Chinh phục bài tập dao động cơ ôn thi THPT môn Vật Lí

Chinh phục bài tập Vật Lý tập 1 – Dao động cơ học

Loveboook.vn

CHINH PHỤC BÀI TẬP DAO ĐỘNG CƠ 2.0 do GIA ĐÌNH LOVEBOOK
phát hành.
Anh cả: Phạm Văn Cường
Anh chị hỗ trợ: Tăng Hải Tuân, Nguyễn Ngọc Ánh, Bùi Thu Thảo.
NXB: ĐH quốc gia HN
Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015
Số trang: 508 trang khổ A4
Giá: 179000 vnđ
Đặt trước sách Lovebook phiên bản 2.0: />Giải đáp các thắc mắc trong sách Lovebook: />Tài liệu Lovebook chọn lọc: />Kênh bài giảng Lovebook: />Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên Lovebook: goo.gl/ol9EmG


CHỦ ĐỀ:

ĐẠI CƯƠNG VỀ DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

PHẦN I: TÓM TẮT KIẾN THỨC LÍ THUYẾT CƠ
BẢN
A. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1. Dao động cơ
Định nghĩa: Dao động là chuyển động trong một vùng giới hạn, lặp đi lặp lại nhiều lần
quanh một vị trí cân
bằng xác định (VTCB). VTCB là vị trí ban đầu đứng yên ở trạng thái tự do.
Ví dụ: Bông hoa lay động trên cành cây, quả lắc đồng hồ đung đưa…

2. Dao động tuần hoàn
a.

Định nghĩa: Là dao động mà trạng thái chuyển động của vật được lặp lại như cũ
(trở lại vị trí cũ, hướng
cũ) sau những khoảng thời gian bằng nhau xác định (gọi là chu kì).
Ví dụ: Dao động của con lắc đồng hồ…
b.
Đại lượng đặc trưng f
 Chu kì T: Chu kì của dao động tuần hoàn là khoảng thời gian ngắn nhất sau đó trạng
thái dao động lặp
lạicũ.
như

Chu kì =

khoảng
thời
gian
dao
động số

Kí hiệu: T =

t

n (Đơn vị: s)

 Tần số f: “Số dao động” mà vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian.
số
dao
động

Tần số = khoảng thời gian(s)
Kí hiệu: f =

n

(Đơn vị:

Hz)
t

Chú ý: Liên hệ giữa tần số và

f=

1

chu kì:
f dao động 
1(s)
1 dao động 
T(s)

T

3. Dao động điều hòa
a.
Là
dao
động
màhòa

li độ(libiến
địnhnghĩa:
luật
hàm
sốđộng
cos
hoặc
(sin).
b.mộtĐịnh
Phương
trình
dao
điều
độ). thiên theo thời gian và được mô tả bằng
Phương trình dạng cos

Phương trình dạng sin

Dạng 1: x = Acos(ωt +φ)

Dạng 1: x = Asin(ωt +φ)

Dạng 2: x = Acos(2πft +φ)
2π
Dạng 3: x = Acos(
t +φ)
T

Dạng 2: x = Asin(2πft +φ)
2π

Dạng 3: x = Asin(
t +φ)
T

Bình luận: Thông thường hiện nay chúng ta thường quy về một dạng tổng quát chung là:
x = Acos(ωt +φ) (m, cm, mm…)


Trong đó:
+) Quỹ đạo dao động là một đoạn thẳng dài L = 2A.
+) A, ω, là những hằng số dương, φ cũng là hằng số nhưng có thể dương, âm hoặc bằng
không.
+) x: Là li độ, cho ta biết khoảng cách từ vị trí của vật tới vị trí cân bằng đã được chọn làm
gốc tọa độ (là tọa
độ của vật tại thời điểm t đang xét). Giá trị: -A  x  A. Đơn vị: (m, cm, mm…).
+) A: Là biên độ dao động (A>0), đó là giá trị cực đại của li độ (xmax = A) ứng với lúc cos(ωt
+φ) =1. Biên độ
A phụ thuộc kích thích ban đầu. Đơn vị (m, cm, mm…).
+) ω: Là tần số góc của dao động (ω >0). ω phụ thuộc vào đặc tính của hệ dao động. Biết
được ω là sẽ tính


được chu kì T và tần số f (có thể nói nó là đại lượng trung gian cho phép ta tính được chu kì
và tần số f). Đơn
2π
vị là (rad/s). Tần số góc ω = 2πf =
.
T
+) T: Chu kì của dao động điều hòa là thời gian ngắn nhất để vật trở lại trạng thái như cũ (vị
trí cũ hướng cũ)

nó cũng là khoảng thời gian để vật thực hiện được một dao động toàn phần. Đơn vị là (s).
T

2π

t
 ω

(n là số dao động toàn phần thực hiện trong khoảng thời gian t).
n

+) f: Là tần số dao động, nó cho ta biết số dao động toàn phần thực hiện được trong một
đơn vị thời gian
1
ω
n
f 
 (Đơn vị là Hz, đọc là Héc).
T 2π t
+) φ: Là pha ban đầu của dao động. Là pha của dao động tại thời điểm t = 0. Pha của dao
động có thể dương,
âm, hoặc bằng 0. Nó cho phép xác định trạng trái dao động của vật tại thời điểm t = 0. Đơn
vị (rad). Pha ban
đầu phụ thuộc vào cách kích thích dao động, gốc tọa độ, gốc thời gian, chiều dương quỹ đạo.
+) (ωt +φ): Là pha dao động tại thời điểm t đang xét. Pha của dao động có thể dương, âm
hoặc bằng 0. Nó cho
phép ta xác định được trạng trái của vật tại thời điểm t bất kì. Đơn vị: (rad)

