de thi hsg huyen mon toan 6 2015 -2016

PHÒNG GD-ĐT ĐỨC THỌ
Đề thi chính thức

ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 6 NĂM HỌC 2015-2016
Thời gian làm bài 120 phút

x −1
2
2
Bài 1: a) Tìm x biết 7 + 2 = 28 −  4 − ( 2 − 1) 

4 12
16
30
26
10
34
+
+
+
+
+
+
1.3 3.9 9.17 17.32 32.45 45.50 50.67
−9
−17
−17
−9
Bài 2: a) Không quy đồng mẫu, hãy so sánh A = 2015 + 2016 và B = 2015 + 2016
10
10

10
10
a 3 b 12 c 6
b) Tìm các số tự nhiên a, b, c, d nhỏ nhất sao cho = ; = ; =
b 5 c 21 d 11
Bài 3: a) Cho n = 3a9 + 7b5 . Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b
b) Cho A = 10 2011 + 10 2012 + 10 2013 + ... + 10 2018 + 16 . Chứng minh rằng A chia hết cho 48
·
·
Bài 4: Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ hai tia Oy, Oz sao cho xOy
= 800 và xOz
= 1300
b) Tính A =

·
a) Tính số đo của yOz
·
b) Gọi Ot là tia đối của tia Ox. Tia Oz có phải là tia phân giác của tOy
không ? Vì sao ?
c) Lấy các điểm: M thuộc tia Ot, N thuộc tia Oz, P thuộc tia Oy, Q thuộc tia Ox (các điểm đó khác
điểm O). Qua 5 điểm M, N, P, Q, O vẽ được bao nhiêu đường thẳng phân biệt
Bài 5: Tìm tất cả các số tự nhiên n, biết rằng n + S ( n ) = 2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của n
BÀI GIẢI
x −1
x −1
x −1
x −1
3
Bài 1: a) Ta có 7 + 2 = 28 − [ 16 − 3] ⇔ 2 = 28 − 13 − 7 ⇔ 2 = 8 ⇔ 2 = 2 ⇔ x − 1 = 3 ⇔ x = 4

6
8
15
13
5
17 
 2
+
+
+
+
+
+
b) Ta có A = 2 
÷
 1.3 3.9 9.17 17.32 32.45 45.50 50.67 
1
1 
1 
66 132
1 1 1 1

= 2  − + − + ... + − ÷ = 2 1 − ÷ = 2. =
50 67 
67 67
1 3 3 9
 67 
−9 
−8
−9 

−8
 −9
 −9
Bài 2: a) Ta có A =  2015 + 2016 ÷+ 2016 và B =  2015 + 2016 ÷+ 2015
10  10
10  10
 10
 10
8
8
−8
−8
Vì 2016 < 2015 ⇒ 2016 > 2015 . Do đó A > B
10
10
10
10
a 3x b 12 4y c 6z
=
b) Ta có =
; =
; =
với x, y, z ∈ N*. Suy ra a = 3x; b = 5x = 4y; c = 7y = 6z
c
21
7y
b 5x
d 11z
 y M5
và d = 11z. Vì (5; 4) = 1 và (7; 6) = 1 nên 

⇒ y ∈ BC(5; 6) mà b, c là số nguyên dương nhỏ nhất nên
 y M6
4y
7y
= 24 , z =
= 35 . Vậy a = 3x = 3. 24 = 72; b = 5x = 5. 24 =
y = BCNN(5; 6) = 30. Từ đó ta có x =
5
6
120; c = 7y = 7. 30 = 210; d = 11z = 11. 35 = 385
Bài 3: a) Vì n chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của n là (3 + a + 9 + 7 + b + 5) chia hết cho 9, hay
( 6 + a + b ) M9 ⇒ ( a − b + a + b ) M9 ⇔ 2a M9 ⇒ a M9 (Vì 2 không chia hết cho 9). Ta lại có 0 ≤ a, b ≤ 9 nên a
∈ {0; 9}
Với a = 0 thì b = -6 (loại)
Với a = 9 thì b = 3 thỏa mãn bài toán
b) Ta có 102011 = 10 4.10 2007 = 16.54.10 2007 chia hết cho 16, tương tự 102012 , …, 102018 đều chia hết
cho 16, do đó A chia hết cho 16. Mặt khác tổng các chữ số của A bằng 1. 8 + 1 + 6 = 15 chia hết cho 3,
mà (16; 3) = 1 nên A chia hết cho 3. 16 = 48


Bài 4:

y

z

gP

gN

t

g
M

O

g
Q

x

·
·
a) Vì 2 tia Oy và Oz cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng chứa tia Ox và xOz
> xOy
·
·
·
·
Do đó tia Oy nằm giữa tia Ox và tia Oz, suy ra xOy
+ yOz
= xOz
⇒ yOz
= 130 0 − 80 0 = 50 0
· = 180 0
b) Vì tia Ot là tia đối của tia Ox nên tia Oz nằm giữa tia Ox, tia Ot và xOt
·
¶ (1). Mặt khác tia Oy, tia Oz cùng
·

¶ = xOt
· ⇒ zOt
¶ = 180 0 − 130 0 = 50 0 ⇒ yOz
Do đó xOz
= zOt
+ zOt
·
·
·
thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xt mà xOy
nên tia Oz nằm giữa hai tia Oy và Ot
< xOz
< xOt
·
(2). Từ (1) và (2) suy ra tia Oz là tia phân giác của tOy
c) Có tất cả 5 điểm M, N, P, Q, O. Giả sử 5 điểm này không có 3 điểm nào thẳng hàng thì ta vẽ
5 ( 5 − 1)
được
= 10 đường thẳng. Nhưng vì có 3 điểm M, O, Q thuộc 2 tia Ox, Ot đối nhau nên chúng
2
thẳng hàng, do đó qua 3 điểm này chỉ vẽ được đúng 1 đường thẳng, trong khi đó đáng lẻ vẽ được 3 đường
thẳng. Vì vậy số đường thẳng bị giảm đi là 3 – 1 = 2 (đường thẳng). Do đó ta chỉ vẽ được tất cả 10 – 2 = 8
(đường thẳng)
Bài 5: Nếu n là số có 3 chữ số thì n + S ( n ) < 2016 . Nếu n là số có 5 chữ số thì n + S ( n ) > 2016 .
Do đó n là số có 4 chữ số. Ta đặt n = abcd với 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9 , khi đó 1 ≤ S ( n ) ≤ 36
Mặt khác 2016 chia hết cho 9 nên n + S ( n ) phải chia hết cho 9. Nếu n chia hết cho 9 thì S(n) cũng

chia hết cho 9. Do đó S ( n ) ∈ { 0;9;18;27;36} với n = 2016 − S ( n ) . Lần lượt thay S(n) ta được n = 2007; n
= 1989 thỏa mãn bài toán
Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng – THCS Hoàng Xuân Hãn – Đức Thọ - Hà Tĩnh