phương pháp cm bất đẳng thức

I.BẤT ĐẲNG THỨC CÔ - SI VÀ CÁC HỆ QUẢ
A.Một số ví dụ:
1. Chứnh minh :

(Với a , b ≥ 0) (BĐT Cô-si)
Giải:
( a - b ) = a - 2ab + b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 2ab .Đẳng thức xảy ra khi a = b

2. Chứng minh: . (Với a , b ≥ 0)

Giải:
( a+b ) = (a - 2ab + b )+ 4ab = (a-b) + 4ab ≥ 0 + 4ab ⇒ ( a + b ) ≥ 4ab .Đẳng
thức xảy ra khi a = b.

3. Chứng minh:

(Với a , b ≥ 0)

Giải:
2(a + b) - ( a+b ) = a-2ab+b = (a-b) ≥ 0 ⇒ 2(a + b) ≥ ( a+b ). Đẳng thức xảy ra
khi a = b.
4. Chứng minh: .(Với a.b > 0)
+ =

Giải:
.Do ab ≤ ⇒ ≥ 2 .Hay + ≥ 2 . Đẳng thức xảy ra khi a = b

5. Chứng minh: .(Với a.b < 0)
Giải:
+ = - .Do ≥ 2 ⇒ - ≤ -2. Hay + ≤ - 2. Đẳng thức xảy ra khi a = -b.
6. Chứng minh: . (Với a , b > 0)

Giải:
+ - = = ≥ 0 ⇒ + ≥ . Đẳng thức xảy ra khi a = b.
7. Chứng minh rằng: .
Giải:
2(a +b +c) - 2(ab+bc+ca) =(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥ 0
⇒ 2(a +b +c) ≥ 2(ab+bc+ca) .Hay a +b +c ≥ ab+bc+ca . Đẳng thức xảy ra khi a
= b;b = c;c = a ⇔ a = b= c.

1


• A≥ B ⇔ A− B ≥ 0
• Cần lưu ý tính chất: A 2 ≥ 0
• Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi A = 0
• Có thể nhân hai vế bất đẳng thức với một số khác 0 thích hợp
B.Bài tập vận dụng:
Chứng minh các bất đẳng thức sau
1.
a2 + 4b2 + 4c2 ≥ 4ab - 4ac + 8bc
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a( b + c + d + e )
2.
( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 10 ≥ 1
3.
4. a2 + 4b2 + 3c2 > 2a + 12b + 6c – 14
5. 10a2 + 5b2 +12ab + 4a - 6b + 13 ≥ 0
6.
7.
8.
9.
10.

11.
12.
13.
14.
15.

19
> 2a + 12b + 4c
2
a2 – 4ab + 5b2 – 2b + 5 ≥ 4
x2 – xy + y2 ≥ 0
x2 + xy + y2 -3x – 3y + 3 ≥ 0

a2 + 9b2 + c2 +

x2 + xy + y2 -5x - 4y + 7 ≥ 0
x4 + x3y + xy3 +y4 ≥ 0
x5 + x4y + xy4 +y5 ≥ 0 với x + y ≥ 0
a4 + b4 +c4 ≥ a2b2 + b2c2 + c2a2
(a2 + b2).(a2 + 1) ≥ 4a2b
ac +bd ≥ bc + ad với ( a ≥ b ; c ≥ d )
2

16.

a2 + b2  a + b 
≥

2
 2 

17.

a2 + b2 + c2  a + b + c 
≥

3
3



18.
19.
20.

2

a b c b a c
+ + ≤ + +
(với a ≥ b ≥ c > 0)
b c a a c b
12ab
a+b ≥
( Với a,b > 0)
9 + ab
a
b
c
1 1 1
+

+
≥ + +
(Với a,b,c > 0)
bc ca ab a b c
===========o0o===========

2


HƯỚNG DẪN:
Bài 1:

Gọi VT của bất đẳng thức là A và VP của bất đẳng thức là B (Nếu không
nói gì thêm qui ước này được dùng cho các bài tập khác).Với các BĐT
có dấu ≤; ≥ thì cần tìm điều kiện của các biến để đẳng thức xảy ra.
A – B = ( a + 2c − 2b )

Bài 2:

2

4A – 4B = ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + ( a − 2e )
2

2

2

Bài 3:
Bài 4:

Bài 5:
Bài 6:

A – 1 = ( x − 1)( x − 3)( x − 4)( x − 6) + 9 = ( Y + 3) 2
A – B = ( a − 1) 2 + ( 2b − 3) 2 + 3( c − 1) 2 + 1
A = ( a – 1)2 + (3a – 2b)2 + (b + 3)2

Bài 7:

A – B = ( a − 2b ) 2 + ( b − 1) 2

Bài 8:
Bài 9:
Bài 10:
Bài 11:
Bài 12:
Bài 13:
Bài 14:
Bài 15:

A–B = ( a – 1)2 +(3b – 2)2 + (c - 2)2 +



y
2

2

x2 – xy + y2 =  x −  +

.x2 – xy + y2 -3x – 3y + 3 = ( x − 1) 2 − ( x − 1)( y − 1) + ( y − 1) 2 .
Biến đổi tiếp như bài 8
Tương tự bài 9
2
x4 + x3y + xy3 +y4 = x 2 − xy + y 2 ( x + y )
Tương tự bài 11
Xem ví dụ 7
A – B = (a2 + b2).(a2 + 1) - 4a2b
A - B = ac + bd - bc - ad với ( a ≥ b ; c ≥ d )
= ( c − d )( a − b )

(

(

)

)

2 a 2 + b 2 − ( a + b)
A-B=
.
4

Bài 17:
Bài 18:

Xem bài tập 16
A - B = (a-c)(b-a)( .

Bài 20:

1
2

3y 2
4

Bài 16:

Bài 19:

2

b ( a − 3 ) + a ( b − 3)
9 + ab
2

A-B=

2

(Với a ≥ b ≥ c ≥ 0)
2

( Với a,b > 0)
2
2
2

(
ab − bc ) + ( bc − ac ) + ( ac − ab )
A-B=
abc
(Với a,b,c > 0)
===========o0o===========

3


TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I: DẠNG
-----------------------------------------------------------------------------------------------

2

•
•

b
4ac-b 2
4ac-b 2
b 

+ a x +
MinP
=
Nếu a > 0 : P = ax + bx +c =
Suy
ra

Khi x=÷
2a
4a
2a 
4a

2

2


b 
− a x−
Nếu a < 0 : P = ax + bx +c =
÷

4a
2a ÷


2
4 a c+b
b
Suy ra MaxP =
Khi x= 2 a
4a
4 a c+b 2

2

Một số ví dụ:
1.

Tìm GTNN của A = 2x2 + 5x + 7

5
25 25
2
− )+7=
Giải:A = 2x2 + 5x + 7 = 2( x + 2. x +
4
16 16

5
25
56 − 25
5
31
5
= 2( x + ) 2 −
+7 =
+ 2( x + ) 2 = + 2( x + ) 2 .
4
8
8
4
8
4

31

5
Khi x = − .
8
4
2
Tìm GTLN của A = -2x + 5x + 7
5
25 25
2
− )+7=
Giải: A = -2x2 + 5x + 7 = - 2( x − 2. x +
4
16 16
5
25
56 + 25
5
81
5
= −2( x − ) 2 + + 7 =
− 2( x − ) 2 = − 2( x − ) 2 ≤ .
4
8
8
4
8
4
Suy ra MinA =

2.

Suy ra MinA =
3.

4.

81
5
Khi x = .
8
4

Tìm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16.
Giải: B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 ≥ 8.
⇒ MinB = 8 khi : ⇔ .
Tìm GTLN của C = -3x - y + 8x - 2xy + 2.
Giải: C = -3x - y + 8x - 2xy + 2 = 10 - ≤ 10.
⇒ GTLNC = 10 khi: ⇔ .
BÀI TẬP:

5. Tìm GTNN A = x 2 − 5 x + 2008
6. Tìm GTLN B = 1 + 3x - x2
7. Tìm GTLN D = 2007 − x 2 − 5 x
8. Tìm GTNN của F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1.
9. Tìm GTNN của G = x 4 − 10 x 3 + 25 x 2 + 12
10. Tìm GTNN của M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y.
11. Tìm GTNN C = ( 3 x − 1) − 4 3 x − 1 + 5
2

