Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân trong không gian hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

BÙI HOÀNG NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

THÁI NGUYÊN - 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

BÙI HOÀNG NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN
GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN
TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN
TS. NGUYỄN THỊ THU THỦY

THÁI NGUYÊN - 2015


iii

Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

2

Bảng ký hiệu

4

1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
1.1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian

5

Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Không gian Hilbert thực . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.3. Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.4. Điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . . . . 11
1.2.1. Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Phương pháp chiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3. Phương pháp đường dốc nhất . . . . . . . . . . . . 14
1.3. Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân

17

2.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của một
ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1. Phương pháp lai đường dốc nhất . . . . . . . . . . 17
2.1.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung
của N ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


iv

2.2.1. Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.2. Sự hội tụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
Kết luận

31

Tài liệu tham khảo

32


1

Lời cảm ơn
Sau thời gian nghiên cứu nghiêm túc, đến nay em đã hoàn thành bản
luận văn để bảo vệ tốt nghiệp theo đúng kế hoạch của trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Có được kết quả này trước hết cho em
được gửi lời cảm ơn đến tập thể các thầy cô giáo đã truyền đạt những
tri thức quý giá trong thời gian em học tập tại trường. Đặc biệt em xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo TS. Nguyễn Thị Thu Thủy đã
hướng dẫn, giúp đỡ tận tình và đầy trách nhiệm để em hoàn thành luận
văn này. Cuối cùng em xin được cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
đã động viên, ủng hộ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt thời gian
em nghiên cứu và học tập.
Thái Nguyên, tháng 11 năm 2015
Học viên

Bùi Hoàng Ngọc


2

Mở đầu
Bất đẳng thức biến phân được Stampacchia [3] đưa ra nghiên cứu
vào những năm đầu của thập kỷ 60 trong khi nghiên cứu bài toán biên
của phương trình đạo hàm riêng. Kể từ đó bất đẳng thức biến phân và
phương pháp giải bài toán này luôn là một đề tài thời sự, được nhiều
nhà toán học quan tâm nghiên cứu.
Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert H được
phát biểu như sau:
Tìm phần tử p∗ ∈ C sao cho :

A(p∗ ), q − p∗ ≥ 0 ∀q ∈ C,

(0.1)

ở đây C là một tập con lồi đóng của H, A : C → H là một ánh xạ phi
tuyến. Bất đẳng thức biến phân (0.1) tương đương với bài toán điểm
bất động:
p∗ = PC (p∗ − µA(p∗ )),

(0.2)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ > 0 là hằng số tùy
ý. Nếu ánh xạ A đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C và hằng số
µ > 0 đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (0.2) là ánh xạ
co. Do đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard
un+1 = PC (un − µA(un ))

(0.3)

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (0.1). Phương pháp này
được gọi là phương pháp chiếu. Phương pháp chiếu không dễ dàng thực
thi vì sự phức tạp của tập lồi C bất kỳ. Để khắc phục nhược điểm này,
Yamada [4] đã đề xuất phương pháp lai đường dốc nhất vào năm 2001
để giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn trong không gian Hilbert H.


3

Mục đích của đề tài luận văn là trình bày cải biên của phương pháp
lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động

của một ánh xạ không giãn, bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất
động chung của N ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert (N ≥ 1)
trên cơ sở bài báo [2] và [4].
Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1
trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian Hilbert thực, toán tử
đơn điệu, và bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
cùng phương pháp chiếu gradient giải bài toán này.
Trong chương 2 trình bày phương pháp lai ghép đường dốc nhất giải
bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn
và hai phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất
động chung của N ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.


4

Bảng ký hiệu
R

trường số thực

∅
Rn

tập rỗng
không gian Euclide n-chiều

|x|
H

giá trị tuyệt đối của số thực x

không gian Hilbert thực H

C
||x||

tập con C của H
chuẩn của véctơ x

x, y
D(A)

tích vô hướng của hai phần tử x và y
miền xác định của ánh xạ A

Fix(T )

tập điểm bất động của ánh xạ T

PC
phép chiếu mêtric chiếu H lên C
VI(A, C) tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân
xn
x
xn → x

dãy xn hội tụ yếu đến x
dãy xn hội tụ mạnh đến x

I

toán tử đơn vị


5

Chương 1

Bất đẳng thức biến phân trong
không gian Hilbert
Chương này bao gồm ba mục. Mục 1.1 trình bày khái niệm và một
số tính chất của không gian Hilbert thực. Mục 1.2 giới thiệu bài toán
bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert, đồng thời trình bày
phương pháp chiếu và phương pháp đường dốc nhất giải bất đẳng thức
biến phân trong không gian Hilbert. Các kiến thức của chương này được
tổng hợp từ các tài liệu [1]-[4].

