06 ki thuat lien hop 2 nghiem vo ti BG(2016)

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

06. KĨ THUẬT LIÊN HỢP HAI NGHIỆM VÔ TỈ
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1 [Video]. Giải phương trình x 2 + 4 x + 3 = ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 .
Ví dụ 2 [Video]. Giải phương trình ( x + 2 ) 6 x − x 2 + x 2 − 6 x − 1 +

3x 2 − 8x + 2 − 8 x − 2

1 + 6x − x2
Ví dụ 3 [Video]. Giải phương trình x3 − x 2 − x + 3 = 4 x + 3 + 2 6 x + 6.

=0.

Ví dụ 4 [Tham khảo]. Giải phương trình 2 x 2 + 8 x + 8 + ( x 2 − 4 x − 1) 9 x + 8 = ( x + 1) 7 x + 3

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
3
Điều kiện x ≥ − . Phương trình đã cho tương đương với
7
2
x + 3 x + 2 − ( x + 1) 7 x + 3 + x 2 + 5 x + 6 − ( x + 2 ) 9 x + 8 + ( x 2 − 3 x + 1) 9 x + 8 = 0

(

)

(

)

⇔ ( x + 1) x + 2 − 7 x + 3 + ( x + 2 ) x + 3 − 9 x + 8 + ( x 2 − 3 x + 1) 9 x + 8 = 0
⇔

( x + 1) ( x 2 − 3x + 1) ( x + 2 ) ( x 2 − 3x + 1)
x + 2 + 7x + 3

+

x + 3 + 9x + 8

+ ( x 2 − 3 x + 1) 9 x + 8 = 0

x +1
x+2


⇔ ( x 2 − 3 x + 1) 
+
+ 9 x + 8  = 0 (1)
 x + 2 + 7x + 3 x + 3 + 9x + 8

3
x +1
x+2
Ta có
+
+ 9 x + 8 > 0, ∀x ≥ − .

7
x + 2 + 7 x + 3 x + 3 + 9x + 8
 3 + 5 3 − 5 
Do đó (1) ⇔ x 2 − 3 x + 1 = 0 ⇔ x ∈ 
;
 . Kết luận phương trình có hai nghiệm.
2 
 2

Ví dụ 5 [Tham khảo]. Giải phương trình x 2 − 6 = 7 x + 9 − 9 x + 14

( x ∈ ℝ) .

Lời giải.
9
Điều kiện x ≥ − . Phương trình đã cho tương đương với
7
x + 2 − 7 x + 9 − x + 3 − 9 x + 14 + x 2 − 3 x − 5 = 0

(

⇔

)

x 2 − 3x − 5
x 2 − 3x − 5
−
+ x 2 − 3x − 5 = 0
x + 2 + 7 x + 9 x + 3 + 9 x + 14

1
1


⇔ ( x 2 − 3x − 5 ) 
−
+ 1 = 0
 x + 2 + 7 x + 9 x + 3 + 9 x + 14 
2x + 5
9
Nhận xét 1 + 9 x + 14 − 7 x + 9 = 1 +
> 0, ∀x ≥ − , dẫn đến
7
9 x + 14 + 7 x + 9
1
1
0 < x + 2 + 7 x + 9 < x + 3 + 9 x + 14 ⇒
−
+1 > 0 .
x + 2 + 7 x + 9 x + 3 + 9 x + 14
 3 + 14 3 − 14 
Do đó ta được x 2 − 3 x − 5 = 0 ⇔ x ∈ 
;
 , kết luận phương trình có hai nghiệm.
2 
 2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

1
1
8 x + 12
+
= 2
( x ∈ ℝ) .
7 x + 10
5x + 5 x + 5x + 6
Lời giải.
Điều kiện x > −1 . Phương trình đã cho tương đương với
x 2 − 3x − 6
1
1
x2 − x − 1 − x − 2 − x − 3
1
1
+
+
=0⇔
+
+
=0
2
x + 5x + 6
( x + 3)( x + 2 )
7 x + 10
5x + 5

