12 cac PP tinh tich phan p1 pros(2016)

Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

12. CÁC PP TÍNH TÍCH PHÂN – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
DẠNG 1. PP ĐỔI BIẾN SỐ HÀM LƯỢNG GIÁC
dx = a cos tdt
x = a sin t

→ 2
Nếu f(x) có chứa a 2 − x 2 
2
2
2
2
 a − x = a − a sin t = a cos t
adt

dx =
 a 2 + x 2 x = a tan t 
cos 2 t
Nếu f(x) có chứa 

→
 a 2 + x 2
 a 2 + x 2 = a 2 + a 2 tan 2 t = a

cos t
−a cos dt


dx =
a

x=
sin 2 t

sin t
Nếu f(x) có chứa x 2 − a 2 
→
a2
 x2 − a2 =
− a 2 = a cot t
2

sin t
Chú ý: Sau khi đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt.
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
1
2

3

a) I1 = ∫ 1 − x 2 dx

b) I 2 =

0

∫

1
4

3

dx
9 + x2
0

d) I 4 = ∫

e) I 5 =

3

∫
2

9 + 3x
dx
x2
2

c) I 3 =

2
2

∫
0

x2
1 − x2

dx

x2 − 4
dx
x3

Lời giải:
dx = cos tdt
a) Đặt x = sin t ⇒ 
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
x = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận : 
→ cos t = cos t
1
π 
 x = 2 ⇒ t = 6
1
2

π
6

⇒ I1 = ∫ 1 − x dx = ∫

2

0

0

π
6

π
6

π

1
1
π
3
1
6
1 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = +
20
4
2
0 12 8
0
2

2


3dt
 dx =

cos 2 t
b) Đặt x = 3 tan t ⇒ 
 9 + 3 x 2 = 9 + 9 tan 2 t = 3

cos t
π

 x = 1 ⇒ t = 6
Đổi cận : 

→ cos t = cos t
x = 3 ⇒ t = π

4

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
π
3

∫

I2 =

1

π

4
4
9 + 3x 2
9 + 9 tan 2 t
dx
=
3
dt
=
3
∫π 3tan 2 t cos2 t
∫π
x2

π

4
dt
cos tdt
=
3
=
3
=
2
2

2
2
∫
∫
2 sin t
π cos t .sin t
π cos t .sin t
cos t.cos t
6
6
6
cos 2 t

6
π
4

π
4

Facebook: LyHung95

dt

π

π

3
4


d (sin t )
1
1 
1
1
1 

3
d
(sin
t
)
3
= 3∫
=
+
=
+
+

 d (sin t ) =

2
2
2
2 
∫
∫
sin t 

2(1 + sin t ) sin 2 t 
π (1 − sin t ).sin t
π  1 − sin t
π  2(1 − sin t )
6

6

π
4

6

π
4

π
4

π
4

6

π
6

3 d (sin t ) 3 d (sin t )
d (sin t ) 3 1 + sin t
= ∫

+ ∫
+ 3∫
= ln
2
2 π 1 − sin t 2 π 1 + sin t
2 1 − sin t
π sin t
6

6

π
4

3
−
sin t

π
6


3 2+ 2
6
=  ln
− ln 3  + 6 −
2 2− 2
2


dx = cos tdt
c) Đặt x = sin t ⇒ 
2
2
 1 − x = 1 − sin t = cos t
x = 0 ⇒ t = 0

Đổi cận : 
→ cos t = cos t
2
π 
⇒t =
x =
2
4

π
4

π
4

π
4

π
4

π
4

π

sin t cos t
1
1 1
4 π 1
I3 = ∫
=∫
dt = ∫
dt = ∫ sin 2 tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − .
2
2
cos t
20
2 4
0 8 4
0 1− x
0 1 − sin t
0
0
3dt

2
 dx = cos 2 t = 3 (1 + tan t ) dt
d) Đặt x = 3tan t ⇒ 
9 + x 2 = 9 (1 + tan 2 t )

2

x dx

2

sin t cos t

2

π
x = 0 ⇒ t = 0
3
4
dx
(1 + tan 2 t )dt 1 4 π

Đổi cận : 
→ I4 = ∫
= 3∫
= t =
π 
9 + x2
9 + 9 tan 2 t
3 0 12
0
0
 x = 3 ⇒ t = 4
2cos tdt

dx = −


sin 2 t
2

e) Đặt x =
⇒
2
sin t
 x 2 − 4 = 4 cos t = 2 cot t

sin 2 t
π

π

 x = 2 ⇒ t = 2
Đổi cận : 

→ cot t = cot t
x = 4 ⇒ t = π
3
3

4

Ta có I 5 =

3

∫
2

π
3

π
2

π
2

π

2cos t.2cos t
1
1
1 1
3
x −4
2 π
dx = − ∫
dt = ∫ cos 2 tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  =
−
3
8
π
x
2π
4π
4 2
24 16


π sin t .sin 2 t .
3
2
3
3
sin 3 t
2

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
2
2

1
2

a)

∫

1− x 2 dx

b)

∫
0

0

x2
1 − x2

1
2

dx

c)

∫
0

dx
1 − x2

Bài 2: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
3
2

2

a)

2
2
∫ x 4 − x dx
1

b)

∫
0

dx
(1 − x 2 )3

1

c)

∫
2
2

1− x 2
dx
x2

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!


Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG

Facebook: LyHung95

Bài 3: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
1

dx

∫

a)

1

∫

b)

4 − x2

0

x

3
2

2

4 − x2

0

dx

x2

∫

c)

9 − x2

0

dx

Bài 4: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
3
2

a)

∫x

2

2

2

2

b)

1− x dx

∫x

2 x − x dx
2

c)

0

0

2
2

∫

2− x
dx
x+2

Bài 5: [ĐVH]. Tính các tích phân sau :
1

a)

1

2

x dx

∫

4− x

0

b)

6

x dx

∫

3 + 2x − x

0

Đ/.s: a) I =

π
18

b) I =

1
2

2

2

c)

∫

1 − 2 x 1 − x 2 dx

0

π 3 3
+
−4
2
2

Bài 6: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
3

a)

1

dx
∫0 9 + x 2

b)

∫

0

dx
(1 + x 2 )3

1

c)

∫x
0

4

xdx
+ x2 + 1

Bài 7: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:
1

1

dx
a) ∫ 4
x + 4 x2 + 3
0

dx
b) ∫
(1 + x 2 ) 2

0

0

c)

∫

−1

dx
x + 2x + 2
2

Bài 8: [ĐVH]. Tính các tích phân sau:

x2 − 1
dx
x

2

a)

∫
1

x2 − 9
dx
x

6

b)

∫
3

1

c)

∫
0

1

(1 + x )

2 3

dx

Bài 9: [ĐVH]. Tính các tích phân sau
3 3

a)

∫

3

1
x

2

x −9
2

1+ 2 2

dx

b)

∫
3

x2 − 2 x − 1
dx
x −1

5

c)

∫
0

x
x +4
2

dx

Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!