Giải tích 4

PDF by

74
Chương 4
TÍCH PHÂN
1. NGUYÊN HÀM
Tất cả các hàm số khảo sát trong phần này đều được giả đònh là xác đònh
và liên tục trên một khoảng.
Khi f là một hàm số sơ cấp, nó có đạo hàm và ta có thể tính đạo hàm
f
′

của f bằng các công thức tường minh (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương hay
hợp của hai hàm có đạo hàm). Thao tác này được gọi là “phép tính vi phân” và
nếu đão hàm của một hàm số tồn tại, nó duy nhất. Bây giờ, ta xét thao tác
ngược lại : từ một hàm số f cho trước, tìm tất cả
các hàm F sao cho F f
′
= .
Thao tác này được gọi là “phép tính tích phân” hay cụ thể hơn, “phép tính
nguyên hàm
”.
1.1. Đònh nghóa.
Cho I là một khoảng mở của  , f và F là hai hàm số xác
đònh trên I. Ta nói F là một
nguyên hàm
của f trên I nếu x I∀∈,
() ()
Fx fx
′
= , nghóa là F có đạo hàm là f trên I.

1.2. Mệnh đề.

Nếu
F
là một nguyên hàm của
f
trên
I
thì tập hợp
P
các
nguyên hàm của
f
trên
I
là
() ()
{ }
G:I x I,G x F x C,C hằng số
=→∀∈ =+=
P
.
Chứng minh.
G
∀∈
P
,
GFf
′′
==

cho thấy G là một nguyên hàm của f.
Ngược lại, cho G là một nguyên hàm của f. Do
GfF
′′
==
nên
GF0
′
′
−=
và
do đó
GFC hằng số−==
. ª
Ký hiệu
: Ký hiệu
f(x)dx
∫
được dùng để chỉ một nguyên hàm bất kỳ của f
(gọi là
tích phân bất đònh
của f), nghóa là một phần tử bất kỳ
P
. Vì vậy, nếu
F là một nguyên hàm của f, ta viết
()
f(x)dx F x C=+
∫
.
Ví dụ 1

. i) Cho
()
2
Fx lnx x 1
⎛⎞
=++
⎜⎟
⎝⎠
. Ta có
()
2
2
x
x1
222
1
xx1
1
Fx
x x1 x x1 x1
+
′
⎛⎞
+
++
⎜⎟
⎝⎠
′
===
++ ++ +

.
Do đó,

2
2
dx
ln x x 1 C
x1
⎛⎞
=+++
⎜⎟
⎝⎠
+
∫
,
C ∈ 
.
PDF by

75
ii) Từ đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản, ta có
a)
1
x
1
Ckhi 1
xdx
ln x C khi 1
α+
α

α+
⎧
+α≠−
⎪
=
⎨
⎪
+α=−
⎩
∫
.
b)
xx
edx e C=+
∫
.
c) sin xdx cos x C
=− +
∫
.
d) cos xdx sin x C
=+
∫
.
e)
(
)
2
2
dx

1tanxdx tanxC
cos x
=+ = +
∫∫
.
f)
2
dx
arcsin x C arccos x C
1x
=+=−+
−
∫
.
g)
2
dx
arctan x C
1x
=+
+
∫
.
Do đònh nghóa, nếu
() ()
fxdx Fx C
=+
∫
và
() ()

gxdx Gx C
=+
∫
,
thì
() () () () () ()
aF x bG x aF x bG x af x bg x
⎡⎤
′′
+=+=+
⎣⎦
và do đó
1.3. Mệnh đề.
() ()
()
() ()
afx bgx dx a fxdx b gxdx
+= +
∫∫∫
,
với mọi
a, b
∈

.
Ví dụ 2
.
(
)
2

31 3 1
3
23x
dx 2x 3x dx 2 x dx 3 x dx
x
−− − −
−
=− = −
∫∫ ∫∫


4
3
x1
23lnxC 3lnxC
4
2x
−
=− +=−− +
−
.
Cho u là một hàm có đạo hàm trên một khoảng I và f là một hàm xác
đònh trên một khoảng
()
JuI⊃
. Nếu
() ()
fxdx Fx C=+
∫
,

nghóa là
() ()
Fx fx
′
= , thì
()
()
()
()
() ()
()
()
Fux F ux u x f ux u x
′
⎡⎤
′′ ′
==
⎣⎦
.
Vì vậy, ta được
PDF by

76
1.4. Đònh lý (công thức đổi biến).


