Luận văn điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠI HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N THỊ TH ỦY

ĐIEM BAT ĐỌNG CUA ANH XẠ
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG
GIAN BANACH

L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC

H À NỘI - 2015


BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO
T R Ư Ờ N G ĐẠ I HỌC s ư P H Ạ M HÀ NỘI 2

N G U Y Ễ N THỊ T H Ủ Y

ĐIEM BAT ĐỌNG CUA ANH XẠ
KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG
GIAN BANACH

L U Ậ N VĂN TH ẠC s ĩ TO Á N HỌC

C huyên ngành : T O Á N G IẢ I T ÍC H
M ã số : 60 46 01 02

G iáo viên hướng dẫn:
T S. T R Ầ N Q U Ố C B ÌN H

HÀ NỘI - 2015


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận
tình của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả
trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn ban Giám hiệu trường Đại học Sư phạm
Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều
kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thủy


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Quốc Bình khóa
luận được hoàn thành không trùng với bất kỳ công trình khoa học nào
khác.
Trong khi thực hiện khóa luận tác giả đã sử dụng và tham khảo các
thành tựu của các nhà khoa học khác với lòng biết ơn trân trọng.

Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Nguyễn Thị Thủy


Mục lục
M ở đầu

1

1

K iến thứ c chuẩn bị
1.1 Ký hiệu ............................................................................................
1.2 Định n g h ĩ a ........................................................................................
1.3 Tính chất ........................................................................................

3
3
4
5

2

Á n h x ạ co B anach và ứng d ụn g
2.1
Nguyên lýánh xạ co B a n a c h ........................................................
2.2 Định lý C a r i s ti.................................................................................
2.3 Một số ví dụ và ứng d ụ n g .............................................................

7
7

13
15

3

Đ iểm bất động của ánh x ạ không giãn tron g không gian
Banach
24
3.1 Cấu trúc chuẩn t ắ c ....................................................................... 25
3.2 Mô đun lồi và đặc trưng l ồ i ..........................................................31
3.3 Định lý cơ bản về điểm bất động của ánh xạ không giãn . .
38
3.4 Mối quan hệ giữa môđun lồi và cấu trúc chuẩn t ắ c .............. 41

K ết luận

45

Tài liệu th a m khảo

46


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Định lí ánh xạ co Banach có rất nhiều ứng dụng, được gặp trong nhiều
lĩnh vực khác nhau của toán học. Một số ứng dụng chẳng hạn như trong
chứng minh sự tồn tại và nghiệm duy nhất của bài toán Côsi đã trở thành
kinh điển, được giảng dạy ở các trường đại học. Tuy nhiên, định lý ánh
xạ co đó còn có những ứng dụng khác nữa, ít được biết đến hơn nhưng

cũng rất thú vị. Chẳng hạn ký hiệu N là họ các compact trên M, N được
trang bị Hausdorff mêtric (khoảng cách Hausdorff) và đối với tập compact
I c R xét ánh xạ:

Khi đó T ( x ) là ánh xạ co ( trong Hausdorff mêtric) và nếu chọn x 0 = [0; 1]
thì X n = T n( x ữ) sẽ hội tụ đến tập Cantor nổi tiếng.
Trong chương 2 của luận văn chúng tôi sẽ trình bày các ứng dụng khác
thường đó của định lý ánh xạ co Banach. Trong chương này, luận văn sẽ
chứng minh cả định lý điểm bất động của Caristi.
Khi các hệ số co của định lý Banach bằng 1 ta sẽ được ánh xạ không
giãn (IIT x — T y II < |Ịrr — y II Vx, y £ D ) . Nói chung ánh xạ không giãn
không nhất thiết có điểm bất động. Để ánh xạ không giãn có điểm bất
động ta phải áp đặt các điều kiện lên miền xác định và cấu trúc hình học
của không gian. Những phần đó chúng tôi sẽ đề cập trong chương 3. Trong
chương này, ngoài việc chứng minh định lý cơ bản về sự tồn tại điểm bất
động của ánh xạ không giãn chúng tôi còn đề cập đến các vấn đề khác
nữa, liên quan đến cấu trúc hình học của không gian Banach.

1


2

2. M ục đích nghiên cứu
Đề tài này nghiên cứu các ứng dụng của định lý ánh xạ co Banach và
sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn.

3. N h iệm vụ nghiên cứu
Đọc hiểu thấu đáo các chương tương ứng trong quyển sách của W.A.Kirk
[2] và một số bài báo liên quan tới đề tài nghiên cứu.

4. Đ ối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức, khái niệm cơ bản và mở rộng liên
quan đến cấu trúc hình học của không gian Banach, phục vụ việc nghiên
cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như các ứng dụng của
định lý ánh xạ co Banach.

5. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập tài liệu và các bài báo về ánh xạ không giãn và lý thuyết điểm
bất động.
Đọc hiểu, tổng hợp và trình bày một cách hệ thống các kết quả nhận
được.

6. N hữ ng đóng góp mới của đề tài
Luận văn sẽ là một tài liệu hữu ích về ánh xạ co Banach và ánh xạ
không giãn.


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày một số ký hiệu, định nghĩa về:
bao lồi, bao lồi đóng, không gian liên hợp thứ nhất, thứ hai, tôpô yếu, tôpô
yếu*...Và các tính chất có liên quan. Đặc biệt các tính chất này còn là các
công cụ hỗ trợ trong quá trình chứng minh các định lý, bổ đề ở Chương 2
và Chương 3.

