Luận văn sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline đối với phương trình vi tích phân

BỘ G IÁ O D Ụ C VÀ Đ À O TẠO
TRƯ Ờ NG ĐẠI HỌC s ư PH Ạ M HÀ NỘ I 2

Đ IN H T H Ị T H U

S ự Ổ N Đ ỊN H C Ủ A P H Ư Ơ N G P H Á P S A P X E P
S P L IN E Đ Ố I V Ớ I P H Ư Ơ N G T R ÌN H
V I -T ÍC H P H Â N

L U Ậ N V Ă N T H Ạ C SĨ T O Á N H Ọ C
C h u yên ngành: T oán giải tích
M ã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học
T S . N g u y ễ n V ăn T uấn

H À N Ộ I, 2015


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến TS Nguyễn
Văn Tuấn, người thầy đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng
dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học,
các thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học
sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đồng
nghiệp, BGH và tổ KHTN trường THCS Xuân Hòa thị xã Phúc Yên
tỉnh Vĩnh Phúc đã cổ vũ, động viên, tạo điều kiện để tôi hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015

Tác giả

Đ in h T h ị T h u


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Nguyễn Văn
Tuấn, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:“S ự ổ n đị nh
của phương pháp sắp xếp spline đối vôi phương trình vi tích
p h â n ” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân
tác giả.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2015
Tác giả

Đ in h T h ị T h u


M ụ c lục

M ỏ đầu
1

K iến th ứ c cớ bản

8

1.1

Không gian vectơ

8

1.2

Khống gian định chuần

1.3
1.4

1.5

2

12

1.2.1

Khái niệm không gian định c h u ẩ n ........................

12

1.2.2

Sự hội tụ trong không gian định chuẩn

16

Không gian Hilbert

Không gian các hàm spline

19

1.4.1

Spline đa thức bậc ba với mốc cách đều

19

1.4.2

Spline đa thức tồng q u á t Ị .........................................

24

Sai số, tốc độ hội tụ

........................

28

1.5.1

Sai số

........................

28

1.5.2

Xấp xì tốt nhất

........................

29

1.5.3

Tốc độ hội tụ của nghiệm xấp xì

........................

30

1.5.4

Ma trận dường chéo trội

.........................................

31

1.5.5

Các khái niệm cơ bản của lỷ thuyết ổn định

. .

32

Sự ổn đ ịn h củ a ph ư ơng p h áp sắp x ế p sp lin e đ ối với
ph ư ơng trìn h v i tíc h ph ân
2.1

36

Định nghĩa phương pháp sắp xếp spline

2

........................

36


2.2

Sự ốn định của phưdng pháp sắp xếp spline với phưdng

trình vi phân
2 .2.1

38

Sử dụng ma trận đưòng chéo trội nghiên cứu tính
ổn định của phương trình vi phân

2 .2.2

Sự ốn định của phường pháp sắp xếp spline cho
phương trình vi phân bậc hai

2.3

...............................

45

Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương
trình vi tích phân .....................................................................
2.3.1

2.3.2

48

Phương pháp sắp xếp spline cho phương trình vi
tích phân Volterra bậc hai

......................................

48

Sự ốn định của phưdng pháp sắp xếp spline cho
phương trình vi tích phân Volterra bậc hai

3

38

54

ứ n g dụng

58

3.1

ứng dụng với phương trình vi phân

58

3.2

ứng dụng với phương trình vi tích phân

60

K ết luận

67

68

Tài liệu th a m khảo

3

B Ả N G K Í H IỆ U
N
N*
R
С
с [а,6]
а д

Il • Il

Tập số tự nhiên
Tập số tự nhiên khác không
Tập số thực
Tập số phức
Tập tất cả các hàm số thực liên tục trên [a, b]
Tập tất cả các hàm spline đa thức bậc 3
Chuẩn

4


M ở đầu
1. L í d o c h ọ n đ ề tà i
Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, trong kinh tế, cũng như trong các
lĩnh vực khác của cuộc sống ta gặp rất nhiều bài toán đưa tới việc nghiên
cứu các phương trình vi phân, phương trình vi tích phân.... Giải đúng
phương trình vi tích phân rất khó vì vậy người ta thường áp dụng các
phương pháp xấp xỉ để giải. Có rất nhiều phương pháp giải gần đúng
khác nhau, phương pháp sắp xếp spline là một phương pháp thường