Chú ý
•Dao động điều hòa là trường hợp riêng của dao động tuần hoàn, dao động tuần hoàn có

thể không điều hòa.
● Xuất phát từ phương trình dao động điều hòa: x = Acos(ωt+φ), cho φ = 0 để đơn giản.
Lập bảng biến thiên
của li độ x theo thời gian t và đồ thị biểu diễn x theo t (hình vẽ). Từ đồ thị ta sẽ thấy rằng, dao
động điều hòa là
chuyển động tuần hoàn.

c.

x

2π
T=ω

A
O
-A

T
2

Bảng
t biến thiên
ωt của xxtheo t
t

T

T

T

T

Hình:
biểu
diễn
x =t,Acos(ωt+φ)
với diễn
φ=0
Trục
hoành
biểuđại
diễn
thời
trục tung biểu
li.độ
x. A là
giá
trị Đường
cực
của
li gian
độ x.

- Giá trị đại số của li độ: xcđ = A; xct = -A
- Độ x ma  A
lớn x
:

(VTB);

x min  0 (VTCB)

0

0

A

π
2ω

π
2

0

π
ω

π

-A

3π
2ω

3π
2

0

2π
ω

2π

A


I - Vận tốc và gia tốc trong dao động điều hòa
1.

Vận tốc trong dao động điều hòa

Ta có: vTB

x2  x1
t2  t1



x

t

=
Khi: t

0

v TB  v (vận tốc tức thời)
x dx
v  lim v TB 
  x’ (Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của li độ theo thời gian).
lim
t0 tdt
t
0

a. Phương trình vận tốc
Nếu vật dao động điều hòa với phương trình: x = A cos(ωt +φ) thì phương trình vận tốc là


v = x’(t) = - ωAsin(ωt +φ) = ωAcos(ωt +φ +
2

π

)

 v min  0 tại biên ( x v max  ωA qua vị trí cân bằng (x = 0).
 A ) và

- Thấy rằng li độ x và vận tốc v đều là hàm cosin với cùng tần số góc ω, pha ban đầu của
v là φ +

π

, lớn hơn

2

pha ban đầu của x. Nên vận tốc v sớm
pha
Chú ý:

so với li độ x, hoặc li độ x trễ

π

pha

2

π so với vận tốc v.
2

1.v luôn cùng chiều với chuyển động, vật chuyển động theo chiều dương thì v > 0, theo
chiều âm thì v <0.
2. Vận tốc đạt giá trị cực đại vmax = ωA khi qua vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi theo
chiều dương (v >0).
tốc đạt giá trị cực tiểu vmin= - ωA khi vật qua vị trí cân bằng (x = 0) và đang đi
3. Vận
theo chiều âm (v<0).
4. Vận tốc v là một đại lượng vecto nên nhận cả các v  ωA
giá trị: - ωA 
Gia tốc trong dao động điều hòa
v v

v
Ta có:
 2 1 
a
2.

t
t2  t1
v dv
lim a TB 
  v’ = x’’ (Gia tốc là đạo hàm bậc nhất của v theo thời gian, là đạo
lim
hàm bậc hai
t0 t dt
t0
TB

Khi: a
=

của li độ theo thời gian).
a. Phương trình gia tốc
a = v’(t) = x’’(t) = - ω2Acos(ωt +φ) = ω2A cos(ωt +φ  π)= - ω2x
 amin tại vị trí cân bằng =ω2A tại ví trí biên.
và a max
+) a có độ lớn tỉ lệ với li độ và luôn hướng về vị trí cân

π
2

so với v.

bằng.
+) a luôn nhanh pha π so với x (tức là ngược pha x), a luôn
nhanh pha
 Chú ý: Tính chất đặc biệt (- a  ω2 A)
ω2 A 
- Gia tốc a đạt giá trị cực đại amax = ω2 A khi vật qua vị trí: x = -A.
- Gia tốc đạt giá trị cực tiểu amin = - ω2A khi vật qua biên dương: x = A.
Nhận xét: Vận tốc và gia tốc biến thiên điều hòa cùng tần số với li độ và mang các tính
chất sau:


 Theo thứ
π tự a – v – x (gia tốc – vận tốc – li độ), đại lượng trước nhanh pha hơn đại lượng
sau 1 góc
2
 Gia tốc a lệch pha với li độ x một góc π, hay nói cách khác a và x dao động ngược pha.
 Tóm tắt dễ nhớ:
+) v vuông pha với x và a.
+) a ngược pha với x.
 v nhanh
pha

π
2

so với x nhưng v chậm so với a.
π
pha

2

ΙΙ – Hợp lực tác dụng lên vật (lực hồi phục)

F = m.a = -mω2x = -kx = -mω2Acos(ωt +φ)