12. Tìm GTNN của N = (x +1) + ( x - 3)

13. Tìm GTNN của K = x + y - xy +x + y

4


HƯỚNG DẪN
5. A = x - 5x + 2008 = (x - 2,5)2 + 2001,75
⇒ MinA = 2001,75 khi x = 2,5
6. B = 1 + 3x - x2 = -1,25 - ( x - 1,5)2
7. D = 2007 - x - 5x = 2004,5 - ( x + 2,5)2
8. F = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = (x +x+1) = .
9. G = x - 10x +25x + 12 = x(x - 5) + 12
10. M = x + 2y - 2xy + 2x - 10y = (x - y + 1) + (y - 4) -16.
2
11. C = ( 3 x − 1) − 4 3x − 1 + 5
* Nếu x ≥ . C = (3x - 3) + 1
* Nếu x < .C = (3x + 1) + 6
12. N = (x +1) + ( x - 3) = 2(x- 1) + 8
13. K = x + y - xy +x + y = ( x - y) + (x + 1) + (y + 1) - 1.

5


* Một trong những phương pháp thường dùng là sử dụng các bất đẳng thức đã biết để chứng
minh một bất đẳng thức khác.Tuy nhiên khi sử dụng ,ngoài hai bất đẳng thức Cô-si và bất đẳng
thức Bu-nhi-a-cốp-ski
. Các bất đẳng thức khác khi sử dụng làm bài thi cần chứng minh lại (Xem phần trên).Để tiện
theo dõi, tôi sẽ liệt kê các bất đẳng thức vào dưới đây.
1. a 2 + b 2 ≥ 2ab (a,b>0). (BĐT Cô-si)
2.

(a +b ) 2

≥4ab

3. 2( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ) 2

a b
+ ≥ 2; a, b > 0
b a
1 1
4
+ ≥
; a, b > 0
5.
a b a+b

4.

6. a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca
7. ( ax + by ) 2 ≤ ( a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) ( Bu nhi a cop xki)
8.

a 2 b 2 ( a + b)
+
≥
x
y
x+ y

2

a 2 b 2 c 2 ( a + b + c)
+
+
≥
9.
x
y
z
x+ y+z
ab bc ca
+
+
≥ a + b + c (Với a,b,c > 0)
Ví dụ 9:Chứng minh
c
a
b
ab
bc
ca
Giải:2A - 2B = 2 + 2 + 2 − 2a − 2b − 2c
c
a
b
2


 

 

= a + − 2  + b + − 2  + c + − 2 
b
c

c
b

Áp dụng bất đẳng thức



a
c

c
a



b
a

a
b



a b

+ ≥ 2; a, b > 0 .Ta có:2A - 2B ≥ a ( 2 − 2) + b( 2 − 2 ) + c( 2 − 2) ≥ 0
b a

.Vậy A ≥ B.Đẳng thức xảy ra khi a = b = c > 0

1

2

Ví dụ 10: Cho các số dương x , y thoả mãn x + y = 1. Chứng minh rằng : xy + x 2 + y 2 ≥ 8 .
 1
1
2
2
2
1 
4
≥2 2
+ 2
=
+ 2
= 2
+ 2
2
2
2 
xy x + y
2 xy x + y
x + 2 xy + y 2
 2 xy x + y 

8
=
= 8 .Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1
2
( x + y)
2

Giải:

Ví dụ 11: Chứng minh bất đẳng thức :

a2 b2 c2 a c b
+
+
≥ + +
b2 c2 a2 c b a

2
a2
c a
c
a2 b2
a b
a b2 c2
b c
b c
Giải: 2 + 2 ≥ 2 . = 2. ; 2 + 2 ≥ 2. . = 2. ; 2 + 2 ≥ 2. . = 2.
c a
a a
a

b c
c c
b
c
a b
b
b

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
 a2 b2 c2 
a c b
2 2 + 2 + 2  ≥ 2 + + 
c
a 
c b a
b
a2 b2 c2 a c b
⇒ 2 + 2 + 2 ≥ + +
c b a
b
c
a

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c..

6


Bài tập:
1.

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

1 1 1
Cho a,b,c là 3 số dương.Chứng minh rằng ( a + b + c )  + +  ≥ 9
a b c
Cho các số dương a,b,c biết a.b.c = 1. Chứng minh rằng: (a + 1)(b + 1)(c + 1)≥ 8
Cho các số a,b biết a + b = 1. Chứng minh rằng
a) a + b ≥
b) a + b ≥
Cho 3 số dương a,b,c và a + b + c = 1. Chứng minh: + + ≥ 9
Cho x , y , z ≥ 0và x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng:
+ + ≤ ≤ + +

Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
a. + ≥ 6
b. + ≥ 14
Cho 2 số dương a , b có tổng bằng 1 .Chứng minh rằng
(a + ) + (b + ) ≥
Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c>0
1
1
1
1

1
1
+
+
≥
+
+
,
a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b

Cho a,b,c là 3 số dương.

