tiểu luận đại số đại cương tác động của nhóm lên một tập hợp

GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Đại số là một trong những lĩnh vực rất quan trọng của Toán học. Trong
quá trình nghiên cứu học phần đại số đại cương trong chương trình học đại học,
em nhận thấy lý thuyết nhóm là một phần có thể gọi là nền tảng của đại số, tạo
tiền đề để xây dựng một số cấu trúc trong đại số như vành, trường, môđun…
Trong các nội dung đã được học em đã được giới thiệu về tác động của một
nhóm lên một tập hợp và nhận thấy đây là phần khá mới có thể đi sâu vào
nghiên cứu nên em quyết định chọn đề tài “Tác động của nhóm lên một tập
hợp”.
2. Mục đích nghiên cứu
Nhằm mục đích đi sâu vào nghiên cứu tác động của nhóm lên tập hợp và
xây dựng một cách có hệ thống, trình bày lý thuyết cơ bản đến bài tập áp dụng
bằng những kiến thức đã có kết hợp với tài liệu tham khảo.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình thực hiện đề tài này, em đã sử dụng những phương pháp
nghiên cứu sau:
Tổng kết lại một số kiến thức đã được học.
Sưu tầm tài liệu từ sách tham khảo, tài liệu trên mạng.
Tự nghiên cứu và có trao đổi với giáo viên hướng dẫn.
4. Nội dung nghiên cứu
Nội dung gồm ba chương
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Tác động nhóm lên tập hợp
Chương 3: Bài tập áp dụng

1

GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú
NỘI DUNG

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Nhóm
1.1.1. Khái niệm nhóm và nhóm con
1.1.1.1. Định nghĩa. Một nhóm là một cặp  G,
không rỗng và



trong đó G là một tập hợp

là một luật hợp thành trên G, thỏa mãn ba điều kiện sau đây:

i) Tính chất kết hợp, với x, y, z  G thì  x y  z  x

y

z .

ii) Có một phần tử e  G , được gọi là phần tử trung lập, có tính chất với
x  G thì x e  e x  x.

iii) Với mọi x  G , ta có một phần tử x '  G , được gọi là nghịch đảo của
x, sao cho x x '  x' x  e .

Nếu luật hợp thành

đã rõ và không sợ nhầm lẫn gì, người ta cũng nói G

là một nhóm.
1.1.1.2. Định nghĩa. Nhóm  G,



được gọi là nhóm giao hoán ( hay abel) nếu

x y  y x với mọi x, y  G.

1.1.1.3. Định nghĩa. Cho nhóm  G,



và H là tập con khác rỗng ổn định với

phép toán trên G. Tập H được gọi là nhóm con của G nếu H cùng với phép toán
cảm sinh trên H lập thành một nhóm, kí hiệu H  G.
1.1.1.4. Định lý. Cho H là tập con khác rỗng của nhóm G với phép toán nhân.
Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
i) H là nhóm con của G.
ii) Với mọi x, y  H ta có xy  H và x 1  H .
iii) Với mọi x, y  H , ta có xy 1  H .
1.1.2. Nhóm con chuẩn tắc
1.1.2.1. Định nghĩa. Nhóm con H của G được gọi là nhóm con chuẩn tắc của G
nếu với mọi g  G thì gH = Hg, kí hiệu H

G . Trong đó gH và Hg lần lượt là

lớp ghép phải và lớp ghép trái của phần tử g  G đối với nhóm con H.

2


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
1.1.2.2. Định lý. Một nhóm con H của nhóm G được gọi là nhóm con chuẩn
tắc của nhóm G nếu và chỉ nếu với mọi g  G , với mọi h  H thì g 1hg  H
(hoặc ghg 1  H ).
1.1.3. Cấp của một nhóm
1.1.3.1. Định nghĩa. Cho G là nhóm và g  G . Nếu nhóm G có hữu hạn thì ta
nói G là nhóm hữu hạn và số phần tử của nhóm G được gọi là cấp của nhóm G,
kí hiệu G . Ngược lại ta nói G có cấp vô hạn.
Cấp của <g> được gọi là cấp phần tử g kí hiệu là |g|.
Nếu g   thì ta nói g có cấp hữu hạn, ngược lại ta nói g có cấp vô hạn.
1.1.3.2. Định lý. cho G là nhóm và g  G . Khi đó:
i) Phần tử g có cấp hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại m, n  , m  n sao
cho g m  g n .





ii) Nếu g có cấp hữu hạn là d thì  g  e, g , g 2 ,..., g d 1 .
iii) Nếu phần tử g có cấp hữu hạn là d thì d là số nguyên dương nhỏ nhất
sao cho g d  e .
iv) Nếu g có cấp hữu hạn là d thì g n  e khi và chỉ khi d là ước của n.

v) Nếu g có cấp n thì g m 

n
,m .
 m, n 

1.2. Nhóm hữu hạn
1.2.1. Một số định lý cơ bản
1.2.1.1. Định lý đẳng cấu
a. Mệnh đề. Nếu ánh xạ f : X  Y là đồng cấu nhóm thì X
biệt nếu f là toàn cấu thì X

Kerf

Kerf

 Im f . Đặc

 Y.

b. Định lý đẳng cấu thứ nhất. Cho G là nhóm, H là nhóm con của G và K là
nhóm con chuẩn tắc của G. Khi đó HK

K

3

H

H K

.


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
c. Định lý đẳng cấu thứ hai. Giả sử H và K là các nhóm con chuẩn tắc của
nhóm G sao cho H  K . Khi đó X

K



 X / H

 K / H .

1.2.1.2. Định lý Lagrange
Giả sử H là nhóm con của nhóm hữu hạn G, thì cấp (số phần tử)
của G chia hết cho cấp của H.
1.2.1.3. Định lý Cayley. Mọi nhóm hữu hạn G cấp n đều đẳng cấu với một
nhóm con nào đó của nhóm Sn .
Chứng minh.
Với mỗi g  G . Xét ánh xạ g : G  G
x

gx

Giả sử gx  gx ' thì x  x ' . Do đó g là đơn ánh. Với mọi y  G thì tồn





tại phần tử x  g 1 y , và ta có g  x   g g 1 y  gg 1 y  y . Vậy g là song ánh
nên g  SG .
Xét ánh xạ:

f : G  SG
g

g.

Ta chứng minh được f là đồng cấu nhóm. Do đó theo mệnh đề 1.2.1.1 thì
G

Kerf

 Im f .





