Tích phân cơ bản luyện thi Quốc gia

Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

Thầy viết chun đề NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG này với mong muốn
các em có tinh thần học tập tốt. Với phương châm: “Tự học là cách tốt nhất để khơng qn”. Hy
vọng nhiều em sẽ được điểm tối đa trong bài tích phân của các kỳ thi tốt nghiệp và đại học.
NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I/ NGUN HÀM
Cơ sở lí thuyết:
1. F '( x)  f ( x) x  K  F ( x) là nguyên hàm của f ( x) trên K.
2. Nếu F ( x) là nguyên hàm của f ( x) trên K thì F ( x)  C ( C là hằng số) cũng là nguyên hàm
của f ( x) .
Khi đó F ( x)  C được gọi là họ nguyên hàm của f ( x) trên K. Kí hiệu:
Ta có mối quan hệ sau:

 f ( x)dx  F ( x)  C

 f ( x)dx  F ( x)  C  F '( x)  f ( x)  dF ( x)  f ( x)dx

3. Tính chất nguyên hàm:
a)  f '( x)dx  f ( x)  C

b)  k. f ( x)dx  k. f ( x)dx  C

c)  [ f ( x)  g ( x)]dx  f ( x)dx   g ( x)dx

d) Nếu

 f (u)  F (u)  C

thì

1

 f (ax  b)dx  a F (ax  b)  C

Chú ý: Một hàm số có vơ số ngun hàm, tất cả các ngun hàm của hàm số sai khác nhau một
hằng số. Nghĩa là nếu F(x) là một ngun hàm của hàm số f(x) thì F(x) + C cũng là một ngun
hàm của hàm số f(x), với C là một hằng số.
4. Bảng nguyên hàm

 dx  x  C

 kdx  kx  C

x1
 x dx    1  C    1

1  ax  b 
ax

b
dx




a  1





dx
 ln x  C
x

 e dx  e
x

x

C



dx

1

 C    1,a  0 

1

 ax  b  a ln ax  b  C  a  0 
e

ax  b

1
dx  eax  b  C
a

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

1


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

1

ax
 a dx  lna  C

 cos  ax  b dx  a sin  ax  b   C

 cosxdx  sin x  C

 sin  ax  b  dx   a cos  ax  b   C

x

1

 sin xdx   cos x  C
2

x

dx

 sin

2

1

2

dx

 cos

dx

 cos  ax  b  a tg  ax  b  C

x

 tgx  C

dx

1

 sin  ax  b   a cotg  ax  b  C
2

 cotgx  C

1

 tan  ax  b  dx   a ln cos  ax  b   C

 tan xdx   ln cos x  C

1

 cot  ax  b  dx  a ln sin  ax  b   C

 cot xdx  ln sin x  C

Dạng 1. Tìm nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm
Bài 1. Dùng các công thức cơ bản tính các nguyên hàm sau
2 x4  3
1/ 
dx
x2

5/

( x  1)2
 x dx

9/  tan 2 xdx

2/



x 1
dx
x3

6/  2sin3xcos2xdx
10/

  tanx

– cotx  dx
2

3/  ( x  3 x )dx

4/  ( 3 x2 

7/  e x (1  xe x )dx

8/

11/  ex (2 

e x
)dx

cos2 x

1
)dx
x

2e2 x  x2e x
 ex dx

12/



2x 1
dx
x

Bài ngun hàm có chứa

thì chúng ta chú ý tới cơng thức
, tương tự đối với
dx
1
. Sau đó chúng ta dùng cơng thức ngun hàm  2
  cotg  ax  b   C và dùng cơng
sin  ax  b 
a
dx
1
thức ngun hàm 

 tg  ax  b   C
2
cos  ax  b  a

Bài 2. Tìm ngun hàm F(x) của hàm số f ( x)  sin x  2 x , biết F ( )  0
Bài 3. Tìm ngun hàm F(x) của hàm số f(x) = sin x  cos x , biết rằng F      ln2
sin x  cos x
 4

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

2


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

Hai bài tập trên chúng ta tìm ngun hàm giống như các bài 1, tuy nhiên ta cần phải tìm hằng số
C bằng cách sử dụng giả thiết F ( )  0 ở bài 2 và giả thiết F      ln2 ở bài 3.