7 x + 10
5x + 5
Ví dụ 6 [Tham khảo]. Giải phương trình 1 +

⇔

x2 − x − 1
1
1
1
1
−
−
+
+
=0
( x + 3)( x + 2 ) x + 3 x + 2 7 x + 10 5 x + 5

⇔

x2 − x − 1
1
1
1
1
+
−
+
−
=0

( x + 3)( x + 2 ) 7 x + 10 x + 3 5 x + 5 x + 2

⇔

x2 − x − 1
x + 3 − 7 x + 10 x + 2 − 5 x + 5
+
+
=0
( x + 3)( x + 2 ) ( x + 3) 7 x + 10 ( x + 2 ) 5 x + 5

⇔

x2 − x − 1
x2 − x − 1
+
( x + 3) ( x + 2 ) ( x + 3) x + 3 + 7 x + 10

(

)

7 x + 10

+

x2 − x −1

( x + 2) ( x + 2 +

5x + 5

)

5x + 5

=0

 x2 − x − 1 = 0

1
1
1
⇔
+
+
=0
 ( x + 3)( x + 2 ) ( x + 3) x + 3 + 7 x + 10 7 x + 10 ( x + 2 ) x + 2 + 5 x + 5 5 x + 5

Rõ ràng
1
1
1
+
+
> 0, ∀x > −1 .
( x + 3)( x + 2 ) ( x + 3) x + 3 + 7 x + 10 7 x + 10 ( x + 2 ) x + 2 + 5 x + 5 5 x + 5

(

(

)

)

(

(

)

)

 −1 + 5 −1 − 5 
Do đó ta có x 2 − x − 1 = 0 ⇒ x ∈ 
;
 . Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm.
2 
 2

Ví dụ 7 [Tham khảo]. Giải phương trình x3 − x 2 − x + 1 = 4 x + 3 + 3x 2 + 10 x + 6.
A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 3 − X 2 − X + 1 − 4 X + 3 − 3 X 2 + 10 X + 6 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 732050808.
Bấm SHIFT STO A để gán −0, 732050808 = A.

X 3 − X 2 − X + 1 − 4 X + 3 − 3 X 2 + 10 X + 6
=0
X −A

Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2, 732050808.
Bấm SHIFT STO B để gán 2, 732050808 = B.

Nhập vào máy tính

X 3 − X 2 − X + 1 − 4 X + 3 − 3 X 2 + 10 X + 6
=0
( X − A)( X − B )
Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B = 2
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (1) có nhân tử x 2 − 2 x − 2.
 A.B = −2
Ta cần cân bằng ax + b = 4 x + 3 khi biết 2 nghiệm x = A, x = B

Nhập vào máy tính

 Aa + b = 4 A + 3
⇒ a = b = 1.
Bấm máy giải hệ 
 Ba + b = 4 B + 3
Ta cần cân bằng cx + d = 3x 2 + 10 x + 6 khi biết 2 nghiệm x = A, x = B
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

 Ac + d = 3 A2 + 10 A + 6
Bấm máy giải hệ 
⇒ c = d = 2.

 Bc + d = 3B 2 + 10 B + 6
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

3

x ≥ −
ĐK: 
4
3 x 2 + 10 x + 6 ≥ 0


(*)

)

) (

(

Khi đó (1) ⇔ x + 1 − 4 x + 3 + 2 x + 2 − 3 x 2 + 10 x + 6 − 3 x − 3 + x3 − x 2 − x + 1 = 0

( x + 1) − ( 4 x + 3) + ( 2 x + 2 )
⇔
2

2

− ( 3 x 2 + 10 x + 6 )

x +1+ 4x + 3

+ x3 − x 2 − 4 x − 2 = 0

2 x + 2 + 3 x + 10 x + 6
x − 2x − 2
x2 − 2 x − 2
⇔
+
+ x ( x2 − 2 x − 2 ) + x2 − 2 x − 2 = 0
x + 1 + 4 x + 3 2 x + 2 + 3 x 2 + 10 x + 6


1
1
⇔ ( x2 − 2 x − 2) 
+
+ x + 1 = 0
(2)
2
 x + 1 + 4 x + 3 2 x + 2 + 3x + 10 x + 6