1.1

K ý hiệu

Nếu Ả là một tập con của không gian metric (M, p) và X £ M thì ký
hiệu d ỉ a m A là đường kính của A:
d ỉ a m Ả = s up { p { x \ y ) : X, y E A } .

Ký hiệu dỉ s t {x , Ả ) là khoảng cách từ X tới A:
di s t ( x , Ả ) = i n f { p { x \ y ) : y e A } .

B ( x , r ) ký hiệu là hình cầu đóng có tâm đặt tại X với bán kính r > 0
B ( x , r) = {y £ M : p(x, y) < r} .
Ả ký hiệu là bao đóng của Ả trong M .
X = (X, ||.||) là ký hiệu cho một không gian Banach thực tùy ý với chuẩn

3


4

1.2

Đ ịnh nghĩa

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Bao lồi của Ả c X là tập con lồi nhỏ nhất của X
chứa A, ký hiệu là coA. Ta có:

COÃ = n {K c X : K D A, K lầ tập lồi} .
n

n

Khi đó X £ c oA khi và chỉ khi X = XI \ x i với Xi £ A, Áị ^ 0 và XI K = 1i=1

i=1
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.2. Bao đóng của coA được ký hiệu cõA và được gọi là
bao lồi đóng của A. Như vậy:
cõA = n { K c X : K D A, K là tập đóng và lồi} .
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.3. Giả sử X , Y là các không gian Banach. Ký hiệu
£ ( x , Y ) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y . Chuẩn
trên £ ( x , Y ) được hiểu là chuẩn của ánh xạ tuyến tính liên tục.
Với T £ £( x, Y) thì
||T|| = sup {
: X e X, X ^ 0
^ ll^ll
= su p { ||T x || : x G X : | | x | | = l } .
Nếu X , Y là những không gian Banach thì ( £ ( x , y ) , ||.||) cũng là không
gian Banach.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.4. Giả sử X , Y là không gian Banach. Ký hiệu:
X * = {phiếm hàm tuyến tính liên tục trênX } .
Ta gọi X * = L ( x , M) là không gian liên hợp hay không gian liên hợp (thứ
nhất) của X . Ký hiệu cặp đối ngẫu các phần tử của X với các phần tử
của X * là
x*(x) = { x , x * ) , X e X , X* e X *.
{x,x*) là một hàm tuyến tính liên tục trên X * với mỗi X £ X cố định.
Không gian X** = L ( x *, M) được gọi là không gian liên hợp thứ hai
của X . Nếu X £ X là cố định, ánh xạ: X —> X* được gọi là phép nhúng
chính tắc của X trong X **, phép nhúng này luôn là một phép đẳng cự
tuyến tính. Nếu nó cũng là toàn ánh thì X được gọi là phản xạ và chúng
ta ký hiệu X = X **


5

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5. Tô pô yếu trên X là tô pô được tạo ra từ một tập hợp
những nửa chuẩn { / v } , X* £ X * với
px*(x) = K z ,íO | , x G X .
Tô pô yếu * trên X* là tô pô được tạo ra từ một tập những nửa chuẩn
{,ọx} , x £ X với
px {x*) = |X , X* đều là các không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương tương ứng
với các tô pô yếu và yếu* của chúng.
Khi X là phản xạ thì tô pô yếu và tô pô yếu* trên X* là trùng nhau.

1.3

T ính chất

T ín h c h ấ t 1.3.1. Tập lồi K của X là đóng khi và chỉ khi nó đóng yếu.
T ín h c h ấ t 1.3.2. Nếu K là một tập compact yếu của X thì cõ K cũng là
một tập compact yếu.
T ín h c h ấ t 1.3.3. (Đ ịn h lý M a z u r ) . Nếu à là compact thì cõA cũng
như vậy.
T ín h c h ấ t 1.3.4. (Đ ịn h lý A la o g lu ). Hình cầu đơn vị 5 (0 ; 1) trong
không gian liên hợp X * luôn compact trong tô pô yếu*.
T ín h c h ấ t 1.3.5. Nếu X phản xạ thì mỗi hình
trong tô pô yếu.

cầu trong X compact

T ính chất 1.3.6. (Đ ịnh lý E b erlein-Sm u lian ). Với bất kỳ tập bù Ả
của X các khẳng định dưới đây là tương đương:
a) Mỗi dãy {a;n} trong Ả có một dãy con hội tụ yếu.
b) Mỗi dãy {a;n} trong Ả đều chứa một điểm tụ yếu trong X .

c) Bao đóng yếu Ả của Ả là compact yếu*.
T ín h c h ấ t 1.3.7. (Đ ịn h lý K re in - S m u lia n ) . Tập con K của không gian
liên hợp X * là đóng yếu* khi và chỉ khi với mỗi r > 0 tập {æ* g K : ||x* II ^ r}
cũng đóng yếu*.
T ín h c h ấ t 1.3.8. Nếu X là không gian tách được và nếu K là một tập
con lồi của X * thì K là đóng yếu* nếu và chỉ nếu đóng yếu* theo dãy.