Mặt khác ta có Ker f  g  G | g  1   g  G | gx, x  G  1 . Vậy

G  Im f . Do Imf là nhóm con của nhóm S G nên ta có điều phải chứng minh.
1.2.2. Nhóm đối xứng
Nhắc lại rằng với mỗi tập X, tập S  X  các song ánh từ X đến X với phép
hợp thành các ánh xạ là một nhóm. Nhóm S  X  được gọi là nhóm đối xứng

của X hay nhóm các phép thế của X. Khi X có n phần tử thì nhóm đối xứng của
X được kí hiệu bởi S n . Chú ý là cấp của S n là n! Và mỗi phần tử của S n có thể
đồng nhất với một song ánh từ tập 1, 2,..., n đến chính nó. Với s  S n nếu
s  i   ai với mọi i  1,..., n thì ta viết

4


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

1
s
 a1

... n 
... an 

2
a2

Định lý sau đây cho ta ý nghĩa của nhóm đối xứng trong lý thuyết nhóm
tổng quát.
1.2.2.1. Định lý. (Cayley, 1878). Mọi nhóm đều nhúng được vào nhóm đối
xứng của chính nó.
Chứng minh.
Cho G là nhóm, gọi S  G  là nhóm đối xứng của G.
Với mỗi X  G , kí hiệu g x là ánh xạ từ G đến G xác định bởi
g x  y   xy, y  G . Vì x chính quy nên g x là đơn ánh.Với y  G , ta có

g x  x 1 y   y . Do đó g x là toàn ánh.Vì thế ta có ánh xạ  : G  S  G  cho bởi
  x   g x , x  G . Với x1 , x2  G ta có

g x x  y    x1 x2  y  x1  x2 y   g x  x2 y   g x  g x  y    g x g x  y 
1 2

1

1

2

1

2

Với mọi y  G . Vì thế g x x  g x g x , tức là   x1 x2     x1    x2  . Do
1 2

1

2

đó  là đồng cấu nhóm. Giả sử x1 , x2  G thỏa mãn   x1     x2  . Khi đó
g x  g x . Suy ra g x  e   g x  e  . Do đó x1e  x2 e , hay x1  x2 . Vậy  là đơn
1

1

2

2

cấu, tức là G có thể nhúng vào S(G).
Phần tiếp theo trình bày tính chất của nhóm đối xứng S n .
1.2.2.2. Định nghĩa. Phép thế s  S n được gọi là chu trình độ dài k (hay một
xích

độ

dài

k)

nếu

có

các

số

a1 ,..., ak  1, 2,..., n

sao

cho

s  a1   a2 ,..., s  ak 1   ak , s  ak   a1 và s  a   a với mọi a  a1 ,..., ak  . Khi đó

ta viết s   a1 , a2 ,..., ak  . Tập a1 ,..., ak  được gọi là tập nền của xích s. Hai xích
s, s '  Sn được gọi là độc lập nếu các tập nền của chúng rời nhau.

Ta kí hiệu ánh xạ đồng nhất là e và quy ước e là xích có độ dài 1 với tập
nền gồm đúng một phần tử tùy ý.
1.2.2.3. Định lý. Mỗi phép thế s  S n đều viết được thành tích những xích độc lập.

5


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
Chứng minh. (quy nạp theo n). Rõ ràng định lý đúng khi n = 1. Cho n > 1 và
s  S n . Trường hợp s  e là hiển nhiên. Cho s  e . Gọi a1 là số bé nhất sao cho
s  a1   a1 . Đặt a2  s  a1  . Giả sử a1 ,..., ak là các số phân biệt sao cho
s  a1   a2 ,s  a2   a3 ,...,s  ak 1   ak và s  ak   a1 ,..., ak 1  . Do s là song ánh

nên

s  ak   a1 .

Kí

hiệu

S 0 là

xích

 a ,..., a   S
1

k

n

.

Đặt

X  1, 2,..., n / a1 ,..., ak  . Vì s là song ánh nên s  a   X với mọi a  X . Vì thế

ánh xạ r : X  X xác định bởi r  a   s  a  là một phép thế của X. Khi đó, theo
giả thiết quy nạp, r  r1 ...rt , trong đó ri  S  X  là các xích độc lập. Với mỗi

i  1,..., t , kí hiệu si  S n xác định bởi si  a   ri  a  với mọi a  X và si  a   a
với mọi a  X và si  a   a với mọi a  X . Khi đó các xích s0 , s1 ,..., st là độc
lập và s  s0 s1 ...st .
1.2.2.4. Chú ý. Cho s  S n . Giả sử s  s1 ...st là sự phân tích của s thành tích
những xích độc lập. Nếu ta yêu cầu sự phân tích này có tính chất a1  a2  ...  at ,
trong đó ai là phần tử bé nhất trong tập nền của si với mọi i = 1,...,t thì rõ ràng
sự phân tích như thế của s là duy nhất nếu không kể đến các nhân tử là các xích
độ dài 1.
1.2.2.5. Ví dụ. Dưới đây ta viết các phần tử của nhóm đối xứng S 4 dưới dạng
tích các xích độc lập:
S 4 = {e, (1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3),

(1, 4, 3, 2), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1, 2, 3), (1, 3, 2),
(1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3), (1, 2),

(1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4)}.
1.2.2.6. Ví dụ. Trong nhóm đối xứng S8 , ta có

 12345678 
 25671348   125 36  47  .


Nhận xét rằng, trong nhóm đối xứng S n , mỗi xích độ dài k đều có cấp là k.
Vì thế ta có kết quả sau đây.
6


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
1.2.2.7. Hệ quả. Cho s  S n . Giả sử s  s1 ...st là biểu diễn của s thành tích
những xích độc lập. Khi đó cấp của s là bội chung nhỏ nhất của các độ dài của
các xích s1 ,..., st .
1.2.2.8. Định nghĩa. Mỗi xích độ dài 2 trong nhóm đối xứng S n được gọi là một
chuyển trí hay phép đối xứng sơ cấp.
1.2.2.9. Mệnh đề. Mỗi phép thế s  S n đều là tích của những chuyển trí. Vì thế
S n được sinh bởi các chuyển trí của nó.

