hsg toan 6 2014-2015

THI HC SINH GII TRNG NM HC 2014-2015
MễN THI: TON 6.

(Thi gian lm bi 120 phỳt)
Bài 1:(5 điểm)
1. Tìm số tự nhiên a, b sao cho : (a + b)3 = aba
2. Tìm tổng sau: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 2014.2015
Bài 2:(5 điểm)
1. Tìm x, biết:

2
2
2
2
202
+ +
+ ... +
=
40 88 154
x( x + 3) 1540

2. Chứng minh rằng:

405n + 2405 + m 2 không chia hết cho 10

Bài 3: ( 3 điểm)
Chứng minh rằng hai số 2n + 1 và 6n + 5 nguyên tố cùng nhau ( n N )
Bài 4:( 3 điểm)
Tìm các số tự nhiên n có hai chữ số, biết rằng hai số 2n + 1 và 3n + 1 đồng thời
là hai số chính phơng.
Bài 5: (2 điểm)Chứng minh rằng:

1
1
1
1
>
+
+ ... +
1000 1001
2000 2

Bài 6: (2 điểm)
Cho các tia OB, OC nằm trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia OA. Gọi
OM là tia phân giác của góc BOC. Tính góc AOM, biết rằng AOB = 1000 , AOC = 600 .

Hớng dẫn chấm
Câu
1

Nội dung
100 aba 999

1. Ta có: 100 (a + b)3 999
5 a+b 9

Xét các trờng hơp của a + b và có a= 3, b = 4 thoả mãn
2. ta có 3A = 3.( 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 2014.2015)


2

= 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 +...+ 2008.2009.3
= 1.2.3 + 2.3.(4 -1) + 3.4.(5 - 2) +...+ 2014.2015.(2016- 2013)
Khai triển rồi dùng khử liên tiếp, ta đợc:
3A = 2014.2015.2016
Suy ra A = 2014.2015.2016:3 = 2014.2015.672=...
2
2
2
2
202
+ +
+ ... +
=
40 88 154
x( x + 3) 1540
1
1
1
1
101
+
+
+ ... +
) = 2.
2.(
5.8 8.11 11.14
x( x + 3)
1540
1
1

1
1
101
+
+
+ ... +
)=
Suy ra:
5.8 8.11 11.14
x( x + 3) 1540
3
3
3
3
303
+
+
+ ... +
)=

5.8 8.11 11.14
x( x + 3) 1540

1. Ta có:

Sử dụng phơng pháp khử liên tiếp ta đợc
1
1
303
x =305

=
5 x + 3 1540
2. ta thấy 405n có tận cùng là 5

3

2405 = 2404.2 có chữ số tận cùng là 2
Mà m2 không có chữ số tận cùng là 3( Vì m2 là số chính phơng)
Suy ra 405n + 2405 + m 2 không chia hết cho 10
Giả sử d = ƯCLN( 2n + 1, 6n + 5) 2n + 1Md ;6n = 5Md
2n + 1Md 3.(2n + 1)Md 6n + 3Md (6n + 5) (6n + 3) Md 2Md

4

5

Do đó d = 1 hoặc d = 2
Vì 2n + 1 là số lẻ nên 2n + 1 không chia hết cho 2
Vậy d = 1
Suy ra 2n + 1 và 6n +5 nguyên tố cùng nhau
Ta có 10 n < 100 nên 21 2n + 1 < 201
Mặt khác 2n +1 là số chính phơng lẻ , do vậy 2n + 1 chỉ có thể là 25; 49; 81; 121;
169. từ đó n chỉ có thể nhận các giá trị tơng ứng 12; 24; 40; 60; 84
3n + 1 chỉ có thể nhận các giá trị 37; 73; 121; 181; 253.
Trong các số này chỉ có 121 = 112 là số chính phơng.
Từ đó 3n + 1= 121 Suy ra n = 40
Ta có

1

1
1
1
1
+
+ .... +
>
.1000 =
100 1001
2000 2000
2

6
Lần lợt tính

Suy ra

BOC = 400 , COM = 200
AOM = AOC + COM = 600 + 200 = 800

1
1
1
1
+
+ .... +
>
100 1001
2000 2