Luận văn thạc sĩ định lý fenchel moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

NGUYỄN KHÁNH ĐĂNG

ĐỊNH LÝ FENCHEL - MOREAU TổNG QUÁT
VÀ ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CHO HÀM Lồi VECTƠ

LUÂN VĂN THAC sĩ TOÁN HOC
NGUYỄN KHÁNH ĐĂNG


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

ĐỊNH LÝ FENCHEL - MOREAU TổNG QUÁT
VÀ ĐẶC TRƯNG BẬC HAI CHO HÀM Lồi VECTƠ

Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH. NGUYỄN XUÂN TAN


Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của thầy giáo GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Sự giúp đỡ và hướng
dẫn tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này
đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề
mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội
2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường cùng các bạn học viên
đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và
hoàn thành luận văn này!

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
rp> _

•2

Tác giá

Nguyên Khánh Đăng


Lồi cam đoan
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Xuân Tấn.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những
thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và
biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được
chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
m/ _ __* 2

Tác gia

Nguyên Khánh Đăng

5

DANH MUC KÍ HIÊU • •
X GM

Phần tử X thuộc tập M

yịM0

Phần tử y không thuộc tập M Tập rông

M CN

M là một tập con của N

MUN

Hợp của hai tập hợp M và N

MnN
MXN

Giao của hai tập M và N
Tích Đề-các của hai tập M và N

Va:

Với mọi X

3a:

Tồn tại X

supX&K f{x)

supremum của tập {/(a:)|a: G K} infimum của

infxetf /(z)
CO D

tập {/(a:)|a: G K}
Bao lồi của tập D

cÖD

Bao lồi đóng của tập D

int D

Phần trong của tập D

a:
Rn

Chuẩn của X trong không gian định chuẩn X
Không gian Euclide n chiều

clD, D

Bao đóng của tập D
Không gian các ma trận cấp n X m

(x,y)
coneA

Tích vô hướng của X , y trong không gian
Hilbert
Nón sinh bởi A

K*

Nón cực của nón K

dom (/)

Miền xác định của /

epi (/)

Trên đồ thị của /


6

Mục lục


7

8

Lòi mỏ đầu
1. Lý do chọn đề tài
Ta biết rằng bài toán tìm cực tiểu của hàm lồi trên một tập hợp đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu
và các bài toán trong thực tế. Năm 1960 -1970 Rockafellar đã đưa ra khái niệm dưới vi phân của hàm lồi, từ đó tìm ra
các điều kiện cần và đủ để đặc trưng nghiệm tối ưu của bài toán quy hoạch lồi và hình thành nên một môn giải tích lồi

mới của toán học. Người ta đã triệt để khai thác các tính chất của hàm lồi: Tính liên tục; Tính Lipschitz địa phương;
Tính khả vi hoặc khả dưới vi phân và xây dựng nên lý thuyết đối ngẫu của hàm lồi để chuyển bài toán gốc thành bài

toán đối ngẫu và ngược lại. Từ đó hình thành nên môn lý thuyết đối ngẫu để giải các bài toán đối ngẫu. Định lý Fenchel
- Moreau trong môn giải tích lồi đã cho ta biết mối quan hệ giữa bài toán gốc và bài toán đối ngẫu.
Tiếp theo bài toán quy hoạch lồi được phát triển cho bài toán tối ưu véctơ. Giá trị của hàm số nằm trong không
gian véctơ có thứ tự từng phần được sinh bởi một cái nón. Từ đó người ta đưa ra khái niệm và tính chất hàm lồi theo
nón và quy hoạch lồi véctơ.
Việc nghiên cứu các tính chất của hàm lồi véctơ được nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và
ứng dụng như: GS. Đinh Thế Lục, PGS. TS. Phan Nhật Tĩnh, GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, GS. Kim, Do Sang.
Lý thuyết đối ngẫu của bài toán quy hoạch lồi véctơ cũng được xây dựng cho nhiều kết quả trong môn giải tích lồi
cổ điển cũng được mở rộng cho trường hợp véctơ và ứng dụng của nó trong các bài toán thực tế với lý do đó tôi chọn đề
tài:
“ Định lý Fenchel - Moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ “
Để làm luận văn về các kiến thức chính liên quan tới định lý này trong tối ưu véctơ.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày những kiến thức cơ bản trong giải tích lồi đặc biệt là các tính chất:
• Tính liên tục
• Tính Lipschitz địa phương