+) a và F cùng pha với nhau nhưng chúng ngược pha với x.
+) Lực gây ra dao động điều hòa luôn hướng về vị trí cân bằng và được gọi là lực kéo về hay
lực hồi phục. Lực
kéo về có độ lớn tỉ lệ với li độ và lực gây ra gia tốc cho vật dao động điều hòa.
+) Dao động cơ đổi chiều khi hợp lực đạt giá trị cực đại.
+)
= kA = mω2A. Tại ví trí biên
Fhpmax
+) Fhpmin = 0. Tại vị trí cân bằng


Chú ý: Khi hệ dao động theo phương ngang, bỏ qua ma sát và lực cản thì: ∆� = 0; Fđh = Fhp
 Trên đây mới chỉ nêu tổng quan sơ lược, sang chủ đề con lắc lò xo độc giả sẽ hiểu rõ hơn!
SỰ ĐỔI CHIỀU VÀ TÍNH CHẤT CHUYỂN ĐỘNG
+) Các vectơ a , F đổi chiều khi qua vị trí cân bằng (VTCB).
+) Vectơ v đổi chiều khi qua vị trí biên.
⋇ Khi đi từ vị trí cân bằng O ra vị trí biên:

Nếu: a  v  chuyển động chậm dần.

Vận tốc giảm, ly độ tăng  động năng giảm, thế năng tăng  độ lớn gia
tốc, lực kéo về tăng.
⋇ Khi đi từ vị trí biên về vị trí cân bằng O:


Nếu a  v  chuyển động nhanh dần.

Vận tốc tăng, ly độ giảm  động năng tăng, thế năng giảm  độ lớn gia
tốc, lực kéo về giảm.
Chú ý: Ở đây không thể nói là vật dao động nhanh dần “đều” hay chậm dần “đều” vì dao
động là loại chuyển
động có gia tốc a biến thiên điều hòa chứ không phải gia tốc a là hằng.

ΙΙΙ - Các công thức liên hệ độc lập với thời gian

x2  A2 cos2  ωt  φ 
x 
Acos(ωt+φ)
Ta có:


v
. Bình phương hai vế 2
2


A
 ωt +φ 
  A sin(ωt  φ)
2

 v sin
ω
ω





 Sau
đó
cộng
từng
vế
sẽ
được
và
biến đổi thêm bước nữa có được 2 hệ thức quan
trọng
vàđể
thường
dùng
vận
dụng
giải bài
tập.
2
2
2
2 v2
A x 
a = ω x  A 2  v2
a

ω2

ω4

ω2

 Tổng kết các hệ thức độc lập và tính chất đồ thị nên nhớ:

2


x
.
a. Đồ thị (v, x) là đường elip.
2

v
v
1.


2

1A
2
x 

  

A 
v max 
2. a =tọa

-ω2độ.
x
2

 a
a

3.




2




2

v 


2
ω 

2

1A
v
v a




b. Đồ thị của (a, x) là đoạn thẳng đi qua gốc

2
2

c. Đồ thị của (a, v) là đường Elip.




 


ω4 ω2


  
 max 
4. Fmax
=tọa
- kxđộ.
2

 F



v 
F


5.

2



v

d. Đồ thị của (F, x) là đoạn thẳng đi qua gốc
2

e. Đồ thị của ( F, v) là đường Elip.

2

1A 





Fmax 


v max 

6.

2

4

2

mω

ω

1

2

1

Từ động năng Wđ =

suy ra được hệ thức đặc biệt:

mv2 và động năng cực đại Wđ =
mv
2

2
 F

2

 W

max

1

đ
 Wđmax
F


max 

1
7. Từ động năng Wđ =
= W suy ra được một hệ
2
thức đặc biệt:

1

2

mv2 và Wt =

kx2 và định luật bảo toàn cơ năng: Wđ + Wt

Wt Wđ


1
W W

Lưu ý: Các phương trình độc lập trên không chứa tham số t nên việc giải toán sẽ rất nhanh, do đó cần thuộc


dựa vào có mối quan hệ trực tiếp mỗi hệ thức sẽ tìm được đại lượng áp dụng giải cho nhiều bài toán xuôi
ngược về sau.
ΙV – Mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn đều
a.
Dao động điều hòa có thể coi là hình chiếu vị trí của một chất điểm chuyển động
tròn đều xuống một đường
thẳng đi qua tâm và nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.
v
A = R; ω =
b.

Các

R

bước thực
hiện
+

Bước 1: Vẽ vòng tròn (O; R =A).
Bước 2: Tại t=0, xem vật đang ở đâu và
bắt đầu
chuyển động theo chiều âm hay chiều
dương.

Nếu φ >0: Vật chuyển động theo chiều âm
(về biên
âm).
Nếu φ <0: Vật chuyển động theo chiều
dương (về
biên dương).
Bước 3: Xác định điểm tới (điểm đích) để
xác định
góc quét ∆φ, từ đó xác định được thời gian
và quãng
đường chất điểm chuyển động.

(C)
φ

-A

c.Sự tương tự giữa dao động điều hòa và chuyển
Dao động điều hòa x = Acos(ωt+φ)
A là biên độ
ω là tần số góc
(ωt+φ) là pha dao động
vmax = Aω là tốc độ cực đại
amax = Aω2 là gia tốc cực đại
Fhpmax = mAω2 là hợp lực cực đại tác dụng lên

O

x

A

động tròn đều.
Chuyển động tròn đều (O, R = A)
R = A là bán kính
ω là tốc độ góc
(ωt+φ) là tọa độ góc
v = Rω là tốc độ dài
aht = Rω2 là gia tốc hướng tâm
Fht = mAω2 là lực hướng tâm tác dụng lên


PHẦN II: PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP
THƯỜNG GẶP
Vấn đề : Một số dạng toán cơ bản mở đầu nhận biết, xác định các đặc
điểm và tính chất
của dao động điều hòa.
DẠNG 1 : Xác định các đại lượng và tính chất trong phương trình dao động điều hòa.