Chứng minh :
10.

11.
12.
13.
14.
15.

a
b
c 1 1 1
+
+
≥ + + .
bc ac ab a b c

Cho a,b,c là 3 số dương.

a2
b2
c2
a+b+c
Chứng minh rằng :
.
+
+
≥
b+c a+c b+a
2
Chứng minh: a + b ≥ với a + b ≥ 1
a
b
c
3
+
+
≥ Với a,b,c > 0
Chứng minh:
b+c c+a a+b 2
Chứng minh: a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc( a + b + c )

Bài 28: Cho x ≥ 0; y ≥ 0; z ≥ 0;
Chứng minh rằng :(x + y).(y + z).(z + x) ≥ 8xyz
1
1
1
1
1

+
+ ... +
+
+ ... +
Cho A =
Chứng minh rằng A > 1
n +1 n + 2
2n + 1 2n + 2
3n + 1

7


1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

8.
9.

HƯỚNG DẪN:
a b a c  b c 
A = 3+ + + + + +  ≥ 3+ 2+ 2+ 2 = 9
b a c a c a
Áp dụng (a + 1) ≥ 2a
a) A - B = a + b - =2( a + b) - (a + b) ≥ 0.

b) Áp dụng câu a.
Xem bài 1
+ + ≤ + + = ++ = .
+ + ≥ ≥ =
A = + = ( + ) + ≥ + = 6 ( vì 2ab ≤ (a+b) )
B = + = 3( +) +
(a + ) + + (b + ) + = + ≥ 5(a + ) + 5(b + )
= 5( a + b) + 5( + ) ≥ 5( a + b) + 5. = 25
Suy ra: (a + ) + (b + ) ≥
+ ≥ ; + ≥ ; + ≥
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta được Đpcm
Ta có: + = ( + ) ≥ 2.
b
c
1b c
1
+
=  +  ≥ 2.
ac ab a  c b 
a
c
a 1 c a
1
+
=  +  ≥ 2.
ab bc b  a c 
b

Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được đpcm. Đẳng thức xáy ra khi và chỉ khi a = b = c.
(Hãy kiểm tra lại)

2
a 2 b 2 c 2 ( a + b + c)
+
+
≥
10. Áp dụng BĐT
x
y
z
x+ y+z
11. a + b ≥ ( a + b ) ≥ ≥
12. ( + 1) + ( + 1) + ( + 1) = + +
= (a+b+c) ( + + ) ≥ (a+b+c) . = Suy ra:
a
b
c
3
+
+
≥
b+c c+a a+b 2
13. Áp dụng BĐT ở ví dụ 6 cho 3 số a 4 + b 4 + c 4 rồi tiếp tục áp dụng lần nửa cho 3 số
a2b2 + b2c2 + c2a2 ta có đpcm.
2
14. Áp dụng BĐT ( x + y ) ≥ 4 xy .Nhân từng thừa số của 3 BĐT suy ra ĐPCM
15. A có 2n + 1 số hạng (Kiểm tra lại !).Áp dụng BĐT
hạng thích hợp sẽ có đpcm

1 1
4

+ ≥
; a, b > 0 Với từng cặp số
a b a+b

8


GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
I.Dạng: Tìm GTLN A = ⇔ Tìm GTNN của ax2 + bx +c
5
Ví dụ: Tìm Max của A = 2
x − 2x − 5
2
Giải: B = x - 2x - 5 = (x - 1)2 - 6 ⇒ MinB = -6 khi x = 1⇒ MaxA = - khi x = 1.
II.Dạng: Tìm GTLN(GTNN) A = ⇔ Tìm GTNN(GTLN) của

Ví dụ: Tìm GTNN của B =
Giải: B = 1 - .Đặt C = ⇒ = (x + ) + 2 ≥ 4 ⇒ Min = 4 khi
= ⇒ MinB = khi x = 1.

x = 1. ⇒ MaxC

Tìm GTNN của các biểu thức sau:

1.
với x > 0
2.
với x > -2
3. x -x + 4 +
4.