3
1
1
+
+ x + 1 > 0.
Với x ≥ − > −1 ⇒
4
x + 1 + 4 x + 3 2 x + 2 + 3 x 2 + 10 x + 6

2

2

Do đó (2) ⇔ x 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 thỏa mãn (*)

Đ/s: x = 1 ± 3
Ví dụ 8 [Tham khảo]. Giải phương trình

( x + 2)

4 x + 3 + ( x + 1) 3 6 x + 4 = 2 ( x + 1) .
2

A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính ( X + 2 ) 4 X + 3 + ( X + 1) 3 6 X + 4 − 2 ( X + 1) = 0
2

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = −0, 732050808.
Bấm SHIFT STO A để gán −0, 732050808 = A.
4 X + 3 + ( X + 1) 3 6 X + 4 − 2 ( X + 1)

2

Nhập vào máy tính

( X + 2)

4 X + 3 + ( X + 1) 3 6 X + 4 − 2 ( X + 1)

2

Nhập vào máy tính

( X + 2)

=0
X −A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2, 732050808.
Bấm SHIFT STO B để gán 2, 732050808 = B.

( X − A)( X − B )

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B = 2
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (1) có nhân tử x 2 − 2 x − 2.
 A.B = −2
Ta cần cân bằng ax + b = 4 x + 3 khi biết 2 nghiệm x = A, x = B

 Aa + b = 4 A + 3
Bấm máy giải hệ 
⇒ a = b = 1.
 Ba + b = 4 B + 3
Ta cần cân bằng cx + d = 3 6 x + 4 khi biết 2 nghiệm x = A, x = B
 Ac + d = 3 6 A + 4 c = 1
Bấm máy giải hệ 
⇒

d = 0
 Bc + d = 3 6 B + 4
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

B.

Lời giải

3
(*)
4
2
Khi đó (1) ⇔ 2 ( x + 1) − ( x + 2 ) 4 x + 3 − ( x + 1) 3 6 x + 4 = 0

ĐK: x ≥ −

(

)

(

)

⇔ ( x + 2 ) x + 1 − 4 x + 3 + ( x + 1) x − 3 6 x + 4 − ( x 2 + 3 x + 2 ) − ( x 2 + x ) + 2 ( x + 1) = 0
2

(2)

2

x  3x 2
3
Ta có T = x + x 6 x + 4 + ( 6 x + 4 ) =  6 x + 4 +  +
≥ 0.
2
4

2
x  3x2
 x = 0
3
Dấu " = " xảy ra ⇔  6 x + 4 +  =
= 0 ⇔ 3
2
4

 6 x + 4 = 0
Điều này là vô lý nên dấu " = " không xảy ra ⇒ T > 0.
3
1
Với x ≥ − ⇒ x + 1 + 4 x + 3 ≥ + 0 > 0.
4
4
2

3

Do đó (2) ⇔ ( x + 2 ) .
⇔

2

3

( x + 1) − ( 4 x + 3) +
2

x + 1+ 4x + 3

( x + 1) .

x3 − ( 6 x + 4 )
=0
T

( x + 2 ) ( x 2 − 2 x − 2 ) ( x + 1)  x ( x 2 − 2 x − 2 ) + 2 ( x 2 − 2 x − 2 )

+
T
x + 1 + 4x + 3

( x + 1)( x + 2 )  = 0
x+2
⇔ ( x2 − 2 x − 2) 
+


T
 x +1 + 4x + 3

( x + 1)( x + 2 ) > 0.
x+2
3
Với x ≥ − > −1 và T > 0 ⇒
+
4
T
x +1 + 4x + 3

=0
(3)

Do đó (3) ⇔ x 2 − 2 x − 2 = 0 ⇔ x = 1 ± 3 thỏa mãn (*)

Đ/s: x = 1 ± 3
Ví dụ 9 [Tham khảo]. Giải phương trình x 4 − 5 x 3 + 11x 2 − 12 x + 5 =

(x

2

− x + 2 )( 2 x 2 − 4 x + 3) .