4

Dạng 2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
Cơ sở lí thuyết:

∫ ( )

( )

∫ ( ( )) ( )

( )

Phương pháp đổi biến số này chúng ta sẽ dùng trong trường hợp nào??
Thơng thường các tích phân dạng tích, thương của một loại hàm. Chỉ có hàm logarit ( hàm logarit
Nepe) thì xuất hiện hai loại hàm khác nhau. Khi đổi biến và tính tích phân xong ta chuyển về ẩn
cũ.
Đặt t = u(x), sau đó chuyển về ngun hàm của hàm số với biến t.
Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau:
2/  5x

1/  (2 x  3)( x  3x  1) dx
2

2

5/  e x (3e x  1)3 dx

6/

3x 2  1
3/  3
dx
x x2

x  1dx

2

3

ex
 ex 1 dx

7/



e3

x

x



4x  2
x2  x

eln x
 x dx

8/

dx

4/

9/

dx

dx

 x ln

2

x

Bài 2. Tìm các nguyên hàm sau:
1/  x2  2  x3  dx

2/

 x.  x

4/  x5 . x3  2dx

5/

x

5

2

dx
 x5

dx
4
1



3/

x

xdx

6/

 x

 2  x2

9

dx
3

x

Bài 3. Tìm các nguyên hàm sau:

a) 

(sin x  cos x)dx
3
sin x  cos x

b) 

x3
dx
x2  1

c) 

sin 2 xdx
sin 2 x
sin x(cos x  1)  sin x
d )
( HD :
2
)
cos x  1
cos x  1
cos x  1
f ) cos5 xdx

g )

tan 4 x
dx

cos 2 x

h) 

dx
1  ex

e) 

dx
4sin x  2 sin 2 x  3cos 2 x
2

( HD :

1
ex 1  ex

)
ex  1
ex  1

ln ( x  a) x  a .( x  b) x b 

i)

( x  a)( x  b)

dx

cos 2 x
dx
(sin x  cos x)2

Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Cơ sở lí thuyết: Định lý:  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x)   v( x).u '( x)dx

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

3


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

Để chứng minh định lý này chúng ta sử dụng đạo hàm của một tích và (∫ ( )

)

( ) Các em hãy

thử tìm cách chứng minh xem.

Phương pháp:
-Biểu diễn f ( x)dx về dạng tích udv  u.v ' dx
+ Chọn u sao cho du dễ tính.
+ Chọn dv =v’.dx sao cho dễ tính v .

Việc tìm v khi đặt dv, chính là bài tốn tìm ngun hàm đơn giản

∫

.

+ Áp dụng công thức.
Loại 1:
sin(ax  b) 
cos(ax  b) 
 dx ( P( x) là đa thức)
Dạng  P( x). 
 tan(ax  b) 
 ax b

e


sin(ax  b) 
cos(ax  b) 
 dx
Đặt u  P( x), dv  
 tan(ax  b) 
 ax b

e


Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau:
a)  x.e x dx

b)  ( x 2  2 x  1)e x dx

f )  x 2 sin x dx

g )

xdx
sin 2 x

c)  x cos x dx
h) 

d )  x 2 cos x dx

xdx
cos 2 x

e)  x e3 x dx

i)  ( x 2  1)e x dx

Loại 2:
Dạng  P( x).ln xdx ( P( x) là đa thức)

Đặt u  ln x, dv  P( x)dx

Bài 1. Tìm các nguyên hàm sau:
a)  (2 x  1) ln x dx

b)  x 2 ln( x  1) dx

c) 

ln x
dx
x3

d )  (2 x  1) ln x dx

BÀI TẬP
Tìm các ngun hàm sau
a)  x.sin  x  2 dx
e)

x

 1  cos 2 xdx

i)  e x .ln 1  e x dx

ln x
dx
x

b)  x.e2 x1dx

c)



f)  x2 .sin 2 xdx

g)

 ln x

j)

2

d)  x.tan 2 xdx
dx

  x  sin x  .cos xdx

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

h)  x.ln 1  x2  dx
k)

 e

x

 sin x  .sin xdx

Daretowin

4

Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

l)

x  sin x
dx
cos 2 x



m)

x.cos x
dx
2
x

 sin

n)

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

x

 sin

2

x

dx

* Tuy nhiên, các em ghi nhớ rằng trong 2 loại trên chúng ta đặt :
{
Việc tìm v khi đặt dv, chính là bài tốn tìm ngun hàm đơn giản

∫

.

MỘT SỐ DẠNG NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP

A. NGUYÊN HÀM HÀM HỮU TỈ
Dạng

Phương pháp:

P( x)

 Q( x) dx

 Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu:

Chú ý:

+ Phân tích:

1
1
 (ax  b) dx  a ln ax  b + C
1

u

n

du   u  n du 

P( x)
A
B
Cx  D


 2
2
Q( x ) x   ( x   )
ax  bx  c

1
+C
(n  1).u n  1

+ Đồng nhất 2 vế đẳng thức tìm A,B,C,D và đưa về t/phân
cơ bản.
 Nếu bậc tử lớn hơn mẫu thì chia đa thức và đưa về dạng
trên.

