Một số quá trình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————o0o——————–

TRẦN THỊ LEN

MỘT SỐ QUÁ TRÌNH RÃ CỦA TRƯỜNG VÔ
HƯỚNG TRONG MÔ HÌNH CHUẨN

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã số:

60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Người hướng dẫn khoa học
TS. Nguyễn Huy Thảo

HÀ NỘI, 08 - 2015


LỜI NÓI ĐẦU
Sau một thời gian học tập và nghiên cứu, cuối cùng tôi cũng đã hoàn thành
luận văn nghiên cứu của mình. Đây là thời điểm tốt nhất tôi có dịp được bày
tỏ lòng biết ơn của mình đến thầy cô, những người thân đã giúp đỡ động viên
tôi trong suốt quá trình tôi thực hiện luận văn này.
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Huy Thảo,
người thầy, người hướng dẫn khoa học, người định hướng nghiên cứu cho tôi
trong suốt thời gian thực hiện luận văn này.
Xin gửi lời cảm ơn chân thành tới quý thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại

học Sư phạm Hà Nội 2, các giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt
cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên
cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình, bạn bè, các bạn
học viên lớp cao học K17 – chuyên ngành Vật lí lí thuyết và vật lí toán đã tạo
điều kiện thuận lợi, khích lệ, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học để tôi có
được như ngày hôm nay.
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành, nhưng thời gian nghiên cứu có hạn
nên luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý
kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn học viên và những
người quan tâm đến đề tài này.
Xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 08 năm 2015
Học viên

Trần Thị Len

i


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam kết luận văn này là công trình nghiên cứu thực sự của tôi, được
hoàn thành dựa trên các kết quả nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa
học của TS. Nguyễn Huy Thảo. Trong toàn bộ nội dung của luận văn, những
điều được trình bày hoặc là của cá nhân hoặc là được tổng hợp từ nhiều nguồn
tài liệu. Tất cả các tài liệu tham khảo đều có xuất xứ rõ ràng và được trích dẫn
hợp pháp. Các kết quả của nghiên cứu này chưa được dùng cho bất cứ luận văn
cùng cấp nào khác.
Hà Nội, tháng 08 năm 2015
Học viên

Trần Thị Len

ii


Một số kí hiệu viết tắt
Hình 1.1. Tương tác của fermion và lý thuyết IVB
Hình 3.1. Higgs rã ra fermion
Hình 3.2. Higgs rã ra boson yếu A = W, Z
Hình 3.3. Sơ đồ đầu tiên Higgs rã ra gluon
Hình 3.4. Higgs phân rã để gluon, sơ đồ thứ hai
Hình 3.5. Higgs phân nhánh phân số và tốc độ phân hủy Higgs .

iii


Mục lục
Lời nói đầu

i

Lời cam đoan

ii

Một số kí hiệu viết tắt

iii

Mở đầu

1

1 Trường vô hướng và trường fermion
1.1 Trường vô hương thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Trường vô hướng thực trong biểu diễn tọa độ . . .
1.1.2 Trường vô hướng thực trong biểu diễn xung lượng
1.2 Trường vô hướng phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Trường vô hướng phức trong biểu diễn tọa độ . .
1.2.2 Trường vô hướng phức trong biểu diễn xung lượng
1.3 Trường fermion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Phương trinh Dirac và ma trận Dirac . . . . . . .
1.3.2 Hình thức luận Lagrange . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Phương trình fermion trong biểu diễn xung lượng

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
4

5
8
8
9
10
10
15
16

.
.
.
.

20
20
22
22
24

3 Một số quá trình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn
3.1 Quá trình rã của trường vô hướng ra fermion và phản fermion . .
3.2 Quá trình rã vô hướng ra boson yếu . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Quá trình rã vô hướng ra các gluon . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27
27
28
30

2 Mô hình chuẩn
2.1 Sắp xếp hạt của mô hình chuẩn
2.2 Lý thuyết trường chuẩn . . . . .
2.2.1 Lý thuyết gause . . . . .
2.2.2 Phá vỡ đối xứng tự phát

iv

. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
và cơ chế Higgs

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.


