  d

 d / /a

(P) / /a
(Q) / /a


a
(P)

(Q)

a
d

(P)

d
a
Q
P

2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai
đường thẳng a, b cắt nhau và
cùng song song với mặt phẳng
(Q) thì (P) và (Q) song song
với nhau.
ĐL2: Nếu một đường thẳng
nằm một trong hai mặt phẳng
song song thì song song với mặt
phẳng kia.
ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và

(Q) song song thì mọi mặt
phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt
(Q) và các giao tuyến của chúng
song song.

a,b  (P)

 (P) / /(Q)
a  b  I
a / /(Q),b / /(Q)


(P) / /(Q)
 a / /(Q)

a

(P)


a
P b I
Q

a
P
Q
R

(P) / /(Q)


(R)  (P)  a  a / / b
(R)  (Q)  b


P
Q

a
b

B.QUAN HỆ VUÔNG GÓC
1.ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

2


Website: www.alfazi.com
ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông
góc với hai đường thẳng cắt nhau
a và b cùng nằm trong mp(P) thì
đường thẳng d vuông góc với
mp(P).
ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho
đường thẳng a không vuông góc
với mp(P) và đường thẳng b nằm
trong (P). Khi đó, điều kiện cần
và đủ để b vuông góc với a là b
vuông góc với hình chiếu a’ của
a trên (P).

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

d  a ,d  b

a ,b  mp(P)  d  mp(P)
a,b caét nhau


d

b
a

P

a

a  mp(P),b  mp(P)
b  a  b  a'

b

a'

P

2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC
ĐL1:Nếu một mặt phẳng chứa
một đường thẳng vuông góc
với một mặt phẳng khác thì hai
mặt phẳng đó vuông góc với
nhau.

a  mp(P)
 mp(Q)  mp(P)

a  mp(Q)

ĐL2:Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau thì bất
cứ đường thẳng a nào nằm
trong (P), vuông góc với giao
tuyến của (P) và (Q) đều vuông
góc với mặt phẳng (Q).

(P)  (Q)

(P)  (Q)  d  a  (Q)
a  (P),a  d


ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và
(Q) vuông góc với nhau và A là
một điểm trong (P) thì đường
thẳng a đi qua điểm A và vuông
góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt
nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến
của chúng vuông góc với mặt
phẳng thứ ba.

Q
a

P

P
a

Q

d
P

(P)  (Q)

A  (P)
 a  (P)

A

a

a  (Q)

a
A

Q

(P)  (Q)  a

 a  (R)
(P)  (R)
(Q)  (R)


Q

P

a

R

3. KHOẢNG CÁCH
1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt
phẳng:
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt
phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó
H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên
mp(P))

O

O

a

H
P

H

d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH

3


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song
song:
Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a
là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P).
d(a;(P)) = OH

O

a

H

P

3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:
là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến
mặt phẳng kia.
d((P);(Q)) = OH

O
P
H

Q
a

4.Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
d(a;b) = AB

A

b
B

4. GÓC
1. Góc giữa hai đường thẳng a và b
là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm

và lần lượt cùng phương với a và b.

a

a'

b'
b

a

2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt
phẳng (P)
là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói
rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900.

a'

P

3. Góc giữa hai mặt phẳng
là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt
phẳng đó.
Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng
cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm

b

a

b

Q

P

4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H)
trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên
mp(P’) thì

a

Q

P

S

S'  Scos 

trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’).
A

C


B

4

a)

b)

Website: www.alfazi.com

3

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN – MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I/ CÁC CÔNG THỨC THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN :

1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V = B.h
(B: Sđáy ; h: chiều cao)

Thể tích khối hộp chữ nhật:

V = a.b.c
(a,b,c là ba kích thước)

Thể tích khối lập phương:

với a là độ dài cạnh

2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:

V = a3
(a là độ dài cạnh)

1
3

V= Bh
(B: Sđáy ; h: chiều cao)
S
C'
A'

3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN

VSABC
SA SB SC

VSA'B 'C ' SA' SB' SC '

A

B'
C
B

A'

B'
C'

4. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CỤT:

h
V  ( B  B' B.B' )
3

A

B

C

5. KHỐI NÓN

1
1
V = Bh=  r2h
3
3

Sxq =  rl

V =Bh= r2h

6. KHỐI TRỤ

Sxq =2 rl

V=

7. KHỐI CẦU

4 3
r
3

S= 4 r 2

5


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2  b2  c 2 ,

a 3
2

3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng nhau (hoặc có đáy là đa giác đều, hình
chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

6


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

II/ CÁC DẠNG TOÁN

Loại 1: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ
1. Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết
A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Ta có

 ABC

vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng  AA'  AB

 AA'B  AA'2  A'B2  AB2  8a2
 AA'  2a 2
Vậy V = B.h = SABC .AA' = a3 2

Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ.
?
Lời giải:
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD2 = BD'2 - DD'2 = 9a2  BD  3a

C'

D'
A'

ABCD là hình vuông

B'
4a

5a
C

D

Suy ra B = SABCD =

 AB 

9a2
4

3a
2

Vậy V = B.h = SABCD.AA' = 9a3
A

B

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC
bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Lời giải:
Gọi I là trung điểm BC .Ta có
 ABC đều nên

C'

A'

B'

AI 

A

C
I
B

AB 3
 2 3 & AI  BC
2

 A 'I  BC(dl3 )
2S
1
SA'BC  BC.A'I  A'I  A'BC  4
2
BC
AA'  (ABC)  AA'  AI .
 A'AI  AA'  A'I2  AI2  2
Vậy : VABC.A’B’C’ = SABC .AA'= 8 3
7


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

Ví dụ 4: Một tấm bìa hình vuông có cạnh 44 cm, người ta cắt bỏ đi ở mỗi góc tấm bìa một hình vuông cạnh 12 cm rồi
gấp lại thành một cái hộp chữ nhật không có nắp. Tính thể tích cái hộp này.
C'

D'

A'

D'

C'

D' D

C

A

B

A'

B'

B'
D

C

A'
A

B

Giải
Theo đề bài, ta có

AA' = BB' = CC' = DD' = 12 cm nên ABCD là hình
C' vuông có
AB = 44 cm - 24 cm = 20 cm
và chiều cao hộp h = 12 cm
Vậy thể tích hộp là
V = SABCD.h = 4800cm3
B'

Ví dụ 5: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường
chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp .
Lời giải:
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a
C'

D'

và SABCD = 2SABD =
B'

A'

C

B

60

a 3
a 3
2

 DD'B  DD'  BD'2  BD2  a 2
a3 6
Vậy V = SABCD.DD' =
2

Theo đề bài BD' = AC =

D

A

a2 3
2

2

2. Dạng 2: Lăng trụ có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp
với đáy ABC một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
C'

A'

C
60o

góc[A'B,(ABC)]  
ABA'  60o
 ABA'  AA'  AB.tan 600  a 3
1

a2
SABC = BA.BC 
2
2
3
a 3
Vậy V = SABC.AA' =
2
Vậy

B'

A

Lời giải:
Ta có A'A  (ABC)  A'A  AB&AB là hình chiếu của A'B
trên đáy ABC .

B

8


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi


Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ACB
= 60 o biết BC'
0
hợp với (AA'C'C) một góc 30 . Tính AC' và thể tích lăng trụ.

A'

Lời giải:
Ta có:

C'

 ABC  AB  AC.tan60o  a 3 .

AB  AC;AB  AA'  AB  (AA'C'C)

nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).

B'

30

Vậy góc[BC';(AA"C"C)] = 
BC'A = 30o

o

 AC'B  AC' 

AB
 3a
t an30o

V =B.h = SABC.AA'

A

C

a
o
60
B

 AA'C'  AA'  AC'2  A'C'2  2a 2
a2 3
 ABC là nửa tam giác đều nên SABC 
2
Vậy V = a3 6

Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh avà đường chéo BD' của lăng trụ hợp
với đáy ABCD một góc 300. Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
Giải:
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:
DD'  (ABCD)  DD'  BD và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .

B'

C'

A'

D'

Vậy góc [BD';(ABCD)] = 
DBD'  300
C
D

o
30

B

 BDD'  DD'  BD.tan 300 

A
a

Vậy V = SABCD.DD' =

a 6
3

a3 6
4a 2 6
S = 4SADD'A' =
3
3

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
(ABCD) một góc 30o .Tính thể tích của hình hộp.


