Tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (453.1 KB, 93 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-
LÊ XUÂN HUY
TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
——————————-
LÊ XUÂN HUY
TÍCH CHẬP SUY RỘNG LIÊN QUAN ĐẾN
CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN LAPLACE,
FOURIER VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã ngành: 62460102
TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS. NGUYỄN XUÂN THẢO
PGS. TS. TRỊNH TUÂN
Hà Nội - 2016
MỤC LỤC
MỤC LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
LỜI CAM ĐOAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
LỜI CẢM ƠN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN . . . . . . . . . . . .
5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
MỞ ĐẦU
Chương 1. TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE
16
1.1
Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace . . . . . . . . . . . 16
1.2
Tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm
trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3
Mối liên hệ giữa tích chập suy rộng Fourier-Laplace và các tích
chập khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4
Bất đẳng thức đối với tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace
với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.4.1
Định lý kiểu Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.4.2
Định lý kiểu Saitoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Chương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN KIỂU TÍCH CHẬP SUY
46
RỘNG FOURIER-LAPLACE
2.1
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineLaplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2
2.1.1
Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1.2
Liên hệ giữa phép biến đổi tích phân với các đạo hàm . 50
Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosineFourier sine-Laplace với hàm trọng . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.2.1
Định lý kiểu Watson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1
2.2.2
Định lý kiểu Plancherel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG
3.1
3.2
59
Giải phương trình và hệ phương trình tích phân . . . . . . . . 59
3.1.1
Giải phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.1.2
Giải hệ phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . 69
Giải phương trình vi-tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2.1
Giải phương trình vi-tích phân cấp hai . . . . . . . . . 75
3.2.2
Giải phương trình vi-tích phân
. . . . . . . . . . . . . 77
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN . . . .
91
2
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng
dẫn của các thầy PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS.TS. Trịnh Tuân. Tất
cả các kết quả được trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa
từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào.
Thay mặt tập thể hướng dẫn
PGS.TS. Nguyễn Xuân Thảo
3
Tác giả
Lê Xuân Huy
LỜI CẢM ƠN
Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm túc
của các thầy PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo và PGS. TS. Trịnh Tuân. Tác giả
xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy. Những
người đã dẫn dắt tác giả từ những bước đi đầu tiên trên con đường nghiên
cứu, động viên tác giả vượt qua khó khăn trong quá trình làm NCS.
Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô và các thành
viên trong Seminar Giải tích Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhất là TS.
Nguyễn Thanh Hồng và TS. Nguyễn Minh Khoa. Những người luôn gần gũi,
giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập và trao đổi chuyên môn.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy GS. TSKH. Vũ
Kim Tuấn (Đại học West Georgia, Mỹ), người đã luôn động viên, và cho tác
giả nhiều ý kiến quý báu trong quá trình học tập.
Trong thời gian làm NCS tại Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, tác giả
đã nhận được nhiều tình cảm cũng như sự giúp đỡ từ các thầy cô trong Bộ
môn Toán cơ bản, các thầy cô trong Viện Toán ứng dụng và Tin học. Tác
giả xin được chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban
Giám hiệu Trường Đại học Kinh tế-Kỹ thuật Công nghiệp, cùng các thầy cô
và các bạn đồng nghiệp trong Khoa Khoa học cơ bản đã quan tâm động viên
và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành việc giảng dạy và làm NCS.
Cuối cùng, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu nặng đến gia đình bố
mẹ, vợ con, các anh chị em cùng bạn bè. Niềm tin yêu và hi vọng của mọi
người là nguồn động viên và là động lực to lớn để tác giả vượt qua mọi khó
khăn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Tác giả
4
MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN
a. Một số phép biến đổi tích phân và tích chập
• L là phép biến đổi tích phân Laplace
∞
f (x)e−yx dx, Re y > 0.
Lf (y) =
0
• Fc là phép biến đổi tích phân Fourier cosine
Fc f (y) =
2
π
∞
f (x) cos xydx, y > 0.
0
• Fs là phép biến đổi tích phân Fourier sine
Fs f (y) =
2
π
∞
f (x) sin xydx, y > 0.
0
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace.
1
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace.
2
γ
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace với hàm trọng γ(y) =
1
e−µy (µ > 0).
γ
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Laplace với hàm trọng
2
γ(y) = e−µy (µ > 0).
γ
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm
3
trọng γ(y) = − sin y.
5
γ
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm
4
trọng γ(y) = sin y.
γ
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine-Laplace với hàm
5
trọng γ(y) = −e−µy sin y (µ > 0).
γ
• (. ∗ .) là tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier cosine-Laplace với hàm
6
trọng γ(y) = e−µy sin y (µ > 0).
b. Một số không gian hàm
• R+ = {x ∈ R, x > 0}.