được lựa chọn.
Ưu điểm của phương pháp sắp xếp spline là sử dụng các hàm đa thức
tính toán để giải. Các hàm đa thức dễ dàng lập trình đưa lên máy tính,
tính toán thuận lợi, hiệu quả. Trong một số trường hợp phương pháp
sắp xếp spline thường đạt tốc độ hội tụ nhanh, độ chính xác của nghiệm
gần đúng tốt hơn các phương pháp khác. Có thể khái quát cho nghiệm
xấp xỉ bằng spline bậc cao hoặc các hàm B-spline.
Sự ổn định của nghiệm xấp xỉ luôn được các nhà Toán học trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Với mong muốn tìm hiểu về sự ổn
định của nghiệm xấp xỉ và phương pháp sắp xếp spline nhằm nâng cao
kiến thức đã học trong chương trình đại học và cao học nên em chọn đề
tài này để nghiên cứu và làm luận văn tốt nghiệp cho mình.

5


2. M ụ c đ íc h n g h iê n cứ u
Tìm hiểu khái niệm và các định lý cơ bản của phương pháp sắp xếp
spline .
Nghiên cứu sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương
trình vi phân và phương trình vi tích phân.
3. N h iệ m v ụ n g h iê n cứ u
Nghiên cứu ổn định của phương pháp sắp xếp spline với phương trình
vi phân, phương trình vi tích phân.
Nghiên cứu về lập trình Maple để ứng dụng.
4. Đ ố i tư ợ n g v à p h ạ m v i n g h iê n cứ u
Đối tượng nghiên cứu: “Sự ổn định của phương pháp sắp xếp spline
Phạm vi nghiên cứu: các khái niệm, định lý các kết quả cơ bản của
phương pháp sắp xếp spline. Các phương trình vi phân, vi tích phân.
Lập trình Maple với phương pháp sắp xếp spline.

5. P h ư ơ n g p h á p n g h iê n cứ u
Sử dụng các phương pháp phân tích, tổng hợp, phương pháp lấy ý
kiến chuyên gia.
6. Đ ó n g g ó p m ới
Sẽ nghiên cứu sự ổn định của một lớp phương trình vi tích phân
bằng phương pháp sắp xếp spline, có thể chứng minh được sự ổn định

6


của một lớp phương trình vi tích phân bằng phương pháp sắp xếp spline.


Chương 1

K iến th ứ c cơ bản
Chương này trình bày một số không gian thường dùng như: Không
gian vectơ, không gian định chuẩn, không gian Hilbert, không gian các
hàm spline, sai số, tốc độ hội tụ, sự ổn định của nghiệm để phục vụ
chứng minh ở chương sau.
1.1

K h ô n g g ia n v e c tơ

Đ ịn h n gh ĩa 1.1 .1 . Cho ¥ là một tập khác rỗng mà các phần tử được
kí hiệu : a , / 3 ,7 ,... và K là một trường mà các phần tử được kí hiệu:
x,y,z,...
Giả sử trên V được trang bị hai phép toán, gồm:
1. Phép toán cộng, kí hiệu + :
V X V — >v.

{ ã, P) I— ỳ ấ + ặ.
2. Phép toán nhân, kí hiệu là • :
K X V — ►V.
(X, ã) I— > X • ã.

8


thỏa mãn các tiên đề sau:
• ã + /3 = /3 + ã, Va, ặ G V;

• ( ã + ặ) + 7 = a +

+ 7 ), V a ,/ĩ, 7 e ¥ ;

• tồn tại ớ € V sao cho ớ + (ĩ = a + ớ<= ( ĩ , Vổ ẽ ¥;

• Với mỗi ã tồn tại c ? ẽ V sao cho a' + ã = ã + a! — ớ;

• (x + 2/)õ; = x ã + y ã , Võ? ẽ V và X, y e

K;

• a:(a + /3) = XÕ! + xặ, Va, ịỡ G V và X Ễ

K;

• x ( y ấ ) = ( x y ) ấ , \ / ã € V và x , y £ K;

• 1 • <5 = <5, Võ? G V và 1 là phần tử đơn vị của trường K.