Chứng minh. Theo định lý 1.2.2.3, mỗi phép thế trong S n đều là tích của những
vong xích độc lập. Do đó ta chỉ cần chứng minh rằng mỗi xích trong S n là tích
những chuyển trí. Giả sử  a1 , a2 ,..., ak   Sn là một xích. Khi đó ta có sự phân tích

 a , a ,..., a    a , a  a , a  ... a
1

2

k

1

2

2

3

k 1

, ak  ,

tức là  a1 , a2 ,..., ak  là tích những chuyển trí.
Xét nhóm đối xứng S n . Với mỗi s  S n ta đặt

sgn  S  
Trong đó  n 

s  n 
,
n

  j  i

1 i  j  n

và s   n  

  s  j   s  i   . Với mỗi ( i, j )

i i  j  n

sao cho 1  i  j  n , thừa số j – i phải xuất hiện đúng một lần trong tích  n . Vì
s là song ánh nên tồn tại duy nhất một cặp k , t  1, 2,..., n sao cho
s  k   i, s  t   j . Do đó j  i  s  t   s  k  nếu t > k và   j  i   s  k   s  t 

nếu k > t. Vì thế chỉ có một trong 2 thừa số j – i hoặc – (j – i) xuất hiện đúng một
lần trong tích s   n  . Suy ra sgn  s   1 hoặc sgn  s   1.
1.2.2.10. Định nghĩa. Nếu sgn  s   1 thì s được gọi là phép thế chẵn. Nếu
sgn  s   1 thì s được gọi là phép thế lẻ. Ta gọi sgn  s  là dấu của s.

1.2.2.11. Bổ đề. Xét nhóm {1,- 1} với phép nhân thông thường. Khi đó ánh xạ
 : Sn  1, 1 xác định bởi   s   sgn  s  là một đồng cấu nhóm.

Chứng minh. Cho s, r  Sn . Ta có
7


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

r  s  j   r  s i 
rs  j   rs  i 
s  j   s i 





j i
s  j   s  i  i i  j  n
j i
i i  j  n
i i  j  n
Vì thế sgn  rs   sgn  r  sgn  s  , tức là   rs     r    s  .
Gọi An là tập các phép thế chẵn của S n . Khi đó An  Ker , trong đó  là
đồng cấu nhóm xác định bởi trong bổ đề 1.2.2.11. Vì thế An là nhóm con chuẩn
tắc của S n . Nhóm An được gọi là nhóm thay phiên trên n phần tử.
1.2.2.12. Mệnh đề. Cho n  2 . Khi đó nhóm thay phiên An là nhóm con chuẩn
tắc của S n với chỉ số 2 và cấp n!/ 2 .
Chứng minh. Rõ ràng An  An e là một lớp ghép trái của An . Lấy s  S n là một
phép thế lẻ (chẳng hạn s  12  ). Ta chứng minh lớp ghép An s là tập các phép
thế

lẻ.

Cho

xs  An s ,

trong

đó

x  An .

Theo

bổ

đề

1.2.2.11,

sgn  xs   sgn  x  sgn  s   1 1  1. Vì thế xs là phép thế lẻ. Ngược lại giả sử

x  S n là phép thế lẻ. Vì s là phép thế lẻ nên ta có

1  sgn  e   sgn  s 1s   sgn  s 1  sgn  s    sgn  s 1  .
Suy ra sgn  s 1   1. Do đó sgn  xs 1    1 1  1, tức là xs 1  An .
Suy ra x   xs 1  s  An s . Vậy An có đúng 2 lớp ghép trái (lớp ghép An e gồm tất
cả các ghép thế chẵn, lớp ghép An s gồm tất cả các phép thế lẻ). Do đó An có chỉ
số 2 và có cấp n!/ 2 .
Cho s  S n . Một nghịch thế của s là một cặp i, j  1, 2,..., n sao cho i < j
và s  i   s  j  .
1.2.2.13. Mệnh đề. Cho s  S n . Nếu số nghịch thế của s là chẵn (lẻ) thì s là
phép thế chẵn (lẻ).
Chưng minh. Cho i, j  1, 2,..., n , i  j . Nếu i, j là nghịch thế thì thừa số
s  j   s  i  trong s   n  khác đấu với thừa số trong  n , còn số i, j không là

nghịch thế thì s  j   s  i  bằng thừa số tương ứng trong  n , còn nếu i, j không

8


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

là nghịch thế thì s  j   s  i  bằng thừa số tương ứng trong  n . Vì thế s là phép
thế chẵn (lẻ) nếu s là chẵn (lẻ).
Theo định lý 1.2.2.3, mỗi phép thế là tích của những xích độc lập. Vì thế việc
kiểm tra tính chẵn, lẻ của các xích là điều cần thiết.
1.2.2.14. Mệnh đề. Cho s   a1 , a2 ,...,a k   Sn là một xích độ dài k. Nếu k là số
lẻ (chẵn) thì s là phép thế chẵn (lẻ).
Chứng minh. Chú ý rằng s   a1 , a2  a2 , a3  ...  ak 1 , ak  . Do đo s là tích của k – 1
phép chuyển trí. Ta chứng minh mỗi chuyển trí là một phép thế lẻ. Giả sử
r   a, b   Sn là một chuyển trí. Cho i, j  1, 2,..., n , i  j . Nếu i  a và j  b

thì i, j không là nghịch thế của r. Do đó nghịch thế của r hoặc là a, a  t với

t  1,..., b  a , hoặc là a  t, b với t  1,..., b  a  1 . Vì thế r có đúng 2  b  a   1
nghịch thế. Theo bổ đề 1.2.2.13, r là phép thế lẻ. Sử dụng bổ đề 1.2.2.11, ta có
sgn  s    sgn   ai , ai 1     1 .
k 1

Vì thế ta có kết quả.
1.2.2.15. Ví dụ. Trong nhóm đối xứng S8 , xét phép thế s, trong đó

 12345678 
s

 25671348 
Ta có s  1, 2,5 3,6  4,7  . Theo mệnh đề 1.2.2.14, 1, 2,5 là phép thế
chẵn

 3, 6 

và

 4, 7 

là các phép thế lẻ. Do đó, theo bổ đề 1.2.2.11,

sgn  s   1 1 1  1. Vì thế s là phép thế chẵn.