1.1.

Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không
gian Hilbert thực

1.1.1.

Không gian Hilbert thực

Định nghĩa 1.1 Không gian tuyến tính H xác định trên trường số thực
R được gọi là không gian tiền Hilbert nếu trong đó xác định một hàm
hai biến ·, · : H × H → R thỏa mãn các tính chất sau:
(i) x, x ≥ 0 với mọi x ∈ H và x, x = 0 ⇔ x = 0;
(ii) x, y = y, x với mọi x, y ∈ H;

(iii) x + y, z = x, z + y, z với mọi x, y, z ∈ H;
(iv) αx, y = α x, y với mọi x ∈ H và với mọi α ∈ R.


6

Hàm ·, · thỏa mãn bốn tính chất trên được gọi là tích vô hướng trên
H và x, y là tích vô hướng của hai phần tử x và y.
Chú ý 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H là không gian tuyến tính
định chuẩn với chuẩn của véctơ x ∈ H được xác định như sau:
||x|| =

x, x .

Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là không gian
Hilbert.
Ví dụ 1.1 (a) Không gian Rn là một không gian Hilbert với tích vô
hướng
n

x, y =

ξk ηk ,
k=1

trong đó x = (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ∈ Rn và y = (η1 , η2 , . . . , ηn ) ∈ Rn .
(b) Không gian l2 =

∞

x = (x1 , x2 , . . . ) |

|xi |2 < ∞

là một không

i=1

gian Hilbert với tích vô hướng
∞

x, y =

x i yi
i=1

trong đó x = (x1 , x2 , . . . ), y = (y1 , y2 , . . . ) là các dãy số trong l2 .
Định nghĩa 1.3 (i) Dãy {xn }∞
n=1 trong không gian Hilbert H được gọi
là hội tụ yếu đến phần tử x ∈ H nếu
lim xn , y = x, y

n→∞

với mọi y ∈ H.

(ii) Dãy {xn }∞
n=1 được gọi là hội tụ mạnh đến x ∈ H nếu
lim ||xn − x|| = 0.

n→∞

Ký hiệu xn

x chỉ sự hội tụ yếu, xn → x chỉ sự hội tụ mạnh của

dãy {xn } đến phần tử x ∈ H.
Chú ý 1.2 (a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội
tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng.


7

(b) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec–Klee, tức là nếu dãy
{xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện xn →
x và xn
1.1.2.

x, thì xn → x khi n → ∞.

Toán tử đơn điệu

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con của H.
Định nghĩa 1.4 Tập C ⊂ H là một tập lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ C và
với mọi số thực λ ∈ [0, 1] ta đều có λx1 + (1 − λ)x2 ∈ C.
Từ định nghĩa trên ta thấy tập ∅ là một tập lồi.
Định nghĩa 1.5 Hàm f : C → R được gọi là:
(i) lồi trên C nếu với mọi λ ∈ [0, 1], với mọi x, y ∈ C thì
f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y) ;
(ii) lồi chặt trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), với mọi x, y ∈ C, x = y thì

f (λx + (1 − λ) y) < λf (x) + (1 − λ) f (y) .
Định nghĩa 1.6 Cho C là một tập con lồi đóng, khác rỗng của không
gian Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ. Ánh xạ A được gọi là:
(i) L-liên tục Lipschitz trên C, nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho
||A(x) − A(y)|| ≤ L||x − y|| ∀x, y ∈ C.
Nếu 0 < L < 1 thì A là ánh xạ co, nếu L = 1 thì A là ánh xạ không
giãn;
(ii) bị chặn trên C, nếu với mỗi tập con khác rỗng, bị chặn B của C,
tồn tại hằng số dương kB chỉ phụ thuộc vào tập B sao cho
A(x) − A(y), x − y ≤ kB ||x − y|| ∀x, y ∈ B;
(iii) bị chặn Lipschitz trên C nếu với mỗi tập con bị chặn B của C, A
là ánh xạ liên tục Lipschitz trên B;


8

(iv) đơn điệu trên C, nếu
A(x) − A(y), x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;
(v) η-đơn điệu mạnh trên C, nếu tồn tại một hằng số η dương sao cho
A(x) − A(y), x − y ≥ η||x − y||2
1.1.3.