A.

Bài toán tìm chu kì , tần số và xác định các đại lượng dựa vào phương trình, tìm phương
trình tổng quát dao
động điều hòa
a.
Một số lưu ý
Để biết một vật có dao động điều hòa hay không, cần phải biết phương trình dao động có
được biểu diễn
dưới dạng hàm số cos (hoặc sin) hay không.
 Theo định nghĩa, phương trình dao động điều hòa có dạng x = Acos(ωt+φ), trong đó x

là li độ ở thời
điểm t, A là biên độ (tức li độ cực đại), φ là pha ban đầu, ω là tần số góc .
2π
- Giữa tần số góc ω và tần số f, chu kì T của dao động điều hòa có mối liên T (rad/s);
hệ: ω = 2πf =
T

2π



t

(s) (n là số dao động toàn phần thực hiện trong khoảng f 

1



(Hz)
T 2π

thời gian t).
ω n

ω



n

t

Lưu ý: Nếu phương trình dao động đã cho không đúng dạng định nghĩa trên, ta cần quan sát dùng công thức
lượng giác biến đổi để đưa về dạng hàm số cos sao cho không còn dấu (-) trước hàm số sin hoặc trước tích ωt.

b.

Hệ thống ví dụ và bài tập

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, trong khoảng thời gian 1 phút 30
giây vật thực hiện
được 180 dao động. Khi đó chu kì và tần số dao động của vật là
1
D. 0,4s và 5Hz
A. 0,5s và 2Hz
B. 2s và 0,5Hz
C. 20 s và 120Hz
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Tần số là số dao động vật thực hiện được trong một đơn vị thời gian. Vì vậy nếu biết được
trong 1
giây có bao nhiêu dao động xảy ra, sẽ biết được tần số của nó.
Lời giải
số dao

Tần số
=
Kí hiệu: f =
t

động
khoảng
thời
gian(s)

n

180
=
 2 Hz.
90

90
Mở rộng: Muốn tính chu kì vận dụng định nghĩa:
 0,5 s hoặc cũng có thể sử dụng mối
t
T 
liên hệ giữ


f và T: T 

1



1

n 180

 0,5 s.

f 2
Chú
ý:
Cần
đổi đơn vị thời gian ra
giây (s).
Ví dụ 2: Xác định biên độ, pha ban đầu, tần số góc, chu kì, tần số và của các dao động sau
π
a. x = 10 cos(5πt +
) (cm).
3
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Bài toán yêu cầu xác định các đại lượng dựa vào phương trình, quan sát phương trình bài toán
trên
rồi so với lí thuyết kiến thức nền tảng đã học thấy ngay đây là dạng phương trình dao động điều hòa. Vì vậy
công
việc giải bài này rất đơn giản đó là chỉ cần viết phương trình dao động cơ bản ra rồi đối chiều tìm ra đại lượng
đề yêu cầu. Đặc biệt cũng cần phải chú ý đến mối quan hệ giữa các đại lượng để có thể dựa vào đó (đại lượng
đã
biết) ta sẽ tìm được đại lượng còn lại chưa biết.
Lời giải
+ Phương trình tổng quát dao động điều hòa có dạng: x  A cos  ωt  φ (1)


π
+ Từ phương trình: x = 10

) (cm). Đối chiếu với phương trình tổng quát (1) tìm được:

3

cos(5πt +
- Biên
(cm).độ dao động : A = 10
π
- Pha ban đầu : φ 3 (rad).
=
- Tần số góc : ω = 5π (rad/s).
- Chu kì:
T=

=0,4 (s). (Vì ω là đại lượng trung gian xác định chu kì và tần số do vậy khi dựa

2π
5π phương trình

bài toán tìm ra được tần số góc ω là có thể xác định ngay được chu kì hoặc tần số).
+f=

1

1
=
= 2,5 (Hz). (Dựa vào mối liên hệ giữa chu kì và tần số, khi tính được T rồi dễ
T 0, 4
dàng tính tần số

theo mối liên hệ đặc biệt). Ngoài ra cũng có có thể tính tần số f theo ω:
ω
Cách 2: f =
 =2,5(Hz).
5π
2π 2π
Ví dụ 3: Xác định biên độ, chu kì và pha ban đầu của các loại dao động điều hòa sau
π
a. x = -4cos(2πt + ) (cm)
3
π
b. x = 5cos(
6 - πt) (cm)
c. x = 4cos5πt – 4sin5πt(cm)
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Quan sát cả 3 phương trình trên rồi hình dung nhớ lại lí thuyết và định nghĩa tổng quát đã học,
có
vẻ thấy cả 3 phương trình này đều phức tạp thấy khác lạ hơn so với phương trình dao động điều hòa tổng quát.
Phương pháp giải 3 bài này chỉ cần biến đổi hợp lí và đúng sao để đưa cả 3 phương trình trên về đúng dạng
tổng quát nhất, rồi từ đó mới có thể xác định được tất cả các đại lượng đúng nhất sau đó giải quyết những yêu
cầu của bài toán. Bài toán trên đối với phương trình (a) và (b) ta chỉ cần sử dụng công thức lượng giác biến
đổi để đưa về dạng hàm số cos sao cho không còn dấu (-) trước hàm số cos và trước tích ωt, còn đối với
phương trình
(c) cũng tương tự vậy biến đổi một chút đưa phương trình về cùng hàm cos sau đó sử dụng công thức cộng
lượng
giác là sẽ ra.
Lời

a.

x = - 4cos(2πt +
3

π

giải:
π
2π
) = 4cos(2πt+
- π )= 4cos(2πt ) (cm).
3
3


 A  4cm;ω  2π(rad/ s)  T 

2π

 1(s);φ  

2π

(rad)

ω
3
π
- πt)= 5cos(πt ) (cm).