9

• Tính khả dưới vi phân
Lý thuyết đối ngẫu và định lý Fenchel - Moreau cho trường hợp vô hướng sau đó trình bày các khái niệm liên quan đến
hàm lồi véctơ và các tính chất của nó, mở rộng định lý Fenchel - Moreau cho trường hợp tổng quát, đặc trưng cấp 2
cho hàm lồi véctơ và tìm ra một số ứng dụng trong quy hoạch tối ưu véctơ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Phát biểu bài toán Fenchel - Moreau đặc trưng cấp 2 cho hàm lồi véctơ và tìm ra đối tượng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu định lý Fenchel - Moreau và biểu diễn cấp 2 qua việc khai thác các tính chất của hàm lồi véctơ và tìm ra
những ứng dụng trong tối ưu véctơ.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kết quả trong giải tích lồi vô hướng và tìm cách mở rộng các kết quả
này cho trường hợp véctơ.
6. Đóng góp của đề tài
Biết tổng quan về quy hoạch lồi vô hướng và mở rộng một số kết quả từ vô hướng sang véctơ và tìm ra ứng dụng.
Cụ thể, bố cục của luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và tài liệu tham khảo:
Chương I: Hàm lồi vô hướng và ứng dụng
1.1 Định nghĩa tập lồi, các hàm lồi và tính chất
1.2Tính liên tục
1.3Tính lipschitz
1.4Hàm liên hợp
1.5Dưới vi phân
Chương II: Định lý Fenchel - Moreau tổng quát và đặc trưng bậc hai cho hàm lồi vectơ


1
0

2.1 Giới thiệu
2.2Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ trợ
2.3Tính liên tục
2.4Các đặc trưng của hàm lồi
2.5Định lý Fenchel - Moreau tổng quát
2.6Đặc trưng cấp hai của hàm lồi vectơ
Luận văn này là thành quả làm việc của tác giả dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn. Tác giả xin
được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH. Nguyễn Xuân Tấn, người đã tận tình dìu dắt tác giả trong những bước
đầu tiên trên con đường nghiên cứu khoa học.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học cùng toàn thể các thầy cô
giáo đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập tại trường ĐHSP Hà Nội 2.
Tác giả xin cảm ơn những người thân, các bạn bè, những người đã dành cho tác giả nhiều quan tâm ưu ái để luận văn
sớm được hoàn thành. Bản thân tác giả đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian có hạn, kiến thức và kinh nghiệm
nghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được những ý kiến
chân tình của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 03 tháng 7 năm 2015
m/ _ __* 2

Tác gia

Nguyên Khánh Đăng


Chương 1
Hàm lồi vô hưóng và ứng dụng
Mục đích của chương này là giới thiệu các khái niệm cơ bản của tập lồi, hàm lồi, các tính chất: liên tục, Lipschitz
địa phương, tính khả dưới vi phân của hàm lồi và ứng dụng trong lý thuyết tối ưu. Chương này được viết dựa trên tài
liệu [1].

1.1

Định nghĩa tập lồi, hàm lồi và các tính chất

Cho X là không gian tô pô tuyến tính thực, X * = {/ : X —> K tuyến tính liên tục} là không gian đối ngẫu của X, M là
tập số thực, ký hiệu l = lu {±oo}.
Ta nhắc lại, tập lồi được định nghĩa như sau.
Định nghĩa 1.1. Tập A c X là tập lồi nếu Va, b e A , với mọi X e [0,1] ta có

X a + (1 — A)ồ e A .
Tập A c X với mọi Va. b e A đoạn thẳng nối a và b được xác định bởi

[a, ồ] = { x e A : X = Aa + (1 — A)ồ; 0 < A < 1} .
. Tiếp theo là các khái niệm khác liên quan tới tập lồi.

