Chương IV. §8. Cộng, trừ đa thức một biến

Cho hai đa thức:

P(x) = 2x 4 − 3x 3 + 2x 2 +x - 1
Q(x) = - 5x 3 -2x 2 + 4

Hãy tính: a) P(x) + Q(x) ; b) P(x) – Q(x)
Giải
a) Thực hiện theo cách cộng đa thức đã học
P(x) + Q(x) = (2x4 - 3x3 + 2x2 + x -1) + (- 5x3- 2x2 + 4)
= 2x4 - 3x3 + 2x2 + x -1 - 5x3- 2x2 + 4
= 2x4 - 8x3 + x + 3
b) Thực hiện theo cách trừ đa thức đã học
P(x) - Q(x) = (2x4 - 3x3 + 2x2 + x -1) - (- 5x3- 2x2 + 4)
= 2x4 - 3x3 + 2x2 + x -1 + 5x3 + 2x2 - 4
= 2x4 + 2x3 + 4x2 + x - 5



Ví dụ: Cho hai đa thức:
P(x) = 2x 4 − 3x 3 + 2x 2 +x - 1
Q(x) = - 5x 3 -2x 2 + 4

Hãy tính tổng của P(x) + Q(x)
Giải
Cách 1: Thực hiện theo cách cộng đa thức đã học
P(x) + Q(x) = (2x4 - 3x3 + 2x2 + x -1) + (- 5x3- 2x2 +4)
= 2x4 - 8x3 + x +3


Ví dụ: Cho hai đa thức:

P(x) = 2x 4 − 3x 3 + 2x 2 +x - 1
Q(x) = - 5x 3 -2x 2 + 4

Hãy tính tổng của P(x) + Q(x)
Giải
Cách 2: Cộng hai đa thức theo cột dọc
- Sắp xếp hai đa thức theo chiều tăng(hoặc giảm của biến).
- Đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).
P(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 + x - 1
+
Q(x) =
- 5x3 - 2x2
+4
P(x) + Q(x) = 2x4 - 8x3

+ x+ 3



Ví dụ: Cho hai đa thức:
P(x) = 2x 4 − 3x 3 + 2x 2 +x - 1
Q(x) = - 5x 3 -2x 2 + 4

Hãy tính P(x) - Q(x)
Giải
Cách 1: Thực hiện theo cách trừ đa thức đã học
P(x) - Q(x) = (2x4 - 3x3 + 2x2 + x -1) - (- 5x3- 2x2 +4)
= 2x4 + 2x3 + 4x2 + x - 5
Cách 2: Trừ hai đa thức theo cột dọc
P(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 + x - 1

Q(x) =
- 5x3 - 2x2
+4
P(x) - Q(x) = 2x4 +2x3 + 4x2 + x - 5


Ví dụ: Cho hai đa thức:
P(x) = 2x 4 − 3x 3 + 2x 2 +x - 1
Q(x) = - 5x 3 -2x 2 + 4

Hãy tính P(x) - Q(x)
Giải
* Dựa vào phép trừ số nguyên a – b = a + (- b)
* Tương tự: P(x) - Q(x) = P(x) + [– Q(x)]
Q(x) = - 5x3 - 2x2+ 4. Ta có: – Q(x) = 5x3 + 2x2 - 4
Cách 2: Trừ hai đa thức theo cột dọc ( cách khác)
+

P(x) = 2x4 - 3x3 + 2x2 + x - 1
[– Q(x)] =

5x3 + 2x2

-4

P(x) + [-Q(x)] = 2x4 +2x3 + 4x2 + x - 5


Để cộng hoặc trừ hai đa thức một biến,ta có thể thực
hiện theo một trong hai cách sau:

► Chú ý:

Cách 1: Thực hiện theo cách cộng,trừ đa thức đã học
Cách 2: Sắp xếp các hạng tử của hai đa thức cùng theo
lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến,rồi đặt phép tính theo
cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn
thức đồng dạng ở cùng một cột).
Chú ý: Việc cộng, trừ nhiều đa thức một biến được thực
hiện tương tự như cộng, trừ hai đa thức một biến.