BAD = 60o biết AB' hợp với đáy

9


Website: www.alfazi.com

A'

D'

o
30
A

 ABD đều cạnh a  SABD 

60

C

B
o

D
a

Group: fb.com/groups/alfazi

Giải

C'

B'

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

a2 3
4

a2 3
2
 ABB' vuông tạiB  BB'  ABt an30o  a 3
3a3
Vậy V  B.h  SABCD .BB' 
2
 SABCD  2SABD 

3. Dạng 3: Lăng trụ có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết (A'BC)
hợp với đáy (ABC) một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.

A'

C'

C

o
60
B

góc[(A'BC),(ABC)]  
ABA'  60o
 ABA'  AA'  AB.tan 600  a 3
1
a2
SABC = BA.BC 
2
2
3
a 3
Vậy V = SABC.AA' =
2
Vậy

B'

A

Lời giải:
Ta có A'A  (ABC)&BC  AB  BC  A'B

Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện
tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

10


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Giải:  ABC đều

C'

A'

Group: fb.com/groups/alfazi

 AI  BC

mà AA'  (ABC) nên A'I  BC (đl

3  ).


Vậy góc[(A'BC);)ABC)] = A'IA
= 30o

2x 3
 x 3 .Ta có
2

2 AI 2 x 3
A' AI : A' I  AI : cos 30 0 

 2x
3
3
Giả sử BI = x  AI 

B'

30o

A

3
x
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2

C

B

A’A = AI.tan 300 =

xI

x 3.

Do đó VABC.A’B’C’ = 8

3

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc
60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

D'

C'

A'

B'

C

Gọi O là tâm của ABCD . Ta có
ABCD là hình vuông nên OC  BD
CC'  (ABCD) nên OC'  BD (đl 3  ). Vậy góc[(BDC');(ABCD)] =


COC'

= 60o
Ta có V = B.h = SABCD.CC'
ABCD là hình vuông nên SABCD = a2

OCC'

D

vuông nên CC' = OC.tan60o =

60 0

O

Vậy V =

A
B

a

a3 6
2

a 6
2

Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABCD) một góc 60o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30o .Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Ta có AA'
D'

A'
C'

B'

D

A
B

o
30

C

Vậy góc[A'C,(ABCD)] = 
A'CA  30o
BC  AB  BC  A'B (đl 3  ) .
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] = 
A'BA  60o

2a

o
60

 (ABCD)  AC là hình chiếu của A'C trên (ABCD) .

 A'AC  AC = AA'.cot30o = 2a 3
2a 3
 A'AB  AB = AA'.cot60o =
3
4a 6
 ABC  BC  AC2  AB2 

3
3
16a 2
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
11


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

4. Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh bên là
đáy ABC một góc 60o .Tính thể tích lăng trụ.

A'

C'

góc[CC',(ABC)]  
C'CH  60o
3a
 CHC'  C'H  CC'.sin 600 
2
2
a 3

3a 3 3
SABC = 
.Vậy V = SABC.C'H =
4
8
Vậy

o
60

C

H

B

a

và hợp với

Lời giải:
Ta có C'H  (ABC)  CH là hình chiếu của CC' trên (ABC)

B'

A

a 3

Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A' xuống (ABC) là

tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .

A'

C'

B'

A

60 o

A'O  (ABC)  OA là hình chiếu của AA' trên (ABC)

góc[AA',(ABC)]  OAA'
 60o

Vậy
Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
AO  BC tại trung điểm H của BC nên BC  A'H (đl 3  )
 BC  (AA'H)  BC  AA' mà AA'//BB' nên BC  BB'
.Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

2
2a 3 a 3
AO  AH 

3

3 2
3
o
 AOA'  A'O  AOt an60  a
a3 3
Vậy V = SABC.A'O =
4

2)  ABC đều nên

C
a

Lời giải:
1) Ta có

O

H
B

Ví dụ 3: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 AD = 7 .Hai mặt bên (ABB’A’) và
(ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. . Tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.

12


Website: www.alfazi.com
D'
C'

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Lời giải:
Kẻ A’H  (ABCD ) ,HM 

AB, HN  AD
 A' M  AB, A' N  AD (đl 3  )



A'MH  45o ,A'NH
 60o

A'

Đặt A’H = x . Khi đó

B'

A’N = x : sin 600 =

D
C

N
A

Group: fb.com/groups/alfazi

AN =

H

2x
3

AA' 2  A' N 2 

3  4x 2
 HM
3

Mà HM = x.cot 450 = x

M

B

3  4x 2
3
x
3
7

Nghĩa là x =

Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x
=

3. 7.