Định nghĩa 1.2. Cho A c X. Khi đó
i) Giao của tất cả các tập lồi chứa tập A được gọi là bao lồi của A


ii) Giao của tất cả các tập lồi đóng chứa tập A được gọi là bao lồi đóng của A, ký hiệu là cõA.
Ta dễ dàng chứng minh được các khẳng định sau:
1) A là tập lồi khi và chỉ khi A = coA;
2) co A là tập lồi nhỏ nhất chứa A;
3) cõA là tập lồi đóng nhỏ nhất chứa A;
4) A là tập lồi đóng khi và chỉ khi A = cõA.
Mệnh đề 1.1. Giả sử A c X là một tập ỉồi, khi đó
i ) Phần trong intA và bao đóng A là các tập lồi;
ii)

Với X ị G int A, X 2 G A thì [ x i ,

X2)

c intA;

iii)

Nếu intA Ỷ 0 thì A = int A, int A = int A.

Khái niệm tách các tập lồi đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu.
Đinh nghĩa 1.3. Cho các tập A, B c X ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục / Ỷ 0 lách A và B nếu tồn tại một số a sao cho

Trong đó, (/, x) = f(x) là tích vô hướng giữa X v à X * .

(/, y) < a < (/, x) , với mọi X G A, với mọi y G B. (1.1)

Nếu các bất đẳng thức ở (1.1) là thực sự, tức là
(/, y ) < a < (/, x ) với mọi a: e A , y e B
thì ta nói / tách chặt Ả và B .
Siêu phẳng H = { X e X : ( f , x ) = a } gọi là siêu phẳng tách A và B . Các tập A \ ằ B được gọi là tách được.
Nhận xét 1.1. i) Bất đẳng thức (1.1) tương đương với


ư , y ) < ư , x ) , G A,Vy e B.
ii) Phiếm hàm / Ỷ 0 tách chặt A\ầ B, nếu tồn tại số £ > 0 sao cho
(/,y) < (/,x) - £, Vx e A , V y e B .
Định lý 1.1. ([1], Định lí 1.2.2) Cho A và B là các tập lồi trong X, A n B = 0 hoặc intA Ỷ 0 hoặc intB Ỷ 0- đó tồn tại một
phiếm hàm tuyến tính liên tục f Ỷ 0; / € X tách A và B.
Hệ quả 1.1. Cho A và B là các tập lồi trong X, intA Ỷ 0 ^ đó A, B tách được nếu và chỉ nếu (intA) n B = 0.
Đinh lý 1.2. ([1], Định lí 1.2.3) Giả sử A là tập lồi đóng trong không gian lồi địa phương X và

Xo Ệ

A. Khi đó tồn tại f €

X*. f Ỷ 0 tách chặt A và
x0.
Hệ quả 1.2. Cho X là không gian Hausdorff lồi địa phương A c X ta có
i) cõA trùng với giao của tất cả các nửa không gian chứa A;
ii) Nếu A là tập lồi khi đó A đóng nếu và chỉ nếu A đóng theo tô pô yếu.
Tiếp theo ta trình bày về hàm lồi:
Cho A c X là tập lồi / : A —> K.
Định nghĩa 1.4. Hàm / được gọi là hàm lồi nếu với mọi X, y € A; VA G [0,1] ta CÓ
f { \ x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - A) f { y ) .