• Lp (R+ ), 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+
sao cho
∞
|f (x)|p dx < ∞,
0
trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi
∞
f
Lp (R+ )
p
|f (x)| dx
=
1
p
.
0
• Lp (R+ , ρ), ρ > 0, 1 ≤ p < ∞ là không gian các hàm số f (x) xác định
trên R+ sao cho
∞
|f (x)|p ρ(x)dx < ∞,
0
trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi
∞
f
Lp (R+ ρ)
p
|f (x)| ρ(x)dx
=
1
p
.
0
Đặc biệt, khi ρ(x) = xα e−βx thì ta nhận được không gian hàm hai tham
số α, β và kí hiệu Lα,β
p (R+ ).
6
• L∞ (R+ ) là không gian các hàm số f (x) xác định trên R+ sao cho
sup |f (x)| < ∞,
x∈R+
trong đó chuẩn của hàm f được kí hiệu và xác định bởi
f
L∞ (R+ )
= sup |f (x)|.
x∈R+
• Ac là không gian ảnh của L1 (R+ ) qua phép biến đổi Fourier cosine Fc ,
với chuẩn f
Ac
= Fc f
L1 (R+ ) .
• C0 (R+ ) là không gian các hàm số liên tục trên R+ và triệt tiêu ở ∞.
• H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) .
7
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài
Lý thuyết về phép biến đổi tích phân đã được đề cập và nghiên cứu từ
rất sớm. Cho đến nay, nó đã trở thành một bộ phận quan trọng của Giải tích
toán học. Những phép biến đổi tích phân đầu tiên phải kể đến là phép biến
đổi Fourier (xem [6, 24, 33]), phép biến đổi Laplace (xem [6, 33, 56]), phép
biến đổi Mellin (xem [22, 33]), phép biến đổi Hankel (xem [6, 47]), phép biến
đổi Stieltjes (xem [6, 32]), phép biến đổi Hilbert (xem [6, 10]), ...
Một trong những vấn đề được quan tâm của phép biến đổi tích phân là
nghiên cứu các tích chập. Đó là một phép nhân đặc biệt được định nghĩa
thông qua phép biến đổi tích phân tương ứng, thường được đưa vào nghiên
cứu trong các không gian hàm mà ở đó phép nhân thông thường không tồn
tại. Giả sử U (X) là không gian tuyến tính, V (Y ) là đại số, ta xét phép biến
đổi tích phân T : U (X) → V (Y ) xác định như sau
K(t, τ )ϕ(τ )dτ ∈ V (Y ).
ϕ(t) = T ϕ (t) =
(0.1)
X
Khi đó tích chập của hai hàm f và k đối với phép biến đổi tích phân T là
toán tử
∗ : U (X) × U (X) → V (Y )
(f, k) → f ∗ k
sao cho thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
T (f ∗ k)(t) = (T f )(t)(T k)(t), ∀t ∈ X.
(0.2)
Những tích chập đầu tiên phải kể đến là tích chập Laplace và tích chập
Fourier (xem [6, 33]). Năm 1951, Sneddon I.N. xây dựng tích chập đối với
8
phép biến đổi Fourier cosine (xem [33]). Đến năm 1958, tích chập với hàm
trọng đối với phép biến đổi Mehler-Fox lần đầu tiên được Vilenkin Y. Ya. đề
cập và nghiên cứu (xem [50]). Sự ra đời của tích chập có hàm trọng đã mở
ra triển vọng phát triển thêm hướng nghiên cứu về lý thuyết tích chập. Dẫu
vậy, năm 1967 Kakichev V.A. mới đưa ra định nghĩa tích chập với hàm trọng
γ(y) của hai hàm f và k đối với một phép biến đổi tích phân T bất kỳ dựa
trên đẳng thức nhân tử hóa (xem [15])
γ
T f ∗ k (y) = γ(y) T f (y) T k (y).
(0.3)
Nhờ vào ý tưởng và kỹ thuật của phương pháp này mà nhiều tích chập có
hàm trọng được tìm ra, tiêu biểu là tích chập với hàm trọng γ(y) = sin y đối
với phép biến đổi Fourier sine (xem [15])
∞
1
f ∗ k (x) = √
Fs
2 2π
γ
f (y)[sign(x + y − 1)k(|x + y − 1|)
0
−k(x + y + 1) + sign(x − y + 1)k(|x − y + 1|)
− sign(x − y − 1)k(|x − y − 1|)]dy, x > 0,
(0.4)
nếu f, k ∈ L1 (R+ ) thì tích chập này thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ
Fs f ∗ k (y) = sin y Fs f (y) Fs k (y), ∀y > 0.
