Bài tập vật lí tinh thể

Bài tập vật lí tinh thể
Bài 1 Chứng minh độ đặc khít của mạng tinh thể lập phương tâm khối là 0,68.
Xét 1 đơn vị mạng lưới tinh thể lập phương tâm khối có cạnh = a
B
A

A

B

E

E
a

C
C

D

a

D

→ V mạng tt = a3.
Số nguyên tử kim loại có trong
1 ô mạng cơ sở =

1
8

. 8 + 1 = 2 (nguyên tử)

Các nguyên tử kim loại xếp sát nhau.
Xét theo đường chéo của khối lập phương:
4R = a

3

→ R=
a 3
4

Thể tích choán chỗ của 2 nguyên tử kim loại:
VKL = 2 .

4
3

π

a 3


 4 

3

Vậy độ đặc khít của mạng tinh thể =

Hoặc: Độ đặc khít P = N.

1

Vc
Vtb

VKl
Vtt

= 2.

=
4 a 3
2. π . 

3  4 
a3

3

= 0,68

4
.π R 3
3
a3

1

với R =

nên P =
a 3
4

4 a 3
2. π . 

3  4 
a3

3

= 0,68

(N : số nguyên tử trong có trong 1 ô mạng cơ sở tinh thể
Vc : Thể tích 1 nguyên tử dạng quả cầu
A

B
E

C

D

Vtt : Thể tích toàn bộ tế bào tinh thể )
Ví dụ 2: Chứng minh độ đặc khít của mạng tinh thể lập phương tâm diện là 0,74.
Xét 1 đơn vị mạng lưới tinh thể lập phương tâm khối có cạnh = a → V mạng tt = a3.

Số nguyên tử kim loại có trong 1 ô mạng cơ sở =

1
8

.8+

1
2

. 6 = 4 (nguyên tử)

B

A
a

E

Các nguyên tử kim loại xếp sát nhau. Xét theo đường chéo của mặt hình vuông:
4R = a

2

→ R=

D

a 2

4

C

Thể tích choán chỗ của 4 nguyên tử kim loại:

VKL = 4 .

4
3

π

a 2 


 4 

3

Vậy độ đặc khít của mạng tinh thể =

2

VKl
Vtt

=
4 a 2 
4. π . 


3  4 
a3

3

= 0,74

2


Hoặc: Độ đặc khít P = N.

4 a 2 
4. π . 

3  4 
a3

3

Vc
Vtb

= 4.

4
.π R 3
3
a3

với R =

nên

P

=

a 2
4

= 0,74

Ví dụ 3: Chứng minh độ đặc khít của mạng tinh thể lục phương là 0,74

Ví dụ 4: Tính độ đặc khít của mạng tinh thể natri clorua (NaCl)

= 0,97A0 = r, R

biết R
Na +

= 1,81 A0 = R
Cl −

Tinh thể có đối xứng lập phương nên trong cấu trúc NaCl (hình 6):
Vì NaCl kết tinh dưới dạng lập phương ở hình vẽ nên

3

3


Tổng ion Cl- = Cl -ở 8 đỉnh + Cl- ở 6 mặt =8 ×

1
8

+6×

1
2

= 4 ion Cl-

Tổng ion Na+ =Na+ ở giữa 12 cạnh = 12×1/4=4 ion Na+



số phân tử CuCl trong 1 ô mạng cở sở=4 NaCl
Kết quả là các ion Na+ tạo ra một mạng lptd thứ hai lệch một nửa cạnh của mạng ion

Cl-.
* : Vì các ion Na+ và Cl- tiếp xúc nhau dọc theo cạnh hình lập phương nên:
aNaCl = 2(r + R) = 2(0,97 + 1,81) = 5,56 A0
* Độ đặc khít

4.[ 4 .π .r 3 + 4 .π .R 3 ] 16π (0,97 3 + 1,81 3 )
3

3
P=
=
.
= 0,667
3
3
a NaCl
5,56 3

Ví dụ 5:Tính bán kính nguyên tử gần đúng của Ca ở 20 0C, biết tại nhiệt độ đó khối
lượng riêng của Ca bằng 1,55 g/cm3. Giả thiết trong tinh thể các nguyên tử Ca có hình
cầu, có độ đặc khít là 74%.
Giải:

♣ Thể tích của 1 mol Ca =

40,08
1,55
= 25,858 cm3,

một mol Ca chứa NA = 6,02 ×1023 nguyên tử Ca
25,858 × 0,74
6,02 × 1023
Theo độ đặc khít, thể tích của 1 nguyên tử Ca =

Từ V =

4
× πr 3

3

3

⇒

= 3,18×10−23 cm3

Bán kính nguyên tử Ca = r =

3V
4π

3

3 × 3,18 × 10−23
4 × 3,14

=
= 1,965 ×10−8 cm

Ví dụ 6: Tính bán kính nguyên tử gần đúng của Fe ở 200C, biết tại nhiệt độ đó khối lượng
riêng của Fe bằng 7,87 g/cm 3. Giả thiết trong tinh thể các nguyên tử Fe có hình cầu, có độ
đặc khít là 68%. Cho nguyên tử khối của 55,85 = 40
♣ Thể tích của 1 mol Fe =

4

55,85
7,87

= 7,097 cm3.

4


một mol Fe chứa NA = 6,02 ×1023 nguyên tử Fe
Theo độ đặc khít, thể tích của 1 nguyên tử Fe =

Từ V =

7,097 × 0,68
6,02 × 1023

= 0,8 ×10−23 cm3

4
× πr 3
3

3

3V
4π

=>Bán kính nguyên tử Fe = r =

= 1,24 ×10−8

=

3

3 × 0,8 × 10−23
4 × 3,14

cm
Ví dụ7: Phân tử CuCl kết tinh kiểu giống mang tinh thể NaCl. Hãy biểu diễn mạng cơ
sở củaCuCl. Xác định bán kính ion Cu+.
Cho: d(CuCl) = 4,136 g/cm3 ; rCl- = 1,84 Å ; Cu = 63,5 ; Cl = 35,5
Giải:

* Vì CuCl kết tinh dưới dạng lập phương kiêu giống NaCl nên
Tổng ion Cl- = Cl -ở 8 đỉnh + Cl- ở 6 mặt =8 ×

1
8

+6×

1
2

= 4 ion Cl-

Tổng ion Cu+ = Cu+ ở giữa 12 cạnh = 12×1/4=4 ion Cu+
số phân tử CuCl trong 1 ô mạng cở sở=4 CuCl
V hình lập phương= a3 ( a là cạnh hình lập phương)
M1 phân tử CuCl= MCuCl / 6,023.1023 biết MCuCl= 63,5+35,5 = 99(gam)
=> D= (4×99)/ (6,023×1023×a3)
=> thay số vào => a= 5,4171 Ao

Mà a= 2rCu+ + 2r Cl- => rCu+= 0,86855 Ao
Ví dụ 8:Đồng (Cu) kết tinh có dạng tinh thể lập phương tâm diện. Tính khối lượng
riêng của Cu theo g/cm3 biết MCu=64.

•
•
•
•
•

5

5


A

B
E

C

D

Giải:
Theo hình vẽ ta thấy: 1 mặt của khối lập phương tâm diện có AC = a

=4
2

→

a=

4 ×1, 28
2

= 3,62 (Å)

Số nguyên tử Cu trong một tế bào cơ sở = 8×

d=

m
V

=

rCu

1
8

+ 6×

1
2

= 4 (nguyên tử)

3
= 8,96 g/cm .

64 × 4
6, 02.10 (3, 62 ×10 −8 )3

B

A

23

a

D

E

C

Ví dụ 9: Sắt dạng α (Feα ) kết tinh trong mạng lập phương tâm khối, nguyên tử có bán
kính r = 1,24 Å. Hãy tính: Tỉ khối của Fe theo g/cm3.
Cho Fe = 56
LG a) Mạng tế bào cơ sở của Fe (hình vẽ)
B
A

B

A

E

E
a

C
D

C

a

D

Theo hình vẽ, số nguyên tử Fe là
6

6


− Ở tám đỉnh lập phương = 8 ×

1
8

=1

− Ở tâm lập phương = 1
Vậy tổng số nguyên tử Fe chứa trong tế bào sơ đẳng = 1 + 1 = 2 (nguyên tử)
Khối lượng riêng: + 1 mol Fe = 56 gam