Khi đó V cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ
trên trường K, hay K-không gian vectơ,hay không gian tuyến tính.

Khi K = M thì V được gọi là không gian vectơ thực.
Khi K = c thì ¥ được gọi là không gian vectơ phức.
Ví dụ: Dễ dàng kiểm tra C[a, b] là một không gian vectơ.

9


Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .2 . Trong không gian vectơ Y
Hệ vectơ ( ã i , . . . , ã n) được gọi là độc lập tuyến tính nếu hệ thức:
Aiữi + • • • + AnOLn = 0
Chỉ xảy ra khi Ai = • • • = An = 0.
Hệ vectơ (a?i,. . . , ấ n) được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu nó không
độc lập tuyến tính.
Ví dụ: Trong không gian vectơ thực 1R2 cho hệ ba vectơ:
a 1 = (2 ;0 );a 2 = (0 ;4 );a 3 = (4;4)
Hệ ( ã ị : ấ 2 ) độc lập tuyến tính vì :
A i « ! + \ 20t2 = 0 =r- (2Xi; 0 ) + (0; 4 A2) = (0; 0)
=r- ( 2 A i ; 4 A2) = (0; 0 ) =r- Al = A2 = 0

Hệ (ã?!, ấ 2 , Ổ3) phụ thuộc tuyến tính vì 2ãị + ữ.2 — Ổ3 = ổ.
Đ ịn h n g h ĩa 1 .1 .3 . Giả sử Y là một không gian vectơ
Một hệ vectơ của Y được gọi là một hệ sinh của ¥ nếu mọi vectơ của
V đều biểu thị tuyến tính qua hệ đó.
Khi ¥ có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử thì ¥ được gọi là không
gian vectơ hữu hạn sinh.
Một hệ vectơ của ¥ được gọi là một cơ sở của ¥ nếu nó là hệ sinh
độc lập tuyến tính.

Đ ịn h n gh ĩa 1 .1 .4 . Cho V là không gian vectơ có cơ sở gồm hữu hạn
phần tử thì số phần tử trong cơ sở đó được gọi là số chiều của không
gian vectơ.
10


Khi V là một K-không gian vectơ có số chiều n ta kí hiệu:
dim V = n( hay diĩĩiK V = n).
Nếu V = {0} ta quy ước dim ¥ = 0.
Nếu V không có cơ sở nào gồm hữu hạn phần tử thì nó được gọi là
không gian vectơ vô hạn chiều.
Ví dụ: Trong K —không gian vectơ Kn xét hệ vectơ:
(e) = {ẻi = ( 1 , 0 , . . . , 0 ), ế2 = (0 , 1 , . . . , 0 ) , . . . , ến = (0 , 0 , . . . , 1 )}
п
thì với mọi ấ = (XI,X2 , . ■■, x n) e Kn ta đều có ă =

x i^i nên (e) là
i= 1

n

một hệ sinh của Kn. Mặt khác, nếu có XI

= 0 thì (A i,. . . , An) =

( 0 , . . . , 0). Suy ra Ai = • • • = An = 0.
Vậy hệ (e) còn là một hệ độc lập tuyến tính. Do đó hệ (e) là một cơ
sở của Kn. Cơ sở này được gọi là cơ sở chính tắc ( hay cơ sở tự nhiên )
của Kn. Từ đó suy ra d ỉ m K n = n.
Đ ịn h n gh ĩa 1.1.5. Tập con w Ф 0 của một K -không gian vectơ E

được gọi là không gian vectơ con của E nếu nó ổn định với hai phép
toán của E , nghĩa là thỏa mãn các điều kiện sau:
1. VỔ,

ß

G

w, ã + ß

G

w,

2 . Va G w và Vx G к thì x ã G w .