6
2π
π
 A  5(cm);ω  π(rad/ s)  T 
 2(s);φ   (rad).
π
6
π
c.x = 4cos5πt – 4sin5πt = 4cos5πt – 4cos(5πt 2 cos(5πt +
)(cm).
4
π
+
)=4
2
2π
π
 A  4 2(cm);ω  5π(rad/ s)  T 
 0,4(s);φ  (rad) .
5π
4
Bình
Cóbiên
thểcác
nói
khi
xáchoặc
địnhtần
đạisố
lượng

không
nắm vững
thuyết
hoặcviết
1 chút
vộilượng
vàng với bài thiên
toán trên
rất
dễ
sai luận:
lầm
chọn
độ Abài
(âm)
góc
ω thường
(âm)
vậy
làlýđổi
sai.
Lưu
Trong
động,
phải
cách
đạiA
theo
hàm
số

sin
sang
sốtoán
cos
hoặc
ngược
lại.như
Thực
chất
để
thỏa
mãn
>0 vàbiến
ω>0 như định
nghĩa
líý:thuyết
ta hàm
đã học
. dao
b.

x = 5cos(
6

π

Đối với dạng toán này nên nhớ một số biểu thức chuyển đổi thường gặp sau:


π

1.x = Asin(ωt) = Acos(ωt π
)
2

2.x = Acos(ωt) = Asin(ωt +
2

).

3.x = Acos(φ – ωt) = Acos(ωt – φ)

4. x = -Asin(ωt+φ) = Asin(ωt + φ + π)

 Bài tập rèn luyện.
Bài
toán
1: chuẩn
Phương trình dao động của vật có dạng: x = Asin(ωt). Pha ban đầu của dao
động
dạng
x  Acos(ωt  φ) bằng bao nhiêu?
A. 0.
B. π.

C. 2π.

π
.
2

D.
π

Bài toán 2: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = -

)(cm). Biên độ và pha ban

đầu
4cos(5πt của vật là
A. -4cm

3
π

rad.

B. 4cm và

2π

rad.

C. 4cm và

4π

rad.

D. 4cm và 

2π

rad .

và
3

3

3

3

Bài toán 3: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 2cos(4πt +
động và tần số

π

)(cm). Chu kì dao

3

của vật là
A. 2s và 0,5Hz.

B. 0,5s và 2Hz.

C. 0,25s và 4Hz.
D. 0,5s và 5Hz.

π
)(cm). Xác định tần số góc
Bài toán 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x =
và chu
3

6cos(3πt kì của vật
A.3π rad và
3

2

s.

B.

π
3

rad và 6s.

C. π rad và 2s.

D.

π
3

rad và 3s.

Bài toán: Cho các chuyển động được mô tả bởi các phương trình sau:
a)x  5cos(πt) 1 (cm)
π
2
b)x  2sin (2πt  ) (cm)
6
c) x  3.sin(4πt) 3cos(4πt) (cm)
Chứng minh rằng chuyển động trên đều là những dao động điều hòa. Xác định biên độ, tần
số, pha ban đầu?
Đáp
án.
1.

D

2.

B

3.

B

4.

A

B.Các bài toán liên quan đến phương trình độc lập.
1.Bài toán liên quan đến phương trình độc lập. Do x, v vuông nên có các biểu thức liên hệ
a.

Một số lưu ý


x2
A

x

2

A 

v

2

A x 

ω2

v2

12
(ωA)

v

ω2



b.

2



v  ω
x

Ví dụ minh họa và bài tập

2

2

2

2

A 

ω

v
2

A x

2

Ví dụ 1: Vật dao động điều hòa có phương trình x =
π
4cos (2πt  )

(cm). Vận tốc của vật khi qua li
6 độ

x  2cm là
A.


21,7 cm/s.


B. 13,34 cm/s.

C.

12,56 cm/s.

D. 12 cm/s.

Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Vì đây là bài toán cho phương trình dao động, cho x bắt tìm v nên sẽ dễ dạng tìm được các đại
lượng
rồi áp dụng hệ thức độc lập thời gian phù hợp. Từ phương trình dựa vào đây xác định được
2

ω = 2π (rad/s), A = 4cm. Đến đây chỉ cần thế các giá trị x, A và ω vào hệ thức độc lập: x 

v2
 1 là sẽ
tìm

được v.