+ Thể tích của 1 tế bào cơ sở = a3 chứa 2 nguyên tử Fe
+ 1 mol Fe có NA = 6,02 ×1023 nguyên tử
Khối lượng riêng d =

m
V

=2×

56
6,02 × 10 × (2,85 × 10−8 )3

= 7,95 (g/cm3)

23

Ví dụ 10: Kim loại M kết tinh theo cấu trúc mạng tinh thể lập phương tâm diện với bán
kính nguyên tử R=143 pm, có khối lượng riêng D=2,7 g/ cm3. Xác định tên kim loại M.
Giải:
Số nguyên tử M trong một ô cở sở mạng N=8×

A

1
8

+ 6×

1
2

= 4 (nguyên tử)

B

B

A

E
a

E

C

D

D

C

Gọi a là độ dài cạnh của ô mạng cở sở.
Khoảng cách ngắn nhất giữa các nguyên tử là trên đường chéo của mặt bên nên
AC = a

=4rM => a=4.142/
2

Mà D=

m
V

=404 pm
2

= (4×M)/(6,023×1023×a3)

Thay D=2,7; a= 404×10-10 cm
=> M= 26,79 g/mol. Vậy M là kim loại Al
7

7


Ví dụ 11: Kim loại M kết tinh theo cấu trúc mạng tinh thể lập phương tâm khối với bán
kính nguyên tử R=1,24 Ao, có khối lượng riêng D=7,95 g/ cm3. Xác định tên kim loại M.
Giải
Số nguyên tử M trong một ô cở sở mạng N=8×

1
8

+ 1= 24 (nguyên tử)

B
A

A

B

E

E
a

C
C

D

a

D

Gọi a là độ dài cạnh của ô mạng cở sở.
Khoảng cách ngắn nhất giữa các nguyên tử là trên đường chéo của hình lập phương nên
AD=a
2
AC =a

=4rM => a=4R /

3
Mà D=

m
V

=

3
= (2×M)/(6,023×1023×a3)

Thay D=7,95; a= 2,864 Ao
=> M= 26,79 g/mol.
[[001]]
[[100]]
z
y
x
O

1

[[1 1]]

8

8


1

[[ 11]]

Vậy M là kim loại Fe
Chương 1:CẤU TRÚC TINH THỂ VẬT RẮN

Bài 1. Xác định chỉ số chiều của đường thẳng đi qua hai nút 100 và 001 của mạng lập
phương P.

1
Vậy chiều của đường thẳng đi qua hai nút 100 vào 001 là chiều [ 11]
Bài 2. Xác định chỉ số miller của mặt đi qua các nút 200, 010, 001 của mạng lập phương P.
Ta có :

n1 = 2, n2 = 1, n3 = 1

=>h:k:l=

1 1 1
: :
2 1 1

=1:2:2

= > h : k : l = ( 122 )
Bài 3.Vẽ các mặt (212), (110), (001), và (120) của tinh thể lập phương.
z
y
x
•

Mặt (212)

h : k : l = 2 : 1: 1=

1 1 1

: :
1 1 1
2
2

z
y
x

= > n1 =

9

1
2

, n2 = 1, n3 =

1
2

9


•

Mặt (110)

h: k : l = 1 : 1 : 0 =

1 1
: :0
1 1

z
y
x

= > n1 = 1, n2 = 1, n3 = 0

•

Mặt (001)

h:k:l=0:0:1=0:0:

1
1

= > n1 = 0, n2 = 0, n3 = 1
Mặt (120)
z
y
x

h:k:l=1:2:0=

= > n1 = 1, n2 =

1

2

1 1
: :0
1 1
2

, n3 = 0

Bài 4. Chứng minh biểu thức (1.8) và (1.9)
•

10

Biểu thức (1.8)

10


r r
r r
r r
r r r
a2 ∧ a3 ]  [ a3 ∧ a1 ]
a1 ∧ a2 ] 
[
[
V = b1 b2 ∧ b3  = 2π
∧ 2π
 2π

÷
V
V
V


'

( 2π )
=
V

⇔

3

3

r

r

( 2π )

3

r

r

r

r

[ a2 ∧ a3 ] ( [ a3 ∧ a1 ] ∧ [ a1 ∧ a2 ] )