3
3
7

LOẠI 2: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP
1. Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a . Hai mặt (ABC) và (ASC) cùng vuông góc với (SBC). Tính
thể tích hình chóp .
Lời giải:
Ta có

A

a_
B

C


(ABC)  (SBC)
 AC  (SBC)


 (ASC)  (SBC)

/
/

\
S

Do đó

1
1 a2 3
a3 3
V  SSBC.AC 
a
3
3 4
12

Ví dụ 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với AC = a biết SA vuông góc với đáy ABC và
SB hợp với đáy một góc 60o.
1) Chứng minh các mặt bên là tam giác vuông .
2)Tính thể tích hình chóp .

13


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

Lời giải:
1) SA  (ABC)  SA  AB &SA  AC

S

mà BC  AB  BC  SB ( đl 3  ).
Vậy các mặt bên chóp là tam giác vuông.
2) Ta có SA  (ABC)  AB là hình chiếu của SB trên (ABC).
Vậy góc[SB,(ABC)] = 
SAB  60o .

C

a

A
60o

 ABC vuông cân nên BA = BC =
SABC =

1
a2
BA.BC 
2
4

a
2

a 6
2
2
1
1 a a 6 a3 6
V  SABC .SA 

3
34 2
24

 SAB  SA  AB.t an60o 

B

Vậy

Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết SA vuông góc với đáy ABC và (SBC) hợp với
đáy (ABC) một góc 60o. Tính thể tích hình chóp .
Lời giải:
Mlà trung điểm của BC,vì tam giác ABC đều nên AM
 BC  SA  BC (đl3  ) .

S

Vậy góc[(SBC);(ABC)] = 
SMA  60o .
Ta có V =
C

A

M
B

3a
2
3
1
1
a 3
B.h  SABC .SA 
3
3
8

 SAM  SA  AMtan60o 

60 o
a

1
1
B.h  SABC .SA
3
3

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và SA vuông góc đáy ABCD và mặt bên

(SCD) hợp với đáy một góc 60o.
1) Tính thể tích hình chóp SABCD.
2) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
Lời giải: 1)Ta có
 ).(1)

SA  (ABC)

và

CD  AD  CD  SD ( đl 3


Vậy góc[(SCD),(ABCD)] = SDA
= 60o .

 SAD vuông nên SA = AD.tan60o = a 3
1
1
a3 3
Vậy V  SABCD .SA  a2a 3 
3
3
3

2) Ta dựng AH  SD ,vì CD  (SAD) (do (1) ) nên CD
 AH  AH  (SCD)
Vậy AH là khoảng cách từ A đến (SCD).

 SAD 

1
1
1
1
1
4


 2 2 2
2
2
2
AH SA AD 3a a 3a
14


Website: www.alfazi.com

S

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp
Vậy AH =

H

60

A

a

B

Group: fb.com/groups/alfazi

a 3
2

o
D

C

2. Dạng 2: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt
phẳng vuông góc với đáyABCD,
1) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AB.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
1) Gọi H là trung điểm của AB.
 SAB đều  SH  AB
mà (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD)
Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

S

D

A
H

B

a 3
2
3
1
a 3
V  SABCD .SH 
3
6

2) Ta có tam giác SAB đều nên SA =
a

suy ra

C

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D , (ABC)  (BCD) và AD hợp với
(BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của BC.
Ta có tam giác ABC đều nên AH  (BCD) , mà (ABC)  (BCD)  AH
 (BCD) .

A

Ta có AH  HD  AH = AD.tan60o = a

a

3

a 3
3
2a 3
suy ra
 BCD  BC = 2HD =
3
1
1 1
a3 3
V = SBCD .AH  . BC.HD.AH 
3
3 2
9

& HD = AD.cot60o =
B
H
C

60 o

D

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy,

các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.
a) Chứng minh rằng chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC.
b) Tính thể tích khối chóp SABC.