( xem [6 ])

11


1.2

K h ô n g g ia n đ ịn h ch u ẩ n

1.2.1

K h á i n iệ m k h ô n g g ia n đ ịn h ch u ẩn

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.1. Ta gọi k h ông gian định chuẩn (hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là

không gian tuyến tính X trên trường p ( P = R

hoặc p = C) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực R, kí hiệu là
ll-ll và đọc là chuẩn,thỏa mãn các tiên đề sau đây:
1. (Vx ẽ X ) ||a;|| >

0, \\x\\ = 0 <=> X = 9 (kí hiệu phần tửkhông là 6 );

2. (Vx e X ) (Va e

P ) IIQÍÍC|Ị = \a\ ||x|| ;

3. (Va:, y & X ) \\x + y\\ < ||x|| + \\y\\ .
Số ||x|| gọi là chuẩn của vectơ X. Ta cũng kí hiệu không gian định
chuẩn là X . Các tiên đề trên gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Ví dụ: Không gian M2 là không gian định chuẩn với chuẩn thường
chọn là chuẩn:
II X ||2= \ Ị x \ + x ị .

Ngoài ra còn có những chuẩn khác chẳng hạn như:
II X ||i = | Xị I + I x 2 I .
hay

II X 1100= max {| Xị I, I x 2 |}.
trong đó X = {X\,X 2 ) ẽ M2- Ví dụ: Không gian C[a,b] = { / : [a,b] —>
M I / liên tục trên [a, 6]} là không gian định chuẩn
II f ( t ) 11= max I f ( t ) I .
a

12


Đ ịn h n gh ĩa 1.2 .2 . Cho không gian tuyến tính X với hai chuẩn lllli và
IIII2- Hai chuẩn này được gọi là tương đương nếu tồn tại hằng số M > 0
và m > 0 sao cho:
m II Xị ỊỊ<ỊỊ x 2 ||< M ỊỊ Xi II, Víc e X .
Đ ịn h lý 1.2 .1 . Cho không gian định chuẩn X . Đối với hai vectơ bất kì
X, y € X ta đặt

d(x,y) = \ \ x - y \ \ .

( 1 .1)

Khi đó d là một metric trên X .
Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và
hệ tiên đề tuyến tính.
Mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric
với metric (1.1). Do đó mọi khái niệm,mệnh đề đã đúng trong không
gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2 .3 . Dãy (x n) trong không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ đến x ữ e X nếu
lim \\xn — rc0II = 0.

n —¥00

Khi đó ta kí hiệu
lim x n = x 0 hoặc x n —»• x ữ khi n —>• 0 0 .

n —>oo

Đ ịn h n g h ĩa 1.2 .4 . Dãy điểm (x n) trong không gian định chuẩn X gọi
là dãy cơ bản, nếu
lim

m, n —¥00

\[Xn — x m II = 0.

Đ ịn h n g h ĩa 1.2.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach,
nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
13


Đ ịn h n g h ĩa 1.2.6. Giả sử không gian định chuẩn X là một không gian
metric đầy đủ (với khoảng cách d ( x , y ) = ||x — y II). Khi đó X được gọi
là một không gian định chuẩn đầy đủ, hay còn gọi là không gian Banach.
Đ ịn h n gh ĩa 1.2.7. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
p . Ánh xạ A từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y
được gọi là ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu Ả thỏa mãn:
1 . A( x + y) = A x + Ay2 . A (a x ) = a A (X).

- A được gọi là toán tử cộng tính nếu A chỉ thỏa mãn 1 .
- A được gọi là toán tử thuần nhất nếu A chỉ thỏa mãn 2 .
- Khi Y = p thì toán tử tuyến tính A được gọi là phiếm hàm tuyến
tính.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2 .8 . Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Toán tử
tuyến tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn
tạ i h ằn g số c > 0 sao cho:

11 A x ||< c ỊỊ X II, với mọi X G X .
Ả được gọi là ánh xạ giới nội.
Đ ịn h lý 1.2 .2 . Ánh xạ A : X —>■Y tuyến tính, liên tục khi và chỉ khi
A giới nội.
Chứng minh. Giả sử Ả giới nội. Lấy { x n} c X , x n

X tương đương với

x n — X —> 0.
Ta có ỊỊA(a:n) — A(a:)|| = ỊỊA(xn — rc)II < k \\xn — x||

0.