6

T ín h c h ấ t 1.3.9. Một không gian Banach phản xạ khi và chỉ khi thỏa
mãn một trong những điều kiện (tương đương) dưới đây:
a) X* phản xạ.
b) 5 (0 ; 1) compact yếu trong X * .
c) Bất kì dãy bị chặn nào trong X đều có một dãy con hội tụ yếu.
d) (James (1964)) Với bất kỳ tập con lồi, đóng và bị chặn K nào của X
và bất kỳ X* £ X * , tồn tại X € K , x*{x) = s u p { x * ( y ) : y £ K } .
e) (Smulian (1939)) Với bất kỳ dãy giảm { K n} của những tập lồi, đóng,
00
bị chặn và không rỗng của X , n K n Ỷ ộn= 1


Chương 2
*

Anh xạ co Banach và ứng dụng
Có lẽ định lý điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi
nhất là nguyên lý ánh xạ co Banach, xuất hiện trong luận điểm của Banach
năm 1922. Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ
và không gian khác nhau, đã được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực.

Trong chương này chúng tôi sẽ chứng minh nguyên lý ánh xạ co Banach
bằng nhiều cách, ứ ng với mỗi cách chứng minh chúng tôi đưa ra những
nhận xét rất hữu ích giúp khai thác sâu hơn nội dung của định lý. Ngoài
ra trong chương này chúng tôi còn chứng minh định lý Caristi và đưa ra
một số ví dụ đa dạng về ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach: Giải
bài toán Côsi của phương trình vi phân ( được chứng minh bằng ba cách
khác nhau), thiết lập tự đồng dạng, căn bậc hai trong đại số Banach...

2.1

N gu yên lý ánh x ạ co Banach

Đ ịn h n ghĩa 2.1.1. Cho M là một không gian mêtric với mêtric p. Một
ánh xạ T : M —>■ M được gọi là "Lipschitz" nếu 3k ^ 0, \/x, y £ M
thỏa mãn
p(Tx,Ty) < kp(x,y)
(2.1)
Số k nhỏ nhất của (2.1) được gọi là hằng số Lipschitz.
Hằng số Lipschitz của ánh xạ T là k(T), của ánh xạ s là k(S).
kp(T): ký hiệu hằng số Lipschitz của T đối với mêtric p.
N h ậ n x é t 2.1.1. Với hai ánh xạ S , T : M —>■M , ta có:
k ( T. S ) < k ( T ) . k ( S )
7


8

và tổng quát
k ( T n) ^ k n(T), n = 1,2...
Nếu M là không gian tuyến tính metric sinh bởi một chuẩn thì

k ( T + S) < k( T ) + k(S)]
Với a ^ 0, k ( a T ) = a k ( T ) .
Đ ịn h n g h ĩa 2.1.2. Một ánh xạ T : M —> M được gọilà ánh xạ conếu
k ( T ) < 1, cụ thể hơn T là một ánh xạ k — co đối với p nếu kp(T) < k < 1.
Đ ịn h lý 2.1.1. ( N g u y ê n lý ánh xạ co B a n a c h ) . Nếu (M , p ) ỉà một
không gian metric đầy đủ và T : M —> M là một ảnh xạ co thì T có một
điểm bất động duy nhất và với mỗi Xq £ M dẫy lặp { T nx o} hội tụ tới điểm
bất động này.
Ta sẽ đưa ra 3 cách chứng minh cho định lý
C h ứ n g m i n h 1: Cho a = i n f {p(x, T x ) : X £ M } và k = kp(T). Để
chứng minh a = 0, cho £ > 0 và chọn X £ M sao cho p ( x , T x ) < a + £.
Khi đó,
a < p( Tx , T 2x ) < kp(x, T x ) < k(a + e).
Do k < 1 và £ có thể chọn được nhỏ tùy ý, a = 0.
Với bất kỳ £ > 0 xét tập hợp
M £ = { x e M , p(x, T x ) < e) .
Ta có M e đều khác rỗng và đóng kín. Hơn nữa, với bất kỳ X, y £ M £
p(x, y ) < p(x, T x ) + p( Tx , T y ) + p(Ty, y )
< 2e + kp(x, y),
.
2e
hay p{x, y) < Y ^ k '
Từ đó, giới hạn lim d ỉ a m M £ = 0.
E—ì0
Do tập hợp { M e} giảm dần khi £ ị 0, theo nguyên lý Cantor về dãy hình
cầu thắt dần thì n M e bao gồm một điểm X và nó sẽ là điểm bất động
£>0
của T ( x = T x ) .
Chứng m i n h 2:

9

Đặt ụ>(oc) = (1 — k) 1p ( x , T x ) , X e M (k = kp(T)).
Ta có:
p ( x , T x ) — k p ( x , T x ) < p ( x , T x ) — p ( T x , T 2x )
Vì vậy,
p { x , T x ) < <£>(:r) — (fi(Tx), X £ M

(2.2)

Vì vậy, với Xq £ M và n, m E N với n < m
m

p ( r ' x <), T m+1x<)) < ^ p ( T ii „ , T i+1i„) sỉ ¥>(T"i„) - v ( T ra+1x„)