∀x, y ∈ C.

Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.7 Cho C là một tập con lồi đóng của không gian Hilbert
thực H, phép chiếu mêtric PC từ H lên C cho tương ứng mỗi x ∈ H với
phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn
x − PC (x) ≤ x − y

∀y ∈ C.

Bổ đề 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert thực H.
(i) Với mỗi x ∈ H, tồn tại phần tử z ∈ C sao cho z − x ≤ y − x
với mọi y ∈ C.
(ii) z = PC (x) nếu và chỉ nếu z − x, y − z ≥ 0 với mọi y ∈ C.
Nhận xét 1.1 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi α
là góc tạo bởi các véc tơ x − PC (x) và y − PC (x), thì α ≥ π/2.
Mệnh đề 1.1 Cho C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian
Hilbert H và PC là phép chiếu mêtric từ H lên C. Khi đó những điều
sau thỏa mãn:
(a) PC (PC (x)) = PC (x) với mọi x ∈ H;
(b) PC (x) − PC (y) , x − y ≥ PC (x) − PC (y)

2

với mọi x, y ∈ H;

(c) PC là ánh xạ không giãn, nghĩa là
PC (x) − PC (y) ≤ x − y

∀x, y ∈ H;

(d) PC là ánh xạ đơn điệu, nghĩa là
PC (x) − PC (y) , x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ H;


9

(e) Nếu xn

x0 và PC (xn ) → y0 thì PC (x0 ) = y0 .

Chứng minh. (a) Giả sử PC (x) ∈ C với mọi x ∈ H và PC (z) = z với mọi
z ∈ C, khi đó PC (PC (x)) = PC (x) với mọi x ∈ H.
(b) Với mọi x, y ∈ H ta có
x − PC (x) , PC (x) − PC (y) ≥ 0
và
y − PC (y) , PC (x) − PC (y) ≥ 0.
Điều đó kéo theo
x − y, PC (x) − PC (y) ≥ PC (x) − PC (y) 2 .
(c) là hệ quả trực tiếp của (b).
(d) được suy ra từ (b).
(e) Từ Bổ đề 1.1 ta có:
xn − PC (xn ) , PC (xn ) − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.
Vì xn

x0 và PC (xn ) → y0 nên từ bất đẳng thức trên suy ra
x0 − y0 , y0 − z ≥ 0 với mọi z ∈ C.

1.1.4.

✷

Điểm bất động

Cho H là không gian Hilbert thực, T : H → H là một ánh xạ.
Định nghĩa 1.8 Phần tử x ∈ D(T ) trong không gian Hilbert H được

gọi là một điểm bất động của ánh xạ T nếu T (x) = x.
Ký hiệu tập các điểm bất động của ánh xạ T là Fix(T ). Chú ý rằng tập
điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert, nếu
khác rỗng, là một tập con lồi và đóng của H.
Cho C là một tập con lồi của không gian Hilbert H, T : C → H là
một ánh xạ. Bài toán điểm bất động được phát biểu như sau:
Hãy tìm phần tử u ∈ C

sao cho T (u) = u.

(1.1)


10

Việc tìm nghiệm của bài toán điểm bất động (1.1) tương đương với
việc giải phương trình toán tử:
T (u) − u = 0.

(1.2)

Định lý điểm bất động Banach được đưa ra trong luận án của Banach
vào năm 1992 như sau:
Định lý 1.1 Cho (X, ρ) là không gian mêtric đầy đủ và T : X → X là
ánh xạ co. Khi đó, T có duy nhất điểm bất động u trong X và với xấp xỉ
ban đầu tùy ý x0 ∈ X, dãy lặp {xn } được định nghĩa bởi xn+1 = T (xn ),
với n ≥ 0, hội tụ mạnh tới u.
Chứng minh. (i) Sự tồn tại: Với x0 tùy ý thuộc X, đặt xn+1 = T (xn ) với
n ≥ 0. Do T là ánh xạ co trong không gian mêtric X nên tồn tại hằng
số θ ∈ [0, 1) sao cho