A. Phân tích CASIO
Nhập vào máy tính X 4 − 5 X 3 + 11X 2 − 12 X + 5 −

(X

2

− X + 2 )( 2 X 2 − 4 X + 3) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 0,3819660113
Bấm SHIFT STO A để gán 0,3819660113 = A

Nhập vào máy tính

X 4 − 5 X 3 + 11X 2 − 12 X + 5 −

(X

2

− X + 2 )( 2 X 2 − 4 X + 3)

X−A
Bấm SHIFT SLOVE = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 2, 618033989
Bấm SHIFT STO B để gán 2, 618033989 = B
Nhập vào máy tính

X 4 − 5 X 3 + 11X 2 − 12 X + 5 −

(X

2

− X + 2 )( 2 X 2 − 4 X + 3)

( X − A)( X − B )

=0

=0

Bấm SHIFT SLOVE = = = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
A + B = 3
Bấm A + B và A.B ta được 
⇒ (1) có nhân tử x3 − 3 x + 1.
.
=
1
A
B


Đại lượng

(x

2

− x + 2 )( 2 x 2 − 4 x + 3) có 2 căn nhân với nhau nên việc cân bằng bình thường là khá khó

khăn. Chú ý rằng ( 2 x 2 − 4 x + 3) − ( x 2 − x + 2 ) = x 2 − 3 x + 1 nên ta sẽ nhóm

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

2 x2 − 4 x + 3

→ 2 x2 − 4 x + 3

(

(

2 x2 − 4 x + 3 − x2 − x + 2

)

)

2 x 2 − 4 x + 3 − x 2 − x + 2 − ( 2 x 2 − 4 x + 3) + x 4 − 5 x3 + 11x 2 − 12 x + 5 = 0
A

Cụm A có dạng bậc 4, ta hoàn toàn tách được A thành tích khi biết A có nhân tử x3 − 3 x + 1.
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải
2

1  7
2
ĐK: ( x 2 − x + 2 )( 2 x 2 − 4 x + 3) ≥ 0 ⇔  x −  +   2 ( x − 1) + 1 ≥ 0 ⇔ x ∈ ℝ



2  4 


(*)

Khi đó (1) ⇔ x 4 − 5 x3 + 11x 2 − 12 x + 5 − x 2 − x + 2. 2 x 2 − 4 x + 3 = 0
⇔ 2 x2 − 4 x + 3

(

⇔ 2x

⇔

)

2 x 2 − 4 x + 3 − x 2 − x + 2 − ( 2 x 2 − 4 x + 3 ) + x 4 − 5 x3 + 11x 2 − 12 x + 5 = 0

(x

2

2

( 2x
− 4 x + 3.

2

− 4 x + 3) − ( x 2 − x + 2 )

2x − 4x + 3 + x − x + 2
2

− 3x + 1) 2 x 2 − 4 x + 3

2

+ x 4 − 5 x3 + 9 x 2 − 8 x + 2

+ x 2 ( x 2 − 3x + 1) − 2 x ( x 2 − 3x + 1) + 2 ( x 2 − 3x + 1) = 0

2x − 4x + 3 + x − x + 2


2 x2 − 4 x + 4
2
⇔ ( x − 3 x + 1) 
+ x2 − 2 x + 2  = 0
 2 x2 − 4 x + 3 + x2 − x + 2





2x2 − 4x + 4
2
⇔ ( x 2 − 3 x + 1) 
+ ( x − 1) + 1 = 0

 2 x2 − 4 x + 3 + x2 − x + 2



3± 5
⇔ x 2 − 3x + 1 = 0 ⇔ x =
thỏa mãn (*)
2
Đ/s: x =

2

2

3± 5
2

Ví dụ 10 [Tham khảo]. Giải phương trình x3 − 4 x − 1 + x 2 − x = x3 − x + x + 1
( x ∈ ℝ) .
PHÂN TÍCH CASIO. Tương tự như các ví dụ trên, thì sẽ đi thực hiện các bước:
• Ta chưa xác định được phương trình bài cho có nghiệm hữu tỷ hay vô tỷ, chính vì thế ta sẽ sử
dụng công cụ TABLE ( Mode 7 ) để tìm khoảng nghiệm của phương trình.
•