(2.3)

i= n

Đặc biệt, XI p (T ¿Xo,T¿+1Xo) < +00.
¿=0
Vì vậy, { T nx o} là một dãy Côsi và do T liên tục nó hội tụ tới một điểm
bất động X của T. Tốc độ của sự hội tụ này có thể có được từ (2.3) bằng
cách cho ra —>■00 ta có
p(T"xa, x) sỉ Chứng m i n h 3:
Chọn Xq £ M và xác định dãy lặp {xn} bởi Xn + 1 = T x n (tương ứng
x n = T nx 0), n = 0,1, 2,... Nhận xét rằng với bất kỳ chỉ số n ,p G N:
p( xn ĩ x n+p) = p ( T nx 0, T n+px 0) = p ( T nœ0, T n.Tpœ0) < k ( T n)p(œ0, T pœ0)

< k n [p( x0ìT x 0) + p ( T x 0ìT 2x 0) + ... + p{Tp~xx 0 , T px 0)]
^ Ả;n(l + Ả; + ... + kp 1)p(íCo, T xq)
( 1 — kp \
^
V 1 - k ) P(XũìTX(ìĩ

(2-4)

Điều này chứng tỏ rằng {xn} là một dãy Côsi và bởi vì M đầy đủ X £ M
với lim x n = X.
n—ỳ00
Để chứng minh X là một điểm bất động duy nhất của T ta thấy rằng
X = lim x n = lim Xn + 1 = lim T x n = TX

n—ỳ00

n—
»00

n—
»00

Ngoài ra, X = T x v ầ y = T y , suy ra
p(a;, 2/) = p( Tx, T y ) < fcp(a;,2/)


10

hay p{x, y) = 0.
Như vậy, trong cách chứng minh thứ hai cho p —> 00 trong (2.4) cho ta

kết quả
p ( xn, x ) = p ( T nx 0, x ) <

—p(xo,Txo).
1 —k

(2.5)

N h ậ n x é t 2.1.2. Trong cách chứng minh thứ hai chỉ ra rằng bất kỳ ánh
xạ tùy ý (p : M —> R + liên tục và thỏa mãn (2.2) đều phải có một điểm
bất động. Thực tế, có thể được chỉ ra bằng cách khác là nếu (p là một nửa
liên tục dưới thì một ánh xạ tùy ý T : M —> M thỏa mãn (2.2) phải có
một điểm bất động. Lập luận này được biết đến như là định lý Caristi
được trình bày cụ thể ở phần sau. Nó tương đương với nguyên lý cực tiểu
hóa Ekeland ( Ekeland, 1974 )(giả thiết có tiên đề chọn) và có rất nhiều
ứng dụng trong giải tích. Điểm bất động trong cả hai trường hợp không
nhất thiết duy nhất và trong ví dụ thứ hai dãy { T nx o} không cần hội tụ
tới một điểm bất động của T.
N h ậ n x é t 2.1.3. Trong cách chứng minh thứ ba cho thấy giả định k ( T ) <
1 rất cần thiết, nó thỏa mãn giả định k ( T n) < 1 đối với một n cố định nào
đó. Điều này cũng nhấn mạnh rằng T n là một ánh xạ co và do đó (bằng định
lý 2.1.1) có một điểm X bất động duy nhất. Nhưng T x = T n+1x = T n.Tx,
vậy T x cũng là một điểm bất động của T n. Vì vậy, X = T x nếu X cũng là
một điểm bất động của T ( và là điểm duy nhất ). Không khó để tìm ra
các ví dụ về ánh xạ T ( trên đoạn [0; 1] ) mà liên tục ( hoặc không liên tục
) với k ( T n) < 1 trong khi k ( T ) ^ 1. Tuy nhiên những ví dụ này là ngoại
lệ. Vì vậy, ta sẽ tập trung xét những trường hợp điển hình hơn.
N h ậ n x é t 2.1.4. Ta sẽ phát triển rộng hơn trên ý tưởng của nhận xét
(2.1.3).
Cho T : M

M ỉầ một ánh xạ Lipschitz, cố định Xq £ M và cho
x n = T nx 0 - Ta có
n + p —1

Ị~ p

p ( xn, x n+p) ^

<

ỵ 2 k ( T n+i) p ( x o , T x 0).

Vì vậy {a;n} là một dãy Côsi nếu trong trường hợp
00

(2 .6 )
¿=1


11

Ta thường dùng k ( T n) là nhóm nhân. Từ k { T n+m) < k ( T n) k ( T m), dễ
dàng thấy nó tồn tại số kocựr) thỏa mãn
M T ) = lim JM T ”)]1/” = i n f ị [ k ( T n)]1ìn : n = 1 , 2 , ( 2 . 7 )
n —ìỡc

Vì (2.6) xảy ra khi và chỉ khi kooựr) < 1. Vì vậy giả định k ( T ) < 1 trong
định lý (2.1.1) có thể thay thế bằng kocựr) < 1.
Hiển nhiên câu hỏi đặt ra rằng liệu giả định yếu hơn kocựr) < 1 có thực
sự cho ta kết quả chính xác hơn của định lý (2.1.1). Để đáp ứng điều này

chúng ta đưa ra ký hiệu của sự tương đương giữa hai metric:
Hai metric p và r trên cùng tập M cho trước được cho là tương đương
nếu tồn tại hai hằng số dương a và ò và \/x, y £ M ta. có:
ar(z, ỳ) < p(x, y) < òr(z, ỳ)