Suy ra d (A( xn) , A(x)) = ||A(a;n) — i4(x)|| —> 0 suy ra A ( x n) —»• A ( x )

14


do đó A liên tục.
Ngược lại, giả sử Ả liên tục nhưng A không giới nội.
Tức Vm > 0, 3 x n e X : IIA ( x m) II > m \\xm II.
Ta đăt ym
ĩýĩìi —

u™ 7||7■ Ta
ra||a;m

đươc
■

7n | |x m ||

Suy ra { y m} -> 0. Ta có IM»™)!! =
m (ym )||

= —
• 0 5,m —>• oo.
m —>

> S |f e Ị > 1- Suy ™

0 ^ A ( y m) ^ 0 = A(0) (mâu thuẫn)

Vậy A giới nội.
Ta có điều phải chứng minh.
Đ ịn h n g h ĩa 1.2.9. Cho hai không gian định chuẩn X và Y. Kí hiêu
L (X , Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X
vào không gian Y . Ta đưa vào L ( x , Y ) hai phép toán:
1 . Tổng của hai toán tử A, B £ L (X , Y ) là toán tử,kí hiệu A + B, xác

định bởi biểu thức.
(A + B) ( x) = A x + Bx, với mọi X £ X;
2 . Tích vô hướng của a € P ( P — R hoặc p = c ) với toán tử A €

L ( X , Y ) là toán tử, kí hiệu OiA, được xác định bởi biểu thức
(o;^4)(a:) =

ol(A x )

Dễ kiểm tra được rằng A + B €E L ( x , Y ), a A ẽ L ( x , Y ) và hai
phép toán trên thỏa mãn tiên đề tuyến tính. Khi đó, tập L ( x , Y )
trở thành một không gian tuyến tính trên trường p .
Đ ịn h lý 1.2.3. Nếu Y là một không gian Banach thì L ( x , Y ) làkhông
gian Banach.
( xem [5])
15


1.2.2

S ự hội t ụ t r o n g k h ô n g gia n đ ịn h c h u ẩ n

Giả sử X là không gian định chuẩn và {^n}^°=i c X , X q € X .
1. x n —> Xq ( dãy x n hội tu tới Xo) có nghĩa là ỊỊ x n — Xo II—> 0.
2. Nếu x n —> x ữ thì II xn ||—>11 x ữ II, tức là chuẩn II x n II là một hàm
liên tụ c củ a X.

3. Mọi dãy hội tụ đều bị chặn, tức là: nếu x n hội tụ thì 3 M Ẽ E ,M >
0, V n, II x n II < M .

4. Nếu x n -¥ x 0, yn -> y0 thì x n + yn -»■ x 0 + ĩỊq.
5. Nếu x n —> x ữ, a n

a 0 thì x na n —>

V{a ;n}^0=1 C R ,ữ o ẽ K.

6 . Một dãy cơ bản trong không gian định chuẩn X là một dãy { x n} c

X sao cho:
lim I I — x m II = 0 .
771,71—
y00
Nếu trong không gian định chuẩn mọi dãy cơ bản đều hội tụ,tức là:
||zn — xm\\ —> 0 kéo theo sự tồn tại x ữ G X sao cho x n —> x ữ, thì không
gian đó được gọi là không gian đủ thường gọi là không gian Banach.
1.3

K h ô n g g ia n H ilb e r t

Đ ịn h n gh ĩa 1 .3 .1 . (Tích vô hướng) Cho không gian tuyến tính X trên
trường p (p là trường số thực R hoặc trường số phức c ). Ta gọi là tích
vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X X X vào
trường p ,kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên đề:
1 . (Vx,y e X) ( y, x) = {x,y);

2. (Vx, y, z e X ) (x + y, z) = (x, z) + (y, z ) ;

16


3. (Vx, y e X) (Va € P ) (aa;, 2/) = a {x, y );
4. (Vx e X ) (a:,a:) > 0, nếu X Ỷ 0 (9 là kí hiệu phần tử không),
(x, X) = 0, nếu X = 6.
Các phần tử X, y , z , . . . gọi là các nhân tử của tích vô hướng, số (x, y)
gọi là tích vô hướng của hai nhân tử X và y , các tiên đề trên gọi là tiên
đề tích vô hướng.
Đ ịn h lý 1 .3 .1 . Đối với mỗi X G X . Ta đặ t
\\x\\ = ^/ ( x, x) .