A2 ω2 A2

Lời giải
+ Tìm được: ω = 2π(rad/s), A = 4cm.
+ Từ hệ

x2
A

2



v2
2

ω A

2

 1  v  ω

2

A x

2

thức:
+ Do vậy vận tốc khi vật qua li độ x = 2cm là: v  ω

2

2

A  x  2π

2

2

4  2  21,7 (

cm/s).
 Đáp án A.
Chú ý: Nếu bài toán hỏi tốc độ của vật thì chỉ lấy giá trị dương.
π
2t  )(cm). Khi vật có vận
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x
tốc v
2

= 5cos(10
cm/s li độ của vật là
A. 3 cm.

 40 2

B. 5

2 cm.

C.

3 cm.

D. 3

5 cm.

5
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Đây là bài toán ngược của ví dụ 1 cho phương trình dao động, cho v bắt tìm x, cần tìm được các
đại
lượng rồi áp dụng hệ thức độc lập thời gian phù hợp. Từ phương trình dựa vào đây xác định được
x2
ω = 10 2 (rad/s), A = 5cm. Đến đây chỉ cần thế các giá trị v, A và ω vào hệ thức độc

v2
 1 là sẽ
tìm



A2 ω2 A2
lập:
được x.


+ Tìm được: ω =10

2 (rad/s), A =

Lời giải

5cm.

+ Từ hệ
thức:

2

2

 2
v

 1  A2  

ω
x
A2 ω2 A2

x

v

2

+ Do vậy li độ khi vật có vận tốc v = 40

2

 40

ω 

2


5 

  3 cm.


v
A2   




 10

22

2

cm là: x  
 Đáp án A
Lưu
ý: Qua
dụ
trên
dễ
dàng
tổng
kết
được
phương
phápcho
giảili
nhờ
hiệu
Dấu
hiệu
1:độ
Bài
toán
cho
phương
trình
dao động,
độ

x.dấu
Tìm
vận
tốc
vví
Dấu
hiệu
2:
Bài
toán
cho
động,
cho
vận:hai
tốc
v.của
Tìmvật?
li
x của
vật?
v phương trình dao
2
2
*Phương pháp giải chung: Sử dụng hệ
x =A thức:

2

ω2
Nên nhớ : 2 công thức sau giải nhanh bài tập trắc nghệm:

2

v  ω

 Bài tập rèn
luyện.

x

2

A 

2 
v 

x A   ω



2

Bài toán 1: Vật dao động điều hòa có với biên độ 4 cm. Khi nó có li độ là 2cm thì vận tốc là
1m/s. Tần số dao
động là
A. 1Hz.
B. 3Hz.
C. 1,2Hz.

D. 4.6Hz.
π
Bài toán 2: Một vật dao động điều hòa có phương trình x = 5sin (10 2t  ) (cm). Khi vật
có vận tốc là
4
v 

2 cm/s thì li độ của vật là

40
A. 3 cm.

B.  5 cm.

C. 5

3 cm.

Bài toán 3: Vật dao động điều hòa có phương trình x = 10cos (πt 
vật khi qua li độ
6
x  6cm là
B.  8π cm/s.

A. 8 cm/s.

π

D.  3

5 cm.

) (cm). Vận tốc của

D. 
2.6cm/s.
A

C. 6π cm/s.
1. D

3.

B

Ví
3:tốc
Một
vậtvật
dao
điều
hòa
với
quanh
trí
cân
O. Khi
qua xvị2
đoạn
thì

vận
tốctính
củabiên
vật độ
là
vật vị
đi
qua
vịlàbằng
trí N cách
O vật
mộtđiđoạn
trí dụ
M
cách
Ocủa
một
1; khi
thì
vận
làđộng
v2x1. Biếu
thức
biên
độvA,
dao
động
của
vật
2 2

A. A 

2 2

2 2

v 1x 2  v2 x 1
2
2
v1  v2

B. A 

2 2

x1 v 2  v 1 x
2
2
v1  v2

2 2

C. A 

2 2

x1 v 2  v 1 x
2
2

v1  v2

2 2

D. A 

2 2

x1 v 2  v1 x
2
2
v2  v1

Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Bài toán có thể hiểu ở hai thời điểm t1, t2 vật có các cặp giá trị x1, v1 và x2, v2. Ở 2 vị trí có khác li
độ
x và vận tốc v nhưng A, ω là hằng số không đổi. Ta chỉ cần viết phương trình độc lập thời gian tại 2 vị trí rồi từ
đó sẽ tìm ra mối liên hệ tìm được A.
+ Từ phương trình độc lập thời gian: A2 v2Lời giải
viết phương trình cho vị trí M và N ta được
= x2 +
v22
1 x
+ Tại vị trí M: A 
1

ω2

2

(1)

2

ω
v2
2
2
2 x
+ Tại vị trí N: A 
2

ω2

(2)
2 2
2 2
v x v x


1

+ Từ (1) và (2) suy ra:

2

2

1

2

2
2

v v

1

A
 Đáp
án A.
 Bài tập rèn luyện.
1 2động
2
2
2 v
2 tốc
2
2 khi qua2vị2 trí có
Bài
1: Vật
dao
điều2hòa với 1vận tốc cực đại
, có
độ góc ω,
li
độtoán
xv12 vật
A.