(2.8)

Với hai metric này, bất kỳ dãy Côsi nào trong metric r cũng là dãy Côsi
trong metric p và ngược lại. Do đó, (M, p) là đầy đủ khi và chỉ khi (M, r)
cũng là đầy đủ.
Với một ánh xạ p-Lipschitz: T : M —> M , (2.8 )nhấn mạnh rằng
r ( T x , T y ) < - p ( T x , T y ) < - k p( T ) p ( x , y ) < - k p( T ) r ( x , y )
CL

Qj

Qj

Vậy kr (T) < - kp( T) .
CL

Tương tự, kp(T) < —kr (T), vậy Vn G N ta có:
ỠJ
%
( : T ) < krự") <
< - K ( T n)
tW
U " ) <
CL
kết quả là

lim [kr ( T n) Ỷ = lim [kp( T n) Ỷ

n —>00

n —>00

Điều này chỉ ra rằng kocựr) là một hằng số liên quan đến những metric
tương đương. Hơn nữa,từ (2.7), kocựr) < kr ( T ) đối với tấ t cả metric r
tương đương với p. Mặt khác, với bất kỳ A G 0;

fcoo (T)J

00

rx(x,y) = Y,X'f>(T"xn= 0

chuỗi


12

hội tụ và cho ra kết quả một metric T\ tương đương với p:
00

p(x, y) < rx (x, y ) <

kp(T n )xr

p(x,y)

-n = 0
00

r x( T x , T y ) =

y ' p ( r ' +1x , T n+1y)
n=0

= ị ị r \ (x , y) - p ( x , y )]
X
< jrx(x,y)-,
Do đó krx( T ) < ị . Dễ thấy A = k

, e > 0, nên ta có

K X{T) < kooựr) + e

Vậy ta kết luận
koo(T) = i n f kr (T)
với cận dưới đúng lấy trên tập tấ t cả các metric r tương đương với p.
T ổ n g k ế t. Bất kỳ ánh xạ T : M —> M với kocựr) < 1 là ánh xạ co
với một metric tương đương đã được cho sẵn phù hợp. Theo quy tắc, giả
định kocựr) < 1 không cho ra một kết quả tốt hơn của định lý (2.1.1).
Tuy nhiên như chúng ta thấy sự lựa chọn một metric phù hợp đôi khi rất
hữu ích trong các ứng dụng bởi vì nó cung cấp những ước tính đúng theo
tốc độ hội tụ của các lần lặp.
Có lẽ câu hỏi hiển nhiên thường được xuất hiện khi nghiên cứu về ánh
xạ co là : điều gì xảy ra khi k ( T ) = 1 .
Ví dụ cơ bản T x = X + 1 với X £ M. chỉ ra rằng điều ngược lại của

nguyên lý ánh xạ co Banach không đúng.
Tuy nhiên trong nội dung của một lớp không gian các tập con lồi, đóng
và bị chặn của không gian Banach một giả thiết điểm bất động cho các
ánh xạ vẫn tồn tại. Chúng tôi sẽ trình bày điều này trong chương sau.
Một ánh xạ T : M —>■M được gọi là ánh xạ co (hoặc co ngặt) nếu
p { T x , T y ) < p ( x , y ),

x , y e M , x ^ y.

(2.9)

Hiển nhiên một ánh xạ loại này chỉ có thể có nhiều nhất một điểm bất
động. Ánh xạ T : R —>■ M. định nghĩa bằng T x = 1 + ỉn{ 1 + ex) là


13

một ví dụ đơn giản của ánh xạ co mà không có điểm bất động (thực tế
\x — T x \ > 1 'ix G M). Tuy nhiên những ánh xạ co này luôn có những
điểm bất động trong không gian compact.
Đ ịn h lý 2.1.2. Cho (M , p ) ỉà một không gian metric compact và cho ánh
xạ T : M —> M là co. Khi đó T có một điểm bất động duy nhất và với
y Xo £ M phép lặp { T nx o} hội tụ tới điểm bất động này.
Chứng minh. Hàm ự> : M —>■ R + được định nghĩa bởi ự>(y) = p ( y , T y )
liên tục trên M và do giả thiết M compact nên (p đạt được minimum, ta
nói rằng X £ M . Nếu X
T x thì ( f ( T x ) = p ( T x , T 2x ) < p (x ,T x ) (mâu
thuẫn). Vậy, X = T x . Bây giờ cho X(j G M và đặt an = p ( T nX(j,x). Bởi vì
a n+1 = p ( T n+1x 0ìx ) = p ( T n+1x 0ìT x ) < p ( T nx 0ìx ) = an.
{an} là một dãy không âm và có một giới hạn gọi là a. Do M compact

{ T nx o} có một dãy con hội tụ { T nkx o} và lim T nkx 0 = z. Hiển nhiên,
fc—>00

p ( z , X) = a. Nếu a > 0 chúng ta có:
a = lim p ( T nk+1x 0, x) = p ( T z , x ) = p ( T z , T x ) < p ( z , x ) = a
fc—>00