()
()
() ()
()

fux uxdx Fux C
′
=+
∫
.
Bằng cách viết
()
uux≡ ,
()
du u x dx
′
≡ , đẳng thức (1) trở thành
()
()
() () () ()
()
fux uxdx fudu Fu C Fux C
′
==+≡+
∫∫
.
Ví dụ 3
. Với
()
ux cosx= ,
()
du u x dx sin xdx
′
==−,
sin xdx du

tan xdx ln u C ln cos x C
cos x u
==−=−+=−+
∫∫ ∫
.
Đặc biệt, với
()
ux ax b=+;
du adx=
, ta được
1.5. Hệ quả.
() ()
1
fax bdx fudu
a
+=
∫∫
.
Ví dụ 4
. i) Với
()
ux 3x 2=+;
du 3dx=
,
dx 1 du 1 1
ln u C ln 3x 2 C
3x 2 3 u 3 3
==+= ++
+
∫ ∫

.
ii) Với
()
ux xlna= ;
()
du ln a dx= ,
xlna
xxlna u u
11e
adx e dx edu e C C
ln a ln a ln a
== =+=+
∫∫ ∫
.
iii) Bằng cách viết
()
(
)
2
2
2
2x 1
3
4x 4x 10 2x 1 9 9 1
+
⎡ ⎤
++= + += +
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦

,
và với
()
2x 1
3
ux
+
=
;
2
3
du dx=
, ta có
(
)
222
2x 1
3
dx 1 dx 1 du 1
arctan u C
966
4x 4x 10 1 u
1
+
===+
++ +
+
∫∫∫

(
)
2x 1
3
1
arctan C
6
+
=+.
Cho u, v là hai hàm có đạo hàm tr ên một khoảng I. Do
() () () () () ()
uxvx u xvx uxv x
′
⎡⎤
′′
=+
⎣⎦
,
ta suy ra
() () () () () ()
u xvx uxv x dx uxvx C
⎡⎤
′′
+=+
⎣⎦
∫
,
và ta được
PDF by

77
1.6. Đònh lý (công thức tích phân từng phần).

() () () () () ()
uxv xdx uxvx vxu xdx
′′
=−
∫∫
.
Với các ký hiệu
()
du u x dx
′
=
;
()
dv v x dx
′
=
, công thức (2) được viết lại
thành
udv uv vdu=−
∫ ∫
.
Ví dụ 5
. Với u arctan x= ;
dv dx=
, ta có
2
dx

1x
du
+
=
và
vx=
. Do đó,
2
arctan xdx udv uv vdu
xdx
xarctanx
1x
==−
=−
+
∫∫∫
∫

Với
2
t1x=+
;
dt 2xdx=
, ta có
(
)
2
2
xdx 1 dt 1 1
ln t C ln 1 x C

2t 2 2
1x
==+=++
+
∫∫
.
Vì vậy,

(
)
2
1
arctan xdx x arctan x ln 1 x C
2
=−++
∫
.
2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Trong phần này, mọi hàm số khảo sát đều được giả đònh là liên tục và
nếu có đạo hàm thì đạo hàm của nó cũng là hàm liên tục. Ta sẽ tìm cách tính
“diện tích” phần mặt phẳng nằm dưới đồ thò
C
một hàm số
f0≥
, ký hiệu
b
a
f(x)dx
∫
và đọc là “tích phân từ a đến b của f (x)dx ”.