( 1 .2 )

Khi đó Vx, y G X ta có bất đẳng thức Schwarz
\(x,y)\ < IMI ||y|| .

(1.3)

Công thức (1.2) xác định một chuẩn trên không gian X .
Đ ịn h n gh ĩa 1.3 .2 . Không gian tuyến tính trên trường p cùng với một
tích vô hướng gọi là không gian tiền Hilbert.
Đ ịn h n gh ĩa 1.3 .3 . Ta gọi một tập H 7^ 0 gồm nh ữ ng phần tử x , y , z , . . .
nào đấy là không gian Hilbert,nếu tập H thỏa mãn các điều kiện:
1.

H là không gian tuyến tính trên trường P\

2.

H được trang bị một tích vô hướng (.,.);

3.

H là không gian Banach với chuẩn ||a;|| =

G H. Ta gọi

mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian HilbertH

là

không gian Hilbert con của không gian H .
Đ ịn h n gh ĩa 1.3 .4 . (Trực giao) Cho không gian Hilbert H. Hai phần
tử X, y G H gọi là trực giao,kỷ hiệu a;_Ly,nếu (x, y ) = 0.

17


Đ ịn h n g h ĩa 1.3.5. Cho không gian Hilbert H và tập con A c H, A ^
0. Phần tử X ẽ H gọi là trực giao với tập A , nếu X-Ly (Ví/ ẽ A ) và kí
hiệu X-LA.
Đ ịn h lý 1.3.2 (Định lý hình chiếu lên không gian con). Cho không gian
Hilbert H và H ữ là không gian con của H . Khi đó phần tử bất kì X e H
biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng
X = y + z , y G H ữ, z G H q.

(1.4)

Phần tử y trong biểu diễn (1.4) gọi là hình chiếu của phần tử X lên

không gian con H ữ.
Đ ịn h n g h ĩa 1.3.6. (Hệ trực chuẩn) Cho không gian Hilbert H. Một
tập (còn gọi là hệ thống) gồm hữu hạn hay đếm được các phần tử
(e n)n>1 c H gọi là một hệ trực chuẩn, nếu
( e ij e j )
ỏij là kí hiệu Kroneckes,ốjj =

ổy

0 với ỉ Ỷ j , ỏ i j =

(1-5)

1 với ỉ = j , ( i , j =

1,2,...).

N h ậ n x ét: Không gian định chuẩn và không gian Hilbert có hai cấu
trúc tôpô và đại số.
Về cấu trúc tôpô: Họ lân cận của 0, 1Ầ — { Ua} aeI, Ua là lân cận của
0.

X ẽ X , { z + Ua } aeI là họ lân cận củ a X.

Đ ịn h n gh ĩa 1.3.7. Mọi họ các lân cận của điểm 0 (Kí hiệu: u ) được
gọi là họ cơ sở của lân cận nếu:
1. u bất kỳ là lân cận của điểm 0 thì tồn tại Uo c ĨÀ sao cho Uo c U\
2 . Với Uị, LỈ2 ẽ ỈA thì JJ\ n U2 ẽ
18