9


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
Chương 2. TÁC ĐỘNG CỦA NHÓM LÊN TẬP HỢP
2.1. Cái khái niệm và mệnh đề cơ bản
2.1.1. Định nghĩa. Cho X là một tập hợp khác rỗng và G là một nhóm. Một tác
động trái của nhóm G lên tập X là một ánh xạ
*: G  S  S

 g, x 

g*x

Ta kí hiệu  g , x   G  X là g*x thì ta có
i) g1 *  g 2 * x    g1 g 2  * x với g1 , g 2  G, x  X
ii) e * x  e với x  X , e là đơn vị của G
Hoàn toàn tương tự, chúng ta có khái niệm tác động phải. Khi có một tác
động trái từ G lên X thì ta nói X là một G-tập, và ảnh của phần tử

 g, x  G  X

qua tác động này được kí hiệu là g*x. Từ nay trở đi chúng ta chỉ

xét tác động trái, và để thuận tiện ta gọi chúng là các tác động.
2.1.2. Ví dụ.
i) Cho G = R*, là nhóm các phép nhân với số thực thông thường, X là tập
hợp các vectơ trong không gian ba chiều. Với g  G , x  X . Khi đó ánh xạ
*: G  X  X

 g, x

g * x  gx

là tác động của nhóm G lên tập X
ii) Cho G là một nhóm và X là một tập khác rỗng. Với g  G, x  X Khi
đó ánh xạ:
*: G  X  X

 g, x 

g *x  x

Xác định một tác động của nhóm G lên tập X và ta gọi là tác động tầm thường.
iii) Cho G là một nhóm. Với g , a  G . Khi đó ánh xạ
*: G  G  G

 g, a 

g * a  gag 1

là tác động của G lên chính nó với gag 1 là liên hợp của a bởi g.
10


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
2.1.3. Chú ý. Trong định lý 1.2.2.1 của Cayley, nhóm G tác động lên chính nó
theo nghĩa mỗi x  G , có một ánh xạ g x : G  G cho ứng phần tử xy. Chú ý
rằng g x là một phép thế của G và ánh xạ cho ứng x với phép thế g x là một đơn
cấu từ G đến nhóm đối xứng S(G).
Cũng giống như định lý Cayley, cho * là tác động của nhóm G lên tập X
nào đó với mọi g  G , ánh xạ liên kết của g vẫn là một phép thế của X. Hơn
nữa ánh xạ cho ứng g với ánh xạ liên kết của g là đồng cấu từ G đến nhóm đối
xứng của X, tuy nhiên nó không nhất thiết là đơn cấu. Hạt nhân tác ddonhj này
là hạt nhân của đồng cấu nhóm từ G đến nhóm đối xứng X ( ứng với tác động
đó)
Như chúng ta vừa thấy, mỗi tác động của nhóm G lên tập X cho ta một
đồng cấu từ G đến nhóm các phép thế của X. Mệnh đề sau đây chỉ ra điều ngược
lại cũng đúng.
2.1.4. Mệnh đề. Cho X là một tập hợp và S X là nhóm đối xứng của X. Giả sử

 : g  S X là một đồng cấu nhóm từ G đến S X . Khi đó có một tác động của
nhóm G lên tập X
*: G X  X

 g, x 

g * x    g    x  với mọi x  X

Chứng minh.
Với mọi g1 , g 2  G, x  X . Vì  là đồng cấu nên

  g1 g 2     g1   g 2 
Vì thế g1 *  g2 * x     g1  g2 * x     g1    g2  x      g1   g2    x 
   g1 g2    x    g1 g2  * x

Vì  là đồng cấu nên   e   1X . Do đó ex    e    x   1X  x   x
Vậy * là một tác động của nhóm G lên tập X thông qua đồng cấu nhóm  .

11


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
2.1.5. Bổ đề

SVTH: Huỳnh Minh Tú

i) Cho G là nhóm, A là nhóm con của G. Với g  G

đặt

gAg 1   gag 1 : a  A . Khi đó gAg 1 là nhóm con của G.
Chứng minh. Ta có e  geg 1  gAg 1 . Vì thế gAg 1   .
Cho gag 1 , gbg 1  gAg 1 . Ta có
gag 1  gbg 1   gag 1 gb1 g 1  x  ab1  x 1  gAg 1
1

Vì thế gAg 1 là nhóm con của G.
Cho a là nhóm con của một nhóm G. Nhóm con B của G được gọi là liên

hợp với A nếu tồn tại g  G sao cho B  gAg 1 .
ii) Cho A là một nhóm con của nhóm G. Nếu B liên hợp với A và C liên
hợp với B thì C liên hợp với A.
Chứng minh. Theo giả thiết, tồn tại g1 , g 2  G để B  g1 Ag11 và C  g 2 Bg 2 1 .





Suy ra C  g2 g1 Ag11 g2 1   g2 g1  A  g2 g1  . Do đó C liên hợp với A.
1

2.1.6. Ví dụ. Cho G là nhóm và A là nhóm con của G. Kí hiệu X là tập các
nhóm con của G liên hợp với A. Khi đó G tác động lên X bằng cách liên hợp
như sau: Với g  G, B  X , đặt g * B  gBg 1 .
Chứng minh. Theo mệnh đề 2.1.5 ta có gBg 1  X với g  G, B  X . Với

g1 , g 2  G, B  X ta có e * B  eBe1  B với e là phần tử đơn vị của B và

 g1 g2  * B  g1 g2 B  g1 g2 

1

 g1  g2 Bg2 1  g11  g1 *  g2 Bg2 1   g1 *  g2 B 

Vì thế quy tắc trên là một tác động của G lên S.
2.2. Công thức các lớp
2.2.1. Định nghĩa. Cho * là tác động của nhóm G lên tập X. Với x  X , ta định
nghĩa nhóm con ổn định của x trong G, kí hiệu G x như sau:
Gx   g  G | g * x  x

2.2.2. Mệnh đề. G x là nhóm con của G
Chứng minh. Giả sử g1 , g 2  Gx  g1 * x  g 2 * x  x với x  X
12


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

Khi đó  g1 g2  * x  g1 *  g2 * x   g1 x  x . Vậy g1 g 2  Gx





Với mọi g  Gx thì g * x  x , ta có g 1 * x  g 1 *  g * x   g 1 g * x  x
Vậy g 1  Gx . Suy ra G x là nhóm con của G.
2.2.3. Định nghĩa. Cho G là nhóm, X là G-tập và x  X .
i) Giả sử Gx   gx | g  G . Khi đó Gx là bộ phận của X. Khi đó ta gọi
Gx là quỹ đạo của x trong X.
ii) Giả sử Gx   gx | gx  x là một nhóm con của G với g  G . Khi đó Gx
được gọi là nhóm đẳng hướng của phần tử x trong G.
2.2.4. Ví dụ
i) Xét tác động chính quy của G lên chính nó: g*a = ga, với mọi g , a  G .