ρ(T (x), T (y)) ≤ θρ(x, y).
Xét:
ρ(xn , xn+1 ) = ρ(T (xn−1 ), T (xn )) ≤ θρ(xn−1 , xn )
≤ θ2 ρ(xn−2 , xn−1 ) ≤ . . .
≤ θn ρ(x0 , x1 ).
Lấy m > n, từ bất đẳng thức trên ta nhận được:
ρ(xn , xm ) ≤ ρ(xn , xn+1 ) + ρ(xn+1 , xn+2 ) + . . . + ρ(xm−1 , xm )
≤ (θn + θn+1 + . . . + θm−1 )ρ(x0 , x1 )
≤ θn (1 + θ + . . . + θm−n−1 )ρ(x0 , x1 )
1
ρ(x0 , x1 ) → 0 khi n → ∞.
≤ θn
1−θ
Vậy {xn } là dãy Cauchy trong không gian mêtric đầy đủ X. Do đó dãy
{xn } hội tụ tới phần tử u ∈ X. Với mỗi n ≥ 0 ta có
0 ≤ ρ(u, T (u)) ≤ ρ(u, xn ) + ρ(xn , T (u))
= ρ(u, xn ) + ρ(T (xn−1 ), T (u))
≤ ρ(u, xn ) + θρ(xn−1 , u).


11

Vì dãy {xn } hội tụ về phần tử u ∈ X nên
ρ(u, xn ) + θρ(xn−1 , u) → 0 khi n → ∞.
Từ đó 0 ≤ ρ(u, T (u)) ≤ 0 suy ra ρ(u, T (u)) = 0 hay T (u) = u. Vậy u là
điểm bất động của ánh xạ T .
(ii) Tính duy nhất: Giả sử tồn tại v ∈ X sao cho T (v) = v. Khi đó
ρ(u, v) = ρ(T (u), T (v)) ≤ θρ(u, v).

(1.3)

Vì θ ∈ [0, 1) nên từ (1.3) suy ra ρ(u, v) = 0 do đó u = v. Vậy u là điểm
bất động duy nhất.
✷
Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn được trình bày trong
định lý sau.
Định lý 1.2 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập lồi
đóng giới nội của H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó T
có ít nhất một điểm bất động trong C.

1.2.
1.2.1.

Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert
Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi, đóng
khác rỗng của H, A : C → H là ánh xạ phi tuyến đơn trị.
Định nghĩa 1.9 Bài toán tìm phần tử p∗ ∈ C thỏa mãn
A(p∗ ), p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C,

(1.4)

được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân, ký hiệu là VI(A, C).
Ví dụ 1.2 Cho f (x) là một hàm một biến thực khả vi trên tập C =
[a, b]. Hãy tìm p∗ ∈ C sao cho
f (p∗ ) = min f (p).
p∈C

Nếu a < p∗ < b thì f (p∗ ) = 0.

12

Nếu p∗ = a thì f (p∗ ) ≥ 0.
Nếu p∗ = b thì f (p∗ ) ≤ 0.
Ta có thể tổng hợp thành:
f (p∗ )(p − p∗ ) ≥ 0 ∀p ∈ C,
và đây là một bất đẳng thức biến phân.
Bổ đề 1.2 Giả sử C là một tập con lồi, đóng khác rỗng của không gian
Hilbert thực H, A : C → H là một ánh xạ liên tục Lipschitz và đơn điệu
mạnh. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.4) có duy nhất nghiệm.
Bổ đề 1.3 Phần tử p∗ ∈ int C là nghiệm của bài toán (1.4) khi và chỉ
khi A(p∗ ) = 0.
Chứng minh. (⇒) Ký hiệu S là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân
(1.4). Giả sử p∗ ∈ S ∩ intC. Chọn ε > 0 sao cho B(p∗ , ε) ⊂ C, ở đây
B(p∗ , ε) = {p : ||p − p∗ || < ε}.
Ta có B(p∗ , ε) = p∗ + εB(0, 1). Thay p = p∗ + εv, v ∈ B(0, 1) vào bất
đẳng thức (1.4) ta được
ε A(p∗ ), v ≥ 0 ⇔ A(p∗ ), v ≥ 0 ∀v ∈ B(0, 1).
Thay v = −v ta được