Nếu mẫu thức là một tam thức bậc 2 còn tử thức là hằng số thì chúng ta sẽ tính ( tìm ) ngun
hàm của hàm phân thức đó dựa vào số nghiệm của tam thức bậc hai. Cụ thể:
Nếu tam thức bậc hai có nghiệm kép thì bài tốn đơn giản;
Nếu tam thức bậc hai vơ nghiệm thì ta dùng hàm tan;
Nếu tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt thì chúng ta dùng đồng nhất thức.
Trong nhiều bài tốn tìm ngun hàm của hàm phân thức hữu tỷ ta có thể sử dụng cơng thức:
∫

( )
( )

| ( )|

( ). Cơng thức (*) các em thử chứng minh xem!

Bài 1: Tìm nguyên hàm sau
1/

dx
 x2  4 x  5

2/

x2
 x2  9 dx

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

3/

x4  2
 x3  xdx

Daretowin

5


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

x3
5/  2
dx
x  2x 1

dx
4/  2
x  4x  4

Bài 2: Cho hàm số f ( x) 

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

dx
6/  2
x 1

x3
7/  2

dx
x 9

sin x  3cos x
2sin x  cos x
 2cos x  sin x 

 2sin x  cos x 

a) Xác đònh các số A, B để f ( x)  A  B 
b) Tìm

sin x  3cos x

 2sin x  cos xdx

c) Tổng quát cho trường hợp

a sin x  b cos x

 c sin x  d cos xdx

B. NGUYÊN HÀM HÀM LƯNG GIÁC
Dạng

Phương pháp

1.

 f (sin x).cos xdx

Đổi biến t  sin x

2.

 f (cos x).sin xdx

Đổi biến t  cos x

3.

 f (tan x)dx

Đổi biến t  tan x

 f (sin

1  cos 2 x
 2
cos x 
2
Dùng công thức hạ bậc: 
sin 2 x  1  cos 2 x

2

4.

2n

x,cos2n x)dx

5.  sin ax.cos bx.dx

1
Dùng công thức sin A.cos B  sin  A  B   sin  A  B 
2

 sin ax.sin bx.dx

1
Dùng công thức sin A.sin B  cos  A  B   cos  A  B 
2

 cos ax.cos bx.dx

1
Dùng công thức cos A.cos B  cos  A  B   cos  A  B 
2

dx
 a cos x  b sin x

1  t2
x
2t
cos
x

Đổi biến: t  tan , thì sin x 

và
1  t2
2
1  t2

6.

BÀI TẬP
Tìm các ngun hàm

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

6


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

a)  sin 2 xdx

b)



1  cos 4 x
dx
2

e)  cos  sin x  .cos xdx

i)  cot xdx

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

c)  sin 2 x.cos xdx

f)  sin 2 x.cos4 xdx

j)  sin5 x.cos2 xdx

d)

g)

sin 3 x
 cos x. 3 cos x dx

l)

 sin x dx



sin x .cos xdx

h)  cos3 xdx

1

C. NGUYÊN HÀM HÀM VÔ TỈ

Dạng

Phương pháp

1.  f ( x, n

ax  b
).dx
cx  d

Đổi biến t  n

ax  b
, giải tìm x   (t ) . Tính dx theo dt
cx  d

2.  f ( x, a 2  x 2 ).dx

Đổi biến x  a.sin t hoặc x  a.cos t . Tính dx theo dt

3.  f ( x, x 2  a 2 ).dx

Đổi biến x 

dx
4.  2
hoặc
x  a2



a
a
hoặc x 
. Tính dx theo dt
sin t
cos t

Đổi biến x  a.tan t . Tính dx theo dt

dx
x2  a2

Chú ý: 1  tan 2  

1
cos2 

Dạng tìm ngun hàm của hàm số vơ tỷ các em để ý rằng việc đổi biến số là khác hơn so với đổi
biến số mà thầy đã viết dạng 2 ở trên. Ta đặt biến x theo biến t.
BÀI TẬP
Tìm các nguyên hàm sau:
a) 

f)



dx
x2 4  x2

3

cos x .sin xdx

b)

g)

3dx
(1  x 2 )5

 cos

2

c) 

x
x2  4

d )

dx
x 2 (2  x 2 )3

x 2 dx
e)
(1  x 2 )3

dx
x 1  tan x

*Một số dạng tích phân hàm hữu tỷ khác.
Các dạng tích phân sau đây tương đối khó đối với các em học lớp CƠ BẢN. Tuy nhiên nếu cố
gắng các em vẫn hiểu rõ được các dạng. Muốn thế các em đọc kỹ phương pháp và ví dụ, sau đó
làm các bài tập phía sau.