Fs
(0.5)
Năm 1951, lần đầu tiên Sneddon I.N. đã xây dựng được một tích chập
mà trong đẳng thức nhân tử hóa có chứa hai phép biến đổi tích phân khác
nhau tham gia. Đó là tích chập suy rộng đối với hai phép biến đổi Fourier
sine và Fourier cosine (xem [33, 49])
∞
1
f ∗ k (x) = √
Fs Fc
2π
f (y) k(|x − y|) − k(x + y) dy, x > 0,
(0.6)
0
nếu f, k ∈ Lp (R+ ) (p = 1, 2) thì tích chập này thỏa mãn
Fs f ∗ k (y) = Fs f (y) Fc k (y), ∀y > 0.
Fs Fc
9
(0.7)
Cho đến những năm 90 của thế kỷ trước, Yakubovich S.B. cũng đã xây dựng
được một vài tích chập suy rộng theo chỉ số đối với các phép biến đổi tích
phân Mellin, Kontorovich-Lebedev, phép biến đổi G và phép biến đổi H (xem
[51, 55]). Năm 1998, Kakichev V.A. và N.X. Thảo đã đưa ra định nghĩa tích
chập suy rộng với hàm trọng γ của hai hàm f và k đối với ba phép biến đổi
tích phân bất kỳ T1 , T2 và T3 thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
γ
T1 f ∗ k (y) = γ(y) T2 f (y) T3 k (y),
(0.8)
và cho điều kiện cần để xác định tích chập khi biết một số ràng buộc cụ
thể về nhân của các phép biến đổi tích phân tương ứng (xem [17]). Kết quả
này đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tích chập cũng như phép biến
đổi tích phân. Nhờ đó mà những năm về sau đã có nhiều tích chập suy rộng
đối với phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine, Fourier sine, Mellin,
Hartley, Kontorovich-Lebedev được xây dựng, nghiên cứu và cho nhiều ứng
dụng thú vị (xem [15, 18, 37, 38, 39, 43, 45, 54]). Mặc dù, có một số tích chập
suy rộng đối với phép biến đổi Laplace đã được đề xuất từ những năm 1998.
Chẳng hạn tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai phép biến đổi tích
phân Hankel và Laplace, tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép
biến đổi tích phân Laplace, Fourier cosine và Hankel (xem [17]). Tuy nhiên,
đến nay vẫn chưa có một kết quả nghiên cứu chính thức nào về tích chập suy
rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace được công bố.
Như một quy luật tự nhiên, khi đã xây dựng được tích chập f ∗ k (x),
bằng cách cho một trong hai hàm cố định như là nhân trong biểu thức tích
chập, chẳng hạn cố định hàm k, còn hàm f cho biến thiên trong một không
gian hàm xác định nào đó ta sẽ nhận được phép biến đổi tích phân liên
quan đến tích chập tương ứng, gọi là phép biến đổi tích phân kiểu tích chập
f → g = f ∗ k . Phép biến đổi tích phân kiểu tích chập đầu tiên được
Watson xây dựng và nghiên cứu là phép biến đổi liên quan đến tích chập
10
Mellin (xem [44])
∞
f (x) → g(x) =
k(xy)f (y)dy.
(0.9)
0
Tổng quát hơn, người ta có thể nghiên cứu phép biến đổi tích phân dạng
2
d
f → g = D f ∗k mà D là một toán tử nào đó. Trong trường hợp D = (1− dx
2)
là một toán tử vi phân cấp 2, phép biến đổi tích phân kiểu tích chập Fourier
cosine đã được V.K. Tuấn và Musallam thiết lập và nghiên cứu (xem [49])
f (x) → g(x) = (1 −
d2
) f ∗ k (x)
Fc
dx2
d2
1
= (1 − 2 ) √
dx
2π
(0.10)
∞
f (y) k(x + y) + k(|x − y|) dy, x > 0.
0
Với kỹ thuật đó, các tác giả này tiếp tục xây dựng và nghiên cứu phép biến
đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier cosine-Fourier sine (xem [2]).
Các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập hoặc tích chập suy rộng liên quan
đến biến đổi Mellin, biến đổi Kontorovich-Lebedev sau đó cũng được nghiên
cứu (xem [14, 19, 20, 53, 55]). Nhưng tất cả các công trình này đều chỉ dừng
lại nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập và tích chập suy
rộng không có hàm trọng. Với các tích chập và tích chập suy rộng có hàm
trọng, việc xây dựng các phép biến đổi tích phân kiểu tích chập tương ứng
thường là vấn đề phức tạp hơn (xem [40, 41, 42]). Cho đến nay các phép biến
đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace có hàm trọng và không có hàm
trọng vẫn chưa được nghiên cứu.