(1.2)

Nếu (1.2) xảy ra thực sự Væ Ỷ y thì / thực sự là lồi trên A Định nghĩa 1.5. i) Trên đồ thị của hàm / được ký hiệu
e p i f = {(æ, a ) G A X K sao cho X G A : f ( x ) < a} ;

ii) Miền hữu hiệu của hàm / ký hiệu là domf
domf = {x G A : f ( x ) < +oo} ;


iii) Hàm / được gọi là hàm chính thường nếu
domf 7^ 0 và f ( x ) > —oo với Vĩ£l;
iv) Tập mức tại a G M của hàm / là tập
lev(f, a) = {x e A : f(x) < a} ;

v) Hàm / được gọi là lõm trên A nếu — / là hàm lồi trên A .

1.2

Tính liên tục

Trước hết ta nhắc lại định nghĩa về hàm số liên tục. Hàm số / : D — > K được gọi là liên tục nếu x n — >
—> f{x).
Định nghĩa 1.6. i) Bao đóng của hàm / là một hàm ký hiệu là e l f
e p i ( c l f ) = cl { e p i f ) ;
ii) Bao lồi đóng của hàm / là một hàm ký hiệu là cõf
epi(cõf) = côepif;
iii) Hàm / được gọi là đóng nếu e p i f là tập đóng trong X
iv) Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới tại X G X nếu
f { x ) < lim inf
y^tx

v) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên tại X G X nếu
f ( x ) > Ịimsup f { y ) \
2/->x

X

K.

X,

thì f ( x n )


vi) Hàm / được gọi là liên tục tại

X

G X nếu / là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại X . Hàm / được gọi là

hàm liên tục nếu nó đồng thời vừa liên tục hên vừa liên tục dưới;
vii) Hàm / được gọi là liên tục trên X nếu / liên tục tại mọi X

G

X.

Mệnh đề 1.2. ([1]) Hàm Ị là đóng nếu và chỉ nếu
l e v ( f , a ) = { x : f ( x ) < a} ,
là tập đóng với a G K.
Mệnh đề 1.3. ([1]) Hàm f là đóng khi và chỉ khi f là nửa liên tục dưới
Định lý sau cho ta các điều kiện để hàm lồi liên tục.
Định lý 1.3. ([1], Định lý 1.3.5) Cho f là hàm lồi chính thường trên X . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
i) Ị bị chặn bên trong một lân cận của X Q G X ;
ii) Ị liên tục tại xữ;
iii) int(epif) Ỷ 0>'
iv) int(dom f ) ^ 0 v à f liên tục trên wí(dom /) đồng thời
int(epif) = {(£, a) G X

1.3

X

X : X G i n t ( d o m f ) , f ( x ) < a} .

Tính liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.7. Giả sử X là không gian định chuẩn với chuẩn được ký hiệu là II • II. Hàm / : X —> M được gọi là
Lipschitz địa phương tại x 0 G X nếu tồn tại lân cận u của x 0 và k > 0 sao cho
V x , x ' G u : |/(a;) — /(^,)l < k 11rr — x'\\ .

(1.3)

Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập D c X nếu / Lips- chitz địa phương tại mọi X € D.


Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz k trên tập D c X nếu (1.3) đúng với mọi X € D.
Định lý 1.4. ([1]) Giả sử X là không gian định chuẩn, Ị là hàm lồi trên tập lồi mỏ D c X, Ị bị chặn trong một lân cận của
một điểm nào đó thuộc D. Khi đó Ị Lipschitz địa phương trên D.
Hệ quả 1.3. Giả sử f : D —»■ Rlà hàm lồi liên tục tại X Q thuộc tập lồi mỏ D khi đó Ị Lipschitz địa phương trên D.

1.4 Hàm liên hợp
Giả sử X là không gian lồi địa phương, X* là không gian liên hợp của X, f là hàm xác định trên X. Ta có thể cho tương
ứng hàm với một hàm lồi như sau.
Định nghĩa 1.8. Phép biến đổi Young-Fenchel của hàm / hay hàm liên hợp với / được xác định trên X như sau
/*(z*) = sup { ( x * , x ) - f ( x ) } , V x * € X * .

(1.4)

xeX

Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa 1.8 ta có
f{x) + f*{x*) > (x\x) , VxeXyx*eX*.