15


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

Lời giải:
a) Kẽ SH  BC vì mp(SAC)  mp(ABC) nên SH  mp(ABC).
Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI  AB, SJ  BC, theo giả

S

  45o
thiết 
SIH  SJH
Ta có:

H
A

45

C

I

SHI  SHJ  HI  HJ nên BH là đường phân giác của

 ABC ừ đó suy ra H là trung điểm của AC.
a
1
a3
b) HI = HJ = SH =  VSABC= S ABC .SH 
2
3
12

J

B

3. Dạng 3: Khối chóp đều
Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Chứng minh rằng chân đường cao kẻ từ
S của hình chóp là tâm của tam giác đều ABC. Tính thể tích chóp đều SABC .
Lời giải:
Dựng SO  (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC
S
Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.
Ta có tam giác ABC đều nên
2a

AO =

C

A
O

a

H

2
2a 3 a 3
AH 

3
3 2
3

 SAO  SO2  SA2  OA2 
 SO 

B

11a2
3

1
a3 11
a 11
.Vậy V  SABC .SO 
3

12
3

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a .
1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều.
2) Tính thể tích khối chóp SABCD.
Lời giải:
Dựng SO  (ABCD)
S
Ta có SA = SB = SC = SD nên
OA = OB = OC = OD  ABCD là hình thoi có đường tròn gnoại
tiếp nên ABCD là hình vuông .
Ta có SA2 + SB2 = AB2 +BC2 = AC2 nên
C

D
O
A

a

B

 OS 

 ASC vuông tại S

a 2
2

1
1 2 a 2 a3 2

 V  S ABCD .SO  a
3
3
2
6

Ví dụ 3: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC.
a) Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.
b)Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy ra thể tích hình chóp MABC.
Lời giải:

16


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

a) Gọi O là tâm của

D

A

C

I

ABC  DO  ( ABC )

1
V  S ABC .DO
3
a2 3
2
a 3
S ABC 
, OC  CI 
4
3
3

M

O

Group: fb.com/groups/alfazi

DOC vuông có : DO  DC 2  OC 2 

H

a 6
3

1 a 2 3 a 6 a3 2

V 
.

3 4
3
12

a

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

B

MH 
 VMABC

1
a 6
DO 
2
6

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
 S ABC .MH 
.

3
3 4
6

24

4. Dạng 4: Khối chóp & PP tỉ số thể tích
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B,

AC  a 2

,SA vuông góc với đáy ABC,

SA  a
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
2) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (  ) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể
tích của khối chóp S.AMN
Lời giải:

S

a)Ta có:
+

C

G

I
B

SA  a

1 2

1 1
a3
a Vậy: VSABC  . a 2 .a 
2
3 2
6

b) Gọi I là trung điểm BC.
G là trọng tâm,ta có :

M

và

ABC cân có : AC  a 2  AB  a

 S ABC 

N
A

1
VS . ABC  S ABC .SA
3

 // BC  MN// BC


VSAMN SM SN 4


.

VSABC
SB SC 9

Vậy:
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và

SG 2

SI 3
SM SN SG 2




SB SC SI 3

VSAMN

4
2a 3
 VSABC 
9
27

AB  a . Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

b) Chứng minh CE  ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

17


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Lời giải:

D

Group: fb.com/groups/alfazi

a)Tính

VABCD : VABCD  1 SABC .CD  a

c) Tính

VDCEF :Ta có:

3

6
b)Tacó: AB  AC, AB  CD  AB  ( ACD)  AB  EC
Ta có: DB  EC  EC  ( ABD)

F
a
E
B

C

3

VDCEF DE DF

.
(*)
VDABC DA DB

DE.DA  DC 2 , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1


 2
2
DA DA
2a
2
2
DF DC
a2

1



Tương tự:
2
2
2
DB DB
DC  CB
3
VDCEF 1
1
a3
 .Vậy VDCEF  VABCD 
Từ(*) 
VDABC 6
6
36
Mà

a
A

Ví dụ 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng ( ) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích
của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.
Lời giải:
Kẻ MN // CD (N  SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối
chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

S

+

N
M D

A
O

C

B

VSAND SN 1
1
1

  VSANB  VSADB  VSABCD
VSADB SD 2
2
4

VSBMN SM SN 1 1 1
1
1

.
 .   VSBMN  VSBCD  VSABCD Mà
VSBCD

SC SD 2 2 4
4
8
3
VSABMN = VSANB + VSBMN = VSABCD .
8
5
Suy ra VABMN.ABCD = VSABCD
8
VSABMN
3
Do đó :