Với a  G , kí hiệu Ga là quỹ đạo của a. Với mỗi g  G ta có g  ga 1 a  Ga .
Do đó Ga = G. Vì thế tác động này chỉ có một quỹ đạo, đó là G. Nhóm con đẳng
hướng ứng với a là Ga   x  G : xa  a  e .
ii) Xét tác động tầm thường của nhóm G lên tập X: g*x=x với mọi

g  G, x  X . Với x  X quỹ đạo của x là
Gx   g * x | g  G  x

Vì thế mỗi quỹ đạo gồm đúng một phần tử. Nhóm con đẳng hướng với x
là Gx   g  G | g * x  x  G .
iii) Xét tác động của G lên chính nó bằng phép liên hợp: g* a  gag 1 với
mọi g , a  G . Với a  G , quỹ đạo của a là

Ga  g* a | g  G   gag 1 | g  G .
Nhóm con đẳng hướng ứng với a là

Ga   g  G | gag 1  a   g  G | ga  ag 
iv) Kí hiệu X là tập các nhóm con của một nhóm G. Xét tác động của
nhóm G lên tập X bằng phép liên hợp: g * H  gHg 1 với mọi g  G và mọi

13


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

H  X . Với H  X , quỹ đạo của H là  gHg 1 | x  G tập các nhóm con liên
hợp với H; nhóm con đẳng hướng của H là Ga   g  G | gH  H g.
2.2.5. Mệnh đề. Cho tác động của nhóm G lên tập X. Các phát biểu sau đây là

đúng.
i) Gx   với mọi x  X .
ii) X 

Gx
x X

iii) Gx  Gy hoặc Gx  Gy   với mọi x, y  X
Chứng minh. (i), (ii). Vì x  ex  Gx nên Gx   với mọi x  X .
Vì thế X 

Gx
x X

(iii) Giả sử Gx  Gy   . Khi đó tồn tại g1 , g 2  G sao cho g1 x  g 2 y . Suy ra
x  ex  g11 g1 x  g11 g 2 y





Cho ax  Gx . Ta có ax= ag11 g 2 y  Gy . Trong đó Gx  Gy . Tương tự

Gy  Gx , và vì thế Gx  Gy
Mệnh đề chỉ ra rằng tập các quỹ đạo trong X là một phép nhân hoạch trên X.
2.2.6. Định lý. Cho tác động của nhóm G lên tập X và x  X . Kí hiệu G / Gx là
tập các lớp ghép traiscuar nhóm con đẳng hướng G x . Khi đó tương ứng
f : G / Gx  Gs cho bởi f  gGx   gx là một song ánh. Giả thiết thêm rằng X là

một tập hữu hạn. Khi đó chỉ số của G x chính là số phần tử của quỹ đạo Gx.

Hơn nữa, nếu Gx1 ,...,Gx t là các quỹ đạo đôi một rời nhau trong X thì

 t
 t
Card  X   Card  Gxi    G : Gxi , (i)
 i 1
 i 1









Trong đó Card  X  là số phần tử của X và G : Gxi , i  1,..., t là chỉ số
của nhóm con đẳng hướng Gxi .
Chứng minh. Giả sử g1Gx  g2Gy  G / Gx . Khi đó g11 g 2  Gx . Suy ra
g11 g 2 x  x . Do đó g 2 x  g1 x . Vì thế f là ánh xạ. Rõ ràng f là toàn ánh. Cho

14


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
f  g1Gx   f  g 2Gx  . Khi đó

SVTH: Huỳnh Minh Tú
g1 x  g 2 x . Do đó

g

1
1

g 2  x  x . Suy ra

g11 g 2  Gx .

Do đó g1Gx  g 2Gx . Vì thế f là đơn ánh. Suy ra f là song ánh. Giả sử X là
tập hữu hạn. Khi đó quỹ đạo Gx là tập hữu hạn với mọi x  X . Do f là song ánh
nên  G : Gx   Card  Gx  với mọi x  X . Vì thế công thức (i) được chứng minh.
Công thức (i) được gọi là công thức các lớp.
2.2.7. Chú ý. Giả sử G là nhóm hữu hạn và X là một G-tập. Với x  X , theo
định lý 2.2.6, số phần tử của quỹ đạo Gx bằng chỉ số của nhóm con đẳng hướng
G x , vì thế nó là ước của cấp G.

2.2.8. Mệnh đề. Nếu H,K là các nhóm con của một nhóm hữu hạn G thì ta có
Card  HK  Card  H  K   Card  H  Card  K  .

Chứng minh. Kí hiệu X là tập các lớp ghép trái của K trong G. Xét tác động của
nhóm H lên tập S bằng phép nhân: h *  aK   haK với mọi h  H , aK  X .
Nhóm con đẳng hướng ứng với eK  X là
H eK  h  H | heK  K   h  H | h  K   H  K .

Vì thế chỉ số của nhóm con đẳng hướng ứng với eK là

Card  H 
. Kí hiệu
Card  H  K 

H * eK là quỹ đạo của eK. Khi đó H * eK  hK | h  H  . Chú ý rằng hK có
Card  K  phần tử và nếu hK  h 'K thì hK  h 'K   với mọi h, h '  H . Hơn

hK  hk | h  K   HK . Vì thế số phần tử của quỹ đạo H*eK là

nữa,
hH

Card  HK 
Card  HK 
Card  H 

. Theo định lý 2.2.6
Card  K 
Card  K  Card  H  K 
2.3. Một số tác động đặc biệt khác
2.3.1. Tác động trung thành
2.3.1.1. Định nghĩa. Cho * là tác động của nhóm G lên tập X. Tác động * được
gọi là tác động trung thành nếu x  X , g * x  x thì g = 1.

15


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
2.3.1.2. Ví dụ.

SVTH: Huỳnh Minh Tú

i) Mỗi nhóm con của nhóm Sn tác động trung thành lên X  1, 2,, n

Thật vậy: Giả sử N là một nhóm con của Sn . Xét ánh xạ:
*: N  X  X

 f , x

f * x  f  x

Dễ dàng chứng minh được * là một tác động của N lên X. Khi đó
Với f  N sao cho x  X , f  x   x thì f = (1).
Vậy * là một tác động bắc cầu của N lên tập X.
ii) Cho H là nhóm con của nhóm G, khi đó ánh xạ
*: H  G  G

 h, g 

h * g  hg

Là một tác động trung thành của H lên G. Thậy vậy:
Nếu g  G, h * g  g

 g  G, hg  g

 g  1.