Do đó a = 0
Vì vậy bất kỳ dãy con hội tụ nào của { T nx o} đều phải hội tụ
M là compact nên lim T nx 0 = X.
n—
»00

tới X lại do
□

V í d ụ 2.1.1. Cho C[0; 1] là không gian các hàm giá trị thực liên tục trên
[0; 1] với chuẩn s up thông thường. Nghĩa là với X G C[ 0; 1]:
||a;|| = sup{|x(í)| : t e [0; 1]} .
Cho M = { X G C[0; 1] : 0 = x(0) < x { t ) < x ( l) = 1}. M là tập đóng
(cũng bị chặn và lồi) và bởi vì C[0; 1] là đầy đủ trong metric cảm sinh
bởi ||.|| nên M cũng vậy. Ánh xạ T : M —>■ M được định nghĩa bằng:
(Tx)( t) = tx(t), X £ M, t G [0; 1] là ánh xạ co và có điểm bất động tự
do.

2.2

Đ ịnh lý C aristi

Đ ịn h n g h ĩa 2.2.1. Cho X là một tập hợp được sắp thứ tự với X £

X ; S ( x ) = { y £ X , y ^ x } . Một dãy { x n} trong X được gọi là tăng
nếu x n < Xn+1 , Vn.


14

Đ ịn h lý 2.2.1. Cho ĩỊ) : X —> M ỉà một hàm thoả mãn:
a) X ^ y và X ^ y thì ĩỊ){x) < ĩỊ){y).
b) Với mỗi dãy tăng {xn} trong X sao cho iỊ)(xn) < c < 00 , Vn, 3y £ X
sao cho x n < 2/,Vn.
c) Với mỗi X £ X , il)(S(x)) bị chặn trên.
Khỉ đó với mỗi X £ X , 3x' £ S ( x ) sao cho x' làcực đại:

{*'} =

sự).

Chứng minh. Cho a £ X và p(a) = sup{i¡)(b) : ò £ ‘S'(û)}Giả sử kết quả của định lý là sai với một số X £ X và dãy { x n} xác định
bằng quy nạp với X\ = X và Xn + 1 £ S ( x n) thỏa mãn p ( x n) < ĩị){xn+ì) +
- , Vn G N. Bởi ĩp(xn+1) < p(x) < 00 . Theo giả thiết (ò)của định lý
3y £ X sao cho x n < y 'in. Cũng như vậy giả sử y không phải là cực
đại trong S( x) . Khi đó 3u £ X sao cho y < u và îp(y) < îp(u). Từ x n <
u, ĩỊ){ù) < p{xn) Vn. Cũng như vậy, x n+1 < y, do đó, ĩỊ)(xn+1) < ĩỊ)(y).
Vì thế, ĩp(u) < p ( xn) < ĩp{xn+ĩ) + ị < Ip{y) + £ Vn. Vậy ^ ( u ) <
(mâu thuẫn).
□
Đ ịn h lý 2.2.2. ( Đ ị n h lý C a r i s t i ) . Cho (M , p ) là một không gian metric
đầy đủ và cho (p : M —>■M. là hàm nứa liên tục dưới và bị chặn dưới. Giả
định T : M —>■M là một ảnh xạ tùy ý thỏa mẫn:
p ( u , T( u ) ) < (fi(u) — (fi(T(u)),u £ M.

Khi đó T có điểm bất động trong M .
Chứng minh. Đặt ự) = —ĩị) và với x , y £ M , ta nói X ^ y nếu p ( x , y ) ^
ip(x) — ự>{y), lưu ý ta luôn giả định u < T u, \/u £ M . Ta đi kiểm tra các
điều kiện a, b, c của định lý ( 2 .2 . 1 ).
+ Điều kiện a là hiển nhiên.
+ Kiểm tra điều kiện b.
Ta thấy nếu {Zn} là một dãy tăng thì {(¿>(:rn)} dãy giảm và bị chặn dưới.
Vì vậy, {(¿>(:rn)} hội tụ tới r ẽ l . Điều này dẫn tới kết quả { x n} là một
dãy Côsi. Do đó, { x n} hội tụ tới một điểm y £ M và bởi (p là nửa liên
tục dưới nên
p( xn ì y) < ip(xn) - r < (f(xn) - (f(x)


15

Vì vậy x n ^ y Vn E N.
+ Kiểm tra điều kiện c.
Vì (p là bị chặn dưới nên ta kết luận rằng với mỗi X
T{x' ) = x'.

2.3

£ M 3x' ^ Xvà

□

M ột số ví dụ và ứng dụng

V í d ụ 2.3.1. Cho f ( t , x) là một hàm lấy giá trị thực, liên tục theo t trong
khoảng [0, T] và X £ M. Bài toán Côsi là bài toán tìm một hàm khả vi liên

tục X trên [0,T] thỏa mãn phương trình vi phân:

{:ỈS

: f

’* (í))

* € [0 ,3 !

(2.10)

Kết quả cổ điển chỉ ra rằng nếu / là Lipschitz theo X, ví dụ nếu tồn tại
L > 0 sao cho với mọi x , y £ M.,
ị f ( t , x ) - f ( t , y ) ị < L \x - y\

íe [0 ,T ].