V’ =

V

3

[ a2 ∧ a3 ] { a1 ( [ a3 ∧ a1 ] a2 ) − a2 ( [ a3 ∧ a1 ] a1 ) }
r

r

r

r

r r

r

r

r r

r r r r

a2 ( [ a3 ∧ a1 ] a1 )
Mà

=0

( 2π )
⇒

V’ =
•

V3

3

( 2π )
r r r r r r ( 2π )
[ a2 ∧ a3 ] a1.[ a3 ∧ a1 ] a2 = 3 V 2 =
V
V
3

3

Biểu thức (1.9)

O

r
G

H
H’

r
P

Ta có:
r
r r
r
rG
r
r
r hb1 + kb2 + lb3
R r = ( n1a1 + n2 a2 + n3a3 )
r
G
G

(

)

OH =
11

11


2π ( n1h + n2 k + n3l ) 2π n

= r
r
G
G

( n∈Z )

=

OH ' =

2π ( n + 1)
r
G
2π
d ( hkl ) = HH ′ = OH ′ − OH = r
G

Mà:
Bài 5. Chứng minh trong hệ lập phương, khoảng cách dhkl giữa 2 mặt có chỉ số Miller(hkl)
được tính bằng công thức:
a

d hkl =

h2 + k 2 + l 2

B
C
A

K
H
y
x
z

Trong đó, a là hằng số mạng, mặt(hkl) gần gốc tọa độ nhất cắt trục tọa đọ lần lượt là
.

a a a
, ,
h k l

Giải

Ta có:

OA =

a
h

, OB =

a
k

, OC =

a

l

1
1
1
=
+
2
2
OH
OK
OC 2

12

12


⇔

⇔

1
1
1
1
=
+
+
2

2
2
OH
OA OB OC 2

⇔

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2
OH
OA OB OC 2

1
1
1
1
=
+
+
2
2
2

2
OH
a a a
 ÷  ÷  ÷
h k   l 

⇔

⇒

1
h2 + k 2 + l 2
1
h2 + k 2 + l 2
=
⇔
=
OH 2
a2
OH 2
a2

d hkl = OH =

a
h + k2 + l2
2

Bài 6. Tính khoảng cách giữa các mặt lân cận thuộc họ mặt (111) trong vật liệu kết tinh theo
lập phương tâm mặt với bán kính nguyên tử r.

Giải
Mạng lập phương tâm mặt ta có:
4r = a 2 ⇒ a =

d hkl =

4r
2

a
h + k 2 + l2
2

⇒ d111 =

4r
4r
=
2. 3
6

Bài 7. Chứng minh cấu trúc lục giác xếp chặt, tỉ số c/a=1,633

A
H

13

13

K
D
B
A
C
B
D

Vì đây là cấu trúc lục giác xếp chặt nên tứ diện ABCD là tứ diện đều, do đó :
AB = BC = CD = AD = a

+ Xét

∆

BCK: BC = a, CK =

1
2

CD =

a
2
2

⇒

+ Xét

∆

BC 2 − CK 2 = a 2 −

a
3
=a
4
2

BK =

ABH: BH =

2
3

a
BK =

3 2
3
. =a
2 3
3

AB 2 − BH 2 = a 2 − (

a 3 2

6
) =a
2
3

AH =
14

14


Mà AH =

6 c
6 c
c
8
c
a
= ⇒a
= ⇒ =
3
2
3
2
a
3
2 ⇔

Vậy trong cấu trúc lục giác xếp chặt, tỉ số c/a=1,633

Bài 8: Tính hằng số mạng của silic.Biết khối lượng riêng của silic là 2,33g/cm 3, khối lượng
mol là 28,1 g/mol.

Hình 1: Cấu trúc tinh thể của silic

Giải
Theo công thức khối lượng riêng, ta có:
N .A
m N .A
ρ V V . N A a 3 .N A
= =
=

Trong đó:

1
8

(1)

1
2

N= 8. +6. +4.1=8 là số nguyên tử trong 1 ô cơ sở
A= 28,1g/mol là khối lượng mol
NA= 6.02.1023 nguyên tử/mol
V= a3 là thể tích 1 ô cơ sở
a là hằng số mạng

15

15


N .A
ρ .N A

3

⇒

3

8.28,1
2,33.6, 02.1023
-8

Từ (1)
a=
=
Hằng số mạng của silic là 5,43A 0

=5,43.10 = 5,43

Α0

Bài 9: Xác định a và c của mạng tinh thể Mg có cấu trúc lục giác xếp chặt.Biết khối
lượng riêng của là Mg là 1,74g/cm3, khối lượng mol là 24,3g/mol.
Giải

Cấu trúc lục giác xếp chặt:

1
6

Số nguyên tử trong 1 ô cơ sở là: N=12. +2.