Vậy * là tác động trung thành của H lên G.
2.3.2. Tác động bắc cầu
2.3.2.1 Định nghĩa. Cho * là tác động của nhóm G lên tập X. Khi đó tác động
của G lên X được gọi là tác động bắc cầu nếu với mọi x, y  X thì tồn tại phần
tử g  G sao cho y = g*x.
Khi đó X được gọi là một G- tập thuần nhất.

2.3.2.2. Ví dụ
i) Nhóm Sn tác động bắc cầu lên tập X   1, 2,, n . Thật vậy: Với

i, j  X thì luôn tồn tại f  Sn sao cho f(i) = j. Hay X là một Sn -tập.
ii) Cho H là nhóm con của G, khi đó G tác động bắc cầu lên G/H. Thật vậy:
Xét ánh xạ:

* : GG / H G / H

 g , xH 

g * xH  gxH .

Ta chứng minh được * là tác động của G lên G/H

16


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

Với xH , x’H  G / H , với x, x’  G thì tồn tại g  x ' x 1  G và
g * xH  ( x ' x 1 ) * xH  x '* ( x 1 xH )  x ' H .

iii) Đặt G là nhóm các phép quay đối với một đa giác đều. Gọi X là tập
hợp tất cả các đỉnh, Y là tập hợp tất cả các cạnh của đa giác đều. Khi đó G tác
động bắc cầu lên X và Y hay ta nói X và Y là các G- tập.
iv) Đặt G là nhóm các phép quay đối với hình lập phương. Gọi X là tập
hợp tất cả các đỉnh, Y là tập hợp tất cả các cạnh, Z là tập hợp tất cả các mặt của

hình lập phương. Khi đó ta cũng chứng minh được X, Y, Z là các G- tập.
2.3.3. Tác động nguyên thủy
2.3.3.1. Định nghĩa. Cho X  { x1 , x2 ,, xn } . Khi đó ta gọi  1  { X i } , với
X i  {xi } và  2   X  là 2 phân hoạch tầm thường của X.

2.3.3.2. Định nghĩa. Cho tác động của nhóm G lên tập X. Đặt  là một phân
hoạch của X. Khi đó ta nói  ổn định bởi G( G ổn định  ) nếu:
Với mọi A    g * A   , với mọi g  G .
2.3.3.3. Định nghĩa. Tác động của nhóm G lên tập X được gọi là tác động
nguyên thủy nếu G chỉ ổn định 2 phân hoạch tầm thường  1 và  2 của X.
2.3.3.4. Mệnh đề. Cho tác động của nhóm G lên tập X. Khi đó tác động của G
lên tập X không phải là tác động nguyên thủy khi và chỉ khi tồn tại một tập con
A thật sự của X chứa ít nhất 2 phần tử sao cho:
Với mỗi g  G thì g * A  A hoặc g * A  A  

(i)

(  )Xét phân hoạch  sao cho    1 và  2 , A   . Khi đó  ổn
định bởi G nên g * A  A, g  G . Suy ra g * A  A hoặc g * A A   .
(  )Giả sử g * A  A hoặc g * A  A   , với g  G . Khi đó ta có thể
xây dựng một phân họach của X như sau   { A, g1 * A, g 2 * A, g3 * A,}
Dễ thấy  không phải là phân hoạch tầm thường, hơn nữa  ổn định bởi
G nên theo định nghĩa thì tác động của G lên tập X không phải là tác động
nguyên thủy. Suy ra điều phải chứng minh.

17


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú

2.3.3.5. Mệnh đề. Cho tác động bắc cầu của nhóm G lên tập X. Tập A  X là
tập hợp thỏa (i) và A  2, A  X . Khi đó, với mọi x  A thì
GX  GA  G , GX  GA  G .

Chứng minh. Với mọi x  A ta có G X  G A , thật vậy
Giả sử g  Gx  g * x  x  g * A  A    G * A  A  g  GA
Vậy G X  G A . Ta chứng minh GX  GA
Theo giả thiết thì A  2 nên ta có thể chọn phần tử y  A và y  x . Vì tác
động của G là bắc cầu nên tồn tại g  G sao cho y  g * x . Theo cách chọn y thì:
y  g*x  x
 g  Gx




 y  g * x  A  g * A  g  GA

Vậy GX  GA . (1)
Bây giờ ta chọn y '  A . Do tác động của G lên tập X là tác động bắc cầu
nên sẽ tồn tại g '  G sao cho y '  g'* x . Theo cách chọn của y’ thì:

 y '  g'* x  A  G* A  g '  G A


g
'

G

 g 'G

Suy ra GA  G, (2)
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
2.4. Nhóm con Sylow.
Trong phần này ta sẽ sử dụng lý thuyết về tác động nhóm lên tập hợp để
chứng minh định lý có rất nhiếu ứng dụng là định lý Sylow.
Từ định lý Lagrange nếu H  G G hữu hạn thì H là ước của G
2.4.1. Định nghĩa. Giả sử p là một số nguyên tố.
Nhóm H được gọi là p- nhóm nếu cấp của nó là một lũy thừa của p
Nhóm H được gọi là p- nhóm con của G nếu H  G , H là p- nhóm
Nhóm H được gọi là p- nhóm con Sylow của G nếu H là p- nhóm con của
G và H  p n là lũy thừa cao nhất của p chia hết cho G

18


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
2.4.2. Ví dụ

SVTH: Huỳnh Minh Tú

i) Nếu p là số nguyên tố thì nhóm cộng Z p k là một p- nhóm, k  .
Trong nhóm cấp 100, các nhóm con cấp 5 và cấp 25 là các 5- nhóm con. Trong
đó các nhóm con cấp 25 là các 5- nhóm con Sylow
ii) Cho G là nhóm cấp 35, gọi P và Q lần lược là 7- nhóm con Sylow và 5nhóm con Sylow của G, khi đó P, Q có cấp lần lượt là 7 và 5
2.4.3. Định lý. Giả sử G là nhóm hữu hạn, p là số nguyên tố chia hết G . Khi đó
tồn tại p- nhóm con Sylow của G
2.4.4. Bổ đề. Giả sử G là nhóm aben hữu hạn cấp m và p là số nguyên tố chia
hết m. Khi đó G chứa 1 nhóm con cấp p.
2.4.5. Định lý Sylow. Cho p là số nguyên tố, G là nhóm hữu hạn và |G| = pnm,
với (m,p) = 1. Khi đó:

i) Với mọi 1  k  n thì tồn tại trong G một p- nhóm con cấp p k . Nói
riêng tồn tại trong G các p- nhóm con Sylow.
ii) Mọi p- nhóm con H của G đều nằm trong một p- nhóm con Sylow
nào đó.
iii) Tất cả các p- nhóm con Sylow của G đều liên hợp với nhau.
r\m

iv) Nếu r là số các p- nhóm con Sylow của G thì 
.
r  1 mod p 

2.4.6. Hệ quả
i) Nếu p là số nguyên tố chia hết cấp của nhóm hữu hạn G thì trong G sẽ
tồn tại phần tử cấp p.
ii) Một p- nhóm con Sylow H của nhóm hữu hạn G là nhóm con chuẩn tắc
của G khi và chỉ khi H là p- nhóm con Sylow duy nhất của G.