•

Nhập hàm số f ( X ) = X 3 − 4 X − 1 + X 2 − X − X 3 − X − X + 1 . Vì điều kiện bài toán là

x ≥ 1
 x ≤ 0 nên ta sẽ gán giá trị khởi đầu và kết thúc tương ứng với điều kiện chặn và với hai miền


nghiệm khác nhau tức là sẽ ứng với hai bảng giá trị.
TH1. Với điều kiện x ≥ 1 .
Bảng giá trị của hàm số F(X)
o Start ? Nhập START = 1 .
x ≥1
x≤0
o End ? Nhập END = 5 .
X
F(X)
X
F(X)
o Step ? Nhập STEP = 0.5 .
ERROR
−5.414
−4
1
TH2. Với điều kiện x ≤ 0 .
ERROR
−3.5
1.5
−5.709
o Start ? Nhập START = −4 .
ERROR
−
3
−
3.767
2
o End ? Nhập END = 0 .

ERROR
−2.5
2.5
1.0678
o Step ? Nhập STEP = 0.5 .
ERROR
3
9.5505
−2
Dựa vào bảng bên, ta thấy hai khoảng nghiệm
ERROR
−
1.5
3.5
22.436
 5
 1 
3.4142
−1
40.482
4
phương trình là x ∈  2;  và x ∈  − ; 0  .
−0.5
0.4215
4.5
64.441
 2
 2 
0
−2

5
95.068
Và bây giờ ta sẽ sử dụng đến công cụ SHIFT
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

•

CALC để dò nghiệm trong hai khoảng nghiệm trên.
o Nhập phương trình bài cho vào máy.
 5
o Với khoảng nghiệm x ∈  2;  gán x = 2.25 suy ra được nghiệm x = 2.414213562 .
 2
 1 
o Với khoảng nghiệm x ∈  − ; 0  gán x = −0.25 suy ra được nghiệm x = −0.414213562 .
 2 
Xét hai nghiệm tìm được, thế vào hai căn thức của bài toán, ta có:
 x1 + x2 = 2
o Theo Viet đảo, sẽ thấy được 
nên nhân tử chung cần tìm là x 2 − 2 x − 1 .
x
x
=
−
1
 1 2
o Bài
toán

xuất
hiện
ba
căn
thức,
lại
có

x 3 − x = x ( x 2 − 1) = x ( x − 1)( x + 1) = x 2 − x . x + 1 . Vì thế ta sẽ tìm mối liên hệ

x 2 − x và

giữa hai căn thức

x +1 .

 x 2 − x = 1.847759065
⇒ x2 − x = x + 1
o Với x = 2.414213562 suy ra 
 x + 1 = 1.847759065

x 2 − x = x + 1 , do đó nhân tử chung

o Tương tự với x = −0.414213562 ta cũng có được
hay nói cách khác biểu thức liên hợp cần tìm là

(

)

x2 − x − x + 1 .

TƯ DUY LỜI GIẢI. Với nhân tử tìm được, đồng thời quan sát bài toán, ta đã có được ngay nhân tử
chung giữa hai căn là

(

)

x 2 − x − x + 1 , việc còn lại chỉ là đi ghép biểu thức liên hợp với căn thức

x3 − x , hay để đơn giản hóa ta sẽ đi giải phương trình g ( x ) = x3 − 4 x − 1 − x3 − x = 0 .
•

Nếu đề bài yêu cầu giải phương trình g ( x ) = 0 thôi thì ta thấy phương trình có dạng

h ( x ) = k ( x ) nên hoàn toàn có thể chọn giải pháp nâng lũy thừa, sau đó sẽ chia đa thức tạo nhân
tử. Bình phương hai vế của phương trình g ( x ) = 0 với điều kiện x 3 − 4 x − 1 ≥ 0 ta được

(x

3

− 4 x − 1) = x3 − x .
2

o Với kỹ năng ở CHUYÊN ĐỀ 1, hoàn toàn ta có được:

(x

3

− 4 x − 1) = x 3 − x ⇔ x 6 − 8 x 4 − 3 x3 + 16 x 2 + 9 x + 1 = 0
2

o Nhân tử tìm được là x 2 − 2 x − 1 nên tiếp tục thực hiện phép chia đa thức để giảm bậc:
x 6 − 8 x 4 − 3 x 3 + 16 x 2 + 9 x + 1
P=
= x 4 + 2 x3 − 3 x 2 − 7 x − 1
2
x − 2x −1
4
3
2
o Và chứng minh x + 2 x − 3 x − 7 x − 1 = 0 vô nghiệm với điều kiện xác định của nó.
•

x3 − x .

Còn trong trường hợp này, ta sẽ đi tìm biểu thức liên hợp với căn thức

o Với hai nghiệm tìm được, ta có x = 2.414213562 suy ra

)

(

x3 − x = 3.414213561 = x + 1 .

Vì thế biểu thức liên hợp chính là x + 1 − x 3 − x .

)

(

o Do đó, phương trình g ( x ) = 0 tương đương với: ( x 3 − 5 x − 2 ) + x + 1 − x 3 − x = 0

(

)

⇔ ( x + 2 ) ( x − 2 x − 1) + x + 1 − x − x = 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x − 2 x − 1) +
2

⇔ ( x + 2 ) ( x − 2 x − 1) −
2

3

( x + 1) ( x 2 − 2 x − 1)
x + 1 + x3 − x

2

( x + 1)

2

− ( x3 − x )

x + 1 + x3 − x

=0



x +1
= 0 ⇔ ( x 2 − 2 x − 1)  x + 2 −
=0
3
x
+
1
+
x
−
x



Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

o Và một lần nữa, sức mạng của TABLE lên tiếng, ta có thể dùng bảng giá trị này để khảo
x +1
sát nghiệm của phương trình x + 2 −
= 0 còn lại.
x + 1 + x3 − x

X +1
, ta sẽ xét trong khoảng điều kiện x ≥ 1 .
Nhập hàm số f ( X ) = X + 2 −
X +1+ X 3 − X
Start ? Nhập START = 1 .
X
F(X)
End ? Nhập END = 4.5 .
1
2
Step ? Nhập STEP = 0.5 .
1.5
2.8538
Nhận thấy hàm số có dấu hiệu tăng và không có dấu
3.4494
2
hiệu cắt trục hoành vì thế ta có thể khẳng định rằng
2.5
4.0086
phương trình f ( X ) = 0 vô nghiệm.

3
3.5
4
4.5

Hướng chứng minh vô nghiệm ta có thể khảo sát hàm
số để chỉ ra đó là một HÀM TĂNG, hoặc có thể biến
đổi tương đương hay nhóm hằng số đê đưa về tổng
đại lượng luôn dương. Ta có:

x+2−

x+2−

4.5505
5.0823
5.6077
6.1285

các



x +1
x3 − x
= x + 1 + 1 −
=
+
1
+
>0
x

x + 1 + x3 − x
x + 1 + x3 − x 
x + 1 + x3 − x

x +1

x +1
x + 1 + x3 − x

=

)

( x + 2) ( x + 1 +

x3 − x − x + 1

x + 1 + x3 − x

=

x 2 + 2 x + 3 + ( x + 2 ) x3 − x
x + 1 + x3 − x

 x ∈ ( −∞; 0] ∪ [1; +∞ )
o Suy ra g ( x ) = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔  2
⇔ x = 1± 2 .
 x − 2 x − 1 = 0

(

) (
x − x)+(

Từ đó, ta có lời giải như sau: x 3 − 4 x − 1 − x 3 − x +

(

⇔ x3 − 5 x − 2 + x + 1 −

3

⇔ ( x + 2 ) ( x − 2 x − 1) −
2

)
x + 1) = 0

x2 − x − x + 1 = 0

x2 − x −

( x + 1) ( x 2 − 2 x − 1)
x + 1 + x3 − x

+

x2 − 2x − 1
x2 − x + x + 1


x +1
⇔ ( x 2 − 2 x − 1)  x + 2 −
+
x + 1 + x3 − x



=0
x − x + x +1 


x3 − x
⇔ ( x 2 − 2 x − 1)  x + 1 +
+
3

x
+
1
+
x
−
x



=0
x 2 − x + x + 1 

⇔ ( x 2 − 2 x − 1) . f ( x ) = 0 ⇔ x = 1 ± 2

{

}

=0

1

2

1

 f ( x ) > 0 

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 ± 2 .