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

7


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

1. Dạng :  R[ x; n (ax  b) m ; n (ax  b) m ,...]dx đặt ax + b = ts trong đó s là BCNN(n1;n2;…)
1

2

1

2

dx
đăt : x  t 6  dx  6t 5 dt

3
x x
6t 5
t3
1
t3
t2
dt
Ví dụ: Tính: I   3 2 dt  6
dt  6 (t 2  t  1 
)dt  6  6.  6t  6
C
t 1
t 1
3
2
t 1
t t
 2t 3  3t 2  6t  6 ln | t  1 | C  2 x  33 x  66 x  6 ln | 6 x  1 | C
I 

dx



2. Dạng:

ax  bx  c
2

phân cơ bản:



dx

x
 arcsin  C;
a
a2  x2
dx

Ví dụ : I  



3. Dạng:

đưa tam thức bậc hai về dạng bình phương đúng rồi đưa về các tích



3x  2
2

Ax  B
ax 2  bx  c

1


3



dx
x2 

2
3



dx

 ln | x  x 2  k | C

x k
2

1
2
ln | x  x  | C
3
3

Ta tách tử số ra đạo hàm của mẫu trong căn và phân tích thành

dx;

tổng hai tích phân thuộc các dạng đã biết.

A
Ab
(2ax  b)  B 
2
Ax  B
dx
2a dx  A d (ax  bx  c)  ( B  Ab )
dx;   2a


2a
2a
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c



Ví dụ:
x2

I 

1 2x  5  4  5
1 d ( x 2  5 x  6) 9
dx
dx  
dx  

 
2
2
2
2
2
2
x  5x  6
x  5x  6
x  5x  6 2
x  5x  6



1
x 2  5x  6

4. Dạng:



 (x  k)

9
2

dx
5
25
(x  )2   6

2
4

dx
ax  bx  c
2



đặt x – k =

1

9
5
5
1
 ln | x   ( x  ) 2   C
2
2
4
x 2  5x  6 2
1
đưa tích phân này về dạng đã biết.
t

Ví dụ:
I 

dx

1
1
đăt : x   dx   2 dt;
t
t
x x2 1

I  

dt
1 t 2

  ln | t  t 2  1  C   ln |

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

1
1
 2  1 | C
x
x

Daretowin

8


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

5. Dạng:

Pn ( x)



ax 2  bx  c

Pn ( x)



ax 2  bx  c

Ví dụ: Tính:



Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

dx trong đó Pn(x) là đa thức bậc n. Sử dụng đồng nhất thức sau:

dx  Qn1 ( x) ax 2  bx  c  λ 
x 3  2 x 2  3x  4
x 2  2x  2

Sử dụng đồng nhất thức :



dx
ax 2  bx  c

dx

x 3  2 x 2  3x  4
x  2x  2
2

dx  (ax 2  bx  c) x 2  2 x  2  λ 

dx
x  2x  2
2

Lấy đạo hàm cả hai vế:
x 3  2 x 2  3x  4

 (2ax  b) x 2  2 x  2  (ax 2  bx  c)

x 1

x 2  2x  2
x 2  2x  2
 x 3  2 x 2  3x  4  (2ax  b)( x 2  2 x  2)  (ax 2  bx  c)( x  1)  λ

1
3

1

6

7
6

Đồng nhất hệ số ta có: a  ; b  ; c  ; λ 
Vậy:

λ

1
x 2  2x  2

5
2

x 3  2 x 2  3x  4
1 2 1
7
5
2
2
 x 2  2x  2 dx  ( 3 x  6 x  6 ) x  2x  2  2 ln | x  1  x  2x  2 | C

{

dx
x k
2

 ln | x  x 2  k | C }

6.Dạng:  x m (a  bx n ) p dx Trong đó m;n;p là các số hữu tỷ
+ Nếu p là số nguyên đặt x = ts , với s là BSCNN của các mẫu số các phân số m; n đưa được tích
phân về dạng tích phân hữu tỷ
+ Nếu

m 1
là số nguyên, đặt a + bxn = ts với s là mẫu số của p
n

+Nếu

m 1
 p là số nguyên. Đặt ax-n + b = ts, với s là mẫu số của p.
n

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

9


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

Ví dụ:
1

1
1
2
1 x
1 3
.I   3
dx   x (1  x ) dx; có : 3
 2  Z  Đăt : 1  x 3  t 2 ;
x dx  2tdt
1
3
x
3
2
1
1 1
t5
t3
6
I   x 3 .x 3 (1  x 3 ) 2 dx  3 (t 2  1)t.2tdt  6 (t 4  t 2 )dt  6  6  C 
(1  3 x ) 5  2 (1  3 x ) 3  C
5
3
5
1
3