3. Với Ui ẽ u , ỉ = 1, • • • , oo thì u Uị ẽ ĨẢ\
i=1
4. Với w £ U , tồn tại Uq ẽ w sao cho ơo + Uq c VK.
1 .4

K h ô n g g ia n cá c h à m sp lin e

1.4.1

S p lin e đ a t h ứ c b ậ c b a với m ố c cá c h đ ề u

Xét phân hoạch 7T trên đoạn [a, 6] với các mốc nội suy
a = t 0 < tị < t 2 < . . . < t n = b.
Kí hiệu hi =

ti — t ị-i , nếu hị = h = const thì các mốc nội

suy

t 0, tị, Ỉ 2 , ■.., t n gọi là các mốc nội suy cách đều.
Đ ịn h n gh ĩa 1.4.1. Một spline đa thức bậc ba trên đoạn [a, b] với phân
hoạch 7r là hàm số y = s ( t ) thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. s(t) G c 2[a, 6];
2 . Hạn chế của s ( t ) trên mỗi khoảng Aj = [tị-,tị+i\ là đa thức s ( t ) |a.,

với deg(s( t) I A ) < 3, Vi = 0,1, 2, • • • ,71.
Không gian gồm tất cả các hàm số s(í) thỏa mãn hai điều kiện trên
kí hiệu là Ss{ 7ĩ).
Từ định nghĩa ta có không gian 1S3 (7r) chứa tất cả các đa thức có bậc
nhỏ hơn hoặc bằng 3. Dễ dàng kiểm tra các tiên đề của không gian vec
tơ suy ra S ị (7r) là không gian tuyến tính.
M ện h đề 1.4.1. Không gian Ss(ĩĩ) là không gian tuyến tínhvàkhông
gian đó chứa t ấ t cả các đa thức có bậc nhỏ hơn bằng 3.

B à i to á n 1 .4 .1 . Tồn tại duy nhất hàm số s ( t ) G Ss(7r) thỏa mẫn hệ

19

điều kiện:
s'{t0) = /'(to ),
( 1 .6 )

s{ti) = /( * 0 , 0 < i < n ,

y (0 = /'(*»).
Khi đó s ( t ) được pọỉ là đa thức nội suy spline bậc ba của hàm số f ( t ) .
Xây dựng sự tồn tại của hàm s ( t ) với các mốc nội suy cách đều
i(b — a)
tị — 10 H------------ ,trong đó chúng ta bô sung thêm 4 môc nội suy
2<
n
t n_ 1 < ígvà ín +2 > Í n+1 > ín đ ồn g th ờ i x é t hàm số Bị ( t ) được x á c đ ịnh
bởi công thức:
f ( t - t ị - 2) V

€ [íi-2 ,íi-i],

+ 3/i2(í - t ị- i ) + 3h(t - t i - 1)2 Bị{t) =

3 (í - t ị - 1)3,

h3 + 3h2(ti+1 - t ) + 3h(ti+1 - t ) 2 3 (íi+i - í ) 3,
íG [ ìi,íĩ+ i] ,
(íi +2 —
£ [íj+i ,í j +2],
k0 , t Ệ [tị_2,ti+2\(1.7)

Bằng cách thay vào (1.7) các hàm số Bị ( t ) liên tục khả vi hai lần

trên R, mà
[4 ,j =
Bitti) =

^

=

i,
* - 1 h o ặ c 3 = * + 1>

( 1 .8 )

^ 0 , j = 1 —2 hoặc j = i + 2 ,
Đồng thời Bị{t) =

0với t > tị + 2 và t < t ị - 2 -

Các hàm 5-spline khác không nhỏ gọn nhất với các mốc nội suy
2

< Í _1 < t ữ < . . . < t n < t n+1 < í n_|_2 đó là, bất kì spline đa thức bậc

3 s(t) đồng nhất triệt tiêu bằng 0 ngoài khoảng ( t j - 2 , t j +2 ).
Hơn nữa mỗi Bị ( t ) là bậc 3 trên [tj,tj+i\ nên Bị ( t ) € 63 (7r).
Tính

B^ịt), B j ( t ) chúng ta có bảng sau:
20

t

tị- 2

t j —1

B itt)

0

1

4

BỊ(t)

0

3

h

0

6
h2

12
h2

0

B ả n g 1.1:

Giả sử B =

*j+i

1
3

tj + 2

0

h

0

6
h2

0

G iá trị B j ( í ) , s ' - ( í ) , s '- '(í)

, B n+1 và 5 3 (tt) = spanB.