19


GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

Chương 3. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 3.1. Cho G là nhóm đơn và có nhóm con H có chỉ số n trong G.
Chứng minh rằng G là nhóm hữu hạn và |G|| n!.
Giải.
Đặt X  xH x  G . Khi đó X  G : H  n . Với mỗi g  G ta xét
g:X X

tương ứng:
xH

g  xH   gxH .

Ta dễ dàng kiểm tra được g là một song ánh. Suy ra g  S X
Xét đồng cấu

f : G  SX
g

Ta có Kerf

g

G. Theo giả thiết thì G là nhóm đơn nên suy ra được

Kerf={1} hoặc Kerf = G.
Nếu Kerf = G thì g  1X g  G . Suy ra gH = H, g  G  x  G,

g  G  G  H . Điều này mâu thuẫn vì theo giả thiết thì [G:H] = n > 1. Vậy
Kerf = {1} hay f là đơn cấu.
Suy ra G  f  G   S X . Suy ra |G|| n!.
Bài 3.2. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp p n (n > 1) và cấp pq với p  q
đều không là nhóm đơn.
Giải.
Lấy G là nhóm có cấp p n (n > 1). Giả sử G là nhóm đơn. Theo định lý
Sylow thì tồn tại p- nhóm con H của G có cấp p n 1 . Khi đó [G: H] = p > 1. Theo
bài 1 thì |G| | p! hay pn | p!. Điều này vô lý với p > 1.

Lấy G là nhóm có cấp pq với p, q là các số nguyên tố khác nhau. Không
mất tính tổng quát ta giả sử p < q.
Gọi nq là số các q- nhóm con Sylow của G. Theo định lý Sylow ta có:
nq | p

Suy ra n p  1

n

1
mod
q


p


20


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
Gọi H là q- nhóm con Sylow duy nhất của G. Theo hệ quả 2.4.6 thì H là
nhóm con chuẩn tắc thực sự của G. Do đó G không là nhóm đơn.(đpcm)
Bài 3.3. Chứng minh rằng nhóm cấp p2 q không là nhóm đơn, với p, q là
hai số nguyên tố khác nhau.
Giải.
Lấy G là nhóm có cấp p2 q . Giả sử G là nhóm đơn. Gợi n p , nq lần lượt là số
các p- nhóm con Sylow và q nhóm con Sylow của G. Nếu np hoặc nq bằng 1 thì
ta có điều phải chứng minh.

Xét trường hợp n p , nq lớn hơn 1. Khi đó theo định lý Sylow ta có:
np | q

n p  q



n p  1 mod p   q  p

và

nq | q 2

 nq  p 2

nq  1 mod q 

Nếu Q1 và Q2 đều có cấp q và Q1  Q2 thì Q1  Q2  1 . Suy ra số phần tử
của G có cấp q là p 2  q  1  p 2 q  p 2 . Suy ra số phần tử của G không có cấp q
là p 2 . Do đó np = 1 mâu thuẫn. Vậy G không là nhóm đơn. (đpcm)
Bài 3.4.Chứng minh rằng nhóm cấp pqr không là nhóm đơn, với p, q, r là
các số nguyên tố đôi một khác nhau.
Giải.
Lấy G là nhóm cấp pqr, giả sử G là nhóm đơn. Không mất tính tổng quát
ta giả sử p < q < r. Gọi n p , nq , nr lần lượt là số các p- nhóm con Sylow, q- nhóm
con Sylow, r- nhóm con Sylow của G. Tương tự ta cũng xét trường hợp
n p , nq , nr đều lớn hơn 1.

Theo định lý Sylow ta có:
 nr | pq

 nr  pq

nr  q (mod r )
n p | pr

nq  pr

 nq  r và

n p  1 mod q   nq  r
n p | qr

n p  qr

 np  q

n

1
mod
p
n

q


 p
 p

21

GVHD: Th.S Võ Văn Minh
Suy ra: Số phần tử cấp r là pq( r – 1)

SVTH: Huỳnh Minh Tú

Số phần tử cấp q ít nhất là r( q – 1)
Số phần tử cấp p ít nhất là q( p – 1)
Vậy số phần tử của G ít nhất phải là:
pq( r – 1) + r( q – 1) + q( p – 1) = pqr + ( r – 1)( q – 1) – 1 > pqr.
Điều này mâu thuẫn với giả thiết |G| = pqr.
Vậy G không là nhóm đơn.(đpcm)
Bài 3.5. Chứng minh rằng mọi nhóm cấp 24, 36 đều không là nhóm đơn.
Giải.
Lấy G là nhóm cấp 24  233 . Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n2 , n3 lần lượt là
số các 2- nhóm con Sylow và 3- nhóm con Sylow của G, n2 và n3 đều lớn hơn 1.
Theo định lý Sylow ta có:
n3 | 4

 n2  4

n

1
mod
3


3



Gọi K là một 3 – nhóm con Sylow của G. Khi đó: G : NG  K   n3  4
Cũng theo bài 1 thì |G| | 4! ( vô lí). Vậy G không là nhóm đơn.(đpcm)
Bài 3.6. Chứng minh rằng nhóm cấp 56 không là nhóm đơn.
Giải.
Lấy G là nhóm cấp 56  237 . Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n2 , n7 lần lượt là số
các 2 – nhóm con Sylow và 7– nhóm con Sylow của G, n2 và n7 đều lớn hơn 1.
Theo định lý Sylow ta có:
n7 | 8

 n7  8

n

1
mod
7


 7

Suy ra : Số phần tử cấp 7 là 8( 7 – 1) = 48
Số phần tử cấp khác 7 là 56  48  8  23.
Suy ra n2  1 ( mâu thuẫn với n2  1 ). Vậy G không là nhóm đơn. (đpcm)
Bài 3.7. Chứng minh rằng nhóm cấp 72, 80, 96, 108, 150, 154, 160 đều
không là nhóm đơn.
Giải.
22