3

1

3

1
2

Bài tập
1. I  
4).I  

7).I  
10).I  

1 x2  x2 1
x4 1
xn
1  x n2

2) I  

dx

xdx

8) I  

x x2
2

2 x  8x  1
2

( x 2  1) x 2  1

6).I  

xe arctanx
(1  x ) 1  x

11).I  

dx

13).I   x  x 2  3x  2dx

2

2

dx

dx
x

4

dx

3) I  

5).I   e x  1dx

dx

5x  3

dx

x 1
2

14).I   1  sin 2 x dx

3x 2  2
xdx
( x 2  1) x 2  1

9).I  

x 1
dx
x 1

12).I  

1 x
dx
x

0 x

π
2

D. NGUYÊN HÀM TRUY HỒI
Dạng

Phương pháp

I n   f (n; x)dx với

Tính I1 , I 2 . Lập công thức liên hệ giữa I n , I n1 . Suy ra I n

Nội dung này thầy khơng viết ở đây.

II/ TÍCH PHÂN
*Cơ sở lí thuyết
b

 f ( x)dx  F ( x)

b
a

 F (b)  F (a) với F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn [a;b]

a

a

*Chú ý:


a

f ( x)dx  0;

b


a

a

f ( x)dx   f ( x)dx
b

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

10


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

*Caùc tính chaát caàn nhôù
b

b

a

a

a) k. f ( x)dx  k. f ( x)dx

a

a

b

a

a

a

b) [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx

b

c

c

a

b

a

c) f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

b

*Dạng



f ( x) dx ta thực hiện các bước sau:

a

- Giải phương trình f(x) = 0 trên  a; b , giả sử có các nghiệm 1,2 (saocho1  2 )
b

- Khi đó


a

1

2

b

1

a

1

2

a

f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx 



f ( x)dx 

2



b

 f ( x)dx

f ( x)dx 

1

2

( Tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối ).
A. Dạng 1. Tính các tích phân sau
8

1

1.   x 4  1 dx


4

dx
10.  2
1 x x

0

3

13.  x 2  2 x dx

14.

2

x2
dx
x2  1

18.

4



11.  cos3x cos5 xdx
0

1

1  cos 2 xdx 15.  e2 x  2e x  1dx
1

4.

2

1

 2x  1 dx
0

2

8.  sin 2 2xdx
0


2

12.  sin 2 x sin 7 xdx



2


2

16.  1  sin xdx
0

x 2  6 x  9dx

2

2

dx
x2 





2

2

19. 


2

x
7.  cos dx
2
0
2


2

2

9.  tan 2 xdx

5



0

x
dx
5. 
0 x 1

0

0

x3  x 2  1
dx
6. 
1 x
3

1

1

3.  2 x  4dx

1

0

17. 

5

2.  3 xdx

x2

20.  ( x  1)( x  x  1)dx
1

ln

21.


0

3

.dx
e e
x

x

B. Dạng 2. Dùng phương pháp đổi biến số tính tích phân
*Loại 1. Đặt u = u(x)  du = u’(x).dx
x = a  u = u(a) và x = b  u = u(b)

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

11


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

b

u b

a

u a

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

 f u  x u '  x  dx    f u du

Khi đó

Phương pháp đổi biến số này chúng ta sẽ dùng trong trường hợp nào??
Thông thường các tích phân dạng tích, thương của một loại hàm. Đôi khi có hàm logarit ( hàm
logarit Nepe) và hàm mũ cơ số e thì xuất hiện hai loại hàm khác nhau. Phải nhớ rằng, khi đổi
biến ta phải đưa tích phân đã cho về hoàn toàn theo biến mới.
Các bài tập sau đây không khó, các em cố gắng làm hết 27 bài tập này.
Bài tập: Tính các tích phân
1

1.  (3x  2)5 dx
0

2  ln x
6. 
dx
x
1

1

x2
dx
2. 
3
2

x
0


3

3

4.  xe x dx
2

dx

0


3

13.  cos x sin xdx
3

0



2

5.  2 1  cos x .sinx dx
0


3

sin x
8.  3 dx
0 cos x

2

dx
12. 
 sin 2 x

e
11.  2 dx
0 cos x

1 x

0

dx
7. 
e x 1  ln x

tgx

1

2 x2

3. 

e2

e


4

1

9.  sin x e

1

cos x

10.  x 2 e x dx
3

dx

1

0


3

sin x
14.  3
dx
0 1  cos x

(1  ln x)2
dx
x
1
e

15. 