Dễ thấy hệ B là độc lập tuyến tính và B 3(ĩĩ) là không gian n + 3

chiều.
Đ ịn h lý 1.4.1. Có duy nhất hàm sịt) G -6 3 (7,.) thỏa mãn bài toán (|l.6|).
Chứng minh. Giả sử s ( t ) G -S3(7r) thì
s(í) = Z _ i5 _ i(í) + x 05 0 (í) + . . . + x n+1B n+1(t).

(1.9)

s ( t ) thỏa mãn bài toán ( 1 .6 ) nên chúng ta có:
ị s ' ( t 0) = a ;_ i5 _ i(í) + x 05 0 (í) + . . . + x n+1B n+1(t) =
1 s(ti) = a r _ i 5 _ i ( í i ) + x ữB Q(ti) + . . . + a:n + i 5 n + 1 ( í i ) = / ( í i ) ,
1
0 < i < n,
i, ® (^n)
VC—l B —i (tn)
•EoB q{tiì) . . .
Xn+ i B n+i (tn)
f iỳn}’
( 1 . 10 )

Đây là hệ phương trình tuyến tính gồm n + 3 phương trình dạng:

21


A x = b, với

7 #(*o)-

~X - l "

Xo

m

Xi

f ( t l)

X=

,6 =
xn

/ơ n )

-%n+l-

và ma trận hệ số:
'B’_ s „)

s ;(í„ ) B\ ( U)

...

B'n+l(u)

B 0(t0) B ị ( t ữ)

. . . B n +1(*o)

B ữ(t ị ) Bi ( t i )

. . . Bn+l (*l)

£ 0( O -Bi( 0

••• -®n+l (^n)

B'o{tn)

. . . B'n+1(tn)

A =

£ - i ( í„ )
_B'-i(tĩì)

- Itl 0 Ití
1 4

0

1 0

0

1 4

0

0

1 4

0

0

0

0

0

0

0

1 0

0
0

1 0

...

0

1

i4 là ma trận có đường chéo trội nên không suy biến từ đó hệ ( 1.10 )có
nghiệm duy nhất.
22


Đ ịn h lý 1.4 .2 . Với các không gian

vàB 3 (ĩr)nêu trên chúng ta có:

Bz{ tt) = S 3 (tt).

(1.11)

Chứng minh: Từ định nghĩa B 3 (ĩĩ) ta có B 3 (ĩĩ) c S 3 (7r).
Chúng ta đi chứng minh S ị (7r) D -53 (7r).
Lấy f ( t ) G S3(tĩ) khi đó

và f (t i ) , 0 < i < n đều xác

định.
Giả sử s ( t ) G 5 3 (tt) là hàm spline duy
định lý (Ịl.4.1 ),dặt f ( t ) — s ( t ) = g(í) thì

nhất được xác định trong
= 0, 0 < i <

n.

Vì f { t ) , g( t ) ẽ c 2 [a, 6] nên g ( t ) ẽ c 2 [a, 6] theo định lý Rolle thì g'(t)

có n nghiệm

thỏa mãn tị < Ui < tị .|_1 đồng thời t ữ, t n là hai nghiệm

của g'(t). Như vậy g'(t) có ít nhất n + 2 nghiệm do đó g"(t) có ít nhất
n + 1 nghiệm

và

Xi

<

Zị

<

ĩ ji ,

0 < i < n .

Nhưng g"(t) là đa thức có bậc cao nhất bằng 1 trên t ị , t ị + 1 với các
điểm lưới củ a p h ân hoạch 7T , v ì g" (t) n h ận Z ị, i = 0 , 1 , 2 , . . . , n là các

nghiệm nên chúng ta suy ra g"(t) = 0 trên t ị , t ị +i .
Do đó g"(t) = 0 trên ti, Íj+ 1 từ đó chúng ta được: g( t ) = a t + /3 . Mà
g{t 0 ) = g{tn) = 0 suy ra a = Ị3 = 0 hay g(t) = 0 trên t 0, t n .
Do đó
s{t) = f { t ) G B 3(7r).
Kết luận

B 3(7ĩ) = £ 3 (71-).
H ệ qu ả 1.4.1. s 3(7r) /Ồ không gian tuyến tính n + 3 chiều với hệ cơ sở
B = I

, B n+1Ị .

23