GVHD: Th.S Võ Văn Minh

SVTH: Huỳnh Minh Tú

* Lấy G là nhóm cấp 72  2332 . Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n3 là số các
3 – nhóm con Sylow của G, n3  1 .
Theo định lý Sylow ta có:
n3 | 8

 n3  4.

n3  1 mod 3

Gọi H là một 3– nhóm con Sylow của G. Khi đó: G : NG  H   n3  4
Theo bài 1 thì |G| | 4! ( vô lí). Vậy G không là nhóm đơn.
* Lấy G là nhóm cấp 80  245 . Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n2 , n5 lần lượt
là số các 2 – nhóm con Sylow và 5 – nhóm con Sylow của G, n2 và n5 đều lớn
hơn 1.
Theo định lý Sylow ta có:
n5 |16

 n5  16

n

1
mod
5



5


Suy ra: Số phần tử cấp 5 của G là 16( 5 – 1) = 64
Số phần tử cấp khác 5 là 80  245 .
Suy ra n2  1 . Điều này mâu thuẫn với n2  1 . Vậy G không là nhóm đơn.
* Lấy G là nhóm cấp 96  253 . Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n2 là số các
2– nhóm con Sylow của G, n2  1 . Theo định lý Sylow thì:
n2 | 3

 n2  3

n2  1 mod 2 

Gọi H là một 2 – nhóm con Sylow của G. Khi đó: G : NG  H   n2  3.
Theo bài 1 thì |G| = 96 | 3! ( vô lí).
Vậy G không là nhóm đơn.
Tương tự ta cũng có nhóm cấp 108, 150 và 160 đều không là nhóm đơn.
* Lấy G là nhóm cấp 154 = 2.7.11. Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n11 là số
các 11 – nhóm con Sylow của G. Khi đó theo định lý Sylow thì:
n11 |14

 n11  1 . Vậy G chỉ có duy nhất một 11 – nhóm con Sylow.

n

1
mod11



 11

23


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
SVTH: Huỳnh Minh Tú
Theo hệ quả 2.4.6 thì G có nhóm con chuẩn tắc thật sự. Điều này mâu thuẫn với
giả thiết G là nhóm đơn. Vậy G không là nhóm đơn.(đpcm)
Bài 3.8. Chứng minh rằng nhóm cấp 132 không là nhóm đơn.
Giải.
Lấy G là nhóm cấp 132  223.11. Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n2 , n3 , n11 lần
lượt là số các 2– nhóm con Sylow, 3– nhóm con Sylow và 11– nhóm con Sylow
của G. Ta cũng xét trường hợp n2 , n3 , n11 đều lớn hơn 1.
Theo định lý Sylow thì:
n11 |12

 n11  12

n

1
mod11


11


Suy ra: Số phần tử cấp 11 là 12( 11 – 1) = 120

Số phần tử cấp khác 11 là 132 – 120 = 12
Mặt khác:

n3 | 44

 n3  4 hoặc n3  22

n3  1 mod 3

Nếu n3  22 thì số phần tử cấp 3 là 22( 3 – 1) = 44 > 12. Vậy n3  4 . Suy ra
số phần tử cấp 3 là 4(3–1)=8. Do đó số phần tử cấp khác 3 và 11 là
132 – 120  8  4  22 . Từ đó ta được n2  1. Điều này mâu thuẫn với n2  1.

Vậy G không là nhóm đơn.(đpcm)
Bài 3.9. Chứng minh rằng nhóm cấp 144 không là nhóm đơn.
Giải.
Lấy G là nhóm cấp144  2432 . Giả sử G là nhóm đơn. Gọi n2 , n3 lần lượt
là số các 2 – nhóm con Sylow và 3 – nhóm con Sylow của G, n2 , n3 đều lớn hơn 1.
Theo định lý Sylow ta có.
n3 |16

 n3  16 hoặc n3  4 .

n

1
mod
3



 3

Nếu n3  4 . Gọi H là một 3 – nhóm con Sylow của G. Khi đó:
[G : NG  H ]  n3  4.

Theo bài 1 thì |G| = 144 | 4! ( vô lí).
24


GVHD: Th.S Võ Văn Minh
Nếu n3  16 thì ta xét các trường hợp sau:

SVTH: Huỳnh Minh Tú

a) Hai 3– nhóm con Sylow bất kì giao nhau bằng {1}. Khi đó số phần tử
có cấp là 3 hoặc 9 là 16( 9 – 1) = 128. Suy ra số phần tử có cấp khác 3 và khác 9
là 144 – 128 = 16. Vậy ta phải có n2  1 . Mâu thuẫn với n2  1 .
b) Tồn tại hai 3 – nhóm con Sylow P và Q sao cho P  Q  T , với |T| = 3.
Khi đó ta có:
Q  P  32 . Ta có P và Q là các nhóm Abel. Do mọi nhóm con của nhóm

Abel đều là nhóm con chuẩn tắc nên T

Q và T

P . Ta có P, Q là nhóm con

của NG T  suy ra NG T   18 vì nếu NG T   9 thì P  NG T   Q , trái với giả
thiết P  Q . Ta lại có NG T  là nhóm con của G nên | NG T  ||| G | 144.
Vậy NG T  18,36,72,144 .

Nếu NG T   18  2.32 . Ta chứng minh được NG T  chỉ có duy nhất
một 3-nhóm con Sylow. Điều này mâu thuẫn vì P và Q là 2 nhóm con Sylow
phân biệt của NG T  .
Nếu NG T   36  2232 thì G : NG T   4 . Theo bài 1 thì |G| | 4!. Vô lí.
Nếu NG T   72  2332 thì G : NG T   2 . Theo bài 1 thì |G| = 144 | 2!.
Vô lí.
Nếu NG T   144 thì NG T   G . Khi đó H là nhóm con chuẩn tắc thật
sự của NG T  cũng là nhóm con chuẩn tắc thật sự của G. Mâu thuẫn với G là
nhóm đơn.
Vậy G không là nhóm đơn.(đpcm)
Bài 3.10. Tìm tất cả các 2- nhóm con Sylow của nhóm S 4 .
Giải.
Gọi P là một 2 – nhóm con Sylow của nhóm S 4 . Do S4  4!  24  23.3
nên P  23  8 . Ta chọn P = < (1, 2, 3, 4), (1, 4)(2, 3)>. Các 2 – nhóm con
Sylow còn lại đều liên hợp với P. Gọi n2 là số các 2 – nhóm con Sylow của S 4 .
Theo định lý Sylow thì:
25