V ABMN . ABCD 5

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc
điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

60 . Gọi M là trung

18


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Lời giải:
a) Gọi I  SO  AM . Ta có (AEMF) //BD  EF // BD

S

M
E

B

I

b)

1
VS . ABCD  S ABCD .SO với S ABCD  a 2
3

+

 SOA

Vậy :

C
F

có :

VS . ABCD

SO  AO.tan 60 

a 6
2

a3 6

6

c) Phân chia chóp tứ giác ta có

VS . AEMF = VSAMF + VSAME

O
A

Group: fb.com/groups/alfazi

=2VSAMF

VS . ABCD = 2VSACD = 2 VSABC

D

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
Ta có :



SM 1

SC 2

SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:



V
SM SF 1
SI SF 2
.


  SAMF 
VSACD SC SD 3
SO SD 3

1
1
a3 6
 VSAMF  VSACD  VSACD 
3
6
36

 VS . AEMF

a3 6 a3 6

2

36
18

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,
hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC  ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

SA  a 2 . Gọi B’, D’ là

Lời giải:
S

a) Ta có:

VS . ABCD

1
a3 2
 S ABCD .SA 
3
3

BC  (SAB)  BC  AB '
& SB  AB ' Suy ra: AB '  ( SBC )

b) Ta có

nên AB'  SC .Tương tự AD'  SC.
Vậy SC  (AB'D')
B'

C'
D'

I
B
O

VS . AB 'C ' D '

VSAB 'C ' SB ' SC '

.
(*)
VSABC SB SC
SC ' 1

SAC vuông cân nên
SC
2

+Tính

A

D

c) Tính

VS . AB 'C ' : Ta có:

C

19


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

Group: fb.com/groups/alfazi

SB ' SA2
2a 2
2a 2 2




Ta có:
SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3
VSAB 'C ' 1

Từ (*) 
VSABC

3
 VSAB 'C '
+

1 a3 2 a3 2
 .

3 3
9

VS . AB 'C ' D '  2VS . AB 'C '

2a 3 2

9

5) Dạng 5 : Ôn tập khối chóp và lăng trụ
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông


góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.
1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.
2) Tính thể tích của khối chóp MBCD.
Lời giải:

S
a)Ta có

1
V  S ABCD .SA

3

+ S ABCD  (2a)  4a
2

+

H

A

B

60o

SAC có : SA  AC tan C  2a 6

1 2
8a3 6
 V  4a .2a 6 
3
3
b) Kẻ

MH / / SA  MH  ( DBC)

Ta có: MH 

D
2a

2

C

1
1
SA , S BCD  S ABCD
2
2

1
2a 3 6
 VMBCD  V 
4
3

.

Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a, BC = 6a, CA = 7a. Các mặt
bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy một góc 60o .Tính thể tích khối chóp.
Lời giải:
Hạ SH  (ABC ) , kẽ HE  AB, HF  BC, HJ  AC
suy ra SE  AB, SF  BC, SJ  AC . Ta có



  60O 
SEH
 SFH

 SJH
SAH  SFH  SJH nên HE =HF = HJ = r

( r là bán kính đường tròn ngọai tiếp ABC )

p( p  a)( p  b)( p  c)
abc
 9a Nên SABC = 9.4.3.2 a 2
với p =
2
Ta có SABC =

20


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com
S

Mặt khác SABC = p.r

r

Group: fb.com/groups/alfazi

S 2 6a

p

3

Tam giác vuông SHE:

2 6a
. 32 2 a
3
1
2
3
Vậy VSABC = 6 6 a .2 2 a  8 3 a .
3

SH = r.tan 600 =

J
A

C
60
H
E

F
B

Ví dụ 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a
AA’ = a, O là giao điểm của AC và BD.
a)
Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’

b)
Tính thể tích khối OBB’C’.
c)
Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.

A

B
O

D'

* Khối OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối
B'

C'

 AB. AD.AA'  a 3.a 2  a3 3

ABD có : DB  AB2  AD2  2a

M
C

A'

, AD = a,

Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.

Ta có : V

D

3

hộp nên:

1
a3 3
 VOA ' B 'C ' D '  V 
3
3

b) M là trung điểm BC

 OM  (BB ' C ')

1
1 a 2 a 3 a3 3
 VO BB 'C '  S BB 'C ' .OM  . .