Việc nghiên cứu các tích chập và các phép biến đổi tích phân có ý nghĩa
quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học và kỹ thuật. Nhờ đó, các phép
toán giải tích phức tạp như đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa thành
các phép tính đại số. Vì vậy, nó đặc biệt hữu ích trong việc giải các phương
trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân, những
phương trình thường xuất hiện trong các bài toán vật lý, trong lý thuyết
11
mạch, hệ cơ học, bài toán ngược, bài toán xử lý ảnh và xử lý tín hiệu (xem
[3, 6, 9, 10, 8, 22, 30, 31, 33, 36, 46, 48, 52]). Trong nhiều trường hợp, nghiệm
nhận được từ các bài toán trên có thể được biểu diễn qua các tích chập tương
ứng. Để đánh giá các nghiệm đó ta có thể dùng đến một công cụ, đó chính là
bất đẳng thức đối với tích chập. Bất đẳng thức đối với các tích chập, ngoài
ứng dụng để đánh giá nghiệm của phương trình, bản thân nó cũng đã là một
vấn đề thú vị trong việc nghiên cứu tích chập.
Đầu tiên phải kể đến bất đẳng thức Young đối với tích chập Fourier (xem
[1, 35]). Nếu p, q, r > 1 thỏa mãn p1 + 1q = 1+ 1r và f (x) ∈ Lp (R), k(x) ∈ Lq (R)
thì ta có
f ∗k
F
Lr (R)
≤ f
Lp (R)
k
Lq (R) .
(0.11)
Bất đẳng thức này cho ta đánh giá chuẩn của tích chập Fourier trong không
gian hàm Lr (R), tuy nhiên nó không còn đúng trong trường hợp f, k ∈ L2 (R).
Năm 2000, trong một bài báo của Saitoh S. (xem [26]), bằng cách xét các
không gian hàm Lp (R, |ρj |) có trọng ρj ∈ L1 (R) (j = 1, 2) là các hàm không
triệt tiêu và Fj ∈ Lp (R, |ρj |) (p > 1), tác giả đã nhận được đánh giá sau, gọi
là bất đẳng thức Saitoh cho tích chập Fourier
(F1 ρ1 ) ∗ (F2 ρ2 )
F
ρ1 ∗ ρ2
F
1
p −1
Lp (R)
≤ F1
Lp (R,|ρ1 |)
F2
Lp (R,|ρ2 |) .
(0.12)
Cũng trong năm đó, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. đã thiết lập được
bất đẳng thức ngược kiểu Saitoh cho tích chập Fourier (xem [27]). Khác với
bất đẳng thức Young, bất đẳng thức Saitoh (0.12) còn đúng trong cả trường
hợp p = 2. Do có nhiều ứng dụng thú vị, đặc biệt là trong việc đánh giá
nghiệm của các phương trình toán-lý, bất đẳng thức Saitoh sau khi xuất hiện
đã thu hút được nhiều sự quan tâm của các nhà toán học. Về sau, bất đẳng
thức này đã được các tác giả Đ.T. Đức và N.D.V. Nhân mở rộng cho không
gian hàm trọng nhiều chiều Lp (Rn , |ρj |) (xem [7]).
Năm 2002, Saitoh S., V.K. Tuấn và Yamamoto M. tiếp tục xây dựng bất
đẳng thức ngược đối với tích chập Laplace và sử dụng vào việc giải bài toán
12
truyền nhiệt ngược (xem [31]). Đến năm 2008, N.D.V. Nhân và Đ.T. Đức
cũng đã thiết lập và nghiên cứu thành công bất đẳng thức kiểu Saitoh cho
tích chập Laplace trong không gian nhiều chiều Lp (Rn+ , |ρj |) (xem [23]).
Các bất đẳng thức dạng trên đối với tích chập Mellin, tích chập Fourier
cosine sau đó cũng được thiết lập nghiên cứu và cho nhiều ứng dụng thú vị
(xem [7, 13, 23, 27, 28, 29, 31]). Tuy nhiên, các bất đẳng thức đối với tích
chập suy rộng liên quan đến phép biến đổi Laplace đến nay vẫn chưa được
đề cập và nghiên cứu.
Từ những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài để nghiên cứu là "Tích
chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân Laplace, Fourier và
ứng dụng".
2. Mục đích, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của luận án là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy
rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Tức các tích chập suy
rộng mà trong đẳng thức nhân tử hóa chứa phép biến đổi Laplace cùng với
một hoặc hai phép biến đổi Fourier cosine, Fourier sine. Nghiên cứu tính chất
toán tử tích chập, thiết lập bất đẳng thức đối với các tích chập suy rộng này
trong một số không gian hàm cụ thể. Xây dựng và nghiên cứu các phép biến
đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng tương ứng. Nghiên cứu các tính chất
toán tử của phép biến đổi như tính unita, sự tồn tại toán tử ngược của phép
biến đổi trong không gian L2 (R+ ). Từ đó, ứng dụng vào việc giải một lớp các
phương trình, hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.