 vcó vận
 ωtốc
x v1 thỏa
B. v mãn

–
C. v max  ω x
D. v 
ω x
2
2 2
2
2
v
ω x
v
v
1

max

1
1
max
1
1
max
1
1
max

1
2
2
Bài
toán
2:60
Một
điểm
điều
hòa.dao
Tạiđộng
thời điểm
t1 bằng
li điểm
độ của
chất
bằng
1=
3cm
và
vận
tốc2chất
bằng
vBiên
- độ
60động
cm/s.
Tại
thời
điểm

t2 li chất
độ
xlần
cm và
vậnxtốc
1 = dao
2 =3
bằng
v2 =
cm/s.
và3tần
số góc
của
lượt2điểm
bằng


A. 6cm; 20rad/s.

B. 6cm; 12rad/s.

C. 12cm; 20rad/s.

D. 12cm; 10rad/s.

Bài toán 3: Một chất điểm dao động điều hòa. Tại thời điểm t1 li độ bằng 3cm thì tốc độ bằng
60

3 cm/s. Tại

thời điểm t2 li độ bằng 3

2 cm thì tốc độ là 60

2 cm/s. Tại thời điểm t3 li độ bằng 3

3 cm

thì tốc độ bằng
A. 60 cm/s
B. 30 3 cm/s
C. 120 cm/s
D. 30 cm/s
Bài toán 4: Tại thời điểm t =0, một chất điểm dao động điều hòa có tọa độ x0, vận tốc v0.
Tại thời điểm t  0
2
nào đó, tọa độ và vận tốc của chất điểm lần lượt là x và v trong
đó x2  x . Chu kì dao động
0
của vật bằng
2

A.T = 2π

2

2

x  x0
2

2
v  v0

B.T = 2π

2

x  x0
2
2
v0  v

2

C.T =

2

2

v  v0
2
2
x  x0

D.T =

2π
1.C

2

v0  v
2
2
x  x0

2π
2. A

3. A

4. B

2.Tổng hợp các dạng bài đến quan đến phương trình và hệ thức độc lập với thời gian
(liên hệ giữa A, x, v và a
của vật dao động điều hòa, lực kéo về).
a.
Một số lưu ý
+ Liên hệ giữa a và x: a = - ω2x
a2
+ Liên hệ giữa A, v và a:



v

2

ω4 ω2

A2 =
+ Liên hệ giữa A, x và v:

2

A2v= x2 
ω2

+ Lực kéo về (hay lực hồi phục): Fkv = - kx = - mω2x = ma  Fkvmax = kA
b.
Ví dụ minh họa
Ví
dụ
1:
Một
cm thì có vậnvật
tốcdao động điều hòa dọc theo trục Ox. Lúc vật ở li độ x = v   π 2cm / s và gia tốc a = π2
A. 2 cm; π rad/s.

2

2 cm/s2. Biên độ A và tần số góc ω là

B. 20 cm; 4π rad/s.

C. 2 cm; π rad/s.

D. 2 cm; 2π

rad/s.
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Đọc kĩ yêu cầu đề bài rồi quan sát tìm ra ngay tần số góc ω dữ kiện cho biết cho gia tốc, kết hợp
các
2
dữ kiện đã có x, v đến đây chỉ cần áp dụng hệ thức độc lập thời gian A2 = x2  v hoặc có thể dựa mối liên hệ trực
ω2
2
2
tiếp giữa vận tốc v và gia tốc a đó là hệ thức A2 = a  v là có thể tìm ra biên độ A. Có hai hướng áp dụng
ω4 ω2
nhưng chọn hướng 1 sẽ tối ưu tính toán đơn giản gọn hơn.


Lời giải

2

π
2 = π (rad/s). Áp dụng hệ thức
– 2

+ Từ công thức liên hệ độc lập a = - ω2x tính được tần
số góc: ω =
v
lập A2 = x2

độc
2

2

ω

v2
. Thế các dữ kiện đã có tìm được biên

độ: A =
 Đáp án A

2

x 
ω2

 π 2 

2

 

 2

2

= 2 cm.

π2

Ví
dụπ22:
điều 3hòa
trênTính
quỹ vận
đạo tốc
dài cực
L = đại
40cm.
Khi tốc
vật cực
ở vịđại
trí có
độ x =
10cm
vật
có vật
vậndao
tốc động
v = 20π
cm/s.
và gia
củali vật?
Lấy
=Một
10
A. vmax = 0,4π cm/s; amax = 6 m/s22.
B. vmax = 0,4π m/s; amax = 8 m/s22.
C. vmax = 0,6π cm/s; amax = 8 m/s

D. vmax = 0,6π m/s; amax = 8 m/s
Phân tích và hướng dẫn
giải
Lưu ý trước khi giải: Theo lí thuyết một vật dao động điều hòa sẽ có quỹ đạo dao động là một đoạn thẳng dài
L 
tương ứng với vật chuyển động từ biên này qua biên kia chứ không phải là đường hình sin hay cosin, do
2A
đó với những bài toán nhắc đến chiều dài quỹ đạo cần lưu ý vấn đề này tìm ra biên độ dao động cho đúng, tránh
nhầm lẫn đáng tiếc tìm ra biên độ sai.
Hướng giải: Bài toán cho biết dữ kiện đó là quỹ đạo dài L = 40cm dựa vào đây sẽ tìm ra được biên độ A kết hợp
dữ kiện đã biết x = 10cm và v = 20π 3 cm/s, tiếp theo để ý đến yêu cầu bài toán bắt ta tìm giá trị lớn nhất của
vận tốc v và gia tốc a, do vậy ta chỉ cần tìm tần số góc ω là có thể tính toán tìm ra kết quả yêu cầu của bài toán.
Để tìm tần số góc ω cần để ý và tư duy bài toán không thấy biến số thời gian trong bài toán này, nên phản xạ
nhớ
ngay đến công thức liên hệ độc lập thời gian A2 = x2 

v2
ω2

+ Biên độ dao động của vật: A

=

.