 A(p∗ ), v ≥ 0;
 A(p∗ ), v ≤ 0.
Suy ra A(p∗ ), v = 0 với mọi v ∈ B(0, 1). Do đó A(p∗ ) = 0.
Ngược lại, nếu A(p∗ ) = 0 thì bất đẳng thức (1.4) được thỏa mãn. Do
đó p∗ ∈ S.
✷
Định lý 1.3 Giả sử ánh xạ A : C → H bị chặn Lipschitz trên C và
η-đơn điệu mạnh trên C. Khi đó bất đẳng thức biến phân (1.4) có duy

nhất nghiệm p∗ ∈ C thỏa mãn
1
(1.5)
||p∗ − p|| ≤ ||A(p)||,
η
trong đó p ∈ C là một điểm tùy ý.


13

1.2.2.

Phương pháp chiếu

Lý thuyết bất đẳng thức biến phân đóng vai trò quan trọng trong
nghiên cứu nhiều lĩnh vực khác nhau, chẳng hạn phương trình vi phân,
điều khiển tối ưu, tối ưu hóa, quy hoạch toán học, cơ học, tài chính, . . . .
Một trong những phương pháp giải bất đẳng thức biến phân là dựa trên
cách tiếp cận thông qua điểm bất động. Nội dung của phương pháp này
là đưa bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một
ánh xạ nghiệm thích hợp.
Bài toán (1.4) tương đương với
p∗ = PC (p∗ − µA(p∗ )),

(1.6)

trong đó PC là phép chiếu mêtric từ H lên C và µ là hằng số dương.
Mệnh đề 1.2 Cho H là một không gian Hilbert, A : H → H là ánh xạ
đơn điệu, C là tập lồi đóng khác rỗng của H. Khi đó ba khẳng định sau
đây là tương đương:

(a) p∗ ∈ C là nghiệm của VI(A, C), tức là p − p∗ , A(p∗ ) ≥ 0 với mọi
p ∈ C.
(b) Với số µ > 0 tùy ý, p∗ ∈ C thỏa mãn
p − p∗ , (p∗ − µA(p∗ )) − p∗ ≤ 0 với mọi p ∈ C.
(c) Với số µ > 0 tùy ý,
p∗ ∈ Fix(PC (I − µA)).

(1.7)

Khi ta đặt thêm một số điều kiện cho ánh xạ A : H → H và tập lồi
đóng C trong bài toán VI(A, C), ánh xạ PC (I − µA) co chặt trên C với
số µ > 0 tùy ý.
Bổ đề 1.4 Giả sử A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn
điệu mạnh trên tập lồi đóng khác rỗng C ⊂ H. Khi đó với mọi u, v ∈ C,
PC (I − µA)(u) − PC (I − µA)(v)

2

≤ {1 − µ(2η − µL2 )} u − v 2 , (1.8)

từ đó suy ra PC (I−µA) : H → H là ánh xạ co chặt trên C với µ ∈ (0, L2η2 ).


14

Chứng minh. Từ điều kiện của ánh xạ A, với mọi u, v ∈ C ta có
PC (I − µA)(u) − PC (I − µA)(v)

2

≤ u − v − µ(A(u) − A(v))
= u−v

2

2

− 2µ u − v, A(u) − A(v)

+ µ2 A(u) − A(v) 2 .
✷
Nếu A là ánh xạ đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz trên C và µ > 0
đủ nhỏ, thì ánh xạ được xác định bởi vế phải của (1.6) là ánh xạ co. Do
đó, nguyên lý ánh xạ co Banach bảo đảm rằng dãy lặp Picard
un+1 = PC (un − µA(un ))
hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán (1.4).
Mệnh đề 1.3 Giả sử A : H → H là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz và
η-đơn điệu mạnh trên tập C lồi đóng khác rỗng của H. Khi đó
(a) VI(A, C) có nghiệm duy nhất p∗ ∈ C;
(b) với mỗi u0 ∈ C và µ ∈ (0, L2η2 ), dãy {un }n≥0 được cho bởi công thức
un+1 = PC (I − µA)(un )

với n = 0, 1, 2, . . .

(1.9)

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất p∗ ∈ C của VI(A, C).
Phương pháp lặp (1.9) được gọi là phương pháp chiếu gradient.
1.2.3.