Diện tích đáy:

Sđ=6.

a a 3
2 2

=

1
2

+3.1= 6

a2 3 3
2

Hình 2: Cấu trúc lục giác xếp chặt của Mg

Thể tích của hình lục giác xếp chặt: V= Sđ.c =

Mà

c
a

=

8
3 ⇒

⇒

ρ=
Mặt khác:

16

a 2 c3 3
2

a 8
3
c=

V=

a3 3 8
2

=

a3 3 2

N .A
a 3 2N A

N.A
V .N A

3

=

16


⇒

a=

⇒c=

3

N .A
6.24,3
=3
= 3, 2.10−8
23
ρ .N A .3 2
1, 74.6, 02.10 .3 2
=3,2 A0

a 8 3, 2.10−8. 8
=
= 5, 2.10−8 = 5, 2 A0
3
3

Bài 10:Tính hệ số lấp đầy của mạng kim cương và của mạng cấu trúc lục giác xếp chặt.
Giải
a)Mạng kim cương

Số nguyên tử trong 1 ô : N=

1
1
8. + 6. + 4.1 = 8
8
2

Thể tích 1 ô đơn vị: V= a3

Thể tích của 1 nguyên tử: V=

4π R 3
3

4r = a
Mối quan hệ giữa R và a:

3

2

Hệ số lấp đầy của mạng kim cương là:
4π r 3
3 = π 3 = 0,34
8r
16
( )3
3

.8

APF=
b)Mạng có cấu trúc lục giác xếp chặt

Số nguyên tử trong 1 ô: N=

1
1
12. + 2. + 3.1 = 6
6
2

Thể tích 1 ô đơn vị: V= Sđ.h=

17

a3 3 2

17

Thể tích của 1 nguyên tử: V=

4π R 3
3

Mối quan hệ giữa R và a: 2r=a
Hệ số lấp đầy của mạng có cấu trúc lục giác xếp chặt là:
4
6 π r3
π
3
=
= 0, 74
3
3 2(2r )
3 2
APF=

ρ
Bài 11: Khối lượng riêng của NaCl là =2,15.103 kg/m3. Khối lượng nguyên tử của Na và
Cl lần lượt là 23g/mol và 35,46 g/mol. Hãy xác định hằng số mạng của tinh thể muối ăn
NaCl.
Giải

Hình 3: Cấu trúc tinh thể muối ăn
Tinh thể muối ăn có cấu trúc rock salt nên có 4 Na+ và 4 ClTheo công thức tính khối lượng riêng ta có:
N . ANa N . ACl
N

+
( ANa + ACl )
mNa + mCl
NA
NA
NA
ρ=
=
=
V
V
V

=

N
( ANa + ACl )
NA
a3

Hằng số mạng của tinh thể muối ăn là:

⇒a=

18

3

N
( ANa + ACl )

NA
=
ρ

3

4
(23 + 35, 46)
6, 02.1023
= 5, 65.10−8 = 5.65 A0
2,15

18


Bài 12: Cr kết tinh theo lập phương tâm khối. Từ phép phân tích nhiễu xạ tia X, suy được
khoảng cách giữa 2 mặt lân cận thuộc họ mặt(211) là 1,18 angstrom. Hãy xác định khối
lượng riêng của tinh thể Cr. Cho biết khối lượng của 1 mol Cr là 50g.
Giải

Hình 5: Cấu trúc lập phương tâm khối
Từ công thức chứng minh ở bài 5 ta có:
d (211) =

a
2 +1 +1
2

2

2

= 1,18.10−10

⇒ a = 6.1,18.10−10 = 2,89.10−10

Số nguyên tử trong 1 ô của cấu trúc lập phương tâm khối: N=

1
8. + 1 = 2
8

Khối lượng riêng của tinh thể Cr là:

ρ=

N .A
2.50
=
= 6,879 g / cm3
−10 3
23
V .N A ( 6.1,18.10 ) .6, 02.10

Bài 13: Khi dùng chùm tia X với bước sóng 1,54 angstrong, tinh thể lập phương cho cực đại
nhiễu xạ dưới góc

330

từ họ mặt (130). Xác định hằng số mạng của tinh thể đó.