Ví dụ 11 [Tham khảo]. Giải phương trình 6 x3 = 2 x 2 + 3 x + ( x + 3) 3 x + 2 + 2 x + 1

( x ∈ ℝ)

PHÂN TÍCH CASIO. Bài toán chứa hai căn thức và tư tưởng của chúng ta là vẫn đi liên hợp cho căn,
tuy nhiên cần xác định được nghiệm thì mới xác định được biểu thức liên hợp đó. Dùng chức năng SHIFT
 3 x + 2 = 2.618033989 = x + 1
CALC ta sẽ có được nghiệm x = 1.618033989 suy ra 
nên các biểu thức
x
+
1
=
1.618033989
=
x


(

)

(

)

liên hợp đó chính là x + 1 − 3 x + 2 và x − x + 1 , tuy nhiên lại thấy x + 3 trước căn thức

3x + 2

do đó ta cần thêm bớt đại lượng ( x + 1)( x + 3) . Do đó, phương trình đã cho tương đương với:
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

6 x 3 − 2 x 2 −3 x − ( x + 3 ) 3 x + 2 − 2 x + 1 = 0

(

⇔ 3 ( 2 x + 1) ( x 2 − x − 1) + ( x + 3) x + 1 − 3 x + 2 + 2 x −

) (
x + 1) = 0

⇔ 3 ( 2 x + 1) ( x − x − 1) +

=0

)

⇔ 6 x3 − 2 x 2 −3 x − ( x + 3)( x + 1) − 2 x + ( x + 3) x + 1 − 3 x + 2 + 2 x − x + 1 = 0

(

2

( x + 3) ( x 2 − x − 1)
x + 1 + 3x + 2

+

) (

2 ( x 2 − x − 1)
x + x +1

x+3
2


⇔ ( x 2 − x − 1) 3 ( 2 x + 1) +
+
=0
x + 1 + 3x + 2 x + x + 1 


( ∗)

2

2
2
1+ 5
x+3
x ≥ −
Vì 3 ( 2 x + 1) +
+
> 0; ∀x ≥ − suy ra ( ∗) ⇔ 
.
⇔x=
3
3
2
x + 1 + 3x + 2 x + x + 1
 x2 − x − 1 = 0

1+ 5
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x =
.
2
2x + 1
7x + 3
1
+
=
( x ∈ ℝ)
2

2 x − 3x
3x − 2
3x − 1
PHÂN TÍCH CASIO. Bài toán với kết cấu khá là phức tạp, có chứa rất nhiều phân số vì thế khả năng
lớn sẽ là nhóm được nhân tử chung bằng liên hợp. Tuy nhiên, trước hết ta cần tìm nghiệm của phương
trình đã cho bằng chức năng SHIFT CALC, nhưng hãy khảo sát bằng TABLE như ở ví dụ 1 nhé. Ta sẽ
 x = 0.3819660113
tìm được hai nghiệm của phương trình là 
và suy ra được
 x = 2.618033989

Ví dụ 12 [Tham khảo]. Giải phương trình

 3 x − 1 = 0.3819660113 = x
.