3. Phương pháp nghiên cứu
Trong luận án, chúng tôi sử dụng các phương pháp giải tích hàm, lý thuyết
toán tử, phép biến đổi tích phân và lý thuyết tích chập. Chúng tôi ứng dụng
bất đẳng thức H¨older để đánh giá chuẩn của các toán tử tích chập mới trong
các không gian hàm cụ thể. Đặc biệt Định lý Wiener-Levy được sử dụng
nhiều trong việc xây dựng công thức nghiệm đóng cho lớp các phương trình,
hệ phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân.
13
4. Cấu trúc và kết quả của luận án
Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận án được chia
làm ba chương:
Chương 1, xây xựng và nghiên cứu các tích chập suy rộng Fourier-Laplace.
Nhận được các đẳng thức nhân tử hóa, đẳng thức kiểu Parseval, Định lý kiểu
Titchmarch và một số đánh giá chuẩn trong các không gian hàm Lp (R+ ) và
Lα,β
p (R+ ). Tìm được mối liên hệ giữa các tích chập suy rộng mới với một
số tích chập quan trọng đã biết. Hơn nữa, trong các không gian Lp (R+ ) và
Lp (R+ , ρ), các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh đối với tích chập suy
rộng Fourier-Laplace cũng được thiết lập và chứng minh.
Chương 2, thiết lập và nghiên cứu các phép biến đổi tích phân kiểu tích
chập suy rộng Fourier-Laplace. Nghiên cứu các tính chất toán tử của các
phép biến biến đổi này, ta nhận được các Định lý kiểu Watson cho điều kiện
cần và đủ để các phép biến đổi tương ứng là unita trong không gian L2 (R+ ),
hơn nữa ta cũng xác định được điều kiện đủ cho sự tồn tại các phép biến
đổi ngược. Ngoài ra Định lý kiểu Plancherel đối với phép biến đổi tích phân
tương ứng cũng được chứng minh.
Chương 3, một số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân
và phương trình vi-tích phân được giải nhờ vào tích chập suy rộng FourierLaplace và phép biến đổi tích phân kiểu tích chập suy rộng Fourier-Laplace.
Hơn nữa, bằng phương pháp giải này nghiệm nhận được từ các các phương
trình trên đều được cho dưới dạng dóng.
5. Ý nghĩa của các kết quả của luận án
Các tích chập suy rộng liên quan đến biến đổi Laplace, các phép biến đổi
tích phân kiểu tích chập suy rộng Laplace, và một số bất đẳng thức đối với
các tích chập suy rộng tương ứng lần đầu tiên được đề cập và nghiên cứu
trong luận án. Các kết quả này có ý nghĩa khoa học và góp phần làm phong
phú hơn về lý thuyết phép biến đổi tích phân, tích chập cũng như bất đẳng
thức đối với tích chập. Từ đó, đưa ra cách tiếp cận mới và các phương pháp
14
giải phương trình tích phân và phương trình vi-tích phân. Hơn nữa, một số
ý tưởng và phương pháp được sử dụng trong luận án có thể dùng để nghiên
cứu các tích chập suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân khác.
Nội dung chính của luận án dựa vào bốn công trình đã công bố, được liệt
kê ở "Danh mục công trình đã công bố của luận án", gồm ba công
trình trên các tạp chí toán học Quốc tế (trong đó [4] thuộc tạp chí trong
danh mục ISI) và một công trình trên tạp chí toán học Quốc gia. Các kết
quả này đã được báo cáo một phần hoặc toàn bộ tại:
+ Hội nghị Toán học Việt-Pháp, tháng 8 năm 2012, tại Huế.
+ Hội nghị Toán học Toàn quốc lần thứ 8, tháng 8 năm 2013, tại Nha
Trang.
+ Hội nghị Quốc tế Giải tích phức hữu hạn và vô hạn chiều và ứng dụng
(ICFIDCAA), tháng 8 năm 2011 tại Hà Nội.
+ Hội thảo Toán học phối hợp Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và
Trường Đại học Heidelberg của Đức, tháng 3 năm 2015.
+ Seminar Giải tích, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
+ Seminar Giải tích-Đại số, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội.
15
Chương 1
TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER-LAPLACE
Mục đích của Chương 1 là xây dựng và nghiên cứu một số tích chập suy
rộng liên quan đến phép biến đổi tích phân Laplace. Nghiên cứu các tính chất
toán tử của các tích chập suy rộng này trong một số không gian hàm khác
nhau. Thiết lập và chứng minh các bất đẳng thức kiểu Young, kiểu Saitoh
đối với các tích chập tương ứng.
1.1
Tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace
Trước hết ta nghiên cứu tích chập suy rộng liên quan đến hai phép biến
đổi tích phân Fourier cosine và Laplace không có trọng.