5.
6.

7.

4x 2 − 6x + 1

( 2 x − 1) 2

2 x 2 − 16 x + 41
x 2 − 8 x + 22
x 6 + 512
9.
x2 + 8
3
10.
2
− x + 2x − 4

8.

x 2 − 4x + 1
x2

11.

3x 2
x2 +1

Tìm GTLN của các biểu thức sau:

1.
2.
3.

4.
5.

3
x + 3x + 1
2

x

( x + 2008) 2

6. I = (Với x ≠ 0)
DẠNG :Có mối quan hệ giữa các biến

1. Cho 3x + y = 1
a.Tìm GTNN của A = 3x + y
b.Tìm GTLN của B = xy
2. Cho a , b > 0 và a + b = 1 .Tìm GTNN
của C = (1+ ) + (1 + )
3. Tìm GTLN của các Biểu thức:
a.D = 2x(16 - 2x) với 0 < x < 8
b. E = với x > 0; y > 0; x + y = 10.
4. Cho x + 2y = 1.Tìm GTNN của x2 + 2y2
5. Cho 4x - 3y = 7.
Tìm GTNN của 2x2 + 5y2

6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của x + y
7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10.
Tìm
giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của :
x2 + y2
8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả
mãn : x + y = 2009 .
Tìm GTNN và GTLN của A = x.y
9. Tìm GTNN của P = x + y + x + y với
x + y = 1.
10. Tìm GTLN của Q = xy +yz + zx
Với x + y + z = 3.
11. Cho x + 2y = 3.
Tìm GTNN của R = x + 2y
12. Cho x + 2 + z = 3.
Tìm GTNN của
H = x + y + z + xy +yz + zx

Tìm GTNN và GTLNcủa các biểu thức sau:
1.
2.

27 − 12 x
x2 + 9
8x + 3
4. B = 2
4x + 1
3. A =

2x + 1
x2 + 2
3x 2 − 2 x + 3
6. D =
x2 +1
4x + 1
7. E = 2
x +5
5. C =

9


12. = 17 + 4x +
13. =
14. x -x + 4 +
15.
16.
17.

x 2 − 4x + 1
x2

18.

4x 2 − 6x + 1

( 2 x − 1) 2

2 x 2 − 16 x + 41

x 2 − 8 x + 22
x 6 + 512
20. 2
x +8
3
21.
2
− x + 2x − 4

19.

22.

3x 2
x2 +1

10


GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

Bài 7:

Tìm GTNN của các biểu thức
1.
2.
3.
4.
5.

A = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 3
B = x 2 − 2 xy + 2 y 2 + 2 x − 10 y + 17
C = x 2 − xy + y 2 − 2 x − 2 y
D = x 2 + xy + y 2 − 3x − 3 y
E = 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 − 8 x − 22 y

6. F = 2 x 2 + y 2 − 2 xy − 2 x + 7
7. G = x 2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 2 z + 3
8. H = x 2 + y 2 + z 2 − xy − yz − zx

Bài 8:

4. Cho x + 2y = 1. Tìm GTNN của x2 + 2y2
HD: Viết (x + 2y )2 = (x.1 + 2 y. 2 )2
5. Cho 4x - 3y = 7. Tìm GTNN của 2x2 + 5y2
 −3
+ 5 y.
 )
2
 5
6. Cho xy = 1 Tìm GTNN của x + y

HD: Viết :4x - 3y = (

2 x.

4

HD: (x + y)2 ≥ 2xy ⇒ x + y ≥ 2
7. Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10. Tìm giá trị nhỏ

nhất và giá trị lớn nhất của : x2 + y2
HD: 7(x2 + y2 ) = 10 - 8xy ≥ 10 -4(x2 + y2 )
⇒ 11(x2 + y2 ) ≥ 10 ⇒ Min (x2 + y2 ) = 10/11
8. Cho x và y là các số nguyên dương thoả mãn :
x + y = 2009 .Tìm GTNN và GTLN của A =
x.y
HD:4xy = (x + y)2 -(x - y)2 = 20092 - (x - y)2 .
*xy lớn nhất khi và chỉ khi (x - y) = 1
*xy nhỏ nhất khi và chỉ khi (x - y) lớn nhất

11