Kết luận

37

Phụ lục

38

Tài liệu tham khảo

44

v


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Từ khi phát hiện ra phân rã β của neutron, rất nhiều nỗ lực đã được thực
hiện để hiểu bản chất của tương tác yếu. Tương tác này đã đi qua nhiều giai
đoạn và kiểm tra để trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh. Mô hình đầu tiên có
khả năng mô tả thành công các dữ liệu thực nghiệm ở năng lượng thấp được đề
nghị bởi Fermi vào năm 1934:
GF
Lef f (x) = √ Jµ† (x)J µ (x)
2

đây là sự tương tác giữa các dòng với J µ cho bởi
J µ (x) =

νl (x)γ µ (1 − γ5 )l(x) + p(x)γ µ (1 − γ5 )n(x)
l

Số hạng đầu tiên là lepton và số hạng thứ hai được cho là phần mô tả sự
tương tác giữa các hạt nucleon. Ngày nay, ta biết rằng cần phải thay thế các
trường nucleon cho trường quark. Từ tiết diện tán xạ, ta có thể hình dung được
tính toán của Fermi:
σ νµ e− → νe µ− =

G2F s
∼s
π

Như ta đã đề cập, lý thuyết này chỉ có thể mô tả các hiện tượng ở năng lượng
thấp, với năng lượng đủ cao nó vi phạm tính unita [3.] Ngoài ra, lý thuyết này
không tái chuẩn hóa được. Tất cả hiệu chỉnh bậc cao được tìm thấy là vô hạn.
Một lý thuyết được gọi là tái chuẩn hóa nếu tất cả các phân kỳ tử ngoại có thể
được khử thông qua ở việc xác định lại các hằng số tương tác và các trường. Với

lý thuyết của Fermi là không thể. Tiếp theo là lý thuyết vectơ Boson trung gian
(IVB). Ở đây ta giả định rằng tương tác yếu là một vectơ boson trung gian,
tương tự QED, nhưng trong trường hợp này nó phải là một boson khối lượng
lớn.

1


Hình 1: Tương tác của fermion và lý thuyết IVB

Lý thuyết này cũng đã không thành công. Người ta có thể thấy rằng lý thuyết
này một lần nữa vi phạm tính unita và không tái chuẩn hóa. Cuối cùng, vào
năm 1967, Weinberg, Salam và Glashow [11, 12, 13] đề xuất một lý thuyết thống
nhất điện yếu, đây là lý thuyết rất phù hợp với thực nghiệm. Lý thuyết này gọi
là Mô hình Chuẩn với tương tác điện yếu. Đây là lý thuyết gauge dựa trên các
nhóm đối xứng SU (2)L ⊗ U (1)Y với các hạt không có khối lượng [9, 10]. Cùng
với tương tác mạnh, ta có nhóm SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y mô tả mô hình chuẩn
(SM). Cơ chế sinh khối lượng cho tất cả các hạt được gọi là cơ chế phá vỡ đối
xứng tự phát (SSB - Spontaneous Symmetry Breaking)
SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y → SU (3)C ⊗ U (1)QED

Cho đến nay mô hình này rất thành công vì dự đoán được nhiều hiện tượng
mà sau đó đều được thực nghiệm kiểm chứng với độ chính xác cao. Ví dụ như
sự khám phá dòng trung hòa điện tích của lực hạt nhân yếu; ba loại quark c, t, b;
hai boson chuẩn W, Z ; ba loại neutrino với khối lượng vô cùng nhỏ. Đặc biệt là
sự tìm thấy hạt Higgs trong thời gian gần đây ở máy gia tốc LHC càng khẳng
định sự đúng đắn của mô hình này. Theo mô hình chuẩn, khối lượng của vật
chất được tạo ra bởi sự tương tác của chúng với trường Higgs. Khởi đầu tất
cả đều không có khối lượng, do tương tác với trường Higgs mà vật chất mang
khối lượng, nặng hay nhẹ tùy theo cường độ tương tác của chúng, càng tác động

mạnh với trường Higgs thì vật chất càng có khối lượng lớn.
Với mục đích là khảo sát khối lượng của hạt vô hướng trong mô hình chuẩn
nên tôi chọn đề tài: “Một số quá trình rã của trường vô hướng trong mô
hình chuẩn”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Tính bề rộng rã của một số quá trình rã trường vô hướng trong mô hình
chuẩn.

2


3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Mô hình chuẩn.
4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết và vật lý toán.
5. Dự kiến đóng góp của đề tài
Đề tài cung cấp thêm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học
chuyên nghành vật lý lý thuyết và những người quan tâm đến: “Một số quá
trình rã của trường vô hướng trong mô hình chuẩn” .