Thì khi đó, nghiệm của (2.10) tồn tại và duy nhất. Ta có thể chứng minh
bằng nhiều cách. Sau đây chúng ta sẽ trình bày ba cách chứng minh để
diễn giải ứng dụng của nguyên lý ánh xạ co Banach.
Xét không gian C[0]T] những hàm thực liên tục với chuẩn sup (Ví dụ
(2.1.1)) tích phân cả hai vế (2.10) ta thu được

x (t) = £ +

J

t
f(s,x(s))ds.

0

Ta ký hiệu hàm định nghĩa bởi vế phải của phương tình trên bởi F x , cụ
thể là:
t
( Fx)( t ) = £ + Ị f ( s , x ( s ) ) d s .
0

Khi đó, F : C[0; 1] —>■ C[0; 1] và nghiệm của (2.10) tương ứng với một
điểm bất động X của F.


16

C h ứ n g m i n h 1: (Đây là phương pháp được trình bày nhiều nhất trong
các SGK về phương trình vi phân). Với bất kỳ x , y £ C[0, ;T]

|(F x )(í) - ( F ị/)( í )|

J

t
f(s,x(s))ds —

0

Ị

Ị

t
f(s,y(s))ds

0

t

ịf(s,x(s)) - f(s,y(s))\ds

0
0

hay IIF x — F y II < L T ||x — y II . Nghĩa là k ( F ) < LT.
Nếu L T < 1 thì kết quả sẽ suy ra ngay từ nguyên lý ánh xạ co Banach.
Tuy nhiên, nếu L T ^ 1 ta lấy h > 0 thỏa mãn L h < 1 và xét trong không
gian (7[0; h].
Bằng việc thay thế T bởi h trong lý luận trên chúng ta thu được một
"nghiệm địa phương" của (2.10) gọi là Xq £ c [ 0] h] . Bây giờ xét bài toán
Côsi trên [/i; 2h]:
Zl'(í) = / ( M l ( í ) )

( 2 . 11 )

Xi (h) = x 0(h)
Bằng cách chứng minh tương tự như trên ta cũng có một nghiệm duy nhất
X\ của (2.11) và bởi vì X\ (ti) = Xo (ti), X\ thác triển Xo từ [0; h] đến [0; 2 h].
Thác triển này là khả vi tại h bởi vì bài toán Côsi có một nghiệm duy
nhất tại lân cận của h. Rõ ràng quy trình trên có thể được lặp lại trong
khoảng [2/i; 3h] và sau một số hữu hạn bước có thể thu được một nghiệm

của (2.10) có giá trị trên khoảng [0;T].
Chứng m i n h 2: (Đánh giá thẳng). Lặp lại tính toán ban đầu và thu


17

được
t
! ( * * * ) ( * ) /

[ /( - , ( f * ) W ) - /( « , ( Í W M ) | *

0

<

J

t

Lị(Fx)(s) - (Fy)(s)\ds

0
t

s

h

L \x(u) — 2/(w)|duds

l

0

0

t

^ L2

s

JJ
0

\\x — y\\ duds =

£ 2*2 II
I
F - VI

0

Lặp lại lần nữa ta thu được
Ị 3y.3
| ( F 3x ) ( í ) - 0 F 32 / ) ( í ) | <

| | z - y\

Tổng quát
|( í » * ) ( t ) - ( Í - J ,) ( t) | <

II* - vll •

(LT)n
™
Do đó, k ( F n) < — —— và chuỗi k ( F n) hội tụ.
ĩl‘
n=0
Từ đó, suy ra F có một điểm bất động duy nhất X và với mọi Xq £ C[0]T],
\\FnXũ - x\ị <

| | ^ +i^o - ^ n+i_1Zo||
¿=0

<

k ( F n+i) llíCo - F x 0 \ị < Rn I K

- F x 0 \ị

i= 0

( L T ) n+i
----- —^r phần dư còn lai thứ n trong khai triển của eLT.
i=0 (n + i)!
Ưu điểm của cách chứng minh này là thu ngay được sự tồn tại của một
nghiệm trên toàn bộ khoảng [0;T] cùng với một đánh giá về tốc độ hội tụ
của phép lặp { F níCo} cho nghiệm này. Bằng cách áp dụng phương pháp

00

với R n =

này cho phương trình đơn giản I

^

ta có thể thấy đánh giá này


18

là chính xác.
C h ứ n g m i n h 3: (Khả metric hóa).
(LT)n
Do fc(Fn) ^
k „ ( F ) = 0.
n\
Do đó, với VẢ: > 0 tồn tại một metric tương đương với một metric sinh
bởi chuẩn trên C[0; T] với F là một ánh xạ k — co (những metric này đầu
tiên được giới thiệu bởi A. Bielecki (1956) và sau đó được sử dụng rộng
rãi bởi những người khác để nghiên cứu một loạt phương trình). Để có sự
giải thích cụ thể, định nghĩa với mỗi X ^ 0 ta xác định một chuẩn mới
trên C[0]T] như sau:
||a;||x = m a x {[exp(—X-Lí)] ịx(t)ị : t £ [0;T]}
Khi đó, ||.||0 là chuẩn ban đầu và bởi vì
[ e x p ( - x L T ) ] ||x ||0 < ||a;||x < \\x\\0