?1

Cho hai đa thức: M(x) = x 4 +5x 3 - x 2 + x - 0,5
N(x) = 3x 4 - 5x 2 - x - 2,5

Hãy tính: M(x) + N(x) và M(x) – N(x)

+

M(x) =

Giải
x4 + 5x3 – x2 + x – 0,5

N(x) = 3x4

– 5x2 - x – 2,5

M(x) + N(x) = 4x4 + 5x3 – 6x2

-

–3

M(x) = x4 + 5x3 – x2 + x – 0,5
N(x) = 3x4

– 5x2 - x – 2,5

M(x) - N(x) = -2x4 + 5x3+ 4x2 + 2x + 2


Bài tập 1: Cho các đa thức
P(x) = 2x 4 - x - 2x 3 + 1
Q(x) = 5x 2 - x 3 + 4x
H(x) = -2x 4 + x 2 + 5

Cách 1:

Tính P(x) + Q(x) – H(x)
Giải

P(x) + Q(x) – H(x) =
= (2x 4 - x - 2x 3 + 1) + (5 x 2 − x 3 + 4 x) − ( −2 x 4 + x 2 + 5)
= 2x 4 - x - 2x 3 + 1 + 5 x 2 − x3 + 4 x + 2 x 4 − x 2 − 5
= 4x 4 - 3x 3 + 4 x 2 + 3x − 4


Bài tập 1: Cho các đa thức

P(x) = 2x 4 - x - 2x 3 + 1
Q(x) = 5x 2 - x 3 + 4x
H(x) = -2x 4 + x 2 + 5
Tính P(x) + Q(x) – H(x)
Giải
H(x) = -2x 4 + x 2 + 5 => − H(x) = 2x 4 - x 2 − 5
Cách 2:
+

P(x) = 2x 4 - 2x 3
- x +1
Q(x) =
- x 3 + 5x 2 + 4x
[-H(x)] = 2x 4
− x2
−5

P(x)+ Q(x)+[- H(x)]= 4x4 -3x3 + 4x2 + 3x - 4


1
Bài tập 2: Cho đa thức P(x) = x - 3x + − x
2
Tìm các đa thức Q(x), R(x) sao cho:
4

2

a) P(x) + Q(x) = x 5 - 2x 2 + 1
b) P(x) − R(x) = x 3

Giải
a) P(x) + Q(x) = x 5 - 2x 2 + 1
Suy ra: Q(x) = (x 5 - 2x 2 + 1) − P(x)
1


= (x 5 - 2x 2 + 1) −  x 4 − 3 x 2 + − x ÷
2


1
5
2
4
2
= x - 2x + 1 − x + 3 x − + x
2
1
5
4
2
=x −x + x + x+
2


1
Bài tập 2: Cho đa thức P(x) = x - 3x + − x
2
Tìm các đa thức Q(x), R(x) sao cho:
4

2

a) P(x) + Q(x) = x 5 - 2x 2 + 1
b) P(x) − R(x) = x 3
Giải
b) P(x) − R(x) = x 3
Suy ra: R(x) = P(x) - x 3
1
 4

2
=  x − 3 x + − x ÷− x 3
2


1
4
2
= x − 3x + − x − x 3
2
1
4
3
2
= x − x − 3x − x +
2


Làm các bài tập số: 44,46,48,50,52/ SGK

 Khi thu gọn cần đồng thời sắp xếp đa thức theo cùng một
thứ tự.
 Khi cộng,trừ đơn thức đồng dạng chỉ cộng, trừ các hệ số,
phần biến giữ nguyên.
 Khi lấy đa thức đối của một đa thức phải lấy đối tất cả
các hạng tử của đa thức.