Phương pháp đường dốc nhất

Phương pháp chiếu có ưu điểm là dễ lập trình và tốc độ hội tụ nhanh.
Tuy nhiên với phương pháp này thì việc tính toán phép chiếu mêtric PC
không đơn giản vì sự phức tạp của tập con lồi đóng bất kỳ C của H. Để
khắc phục khó khăn này, Yamada [4] đã đề xuất phương pháp lai đường
dốc nhất (hybrid steepest descent) vào năm 2001 để giải bất đẳng thức
biến phân trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không
gian Hilbert như sau: Cho H là không gian Hilbert thực và T : H → H


15

là một ánh xạ không giãn sao cho C = Fix(T ) = ∅. Giả sử A : H → H
là một ánh xạ η-đơn điệu mạnh và L-liên tục Lipchitz trên D(A). Cho
2η
µ ∈ 0, 2 và {λn }n≥1 ⊂ (0, 1] là một dãy số thực thỏa mãn điều kiện:
L
(L1 )

lim λn = 0;

n→+∞
∞

(L2 )

λn = +∞;
n=1

(L3 )

λn − λn+1
= 0.
n→+∞
λ2n+1
lim

Lấy tùy ý phần tử u0 ∈ H. Ta xác định dãy lặp {un }∞
n=1 bởi:
un+1 = T (un ) − λn+1 µA (T (un )) ,

(1.10)

n = 0, 1, 2, . . . .

Sự hội tụ của dãy lặp (1.10) được trình bày chi tiết trong Chương 2.
Một ví dụ về dãy {λn } thỏa mãn các điều kiện (L1 )-(L3 ) là
λn =

1.3.

1
,
nσ

0 < σ ≤ 1.

Một số bổ đề

Chúng ta nhắc lại một số bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.5 Trong không gian Hilbert H,
(i) x + y

2

2

≤ x

+ 2 y, x + y ;

(ii) Với t ∈ [0, 1] ta có,
(1 − t)x + ty

2

= (1 − t) x

2

+t y

2

− (1 − t)t x − y

2

∀x, y ∈ H.

Bổ đề 1.6 (Nguyên lý nửa đóng) Giả sử C là một tập con lồi đóng của
không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Nếu T có
điểm bất động thì I − T là nửa đóng, nghĩa là nếu dãy {xn } ⊂ C hội tụ
yếu đến phần tử x ∈ C và dãy {(I − T )xn } hội tụ mạnh đến phần tử y,
thì suy ra (I − T )x = y.


16

Bổ đề 1.7 Cho {xn } và {zn } là các dãy bị chặn trong không gian Hilbert
H sao cho xn+1 = (1 − βn )xn + βn zn với n ≥ 1 ở đây {βn } thuộc [0, 1]
thỏa mãn
0 < lim inf βn ≤ lim sup βn < 1.
n→∞

n→∞

Giả sử
lim sup zn+1 − zn − xn+1 − xn ≤ 0.
n→∞

Khi đó, limn→∞ xn − zn = 0.
Bổ đề 1.8 Giả sử {an } là một dãy số thực không âm thỏa mãn điều
kiện an+1 ≤ (1 − bn )an + bn cn , ở đây {bn } và {cn } là các dãy số thực thỏa
mãn:
(i) bn ∈ [0, 1] và

∞
n=1 bn

(ii) lim supn→∞ cn ≤ 0.
Khi đó, limn→∞ an = 0.

= ∞;


17

Chương 2

Phương pháp lặp giải bất đẳng
thức biến phân
Chương này trình bày ba phương pháp lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bất
đẳng thức biến phân
Tìm một phần tử p∗ ∈ C sao cho:

A(p∗ ), p − p∗ ≥ 0 ∀p ∈ C,

với C := Fix(T ) là tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn
T : H → H hoặc C := ∩N
i=1 Fix(Ti ) là tập điểm chung của N ánh xạ
không giãn Ti : H → H, i = 1, . . . , N trong không gian Hilbert thực H,
A là một ánh xạ từ H vào H. Nội dung của chương này được viết trên
cơ sở bài báo [2] và [4].

2.1.

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
của một ánh xạ không giãn

Trong mục này, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4) ở
Chương 1 trong trường hợp C là tập điểm bất động của ánh xạ không
giãn T : H → H, nghĩa là C := {x ∈ H : T (x) = x}.
2.1.1.

Phương pháp lai đường dốc nhất

Trước hết, ta có kết quả về sự hội tụ của dãy điểm bất động đến
nghiệm của bài toán VI(A, Fix(T )).