(1.5)

Bất đẳng thức (1.5) gọi là bất đẳng thức Young - Fenchel.
Từ định nghĩa 1.8 suy ra
r(x) = (rnx) = sup{(x*,x)-r(x*)}.
X*

Mệnh đề 1.4. Với hàm bất kỳ ta có Ị** < Ị .
Định lý 1.5. ([1]) Giả sử Ị là hàm lồi chính thường đóng trên X khi đó /* là hàm lồi chính thường.
Định lý 1.6. ([1]) Giả sử X, Y là các không gian lồi địa phương, A : X —> Y là phép đồng phôi tuyến tính, g là hàm xác
định trên Y.
Đặt


f { x ) = X g { A x + y0) + {x*0, x) + 7o- Trong đó yo G Y, X*Q G X*, 7o G R, A >
0. Khi đó,
f * { x * ) = X g ( X ~ 1 A ~ v ( x * - x*0)) - (x* - x*0,A~1y0) > -70.
Hệ quả 1.4. i) f ( x ) = g { x +

XQ)

=> f * ( x * ) = g * ( x *) - { x \

XQ)

; i i ) f ( x ) = g ( x ) + {x*0,x) =>

= g*(x* -

x*0)]
Ui) f { x ) = X g ( x ) , A > 0
iv)

f*{x*) = Xg*(X~1x*);

f { x ) = X g ( X ~ 1 x ) , A > 0 => p { x * ) = X g * { x * ) ;

v ) f { x ) = g { X x ), A > 0

f*{x*) = g*(X~1x*).

Định lý 1.7. ([1], Định lý 1.4.3, Fenchel - Moreau) Giả sử X là không gian lồi địa phương Hausdorff, f : X —> ( — 00,
+00]. Khi đó f = f** khi và chỉ khi f lồi đóng.
Dưới đây ta liệt kê một số tính chất quan trọng của hàm liên hợp.
1. Giả sử / là hàm lồi chính thường đóng trên X. Khi đó
f(x) = sup {h(x) : h — affine liên tục, h < /} .
2. Giả sử cõf là hàm chính thường. Khi đó
r = cõf3. Giả sử c õ f là hàm chính thường. Khi đó

r = (cõ/r.


1.5 Dưới vi phân
Tính khả vi của hàm lồi giữ vai trò quan họng bậc nhất trong các bài toán tối ưu. Lớp hàm lồi có tính khả dưới vi phân
rất đẹp mà các lớp hàm khác không có. Giả sử X là không gian Hausdorff lồi địa phương, hàm / xác định trên D c X ;
f : D —> M, \ f { x ) \ < +00.
Ta biết rằng trong trường hợp / khả vi tại X Q £ d o m f , khi đó tại lân cận của X Q , f được xấp xỉ một cách khá tốt bởi
đạo hàm của nó. Đối với hàm lồi, nói chung là không liên tục và không khả vi.
Định nghĩa 1.9. Đạo hàm của hàm / theo phương d tại x 0 £ X ký hiệu là f ' ( x 0, d ) được xác định như sau

A—»0

nXa,d) = ^J{Xữ+Xắ)-ỉ{Xữ)

A

nếu giới hạn tồn tại (có thể hữu hạn hoặc bằng ±oo).
Định nghĩa 1.10. Cho D là một tập lồi không rỗng của X và X fl G D . Hướng d được gọi là hướng chấp nhận được của
D tại X o nếu tồn tại một số A > 0 sao cho X o + X d G D .
Tập hợp tất cả các hướng chấp nhận được của D tại X Q được ký hiệu là
T { D , X o).
Nhận xét 1.3. Nếu / là hàm lồi chính thường trên X thì

i) f ' ( x 0, •) là hàm thuần nhất dương hên X tức là với mọi A > 0 thì
f { x 0 , Ad ) = Af ( x 0 , d ) .

ii) Với mọi X G domf thì f ' ( x 0 . •) là dưới tuyến tính.
Mệnh đề 1.5. ([1], Mệnh đề 1.5.1) Cho hàm Ị : X —> K là hàm lồi chính thường trên X khi có đạo hàm theo phương tại
mọi điểm X o G domf đồng thời
f'(Xo,d) = ịaịf{xa
A> 0

A

+ XỂ

}-fM.