6

3



16. 

4
sin 3 x
6  2ln x
dx 17.  2 dx

x
0 cos x

e 3

1

1

21.

x

1

2

x 1
dx 22.
 2x  2

1

x
0

3

18.  sin2 x tan x dx
0

1

 x4  1 dx 23.  x2 1  x 2 dx
4

0

19. 

e 3

1

24.

0

1  ln x
dx
x

x

1

5x  4
dx
 x2

2

20. 

4

1

25.


4

ln x
dx
x
sin x  cos x

 sin x  cos x dx
0



26.

3

3
2
 x 1  x dx

2

27.



0

dx

 sin

4

x

4

b

*Loại 2. Tính

 f ( x)dx
a

Đặt x = u(t)  dx = u’(t).dt
x = a  a = u(t)  t = 
x = b  b = u(t)  t = 
b

Khi đó



 f ( x)dx   f (u(t ))u '(t )dt
a

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

12


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chun đề Ngun Hàm và Tích Phân

Lưu ý:
Dạng


1.  f ( x, n


Phương pháp

ax  b
).dx

cx  d

Đổi biến t  n

 
Đổi biến x  a.sin t với t    ;  hoặc x  a.cos t với
 2 2



2.  f ( x, a 2  x 2 ).dx

t 0;   . Tính dx theo dt



Đổi biến x 



3.  f ( x, x 2  a 2 ).dx

4. 


dx
hoặc
x  a2
2






a
a
 
với t   ;  \ 0 hoặc x 
với
sin t
cos t
 2 2

 
t  0;   \   . Tính dx theo dt
2





ax  b
, giải tìm x   (t ) . Tính dx theo dt
cx  d

 
Đổi biến x  a.tan t với t    ;  . Tính dx theo dt
 2 2

dx
x  a2
2

Chú ý: 1  tan 2  

1
cos2 

Bài tập: Tính các tích phân
1

1

1
dx
2
0 1 x

1. 
1

4. 
0

7. ∫

1
4  x2

2. 
0

1

x3
dx
8
0 1 x

1
dx
2
x  2x  4

3. 

( x 4  1)dx
x6  1
0

1

4

6. 

5.  4  x dx
2

dx

0

√ √

8. ∫

√ (

9. ∫

)

√

C. Dạng 3. Dùng phương pháp tích phân từng phần
b

b

b

b

Cơng thức tích phân từng phần:  u( x).v '( x)dx  u( x).v( x) a   v( x).u '( x)dx hoặc  udv  uv a   vdu
b

b

b

a

a

a

Lưu ý: Các em đọc lại phần phương pháp từng phần tìm ngun hàm.

Bài tập: Tính các tích phân
1

1)  x.e 3 x dx
0

2)





2

6

 ( x  1) cos xdx
0

3)

 (2  x) sin 3xdx
0

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014


2

4)  x. sin 2 xdx
0

Daretowin

13


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

e

e

 x ln xdx

5)

6)

1

2

 (x

9)

2

3

2
 (1  x ). ln x.dx

7)

1

 1).e .dx
x

ln x
13)  5 dx
1 x
e

17)  x ln2 xdx
1
2

ln(1  x)
dx
21) 
2
x
1


2

1

ln x
1 ( x  1)2 dx

12)

. cos x.dx

 (x

2

2

x

16)

0

0


3

20)  x(2 cos2 x  1)dx

0

23)  (x ln x)2 dx

26) ∫

27)  ( x  2)e 2 x dx

24)  cos x.ln(1  cos x)dx

1

0

0


2

e

22)  (x  1)2 e2x dx

xdx


4

19)  xsin x cos2 xdx

1

 sin
0



x  sin x
dx
18) 
2
0 cos x

 2 x). sin x.dx

0

15)  e sin xdx

14)  x cos xdx

e

25)

x

2

2

0

2

).dx



2

11)

2

0



0

2

 x. ln( 3  x

8)

1

 x. cos x.dx

1

1

 4 x. ln x.dx



10)

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

0

1

0

e



1

ln x
dx
1
x
e

28)  x ln(1  x 2 )dx

2

30)  ( x  cos3 x) sin xdx

29) 

0

0

3

2

32)  ln( x 2  x)dx

31)  (2 x  7) ln( x  1)dx

2

0

D. Một số dạng khác
Tính các tích phân
1.





4

4

cos x
0 sin x  cos xdx

2.



sin x
0 sin x  cos x dx

3

3.

tan x

dx

 tan x  cot x
6



4.