(2.12)

Mọi ỵ — chuẩn là tương đương. Ngoài ra
t
ị(Fx)(t) - ( F y ) ( t ) I < J L |z(s) - y ( s) ị d s
0

t
= Ị L exp(xL s) e x p ( - x L s ) |x(s) - y{s) I ds
0

t
< J L e x p ( ỵ L s ) \ \ x - y \ \ xds
0

= - [ e x p ( ỵ L t ) - l]||a; - y\\ < - exp (xL í)||x - y\\
X
x
X
x
Nhân cả hai vế với e x p ( - ỵ L t ) và lấy giá trị cực đại ở vế phải ta thu được:
IIF x — Fy^\ < —|Ịrr — y II . Do đó, với X > 1, F là một ánh xạ co đối
với chuẩn ||.||

và lim k\\ I (F ) = 0. Phương pháp tiếp cận trên có thể sử
-*■

ỵ —,^00

X

dụng để đánh giá tốc độ hội tụ của những lần lặp. Nếu X, Xq £ (7[0;T] và
X = F x thì (với X > 1) trong (2.5)
,, _

..

\\Fnx 0 - z | |

Y~n ..
_
<
ỊỊ
s
o
F x o ||x ,
X
l _ x -l


19

Và sử dụng (2.12),
_
__
||aĩ - F nz 0|| < e x p { ỵ L T )
1

Chọn X =

Tí

LI

..
_
11^0 - F x 0\ị

Y~n
—

Y

(2.13)

1

cho ra kết quả đánh giá tốt của tỷ lệ hội tụ trong (2.13)
eLT

n
..
_ M
11^0 - FiColl •
n-LT

n

V í dụ 2.3.2. (T h iết lập tự đ ồng dạng). Cho (M, p) là một không gian
metric đầy đủ, ký hiệu là họ những tập con đóng khác rỗng và bị chặn
của M và cho N là họ con các tập con compact của pL. Với X , Y € pL đặt

D(X,Y) = sup{ải&t(y, x) : y e Y }
D ( Y , X ) = sup {disí(x, y ) : X £ X }
và cho: D ( X , Y ) = m ax { d ( X ì Y ) ì d ( Y ì X ) } .
D là một metric trong (vì vậy có N) thường được gọi là Hausdorff metric
có thể kiểm tra được bằng từ tính đầy đủ của M suy ra tính đầy đủ của
D) lẫn (N, D) (xem Blumenthal, 1953).
Bây giờ giả sử Tí, T2, ...,Tn là một họ hữu hạn các ánh xạ p — co trên
M. Những ánh xạ này sẽ tạo ra một ánh xạ ỵ : N —> N bằng việc lấy

3W = u T i Ị I ự e H
i=1
và không khó để nhận ra rằng ỵ là một phép co trên N đối với D với
k($) < max{Ả;(Tj), ¿ = 1,2, ...n} vì vậy chúng ta có định lý sau:
Đ ịn h lý 2.3.1. Cho M là một không gian metric đầy đủ và cho Tị : M —>
M
ỉ = 1,2, ...n là họ các ánh xạ co. Khỉ đó, có một tập compact khác
rỗng duy nhất X của M .
X = U Ti(X)

(2.14)

¿=1

Trường hợp đặc biệt thú vị là xét đường thẳng thực M. và hai đồng dạng
như dưới đây

_

1

T xx = - X,

_

1

T2x = - X +

2


20

Ánh xạ ỵ là biểu thức được xác định bởi liên kết với một tập compact

X c R đặt

5W = ^

u

Q x + ?)

Do # là một phép co đối với Hausdorff metric D —chúng ta có thể nhận
được điểm bất động bằng các phép lặp. Lấy x ồ = [0,1] sau đó

r 1]

_ 3.

u

r 11

'2 '
.3’ . ,*2 =

u

'2 3'
'8 '
'6 7'
u
u
.9’ 9.
.9’9.
.9’ .

Dãy {X n} hội tụ trong D tới tập c nổi tiếng của Cantor.
V í dụ 2.3.3. (Căn bậc hai tron g đại số B a n ach ). Đại số Banach X
là một không gian Banach (X, ||.||) cùng với một toán tử tích thỏa mãn
Væ,
ta có:
x{yz) = (:xy)z
x ( y + z) = x y + x z
(y + z ) x = y x + z x
( ax) y = a ( x y ) = x ( a y )
Thêm vào bất đẳng thức chuẩn

\\xy\\

<

M I - M I -

với mỗi z £ X cho x ( z ) là tập đạị số con được tạo bởi 2: (đại số con đóng
nhỏ nhất của X bao gồm z). Đại số x ( z ) luôn giao hoán x y = yx với
Wx, y £ X (2 ). Chúng ta khẳng định Wz £ X với ll^ll < 1 tồn tại một phần
tử duy nhất X £ -^ ( 2 ), ||æ|| < 1 thỏa mãn
X1 — 2x + z = 0

(2-15)

Để xem xét điều này, lấy một số bất kỳ thỏa mãn ll^ll < d < 1 và xem xét
ánh xạ T định nghĩa bởi:
T x = - ( z 2 + 2 ), X G 5 (0 ; d) c x ( z )