Định nghĩa 1.11. i) Tập K c X được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu \ / x G
K , VA > 0, Aæ G K .
ii) Tập K được gọi là nón có đỉnh tại X o nếu K —

Xo

là nón có đỉnh tại 0.

iii) Nón K có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu K là một tập lồi và
M x , y G K , Va, ß >

o

: ax + ßy G K.

iv) Nếu K là lồi đóng thì nó được gọi là nón lồi đóng.
v) Giao của tất cả các nón lồi có đỉnh tại 0 chứa tập A và điểm 0 là một nón lồi và gọi là nón lồi sinh bởi A ký hiệu
KA.
Mệnh đề 1.6. ([1]) Giả sử f là hàm thuần nhất dương trên X. Khi đó
i) Nếu Ị liên tục tại mọi điểm của Ư c X thì Ị liên tục tại mọi điểm của nón Kụ sinh bỏi điểm ư có thể trừ điểm 0,
ii) Nếu Ị liên tục trong một lân cận của 0 thì Ị liên tục trên X.
Định lý 1.8. Cho Ị : X —> K là hàm lồi chính thường trên X liên tục tại các điểm của tập Ư c X. Khi đó
i) Nếu tại d' G X thỏa mãn X + d! G ư mà f ( x , d ' ) h ữ u h ạ n t h ì h à m f ( x , •) liên tục tại mọi điểm của nón
K ụ - X sinh bỏi tập ư — X (có thể trừ điểm 0);
ii) Nếu Ị liên tục tại X thì f ( x , •) hữu hạn và liên tục trên X.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.6 ta chỉ cần chứng minh rằng f ( x , •) liên tục tại mọi điểm của tập U — X .
Trước hết ta chỉ ra rằng f ( x , •) là hàm chính thường. Do \ f ( x , d ) \ < +00 nên X G d o m f . Từ Mệnh đề 1.5 ta nhận
được
f ' { x , d ) < f ( x + d ) - f ( x ) , Vd G X .
Nếu 3 d ị G X : f ' ( x , d i ) = — oo, theo Định lý 1.4: X + d ' G i n t ( d o m f ) . Do đó với £ > 0 đủ nhỏ

X + ( d ' + e ( d ' — d ị ) ) = X + ¿2 £ d o m f
. Vì X + Ad ' =

+ AC¿2) +

("E + Adi).


Cho nên
f ( x + Ađ ) < -------f ( x + Ad 2 ) + Y ~ —i x + Adi);


=> f ' { x , d ' ) < — ^ — f ' { x , d 2 ) + - i - f M ) . I + £
£

I+

(1.6
)

Do X + d 2 G d o m f nên f ' ( x , d 2) < +00. Vì vậy từ (1.6) ta suy ra f ' ( x , d ' ) = —00. Điều này mâu thuẫn với điều kiện

\ f ( x , d ' ) \ < +00. Do đó f ' ( x , •) là hàm chính thường.
Nếu d i G ư — X thì / bị chặn trên với hằng số c trong một lân cận đủ nhỏ V của X + d \ . Khi đó
f{x, d) < f(x + d) - f(x) < c - f(x), VdeV - X]
=> f ' ( x , •) hữu hạn và bị chặn trên tập V — x ;
=> f ' { % , ■ ) liên tục tại d i (theo Định lí 1.4).
Khẳng định i) được chứng minh.

ii) Do tính lồi nên nếu / liên tục tại 0 thì / liên tục trong một lân cận của 0. Áp dụng Mệnh đề 1.6 ta nhận được khẳng
định ii).