Cho f là một hàm số xác đònh trên a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
và
()
01 n
d x , x ,..., x
=
,
01 n
a x x ... x b=<<<=
, là một
phân hoạch
bất kỳ của a, b
⎡⎤
⎣⎦
và
()
01 n1
T t ,t ,...,t
−
=
là một họ gồm n điểm của a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
sao cho
iii1
tx,x
+
⎡⎤

∈
⎣⎦
, với
i 0,1,...,n 1
=−
.
Tổng, ký hiệu
()
d
ST
, xác đònh bởi
() ( )( ) ( )( ) ( )( )
()( )
d010121 ii1i
n1 n n1
S T ft x x ft x x ... ft x x
... f t x x
+
−−
=−+−++ −+
++ −

nghóa là
() ( )( )
n1
dii1i
i0
ST ft x x
−
+

=
=−
∑

PDF by

78
được gọi là một
tổng Riemann
của hàm f tương ứng với d và T. Tổng
()
d
ST
này chính là tổng diện tích các hình chữ nhật gạch chéo trong hình sau

Ta đònh nghóa
bước
của phân hoạch d, ký hiệu d , bởi biểu thức
i1 i
i 0,...,n 1
dmaxxx
+
=−
=−
.
Gọi S là giới hạn của các tổng Riemann
()
d
S T khi bước d tiến về 0,
nghóa là ứng với mỗi

0ε>
, ta tìm được
0δ>
, sao cho với mọi phân hoạch
()
01 n
d x , x ,..., x
=
của a, b
⎡⎤
⎣⎦
và với mọi
()
01 n1
T t ,t ,..., t
−
=
sao cho
iii1
tx,x
+
⎡⎤
∈
⎣⎦
, nếu
d
<δ
, thì
()
d

ST S
−<ε
. Khi S tồn tại, ta viết
()
d
d0
SlimST
→
=
.
2.1. Đònh nghóa.
Khi giới hạn S tồn tại (nghóa là
S
∈

), ta nói f là hàm
Riemann-khả tích
trên a, b
⎡⎤
⎣⎦
. Khi đó, ta viết
()
b
a
Sfxdx
=
∫
và giá trò này
được gọi là
tích phân xác đònh

của f trên a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
.
Ta gọi a và b là các
cận tích phân
và x là
biến giả
.
Đặt
()
a
a
fxdx 0
=
∫
và
() ()
ab
ba
fxdx fxdx
=−
∫∫
.
2.2. Mệnh đề.

Các hàm số sau thì Riemann-khả tích trên
a, b
⎡⎤
⎣⎦

:
- các hàm liên tục trên
a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
;
- các hàm liên tục từng khúc trên
a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
, nghóa là các hàm bò chận và liên
tục trên
a, b
⎡⎤
⎣⎦
ngoại trừ tại một số hữu hạn các điểm bất liên tục loại một
(các điểm bất liên tục với bước nhảy hữu hạn)
Ta chấp nhận kết quả này.
2.3. Mệnh đề. Cho
f
và
g
là hai hàm Riemann-khả tích trên
a, b
⎡⎤
⎣⎦
. Ta có
PDF by

79

i) Tính tuyến tính : Với hai số thực
a
và
b
bất kỳ, nếu
α
và
β
là hai hằng số
(độc lập với biến giả
x
) thì
() () () ()
bbb
aaa
f x g x dx f x dx g x dx
⎡⎤
α+β =α +β
⎣⎦
∫∫∫

ii) Hệ thức Chasles : Với ba số thực bất kỳ
a
,
b
,
c
, ta có
() () ()
bcb

aac
fxdx fxdx fxdx
=+
∫∫∫

iii) a) Nếu
ab<
và
xa,b
⎡⎤
∀∈
⎣⎦
,
()
fx 0
≥
thì
()
b
a
fxdx 0
≥
∫
.
b) Nếu
ab<
và
xa,b
⎡⎤
∀∈