Định nghĩa 1.1.1. Tích chập suy rộng của hai hàm f và k đối với hai phép
biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace được định nghĩa như sau
∞ ∞
f ∗ k (x) =
1
1
π
θ1 (x, u, v)f (u)k(v)dudv,
0
(1.1)
0
trong đó
θ1 (x, u, v) =
v
v
+
, x > 0.
v 2 + (x − u)2 v 2 + (x + u)2
(1.2)
Ta gọi Ac là không gian ảnh của L1 (R+ ) thông qua phép biến đổi Fourier
cosine Fc . Với chuẩn f
Ac
:=
Fc f
L1 (R+ )
thì không gian đó là một đại
số Banach, nghĩa là nếu f (x), k(x) ∈ Ac , thì f (x)k(x) ∈ Ac và thỏa mãn
fk
Ac
≤ f
Ac
k
Ac .
16
Các định lý sau đây cho ta sự tồn tại của các tích chập (1.1) và đẳng thức
nhân tử hóa của tích chập này trong các không gian hàm tương ứng.
Định lý 1.1.1. Giả sử các hàm f (x) và k(x) thuộc không gian L2 (R+ ). Khi
đó ta có f ∗ k (x) ∈ Ac , và thỏa mãn đẳng thức kiểu Parseval
1
f ∗ k (x) = Fc Fc f (y) Lk (y) (x), ∀x > 0.
1
(1.3)
Hơn nữa, ta cũng nhận được đẳng thức nhân tử hóa sau
Fc f ∗ k (y) = Fc f (y) Lk (y), ∀y > 0.
1
(1.4)
Chứng minh. Từ giả thiết f (x), k(x) ∈ L2 (R+ ), ta có Fc f (y), Lk (y) ∈
L2 (R+ ), suy ra Fc f (y) Lk (y) ∈ L1 (R+ ) và Fc Fc f (y) Lk (y) (x) ∈ Ac .
Mặt khác, ta bắt đầu với việc đặt f (x) ∈ L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) và k (x) =
k(x)χ[ ,∞) (x) ∈ L2 (R+ ), ở đó χE (x) là hàm đặc trưng của E, và > 0. Ta có
đánh giá sau
∞ ∞ ∞
e−vy cos(x − u)y + cos(x + u)y |f (u)k (v)| dydudv
0
0 0
∞ ∞ ∞
∞ ∞
e−vy |f (u)k (v)| dydudv = 2
≤2
0
0
0
|f (u)|
|k(v)|
dudv < ∞. (1.5)
v
0
Từ (1.5), áp dụng Định lý Fubini ta có
∞
2
π
Fc Fc f (y) Lk (y) (x) =
Fc f (y) Lk (y)cos xydy
0
∞
=
∞
2
π
k (v)e−vy dv cos xydy
f (u) cos yudu
0
0
∞ ∞
=
∞
0
∞
2
π
e−vy cos yx. cos yudy f (u)k (v)dudv
0
0
0
17
∞ ∞
∞
1
=
π
e−vy cos(x − u)y + cos(x + u)y dy f (u)k (v)dudv.
0
0
(1.6)
0
Từ (1.6), sử dụng công thức (2.13.5) trong [6]
∞
v
, v > 0,
v2 + y2
e−vt cos ytdt =
(1.7)
0
ta có
Fc Fc f (y) Lk (y) (x)
∞ ∞
v
v
+
f (u)k (v)dudv
v 2 + (x − u)2 v 2 + (x + u)2
1
=
π
0
0
= f ∗ k (x).
(1.8)
1
Ta chú ý rằng, nếu f (x) ∈ L2 (R+ ) thì
Lf
L2 (R+ )
≤
√
π f
L2 (R+ ) ,
(1.9)
Khi đó, áp dụng bất đẳng thức H¨older và sử dụng đánh giá (1.9) ta có
Fc Fc f (y) Lk (y) (x)
≤
2
Fc f
π
Vậy, nếu cho
L2 (R+ )
Lk
L∞ (R+ )
L2 (R+ )
2
π
≤
≤
√
2 f
Fc f (y) Lk (y)
L2 (R+ )
k
L1 (R+ )
L2 (R+ ) .
→ 0+ và L1 (R+ ) ∩ L2 (R+ ) trù mật trong L2 (R+ ), bằng
cách thác triển liên tục ta nhận được đẳng thức kiểu Parseval (1.3) đối với
f (x), k(x) ∈ L2 (R+ ). Bằng cách tác động phép biến đổi Fourier cosine Fc lên
hai vế của đẳng thức (1.3) ta nhận được đẳng thức nhân tử hóa (1.4). Định
✷
lý đã được chứng minh.
Ta đặt
H(R+ ) = f (x) : Lf (y) ∈ L2 (R+ ) .