□

Mệnh đề 1.7. T ạ i m ỗ i X G D t a c ó : T ( D , x ) ỉà một nón ỉồi.
Mệnh đề 1.8. ([1]) Cho f là một hàm lồi từ một tập con lồi không rỗng D ç X vào M VÀ X G D, d G T ( D , x ) khi đó
i ) f có đạo hàm theo hướng d khi và chỉ khi tập
bị chặn dưới và
f'{x,d) =
inf

f ( x + Ad ) f(x)
X

A > O, X + Ad G D / Ị


i i ) f ' ( x , •) là hàm thuần nhất dương, lồi khi d o m f ' ( x , •) lồi.
Hệ quả 1.5. f ( x , •) là hàm thuần nhất dương lớn nhất xác định trên d o m f ' ( x , •) có tính chất
f(x + Ad) — f ( x ) > f ' ( x , Ad ) , Vd G d o m f ' ( x , •); A > 0, X + X d G D .
Định nghĩa 1.12. Cho hàm f : X — > K là hàm lồi trên X . Dưới vi phân / tại X Q G X , ký hiệu d f ( x o) và được định
nghĩa như sau
d f { x 0 ) = X * : /(x ) - f ( x o) > (£, X - x0) , Va: G X } .
Nếu tập d f ( x o) Ỷ 0 ta nói rằng / khả vi dưới vi phân tại a:0.
Mệnh đề 1.9. ([1], Mệnh đề 1.5.4) Cho hàm f lồi chính chính thường trên X và X & d o m f . Khi đó các khẳng định sau là
tương đương
i)

X*

G ỡ/(x0);

ii) ỈM + f * { x * ) = ( x * , x 0 ) ;
iii) f ' ( x 0 , d ) > ( x * , d ) , Vd G X .
Định lý 1.9. ([1], Định lý 1.5.7)
i) Cho f i , /2 là các hàm lồi chính thường trên X. Khi đó
ỡ/i(x) + df29x) c ỡ/(/i + /2)(x), Va: G X.
ii) Nếu tại x0 G domf 1 n dom/2 mộí trong hai hàm là liên tục thì
d f i ( x ) + d f 2 { x ) = d f ( f i + /2)(x), Va: G X.
Mệnh đề 1.10. Cho Ị là một hàm lồi từ tập con lồi không rỗng D ç X vào K và X G D, £ G L ( x , K) k h i đ ó


£ G d f ( x ) & £(d) < f ' { x , d ) , w G T ( D , x ) .
Chứng minh. Do / khả vi dưới vi phân tại X nên ta có
d o m f ( x , •) = T ( D , x ) .
Theo định nghĩa của dưới vi phân ta có
f(x +

Ad )

— f(x) <

£(A d ) ,

d G T(D, x)]

A > o,

X

+ \d G D.

Theo Hệ quả 1.5 ta có
m < f ' ( x , d ) , Vd G T ( D , x ) ]
Lấy tùy ý y e D ^ y — x e T ( D , x ) .
Từ giả thiết và Mệnh đề 1.8 ta có
f(ì/ - x ) < f ' { x , y - x ) < f ( x + y - x ) - f ( x ) = f ( y ) - f ( x ) .
Vậy £ G d f ( x ) .