Lời giải
40
=
= 20 cm.
2

L
2
2

+ Áp
dụng hệ thức độc lập thời gian: A2v 
= x2 
ω2

v
2
2 = 2π rad/s.
A x

ω
+ Vậy tính được: vmax = ωA = 2π.20 = 40π cm/s = 0,4π m/s.
amax = ω2A = 800 cm/s2 = 8 m/s2.
 Đáp án B.
 Chú ý: cách đổi đơn vị.
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa khi qua vị trí cân bằng vật có tốc độ 20 cm/s. Biết gia
tốc cực đại của vật
bằng 2 m/s2. Khi vật có vận tốc v =10 cm/s và vật đang chuyển động nhanh dần thì vật có
li độ bằng bao
nhiêu?
A. 3 cm.

B. -3 cm.
C. 3 cm.
Phân tích và hướng dẫn giải

D.  3 cm.

Phân tích: Bài toán cho biết gia tốc cực đại và vận tốc cực đại (vận tốc khi vật qua vị trí cân bằng) dựa vào
mối
quan hệ trực tiếp sẽ tìm ra ngay biên độ tần số góc ω và biên độ A. Biết A, v, ω mà bài toán không thấy biến số
thời gian bài toán này, nên chúng ta phản xạ nhớ ngay đến công thức liên hệ độc lập thời gian
v2
2
2

A =x
2

ω

. Từ công thức này rút được ra x.

Lời giải

+ Tốc độ khi qua vị trí cân bằng: vmax = ωA = 20 cm/s.
+ Gia tốc cực đại:
amax = ω2A = 200 cm/s2 (2)

(1)


Đến đây tìm được tần số

a max

góc: ω =

200

A 2

cm.

v max



= 10 rad/s. Thế ω vào (1) hoặc (2) đều có thể tìm ra
biên độ

20

2
+2 Áp
công thức liên hệ độc lập thời gian:
A
= xdụng

v

2

10

v2

x

2 =
ω



A 

2

2

ω

2 
 =
2

* Khi vật có vận tốc v =10 cm/s và vật đang chuyển động nhanh dần nên
chọn li độ x = 
 Đáp án D

2

10

2

3 cm.

3 cm.


Bình luận: Khi tìm ra li độ x thấy có 2 giá trị li độ so sánh với đáp án của bài toán thấy rằng 2 giá trị nhưng để
ý
thêm 1 yếu tố vô cùng quan trọng đó là trạng thái chuyển động của vật để chọn được li độ của vật tại thời điểm đó.
Để chọn được đúng giá trị cần phải nắm vững lý thuyết hình dung được vị trí ứng với trạng thái vật đang chuyển
động.
Ví
học
Một
điểm
dao
động
điều
hòa
trên
Khi
đi
2. chất
qua
vị4:
trí(Đề
cân
bằng
thì
độ

của
là
20
cm/s.
Khi
chất
điểm
cótrục
tốc Ox.
độ là
10chất
cm/sđiểm
thì gia
tốcdụ
có
độ
lớnđại
là
40 2011).
3 tốc
cm/s
Biênnó
độ
dao
động
của
vật
là
A. 5cm.
B. 10cm.

C. 8cm.
D. 4cm
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Đây là bài toán khá cơ bản đòi hỏi chúng
thức ta cần phải phối hợp các các đại lượng và áp vào hệ
2
2
độc lập thời gian A2 = a  v rồi biến đổi thật cẩn thận và khéo tính toán là ra kết quả nhanh và chính xác.
ω4 ω2

a2

⋄ Từ hệ thức A2
=
a

2

- Từ hệ thức
A2 =

; a = chúng với nhau
ω4 ω2
v

2




ω

4

Lời giải

v2

ω

2



 a

 1

2
ω A 

ω2x

và vmax = ωA ta biến đổi và phối hợp

2

2

2




v
 max 

 1= 



 v2
max 

 v


(*)




 v max 

2

- Thế các giá trị giả thiết đã cho vào biểu
thức (*) được:

2

 aA 

v 

2

 40
3A 


 1  A = 5cm.
10 




  

 202   20 
 Đáp án A.





Ví dụ 5: Gọi M là trung điểm của đoạn AB trên quỹ đạo chuyển động của một vật dao động
điều hòa. Nếu gia
tốc tại A và B lần lượt là -2 cm/s2 và 6 cm/s2 thì gia tốc tại M là

A. 2cm/s2
B. 1cm/s2
C. 4 cm/s2
D. 8 cm/s2
Phân tích và hướng dẫn
giải
Phân tích: Một dạng bài khá là hay, áp dụng công thức hình giải tích tìm ra được li độ tại trung điểm rồi từ
đó
nhân 2 vế với –ω2 để có thể tìm ra được một hệ thức liên hệ gia tốc ở các vị trí. Từ đó ta có thể tìm được gia tốc
tại trung điểm tại M.
Lời giải
x x
A
B
+Trung điểm M của đoạn AB được xác định là: xM =
nhân cả 2 vế với –ω2 ta
được:
2
2
2
ω x  ω x
a  a 2  6