⎣⎦
,
() ()
fx gx
≤
thì
() ()
bb
aa
fxdx gxdx
≤
∫∫

iv) Công thức trung bình : Nếu
xa,b
⎡ ⎤
∀∈
⎣ ⎦
,
()
gx 0
≥
thì tồn tại
Γ
sao cho
() () ()
bb
aa
fxgxdx gxdx
=Γ⋅

∫∫

với
mM
≤Γ≤
, trong đó
()
xa,b
mminfx
⎡⎤
∈
⎣⎦
=
và
()
xa,b
Mmaxfx
⎡⎤
∈
⎣⎦
=
. Đặc biệt, với
()
gx 1
=
,
xa,b
⎡⎤
∀∈
⎣⎦

, ta có
() ( )
b
a
fxdx b a
=Γ⋅ −
∫
,
mM
≤Γ≤
.
Cuối cùng, nếu
f
liên tục trên
a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
thì tồn tại
0
xa,b
⎡⎤
∈
⎣⎦
sao cho
()
0
fx
=Γ
và ta được
() ( )( )

b
0
a
fxdx fx b a
=⋅−
∫
,
0
xa,b
⎡ ⎤
∈
⎣ ⎦
.
Chứng minh.
Ta chấp nhận i) và ii).
iii) a) Với mọi phân hoạch
()
01 n
d x , x ,..., x
=
của a, b
⎡⎤
⎣⎦
và
()
01 n1
T t ,t ,...,t
−
=
là họ gồm n điểm của

a, b
⎡ ⎤
⎣ ⎦
sao cho
iii1
tx,x
+
⎡⎤
∈
⎣⎦
, với
i 0,1,...,n 1
=−
, ta có
()
i
ft 0
≥
và
i1 i
xx0
+
−≥
nên
()( )
ii1i
ft x x 0
+
−≥
, với

mọi i 0,1,...,n 1
=−
. Vì vậy
() ( )( )
n1
dii1i
i0
ST ft x x 0
−
+
=
=−≥
∑

và
PDF by

80
() ()
b
d
a
d0
f x dx lim S T 0
→
=≥
∫
.
b) Suy ra từ 1 và 3.a do
() ()

gx fx 0
−≥
,
xa,b
⎡ ⎤
∀∈
⎣ ⎦
.
iv) Vì x a, b
⎡ ⎤
∀∈
⎣ ⎦
,
()
mfx M
≤≤
nên

() () () ()
mgxfxgxMgx
≤≤
.
Từ iii) b) và i), ta có
() () () ()
bb b
aa a
m gxdx f xgxdx M gxdx
⋅≤ ≤⋅
∫∫ ∫

Nếu
()
b
a
gxdx 0
>
∫
thì
()()
()
b
a
b
a
fxgxdx
gxdx
mM
∫
≤≤
∫
và khi đó
()()
()
b
a
b
a
fxgxdx
gxdx
∫

=Γ
∫

chính là giá trò cần tìm.
Nếu
()
b
a
gxdx 0
=
∫
thì
() ()
b
a
fxgxdx 0
=
∫
, và khi đó công thức trung bình
vẫn thỏa.
Khi
()
gx 1
=
, x a, b
⎡⎤
∀∈
⎣⎦
, ta có ý nghóa hình học của công thức trung bình
là : tồn tại

Γ
sao cho
() ( )
()
b
a
gxdx b a
Diện tích hình chữ nhật đáy b a ,
chiều cao (hình chữ nhật ABCD trong hình)
=Γ⋅ −
=−
Γ
∫


Nếu f liên tục trên a, b
⎡⎤
⎣⎦
, thì
()
fa,b m,M
⎡ ⎤⎡ ⎤
=
⎣ ⎦⎣ ⎦
và do đó m,M
⎡ ⎤
∀Γ ∈
⎣ ⎦
,
0

xa,b
⎡⎤
∃∈
⎣⎦
sao cho
()
0
fx
=Γ
.
2.4. Hệ quả : Nếu
ab≤
thì

() ()
bb
aa
fxdx fxdx
≤
∫∫
.
Chứng minh.
Áp dụng iii), b), mệnh đề 2.3 vào bất đẳng thức