18
(1.10)
Khi đó dễ thấy rằng H(R+ ) là không gian hàm rộng hơn L2 (R+ ), nghĩa là
L2 (R+ ) ⊂ H(R+ ). Trong một số trường hợp, việc nghiên cứu tích chập . ∗ .
1
có thể được nhúng liên tục vào H(R+ ).
Nhận xét 1.1.1. Giả thiết rằng f (x) ∈ L2 (R+ ), và k(x) ∈ H(R+ ) sao cho
tích phân (1.1) hội tụ như tích phân lặp. Ví dụ, tích chập (1.1) tồn tại
như tích phân lặp với k(x) = cos x ∈ L2 (R+ ), nhưng k(x) ∈ H(R+ ) khi đó
Lk (y) =
y
y 2 +1
∈ L2 (R+ ). Trong trường hợp này, ta có đánh giá sau
Fc Fc f (y) Lk (y) (x)
L∞ (R+ )
2
π
≤
2
Fc f L2 (R+ ) Lk L2 (R+ ) =
π
√
≤ 2 f L2 (R+ ) k L2 (R+ ) .
2
f
π
≤
Fc f (y) Lk (y)
L2 (R+ )
Lk
L1 (R+ )
L2 (R+ )
Chứng tỏ rằng các kết quả trong Định lý 1.1.1 vẫn còn đúng dưới giả thiết
này.
Để nghiên cứu tích chập suy rộng . ∗ . trong không gian hàm L1 (R+ ) ta
1
cần đến sự hổ trợ của bổ đề sau.
Bổ đề 1.1.1. Nếu k(x) ∈ L1 (R+ ), thì Lk (y) ∈ Ac .
Chứng minh. Đặt k (x) = k(x)χ[ ,∞) (x). Ta có đánh giá
∞ ∞
∞ ∞
e−vy | cos(xv)k (y)|dydv ≤
0
0
∞
e−vy |k (y)|dvdy =
0
|k(y)|
dy < ∞.
y
0
Khi đó, sử dụng Định lý Fubini ta có
∞
∞
Fc Lk
(x) dx =
0
=
∞
2
π
0
e−vy k (y) dy dv dx
0
0
∞
∞
e−vy cos xv dv dy dx =
k (y)
0
∞
cos xv
0
∞
∞
2
π
0
k (y)
0
19
∞
2
π
0
y
dy dx
x2 + y 2
∞
≤
2
π
∞
y |k (y)|
0
∞
π
2
1
dx dy =
x2 + y 2
0
Suy ra Fc Lk
|k (y)| dy.
0
L1 (R+ )
π
2
≤
Fc Lk
k
L1 (R+ ) .
L1 (R+ )
≤
Cho → 0+ ta nhận được
π
k
2
L1 (R+ ) .
✷
Suy ra Fc Lk (x) ∈ L1 (R+ ). Vậy Lk (y) liên tục và thuộc Ac .
Bổ đề trên là công cụ quan trọng giúp ta chứng minh tích chập f ∗ k (x)
1
thuộc không gian L1 (R+ ) và trong không gian tương ứng các đẳng thức kiểu
Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4) vẫn còn đúng. Ta có định lý
sau.
Định lý 1.1.2. Giả sử rằng f (x), k(x) ∈ L1 (R+ ). Khi đó đối với tích chập
f ∗ k (x), các đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức nhân tử hóa (1.4)
1
vẫn còn đúng, hơn nữa f ∗ k (x) ∈ L1 (R+ ).
1
Chứng minh. Việc chứng minh đẳng thức kiểu Parseval (1.3) và đẳng thức
nhân tử hóa (1.4) là tương tự như trong phần chứng minh Định lý 1.1.1,
vì vậy ở đây ta không chứng minh nữa. Nếu k(x) ∈ L1 (R+ ), thì từ Bổ đề
1.1.1 ta có Lk (y) ∈ Ac . Từ điều kiện f (x) ∈ L1 (R+ ) ta cũng nhận được
Fc f (y) ∈ Ac . Vì Ac là một đại số Banach, suy ra Fc f (y) Lk (y) cũng
thuộc Ac . Từ đẳng thức (1.3) ta cũng suy ra f ∗ k (x) ∈ L1 (R+ ). Định lý
1
đã được chứng minh.
✷
Nhận xét 1.1.2. Trong biểu thức tích chập suy rộng Fourier cosine-Laplace
. ∗ . , nếu thay thế nhân θ1 (x, u, v) bởi nhân
1
θ2 (x, u, v) =
v
v
−
, x > 0,
v 2 + (x − u)2 v 2 + (x + u)2
20
(1.11)
thì ta sẽ nhận được tích chập suy rộng mới. Đó là tích chập suy rộng Fourier
sine-Laplace được định nghĩa bởi
∞ ∞
f ∗ k (x) =
2
1
π
θ2 (x, u, v)f (u)k(v)dudv,
0
(1.12)
0
thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa
Fs f ∗ k (y) = Fs f (y) Lk (y), ∀y > 0, f, k ∈ L2 (R+ ).