n

2

cos x
0 sin n x  cosn xdx

2

5.

n

sin x
0 sin n x  cosn xdx

2

6.  cos2 x.cos2 2 xdx
0


2

7.  sin 2 x.cos 2 2 xdx
0

III/ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành, các đường thẳng x = a, x
b

= b là S=  f ( x) dx
a

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

14


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

b

Để tính



f ( x) dx ta thực hiện các bước sau:

a

- Giải phương trình f(x) = 0 trên  a; b , giả sử có các nghiệm 1,2 (saocho 1  2 )
b

- Khi đó


a

1

2

b

1

2

b

a

1

2

a

1

2

f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx 

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx

*Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành ta giải phương
trình hoành độ giao điểm f(x) = 0, giả sử có các nghiệm a, b, c, d với a  b  c  d , khi đó
d

b

c

d

a

a

b

c

S   f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx  f ( x) dx 

b



f ( x)dx 

a

c



f ( x)dx 

b

d

 f (x)dx
c

2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), y = g(x), các đường thẳng x = a, x = b
b

là S=  f ( x)  g ( x) dx
a

b

Để tính S=  f ( x)  g ( x) dx làm tương tự trên.
a

*Lưu ý: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) và y = g(x) ta giải phương trình
hoành độ giao điểm f(x) - g(x) = 0, giả sử có các nghiệm a, b, c, d với a  b  c  d , khi đó
d

b

a

a

c

d

S   f ( x)  g ( x) dx  f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)  g ( x) dx
b

c

b

c

d

a

b

c

  [f ( x)  g ( x)]dx   [f ( x)  g ( x)]dx   [f ( x)  g ( x)]dx

3. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox,
b

các đường thẳng x = a, x = b xoay quanh trục Ox là V    f 2 ( x)dx
a

BÀI TẬP
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1, trục hoành, đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x, trục hoành, đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

15


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

e/ Đồ thị các hàm số sau y = xlnx, y =
f/ y 

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

x
và đường thẳng x =1
2

x2  x  2
, y  0, x  2, x  2
x3

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ y  x3  3x và trục Ox
b/ y  ln x, y  0, x  e
c/ y  x2  2x, y  x  2
d/ y  x2  4x  3 và các tiếp tuyến của nó tại các điểm M(0; - 3) và N(3; 0)
e/ y  2x , y  2, x  0
f/ y  sin x, y  cos x, x  0, x  
Bài 3. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau
quanh Ox
a/ y  x  1, y  0, x  4
b/ y  x  x2 , y  0
c/ y  cos x, y  0, x  0, x  
d/ y  x ln(1  x2 ), y  0, x  1
e/ y = ex ; y = e-x ; x = 1
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a. x=1; x=e; y=0 và y= 1  ln x

b. y=2x; y=3x và x=0

x

c. y=sin2xcos3x, trục Ox và x=0, x=  .
3

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=0, y=x32x2+4x3 (C) và tiếp tuyến với
đường cong (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.
Bài 6. Cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường y=tanx, x=0, x=/3, y=0.
a. Tính diện tích hình phẳng D.
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng D quay quanh trục Ox.
Bài 7. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong y2=x3 và y=0, x=1
khi nó quay quanh:
a)

Trục Ox.

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

16


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

b) Trục Oy.

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

17


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

Cuối cùng là những bài tập từ đơn giản đến nâng cao và một số bài tích phân trong các kỳ thi
đại học, nhiều bài hơi khó thầy có hướng dẫn giải hoặc có đáp số.
Tính các tích phân sau:
(

1. ∫

)

HD: Bài này chúng ta biến đổi và sử dụng công thức thông thường.
2. ∫ (
3. ∫

)
(

)

HD: Sử dụng đồng nhất thức.

4. Tính các tích phân đơn giản sau:
e
A=  2 x  5- 7 x dx
2

2

x

1

2

B=  x2 -1 dx

C=  2x ln 2dx

-2

0

5. Tính các tích phân sau:

e
4
B=  ln xdx

3

A=  e3 cos x sin xdx

1

0

C*=

x

2 3



5

dx
x x2  4

2

x
dx
x -1
1 1

D*= 

6. Tính các tích phân sau:

e

I=  sin(ln x) dx
x
1

J=

4

dx
 sin 2 x cot x

ln 5

K=

e

ln 3

x

dx
 2e x  3

6




2

2

sin 2 xdx

L= 

cos x  4 sin x
2

0

2

M=  2dx
1 x -9

N= 

B=

C=  16 - x 2 dx

2

sin 2 x
dx
2
2
0 (1  cos x)