Chương 2
ọ


Định ly Fenchel - Moreau tông quát và đặc trưng bậc hai cho
hàm lồi vectơ

2.1 Giối thiệu
Hàm lồi đóng vai trò quan trọng trong giải tích phi tuyến, đặc biệt trong tối ưu. Trong hường hợp vectơ, hàm lồi
vectơ được quan tâm chú trọng rất nhiều để làm sáng tỏ cấu trúc của lớp hàm vectơ và ứng dụng vào tối ưu vectơ
([9]). Trong ([3], [4]), đác đặc trưng của tính lồi được trình bày dưới dạng của đạo hàm tổng quát bậc nhất. Nhưng
gần như là không có kết quả nào về đặc trưng bậc hai. Một trong những tính chất hữu ích của các hàm lồi vectơ là
tính liên tục Lipschitz địa phương trên phần trong tương đối của miền xác định đó ([4]). Tuy nhiên ta cũng quan
tâm đến các điều kiện theo đó tính liên tục vẫn còn đúng tại những điểm biên. Trong tối ưu, để có điều kiện đủ cho
nghiệm tối ưu, chúng ta cần hoặc một điều kiện bậc hai hoặc một giả thuyết lồi. Bên cạnh đó còn một phương pháp
nghiên cứu điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tối ưu dựa trên ánh xạ lùi ([5]). Cái khó trong việc mở rộng và
nghiên cứu ánh xạ lùi trong trường hợp ánh xạ
đa trị.
Mục đích của chương này là trình bày các vấn đề liên quan đến hàm lồi vectơ. Để trình bày được trực quan ta
chỉ hạn chế trong chương này các không gian xác định của hàm vectơ là hữu hạn chiều. Ta lấy X = M", Y = Mm.
Các kết quả của chương này có thể mở rộng cho không gian vô hạn chiều Bằng cách giới thiệu các định nghĩa của
khái niệm toán tử C-xác định cho các toán tử từ M" tới M m, £(K", Mm) kí hiệu không gian ánh xạ tuyến tính liên
tục từ R” tới Mm và c c Mm là một nón lồi. Tổng quát khái niệm của ma hận nửa xác định dương, ta chỉ ra đặc

hưng bậc hai cho tính lồi của hàm vectơ khả vi liên tục hai lần. Đối với tính liên tục, ta chỉ ra rằng tính đóng là điều
kiện đủ để hàm lồi vectơ liên tục. Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ lùi của các hàm lồi vectơ được đề xuất và nghiên
cứu tính chất của ánh xạ này ta tìm ra các điều kiện tồn với các phương án tối ưu của các bài toán vectơ có ràng
buộc. Một số ví dụ cũng được đưa ra để minh họa các kết quả.


Các khái niệm và kết quả được viết dựa trên cơ sở của bài báo [9] của tác giả Phan Nhật Tinh và Kim, Do
Sang.

2.2 Định nghĩa, các khái niệm và kết quả bổ trợ
Chúng ta nhắc lại rằng một tập hợp c khác rỗng c c Mm được gọi là nón nếu t x G c , Vr G c , t > 0. Một nón c
được gọi là nhọn nếu C n (—C ) = {0}. Ta nói tập B c Mm tạo thành nón c nếu c = {tò| b G B , t > 0} và ký hiệu c
= conB . Nón cực của nón c được xác định như tập C ' := G £(Mm, Mn) : £(x) > 0, Vx e C } . Ta liệt kê ở đây một số
tính chất của nón từ ([2], [3]) mà sẽ được sử dụng trong phần tiếp theo.
BỔ đề 2.1. Cho

c

c Km là một nón.

1. Nếu c đóng, lồi và nhọn thì int ơ Ỷ

0-

2. Giả sử nón c đóng và lồi. Cho c G M . Khi đó,
m

c khi và chỉ khi £(c) > 0, V£ G C"\{0}.
(ii) Giả sử int c Ỷ 0- đó c e int ơ khi và chỉ khi £(c) > 0 , V £ G C"\{0}.
3. Giả sử c là một nón đóng, lồi và nhọn. Khi đó với mọi lân cận w của gốc tọa độ trong M”\ tồn tại một lân

(i) c G

cận V khác của gốc tọa độ sao cho
{V + C )
Nón lồi

c

n

(V - C ) c w .

đặc trưng trong Mm sắp bộ phận 11 di'c xác định bởi
x,y G Km, X -
Khi int

cỶ

0»ta viết X < y nếu y — X G int

c.

Ở đây ta nhắc lại các khái niệm của sự hiệu quả.

Định nghĩa 2.1. ([3], Định nghĩa 2.1). Cho A c Mm là một tập khác rỗng và cho a G A. Ta nói rằng

i) a là một phần tử hữu hiệu lý tưởng của A đối với c nếu a -của A được ký hiệu bởi IMin(A\C).