(1.13)
2
Tích chập suy rộng . ∗ . có các tính chất gần tương tự tích chập . ∗ . .
2
1
Định lý sau đây nói lên mối liên hệ giữa các tích chập . ∗ . và . ∗ .
1
2
trong L2 (R+ ).
Định lý 1.1.3. Giả sử rằng f (x), f (x) ∈ L2 (R+ ) và k(x) ∈ L2 (R+ ). Khi
đó, ta có các đẳng thức sau
d
f ∗ k (x) = f ∗ k (x),
2
dx 1
d
f ∗ k (x) = f ∗ k (x) +
1
dx 2
(1.14)
∞
2
f (0)
π
yk(y)
dy.
x2 + y 2
(1.15)
0
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh đẳng thức (1.14). Từ các tính chất
đạo hàm của các phép biến đổi tích phân
d
d
Fc f (y) (x) = −Fs yf (y) (x),
Fs f (y) (x) = Fc yf (y) (x),
dx
dx
và các phép biến đổi tích phân của đạo hàm
xFc (f )(x) = −Fs (f (y))(x), xFs (f )(x) = Fc (f (y))(x) + f (0),
ta có đánh giá sau
d
d
f ∗ k (x) =
Fc Fc f (y) Lk (y) (x)
dx 1
dx
21
= −Fs y Fc f (y) Lk (y) (x)
= Fs Fs f (y) Lk (y) (x) = f ∗ k (x).
2
Việc chứng minh đẳng thức (1.15) là tương tự. Thật vậy,
d
d
f ∗ k (x) =
Fs Fs f (y) Lk (y) (x)
dx 2
dx
= Fc y Fs f (y) Lk (y) (x)
= Fc
Lk (y) (x)
Fc f (y) + f (0)
= Fc Fc f (y) Lk (y) (x) + f (0)Fc Lk (y) (x)
∞
= f ∗ k (x) +
1
2
f (0)
π
∞
0
∞
= f ∗ k (x) +
1
cos(xt)e−yt dt dy
k(y)
2
f (0)
π
0
yk(y)
dy.
x2 + y 2
0
✷
Định lý đã được chứng minh.
Tiếp theo, ta nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với hai
phép biến đổi tích phân Fourier cosine và Laplace.
Định nghĩa 1.1.2. Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = e−µy (µ > 0)
của hai hàm f và k đối với hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine và
Laplace được định nghĩa như sau
∞ ∞
γ
f ∗ k (x) =
1
1
π
θ1 (x, u, v + µ)f (u)k(v)dudv,
0
(1.16)
0
trong đó θ1 (x, u, v) được xác định bởi (1.2).
γ
Định lý sau cho ta sự tồn tại của tích chập f ∗ k (x) trong không gian hàm
1
L1 (R+ ) và đẳng thức nhân tử hóa của tích chập.
22
Định lý 1.1.4. Giả sử f (x) và k(x) là hai hàm thuộc không gian L1 (R+ ).
γ
Khi đó, tích chập suy rộng f ∗ k (x) thuộc L1 (R+ ), thỏa mãn bất đẳng thức
1
chuẩn
γ
f ∗k
≤ f
1
L1 (R+ )
k
L1 (R+ )
L1 (R+ ) ,
(1.17)
và có đẳng thức nhân tử hóa
γ
Fc f ∗ k (y) = e−µy Fc f (y) Lk (y), ∀y > 0.
(1.18)
1
γ
Ngoài ra, tích chập suy rộng f ∗ k (x) cũng thuộc C0 (R+ ).
1
Chứng minh. Trước hết, ta có đánh giá sau
∞
∞
v+µ
v+µ
+
dx
2
2
(v + µ) + (x − u)
(v + µ)2 + (x + u)2
θ1 (x, u, v + µ) dx =
0
0
∞
∞
v+µ
dt
(v + µ)2 + t2
v+µ
dt +
(v + µ)2 + t2
≤
−u
∞
u
v+µ
dt = π.
(v + µ)2 + t2
=
(1.19)
−∞
Từ (1.16) và (1.19), ta có
∞
∞ ∞
1
f ∗ k (x) dx =
1
π
γ
0
∞
|f (u)k(v)| dudv
0 0
∞
≤
0
∞
|f (u)|du
0
θ1 (x, u, v + µ) dx
|k(v)|dv = f
L1 (R+ )
k
< ∞.
0
Suy ra
γ
f ∗k
1
≤ f
L1 (R+ )
L1 (R+ )
23
L1 (R+ )
k
L1 (R+ ) .