7. Tính các tích phân sau:
1

dx

A= 

4 - x2

0

ln 2
x
D=  1- e x dx

1 e

0

3

dx
2
x 3


3

4

0

3
E=  2 2 dx
2

x 1

8. Tính các tích phân sau:
e2

ln x
dx
x
1

A= 
*

e

D =  cos(ln x)dx
1


B*=  x sin 2x dx
0

1  cos x

3x 4  2 x
E= 
dx
x3
1
2

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

2

C*=  ln2x dx
1 x
F 
*

x2  1
 4 dx
1 1  x
1

Daretowin

18

Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

9. Tính:




4

A=  cos xdx
0

ln x  1
dx
x
1
e

D= 

C=  xe x dx

0

0

2

G=  x 1  2 x 2 dx

F= 

4

1

2

B=  cos3 xdx

2

0

x

1

4

2

H=  x 1  2 xdx

I= 

0

1

2

x

e

E=  x ln xdx

dx

1

1

x
dx
x 1

x
dx
2
0 1 x

J= 

10. Tính các tích phân

√

A. ∫

√

HD: Dùng đổi biến số, đặt

√

. Đáp số: 0.





(cos x  sin x)dx
11. A. 
3  sin 2 x
0

3

4

(HD: §Æt t = cosx - sinx) B.

dx



 sin x. cos

3

x

(HD: §Æt t = tanx)

4



sin 2 x  sin x
dx HD: t  1  3cos x , phân tích tử bằng cách dùng công thức nhân đôi.
1

3
cos
x
0
2

12. A.


3

B.

xdx



1  x 2  (1  x 2 ) 3

0

ln 5

13. A.





B.

e 1
x

ln5

ln 2

4

e2 x dx

ln 2

14. A.

. HD: §Æt t  1  1  x 2

7

 1

x3dx
3

0

B.

ex 1

x

HD: t  3 x4  1

x2 1
2
1 x4  1 dx HD: chia tử, mẫu cho x .
2

e x dx

10  e 

x 1
4

Câu A, chúng ta sử dụng đổi biến số.
x2  3
1 x4  2x3  2x2  6x  9 dx
3

15. A.

B. ∫

√

(

√

)

HD: Tp tphần

Trong câu A chúng ta có thể chia tử và mẫu cho x2


2 3

16. A.



5

dx
x x2  4

2

HD: t  x  4
2

B.

 1  cos x dx HD:
3

4sin x

0





sin x  sin x.sin x  1  cos x .sin x
3

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

2

2

Daretowin

19


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

1

17. A.

1  ex

0

4

HD: t  1  e x  x  ln  t 2  1  dx  ...

dx



Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

B.

x
7

dx
x2  9

HD: t 

1
1
x
x
t


2

18. A.



1  2sin 2 x
dx
B. 
1  sin 2 x
0
4

x 2  x dx

0

HD: 1  2sin 2 x  cos 2 x , đặt t  1  sin 2 x

2

x
19. A. 
dx HD: t  x 1
x 1
1 1
3

20. A.

  cos
2

B.

(

22. A. ∫

. Đáp số:

)

√

23. A = ∫

B.

. Đáp số: 1.

)

(

x 2  e x  2 x 2e x
0 1  2ex dx
1

dx HD: u  3  ln x; dv  ...
2

1

21. A. ∫



x  1 cos 2 x.dx HD: tách thành 2 tích phân.

0

3  ln x

  x  1

3

HD: Đặt x = sint

√

√

24. A = ∫

HD: Đặt x =1/ sint

√

√

.

25. [B, 2005]. A = ∫
26.

∫ (

27.

∫

(

)
)

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

20


Ths. Bùi Anh Tuấn - Trường THPT Phan Đình Phùng

Chuyên đề Nguyên Hàm và Tích Phân

LỜI CUỐI
Thầy hy vọng tập tài liệu này sẽ giúp ích cho các em trong học tập chuyên đề tích phân, làm
động lực cho các em học các chuyên đề khác. Ghi nhớ rằng, khi đọc tài liệu các em phải kết hợp
với bài giảng trên lớp như thế sẽ hiệu quả hơn. Tài liệu này viết trong thời gian ngắn nên không
tránh những sai sót, các em cố gắng đọc và tìm những lỗi để góp ý cho thầy, với hy vọng tài liệu
được hoàn thiện hơn. Với trách nhiệm là một giáo viên, thầy cố gắng giải đáp những khó khăn
của các em trong quá trình đọc, học chuyên đề này. Chúc thành công!
Sông cầu, ngày 09 tháng 01 năm 2014

Tài liệu này dành tặng lớp 12a12 năm học 2013 - 2014

Daretowin

21