3
3 2 2
12
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ
diện OBB’C’. Ta có :

C'H 

3VOBB 'C '
SOBB '

ABD có : DB  AB2  AD2  2a
 SOBB ' 

1 2
a  C ' H  2a 3
2

Ví dụ 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và
bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.

21


Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Website: www.alfazi.com

B

A

+Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có

cùng thể tích.
Khối CB’D’C’ có

D

Group: fb.com/groups/alfazi

C

1 1
1
V1  . a 2 .a  a3
3 2
6

+Khối lập phương có thể tích:
A'

1
6

V2  a3

 VACB ' D '  a  4. a 
3

B'

3

1 3
a
3

C'
D'
a

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a)
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b)
E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,

E

A
I

B
F

C

2
3
1
VA ' B ' BC  S A ' B ' B .CI  1 a . a 3  a 3

3
3 2 2
12

b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên

1
VA 'CEF  SCEF . A ' A
3
B'

A'

SCEF
J
C'

1
a2 3
a3 3
 S ABC 
 VA 'CEF 
4
16
48

+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có đáy
là CFB’, đường cao JA’ nên

1
VA ' B 'CF  SCFB' . A ' J
3

1
a2
SCFB'  SCBB ' 
2
4
1 a 2 a 3 a3 3
 VA ' B 'CF 

3 4 2
24
+ Vậy :

VCA'B'FE

a3 3

16

22


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

BÀI TẬP
CHUYÊN ĐỀ HÌNH KHÔNG GIAN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB = a, BC = a 3 ,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của
điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD); AB = SA
= 1; AD  2 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC.
Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông tâm O. Các mặt bên
(SAB) và (SAD) vuông góc với đáy (ABCD). Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là
hình chiếu của A trên SB, SD. Tính thể tích khối chóp O.AHK.
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5 và BAC  120o .
Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Chứng minh MB  MA1 và tính khoảng cách d từ điểm A
tới mặt phẳng (A1BM).
Bài 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a, mặt bên hợp với đáy góc
 . Tìm  để thể tích của khối chóp đạt giá trị lớn nhất.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB =2a, BC= a, các cạnh bên
của hình chóp bằng nhau và bằng a 2 . Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB,
a
3

CD; K là điểm trên cạnh AD sao cho AK  . Hãy tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN
và SK theo a.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ACB) bằng 60 0, ABC
và SBC là các tam giác đều cạnh a. Tính khoảng cách từ B đến mp(SAC).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với A  1200 , BD = a >0. Cạnh
bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0. Một mặt phẳng (α) đi
qua BD và vuông góc với cạnh SC. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần của hình chóp do mặt

phẳng (α) tạo ra khi cắt hình chóp.
Bài 9: Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB=AD = a, AA’ =

a 3
2

và

góc BAD = 600 . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Chứng minh
rằng AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN). Tính thể tích khối chóp A.BDMN.
Bài 10: Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh
bên và mặt phẳng đáy bằng 300. Hình chiếu H của điểm A trên mặt phẳng (A1B1C1) thuộc
đường thẳng B1C1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA1 và B1C1 theo a.
Bài 11: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vuông tại B và AB =
a, BC = b, AA’ = c ( c2  a2  b2 ). Tính diện tích thiết diện của hình lăng trụ bị cắt bởi mặt phẳng
(P) đi qua A và vuông góc với CA.
Bài 12: Cho khối chóp S.ABC có SA  (ABC), ABC vuông cân đỉnh C và SC = a . Tính
góc  giữa 2 mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Bài 13: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a và điểm M trên cạnh AB sao
cho AM = x, (0 < x < a). Mặt phẳng (MA'C') cắt BC tại N. Tính x theo a để thể tích khối đa
23


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

diện MBNC'A'B' bằng 1 thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D'.
3