18

Bổ đề 2.1 Cho T : H → H là một ánh xạ không giãn với Fix(T ) = ∅.
Giả sử A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh
trên D(A). Với số µ ∈ (0, L2η2 ) tùy ý, ta xác định ánh xạ T (λ) : H → H
bởi
T (λ) (x) = T (x) − λµA(T (x))

với mọi λ ∈ [0, 1].

(2.1)

Khi đó,
(a) G = µA − I thỏa mãn
G(x) − G(y)

2

≤ {1 − µ(2η − µL2 )} x − y

2

với mọi x, y ∈ D(A),
(2.2)

suy ra G là ánh xạ co chặt trên D(A). Hơn nữa
0<τ =1−

1 − µ(2η − µL2 ) ≤ 1

(2.3)

đảm bảo cho hình cầu đóng
Cf = x ∈ H : x − f ≤

µA(f )
τ

(2.4)

xác định với mọi f ∈ Fix(T ).
(b) T (λ) : H → H thỏa mãn
T (λ) (Cf ) ⊂ Cf

với mọi f ∈ Fix(T ) và λ ∈ [0, 1].

(2.5)

Đặc biệt, T (Cf ) ⊂ Cf với mọi f ∈ Fix(T ).
(c) T (λ) : H → H (với mọi λ ∈ (0, 1]) là ánh xạ co chặt có duy nhất
điểm bất động ξλ ∈

Cf .
f ∈Fix(T )

(d) Giả sử tồn tại dãy tham số {λn }n≥1 ⊂ (0, 1] thỏa mãn lim λn = 0.
n→∞

Cho ξn là điểm bất động duy nhất của T n = T

(λn )

; tức là ξn = ξλn ∈

Fix(T n ) với mọi n. Khi đó dãy {ξn } hội tụ mạnh tới nghiệm duy
nhất p∗ ∈ Fix(T ) của bài toán VI(A, Fix(T )).
Phương pháp lai đường dốc nhất giải bất đẳng thức biến phân VI(A, C)
được mô tả như sau: Cho T : H → H là một ánh xạ không giãn với
Fix(T ) = ∅, A : H → H là một ánh xạ, µ là một hằng số dương. Với u0
bất kỳ thuộc H, dãy {un }n≥0 được xác định bởi
un+1 = T (λn +1) (un ) = T (un ) − λn+1 µA(T (un )).

(2.6)


19

2.1.2.

Sự hội tụ

Sự hội tụ mạnh của dãy lặp {un }n≥0 xác định bởi (2.6) đến nghiệm
của bài toán bất đẳng thức biến phân VI(A, Fix(T )) được trình bày
trong định lý sau đây.
Định lý 2.1 Giả sử T : H → H là ánh xạ không giãn với Fix(T ) = ∅,
A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh trên
D(A). Khi đó, với bất kỳ số µ ∈ (0, L2η2 ) và dãy {λn }n≥1 ⊂ (0, 1] thỏa
mãn các điều kiện
(L1)

lim λn = 0,

n→+∞

λn = +∞,

(L2)
n≥1

(L3)

lim (λn − λn+1 )λ−2
n+1 = 0,

n→+∞

dãy {un }n≥0 được xác định bởi (2.6) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất
của VI(A, Fix(T )).

Chứng minh. Theo ý (d) của Bổ đề 2.1, để chứng minh định lý ta phải
chỉ ra
lim un − ξn = 0,

n→∞

(2.7)

ở đây ξn là điểm bất động duy nhất của T n = T (λn ) với n = 0, 1, 2, . . . .
Thật vậy, trước hết ta có:
un − ξn = T n (un−1 ) − T n (ξn ) ≤ (1 − λn τ ) un−1 − ξn
≤ (1 − λn τ )( un−1 − ξn−1 + ξn−1 − ξn )
≤ (1 − λn τ ) un−1 − ξn−1 + ξn−1 − ξn .