7
x
+
3
=
2.381966011
=
x
+
2
=
3
x
−

1
+
2

1
1
Mặt khác phương trình đã xuất hiện
ta sẽ ghép liên hợp với , và biến đổi phương trình trở
x
3x − 1
thành:
2x + 1
7x + 3
1
1 
1
7x + 3
1
1
2 − 3x
+
=
⇔
=
⇔ 2 + − 7x + 3 =
2 +  +
2
2 x − 3x
3x − 2
2 − 3x 

x  3x − 2
x
3x − 1
3x − 1
3x − 1

⇔ 2+

(

)

1
1
1 
1
− 7x + 3 =
− 3x − 1 ⇔  −
 + 2 + 3x − 1 − 7 x + 3 = 0
x
3x − 1
3x − 1 
x

(

)

(

2

)

2 + 3x − 1 − 7 x − 3
4 3x − 1 − x
3x − 1 − x
3x − 1 − x
⇔
+
=0⇔
+
=0
x 3x − 1
2 + 3x − 1 + 7 x + 3
x 3x − 1
2 + 3x − 1 + 7 x + 3
1

1
4
3± 5


x ≥
⇔ 3x − 1 − x 
+
⇔x=
3
 = 0 ⇔ x = 3x − 1 ⇔ 

2
 x 3x − 1 2 + 3x − 1 + 7 x + 3 
 x 2 − 3x + 1 = 0

Cái khó ở bài toán trên chính nhận ra được hai yếu tố cân bằng nhau để tìm ra biểu thức liên hợp đó chính
là biểu thức 2 + 3 x − 1 = 7 x + 3 và sau khi liên hợp ta được:

(

)

2 + 3x − 1 −

(2 +
7x + 3 =

)

2

3x − 1 − 7 x − 3

2 + 3x − 1 + 7 x + 3

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x =

=

4

(

3x − 1 − x

)

2 + 3x − 1 + 7 x + 3

3± 5
.
2

Ví dụ 13 [Tham khảo]. Giải phương trình 11x + 3 9 x 2 + 15 x + 7 = x 2 + ( x + 2 ) 8 x + 3

( x ∈ ℝ)

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

PHÂN TÍCH CASIO. Không khác các ví dụ ở trên là bao nhiêu, vẫn là những kỹ năng cơ bản, tìm
nghiệm của phương trình bằng SHIFT CALC đồng thời xét bảng TABLE tìm khoảng nghiệm, ta sẽ có
x = 0.2679491924 là một nghiệm của phương trình. Với nghiệm này ta thấy
 8 x + 3 = 2.267949192 = x + 2
nên
các
biểu
thức
liên

h ợp
lần
lượt
là
3 2
x
x
x
+
+
=
=
+
9
15
7
2.267949192
2


(x + 2 −

3

)(

)

9 x 2 + 15 x + 7 , x + 2 − 8 x + 3 .

Khi đó, phương trình đã cho tương đương với: x 2 − 11x + ( x + 2 ) 8 x + 3 − 3 9 x 2 + 15 x + 7 = 0

(

)

⇔ x 2 − 12 x − 2 + ( x + 2 ) 8 x + 3 + x + 2 − 3 9 x 2 + 15 x + 7 = 0
⇔ 2 ( x 2 − 4 x + 1) + ( x + 2 )
⇔ 2 ( x − 4 x + 1) −
2

(

) (

)

8 x + 3 − x − 2 + x + 2 − 3 9 x 2 + 15 x + 7 = 0

( x + 2 ) ( x 2 − 4 x + 1)
8x + 3 + x + 2

+

( x + 1) ( x 2 − 4 x + 1)

( x + 2)

2

+ ( x + 2 ) 9 x + 15 x + 7 +
3

2



x+2
x +1
⇔ ( x 2 − 4 x + 1)  2 −
+
8 x + 3 + x + 2 ( x + 2 ) 2 + ( x + 2 ) 3 9 x 2 + 15 x + 7 +



(

)

(

(

3

9 x + 15 x + 7
2

)

2

=0



=0
2 
2
3
9 x + 15 x + 7 


)

( ∗)

2 8x + 3 + x + 2 − x − 2 x + 2 + 2 8x + 3
x+2
3
=
=
> 0; ∀x ≥ − nên phương
8
8x + 3 + x + 2
8x + 3 + x + 2
8x + 3 + x + 2
10 x + 3 ≥ 0
trình ( ∗) ⇔  2
⇔ x = 2 ± 3 là hai nghiệm của phương trình đã cho.

x
−
4
x
+
1
=
0


Chú ý đến 2 −

Em gái thầy Đặng Việt Hùng

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016