Giải:

19

19


d130 =
Ta có:

a
12 +32 +0 2

=

a
⇒a = 10d
10
(1)

Dùng chùm tia X gây nhiễu xạ trong tinh thể, áp dụng định luật Bragg:

2d sin θ = nλ
∆ϕ =
Độ lệch pha:

2π
2π
2d sin θ =
nλ = 2π n

λ
λ

Ở đây ta xét nhiễu xạ bậc 1 với n=1

Từ (1) và (2)

⇒

2

(2)

a
sin θ = λ
10

⇒ a = 10

λ
1, 54
= 10
= 4, 47 ( A0 )
2sin θ
2 sin 330

Bài 14: Người ta ghi ảnh nhiễu xạ tia X của một tinh thể có cấu trúc lập phương đơn giản
với hằng số mạng a=2,56

A0

. Hỏi có thể có số vạch nhiễu xạ bậc một nhiều nhất là bao

nhiêu nếu độ dài bước sóng bức xạ tia X là

λ

=1,789

A0

.

Giải:

d hkl =
Ta có:

a
h 2 + k 2 + l2

(1)

Định luật Bragg cho nhiễu xạ trong tinh thể:

2d sin θ = nλ

Nhiễu xạ là bậc 1 nên

sin θ =

Từ (1) và (2) :
20

2d sin θ = λ

(2)

λ
λ
=
h2 + k 2 + l 2
2 d 2a

20


sin θ ≤ 1 ⇔
Mà:

λ
h2 + k 2 + l 2 ≤ 1
2a

2

 λ 
⇔  ÷ ( h2 + k 2 + l 2 ) ≤ 1
 2a 
2

 λ 
⇔  ÷ S ≤1
 2a 
2

với S=

h 2 + k 2 + l2
2

−10
 2a   2.2,56.10 
⇒ S ≤ ÷ =
= 8,19
10 ÷
 λ   1, 789.10 

Mạng lập phương đơn giản có s=1, 2, 3,5,6, 8, 9, 10, 12,…..

S ≤ 8,19
Với

ta có các họ mặt suy ra từ chỉ số Miller như sau:

S = 1 ⇒ (hkl) = (001)
S = 2 ⇒ (hkl) = (011)
S = 3 ⇒ (hkl) = (111)
S = 4 ⇒ (hkl) = (002)
S = 5 ⇒ (hkl) = (012)
S = 6 ⇒ (hkl) = (112)

Như vậy có nhiều nhất 6 chỉ số (hkl) do đó có tối đa 6 vạch nhiễu xạ bậc 1

21

21


Chương 2: DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ

Bài 4: Cho tinh thể một chiều gồm các nguyên tử cùng loại, khoảng cách giữa 2 nguyên tử gần nhau nhất là

a = 3.10 −10 m

ω max

v 0 ≈ 3.103
. Vận tốc sóng âm truyền trong tinh thể

m/s. Tìm giá trị của tần số ngưỡng
Giải:

ω max
Công thức tính tần số ngưỡng

ωmax = 2

:

α

M
(1)

Vận tốc

truyền âm trong tinh thể:
v=a

α
M
(2)

Từ (1)

và (2) suy ra:

ωmax =

2v 2.3.103
=
= 2.1013 ( rad / s )
−10
a 3.10
M1 = M 2 = M

Bài 5: Cho tinh thể một chiều, mỗi ô cơ sở gồm 2 nguyên tử cùng khối lượng (
a = 2,5.10

−10

khoảng

k=
tại

v 0 ≈ 10 m / s

m
. Vận tốc sóng âm truyền trong tinh thể

π
2a

), cách nhau một

3

. Tính các giá trị tần số

ω

tại k=0 và

của nhánh âm và nhánh quang.
Giải:

Công thức tính tần số của nhánh âm:
2

 1

 1
1 
1 
4
ω = α
+
+
sin 2 (qa)
÷− α 
÷ −
 M1 M 2 
 M1 M 2  M1M 2
2
−

22

22


Đặt:

 1
1 
4β
2
2
β= +
sin 2 (qa)
÷ ⇒ ω − = αβ − α β −

M1 + M 2
 M1 M 2 

4sin 2 (qa) 
⇔ ω2− = αβ 1 − 1 −
÷

÷
β
(M
+
M
)
1
2


(1 + x)n ≈ 1 + nx

Áp dụng công thức gần đúng:
  1
sin 2 ( qa )
⇒ ω = αβ 1 − 1 − 4
  2 β ( M 1 + M 2 )
2
−


÷
÷

 

sin 2 ( qa )
sin 2 ( qa )
⇔ ω = 2αβ
= 2α
β ( M1 + M 2 )
( M1 + M 2 )
2
−

sin 2 (qa) ≈ q 2 a 2
Do q<< nên
⇒ ω−2 = 2α

q 2a2
2α
⇒ ω− =
qa
M1 + M 2
M1 + M 2

Vận tốc truyền sóng âm trong tinh thể:
v− =

d ω−
=
dq

v− =

M1 = M 2 = M
Do

2α
a
M1 + M 2

α
a
M

nên

là vân tốc truyền sóng âm ở nhánh âm trong tinh thể.

Lập luận tương tự đối với nhánh quang ta cũng được
v+ =

d ω+
=
dq

α
a
M
là vận tốc truyền sóng âm ở nhánh quang trong tinh thể.

23

23


v0 =

α
a
M

Vậy:vận tốc truyền sóng âm(ở cả nhánh âm và nhánh quang) trong tinh thể là không đổi và bằng

2

⊕ Nhánh

 1
 1
1 
1 
4
ω = α
+
+
sin 2 (qa)
÷+ α 
÷ −
M
M
M
M

M
M
 1
2 
 1
2 
1
2
âm :
2
−

•

•

⇒ ω− = 0
Nếu q=0

q=

π
⇒ ω_ =
2a

v0
103
= 2
= 5, 66.10−12 ( rad / s )
a

2,5.10−10

 1
1
ω = α
+
⊕ Nhánh quang:
 M1 M 2

ω+ = 2
Nếu q=0

ω+ = 2

Nếu

2


 1
1 
4
+
sin 2 (qa)
÷+ α 
÷ −

 M1 M 2  M1M 2

α

M

v0 =

α
a
M

với

v0
103
=2
= 8.10 −12 ( rad / s )
−10
a
2,5.10

q=

ω+ = 2

24

α
a
M

với

2
+

•

v0 =

Nếu

⇒ ω− = 2

•

2α
M

π
2α
⇒ ω+ =
2a
M

v0 =

α
a
M

với
v0

103
= 2
= 5, 66.10−12 ( rad / s )
−10
a
2,5.10

24


Chương 3: TÍNH CHẤT NHIỆT CỦA TINH THỂ

Bài 5: Tìm nhiệt độ Debye của vàng, biết nguyên tử lượng và khối lượng riêng của vàng lần lượt là

M = 197g / mol

1,9.104 kg / m3
và D=

; vận tốc truyền âm trong vàng là u=2100m/s.
Giải:

Xét với 1 kg vàng(Au):
Công thức tính nhiệt độ Debye:

θD = h

ωD hu 3 6π 2 N hu 3 6π 2 ND
=
=

kB kB
V
kB
m

Thay số:
h

= 1,055.10-34J.s
N = 6,023.1026 nguyên tử/kmol
D = 1,9.104 kg/m3
U = 2100 m/s
KB = 1,38.10-23 J/k
m = 197 kg
Ta được:

θD =

1,055.10−34.2100 3 6π 2 .6,02.1026.1,9.104
.
= 242 K
1,38.10−23
197
θD

Vậy nhiệt độ Debye của vàng là

=242K

Bài 6: Sử dụng mô hình Debye, tính nhiệt dung của đồng tại 10K. Biết tần số Debye là 6,55.1012 Hz.

Giải
Xét với 1 kmol Cu :
Công thức tính nhiệt dung của đồng theo mô hình Debye :

25

25