(2.8)

Tương tự, từ T m (ξm ) = ξm với mọi m ≥ 1 và các tính chất của G = µ−I,
ta có
ξl − ξl−1
= T l (ξl ) − T l−1 (ξl−1 )
= (1 − λl )T (ξl ) − λl GT (ξl ) − (1 − λl−1 )T (ξl−1 ) + λl−1 GT (ξl−1 )
= (1 − λl ){T (ξl ) − T (ξl−1 )} − λl {GT (ξl ) − GT (ξl−1 )}


20

+ (λl−1 − λl ){T (ξl−1 ) + GT (ξl−1 )}
≤ (1 − λl ) T (ξl ) − T (ξl−1 ) + λl GT (ξl ) − GT (ξl−1 )
+ |λl−1 − λl | µAT (ξl−1 )
≤ (1 − λl ) ξl − ξl−1 + λl

1 − µ(2η − µL2 ) ξl − ξl−1

+ |λl−1 − λl | µAT (ξl−1 ) ,
với mọi l ≥ 2, tức là
λl τ ξl − ξl−1 ≤ |λl−1 − λl | µAT (ξl−1 )

với mọi l ≥ 2.

Từ bằng bất đẳng thức này và tính bị chặn của dãy {µAT (ξl−1 )}l≥2
(theo Bổ đề 2.1(c)), tồn tại số c > 0 sao cho với mọi l ≥ 2
ξl − ξl−1
µAT (ξl−1 ) |λl−1 − λl |
|λl−1 − λl |
≤
≤
c
.
λl
τ
λ2l
λ2l

(2.9)

Đặt
Mp =

c
|λl−1 − λl |

sup
.
τ l≥p
λ2l

Do (L3) và (2.9) dẫn tới
Mp → 0 khi p → ∞

(2.10)

và
ξl − ξl−1 ≤ λn τ Mp

với mọi n ≥ p.

(2.11)

Kết hợp (2.11) với (2.8), ta được
un − ξn ≤ (1 − λn τ ) un−1 − ξn−1 + λn τ Mp .
Do đó, bằng phương pháp quy nạp, cho n ≥ p + 1
n

un − ξn ≤ up − ξp

n

(1 − λi τ )+Mp

n

(1 − λj τ )

λi τ

i=p+1

i=p+1

j=i+1

Mặt khác,
n

un − ξn ≤ up − ξp

(1 − λi τ ) + Mp .

(2.12)

i=p+1
∞

(1 − λi τ ) = 0, ta được lim sup un − ξn ≤ Mp

Hơn nữa, sử dụng
i=p+1

với mọi p.

n→∞

.


21

Cuối cùng, cho p → ∞, từ (2.10) suy ra lim sup un − ξn = 0, ta
n→∞

được điều phải chứng minh.
✷

2.2.

Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động
chung của N ánh xạ không giãn

Trong mục này, ta xét bài toán bất đẳng thức biến phân (1.4) ở
Chương 1 trong trường hợp C là tập điểm bất động chung của một họ
hữu hạn các ánh xạ không giãn Ti : H → H, i = 1, 2, . . . , N , nghĩa là
N

C :=

Fix (Ti ).
i=1

2.2.1.

Mô tả phương pháp

Trong mục này, chúng ta nghiên cứu hai phương pháp lặp giải bất
đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của N ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert H.
Phương pháp 2.1. Cho H là một không gian Hilbert, A, {Ti }N
i=1 :
H → H là các ánh xạ từ H vào H và µ là một hằng số dương. Với u0
tùy ý thuộc H, ta xác định dãy {un }n≥0 bởi:
(λ

)

n+1
un+1 = T[n+1]
(un ) = T[n+1] (un ) − λn+1 µA(T[n+1] (un )).

(2.13)

Phương pháp 2.2. Cho H là một không gian Hilbert, cho A, {Ti }N
i=1 :
H → H là các ánh xạ từ H vào H, và µ là một hằng số dương. Xuất
phát từ phần tử tùy ý x1 ∈ H, ta xác định dãy lặp {xn } như sau:


x1 ∈ H,



 y 0 = (I − λ µA)x ,
n

n
n
(2.14)
i
i
i−1
i
i−1

y
=
(1
−
β
)y
+
β
T
y
,
i
=
1,
.
.
.
,
N,
i


n
n n
n
n


x
0
0 N
= (1 − β )x + β y , n ≥ 1,
n+1

n

n

n n

ở đây, dãy {λn } ⊂ (0, 1) và {βni } ⊂ (α, β), i = 0, . . . , N, với α, β ∈ (0, 1)
thỏa mãn các điều kiện:
λn → 0,

i
λn = ∞ và |βn+1
− βni | → 0, i = 1, . . . , N.

(2.15)