Bài 14: Trên cạnh AD của hình vuông ABCD có độ dài là a, lấy điểm M sao cho AM = x
(0  m  a). Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại điểm A, lấy điểm
S sao cho SA = y (y > 0). Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y và x. Tìm giá trị lớn nhất
của thể tích khối chóp S.ABCM, biết rằng x2 + y2 = a2
Bài 15: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy có tâm O và đường kính là AB = 2R. Gọi
M là điểm thuộc đường tròn đáy và ASB  2 , ASM  2 . Tính thể tích khối tứ diện SAOM theo
R,  và  .
Bài 16: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh bên bằng 1. Các mặt bên hợp
với mặt phẳng đáy một góc α. Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S.ABC.
Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA  (ABCD) và
SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AD, SC. Tính thể tích tứ diện BDMN và khoảng cách
từ D đến mp(BMN).
Bài 18: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC =

a
. SA  a 3 , SAB  SAC  300 Tính
2

thể

tích khối chóp S.ABC.
Bài 19: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông
góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa
BC và vuông góc với AA’, cắt lăng trụ theo một thiết diện có diện tích bằng

a2 3
8

. Tính thể tích

khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
Bài 20: Xác định vị trí tâm và độ dài bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có
AB  2, AC  3, AD  1, CD  10, DB  5, BC  13 .
Bài 21: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,
mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc α.
Bài 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân tại A, AB = AC = a. Mặt bên
qua cạnh huyền BC vuông góc với mặt đáy, hai mặt bên còn lại đều hợp với mặt đáy các góc
600. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
Bài 23: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tai A và D.
Biết AD = AB = a, CD = 2a, cạnh bên SD vuông góc với mặt phẳng đáy và SD = a. Tính thể tứ
diện ASBC theo a.
Bài 24: Cho hình chóp lục giác đều S.ABCDEF với SA = a, AB = b. Tính thể tích của
hình chóp đó và khoảng cách giữa các đường thẳng SA, BE.
Bài 25: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  600 , SA vuông
góc mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) đi qua AC và
song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B, D. Tính thể tích của khối chóp
S.ABCD.
Bài 26: Tính thể tích hình chóp S.ABC biết SA = a, SB = b, SC = c, ASB  600 ,
BSC  900 , CSA  1200 .
24


Website: www.alfazi.com

Alfazi - ứng dụng học tập
Fanpage: fb.com/alfaziapp

Group: fb.com/groups/alfazi

AD900 ,
Bài 27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang AB = a, BC = a, B
cạnh SA  a 2 và SA vuông góc với đáy, tam giác SCD vuông tại C. Gọi H là hình chiếu của A
trên SB. Tính thể tích của tứ diện SBCD và khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SCD).
Bài 28: Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1  2a 5 và BAC  120o .
Gọi M là trung điểm của cạnh CC1. Tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM).
Bài 29: Cho hình hộp ABCD.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, AB = AA = 2a.
Hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng đáy trùng với tâm của đáy. M là trung điểm của
BC. Tính thể tích hình hộp và cosin của góc giữa hai đường thẳng AM và AC
Bài 30: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC = 1200, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
Bài 31: Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a,
mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc a.
Bài 32: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a,

góc BAD = 600. Gọi M là trung điểm AA và N là trung điểm của CC. Chứng minh rằng bốn
điểm B, M, N, D đồng phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác BMDN là hình
vuông.
Bài 33: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có A.ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy AB =
a, cạnh bên AA = b. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABC). Tính tan  và thể tích
của khối chóp A.BBCC.
Bài 34: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, các mặt bên tạo
với mặt đáy góc 60o. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm của tam giác SAC cắt SC,
SD lần lượt tại M, N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN theo a.
Bài 35: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
các cạnh CD, AD. Điểm P thuộc cạnh DD’ sao cho PD = 2PD. Chứng tỏ (MNP) vuông góc
với (AAM) và tính thể tích của khối tứ diện AAMP.
Bài 36: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, với AB = 2AD = 2a,

sạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 450 .
Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB, mặt phẳng (GCD) cắt SA, SB lần lượt tại P và Q. Tính
thể tích khối chóp S.PQCD theo a.
Bài 37: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy góc 600 .
Gọi M là điểm đối xứng với C qua D, N là trung điểm của SC. Mặt phẳng (BMN) chia khối
chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần đó.
Bài 38: Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC
và I là tâm của mặt bên CCDD. Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia
hình lập phương.
Bài 39: Cho đường tròn (C) đường kính AB = 2R. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc
với mặt phẳng chứa (C) lấy điểm S sao cho SA = h. Gọi M là điểm chính giữa cung AB. Mặt
phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SB, cắt SB, SM lần lượt tại H và K.. Tính thể tích của
khối chóp S.AHK theo R và h.
25