3


Chương 1
Trường vô hướng và trường fermion
1.1

Trường vô hương thực

Trường vô hướng thực mô tả hạt có spin bằng 0 và không mang điện.

ϕ∗ (x) ≡ ϕ (x)

Hàm Lagrang £ của trường [1]
m2 2
1
ϕ (x)
£ = ∂ µ ϕ(x)∂µ ϕ(x) −
2
2

(1.1)

trong đó m là khối lượng của hạt.

1.1.1

Trường vô hướng thực trong biểu diễn tọa độ

Phương trình chuyển động của trường
∂£
∂£
− ∂µ
=0
∂ϕ(x)
∂∂µ ϕ(x)

(1.2)

−m2 ϕ(x) − ∂µ ∂ µ ϕ(x) = 0

(1.3)

Kí hiệu
= −∂µ ∂ µ =

∂2
∂2
∂2
∂2
+
+
−
∂x21 ∂x22 ∂x23 ∂x20

Phương trình Klein - Gordon
(

− m2 )ϕ(x) = 0

Năng xung lượng của hệ
Tµν =

∂£
∂ν ϕ(x) − gµν £
∂∂ µ ϕ
4

(1.4)

1
Tµν = ∂µ ϕ(x)∂ν ϕ(x) − gµν ∂ ρ ϕ(x)∂ρ ϕ(x) − m2 ϕ2 (x)
2
1
m2 2
T00 = ∂ρ ϕ(x)∂ ρ ϕ(x) +
ϕ (x)
2
2
T0i = ∂0 ϕ(x)∂i ϕ(x)

(1.5)
(1.6)
(1.7)

Tenxo spin = 0 và F bằng 0
J µ = 0, Q = 0

1.1.2

Trường vô hướng thực trong biểu diễn xung lượng

Chuyển từ biểu diễn tọa độ sang biểu diễn xung lượng bằng cách khai triển
Fourier [4, 5]
1

ϕ(x) =

(2π)

3
2

e−ikx φ(k)d4 k

(1.8)

Thay vào phương trình Klein – Gordon:

(

1

− m2 )ϕ(x) =
=

(2π)
1
(2π)

3
2

3
2

(−∂µ ∂ µ − m2 )e−ikx φ(k)d4 k
(k 2 − m2 )e−ikx φ(k)d4 k

=0

⇒ (k 2 − m2 )φ(k) = 0

Đặt:
φ(k) = δ(k 2 − m2 )a(k)
k 2 − m2 = 0
→
−
k02 − k 2 − m2 = 0
→
−
k02 = k 2 + m2 ⇒ k0 = ±

→
−2
k + m2

Đồng nhất ta được:
k0 trùng với năng lượng
→
−
k trùng với xung lượng

ϕ(x) =

1
(2π)

3
2

d4 kδ(k 2 − m2 )e−ikx a(k)
5

(1.9)


Đưa vào kí hiệu gián đoạn

θ (k0 ) =

1 k0 > 0
0 k0 < 0

1 = θ(k0 ) − θ(−k0 )

Suy ra
1

ϕ(x) =

(2π)
1

+

(2π)
1

=

d4 kδ(k 2 − m2 )θ(k0 )e−ikx a(k)

3
2

d4 kδ(k 2 − m2 )θ(−k0 )e−ikx a(k)

3
2

(2π)

d4 kδ(k 2 − m2 )θ(k0 )e−ikx a(k)

3
2

d4 kδ(k 2 − m2 )θ(k0 )e−ikx a(−k)

+

Ta lại có
δ(x2 − a2 ) =

1
[δ(x − a) + δ(x + a)]
2 |a|

Do đó
2

2

2

δ(k − m ) =
=

δ(k02

−(

→
−2
k + m2 ) )
→
−2
k + m2 ) + δ(k0 −
2 |k0 |

δ(k0 +

→
−2
k + m2 )

∞

→
−

dk

1

⇒ ϕ(x) =

(2π)

3
2

→
−
dk

3

(2π) 2

⇒ ϕ(x) =

→
−2
1 −ikx
k + m2 )
e
a(k)
2 |k0 |

dk0 δ(k0 −

→
−2
1 −ikx
k + m2 )
e
a(−k)
2 |k0 |

0
∞

1

+

dk0 δ(k0 +

0

1
3

(2π) 2

→
−
d k −ikx
e
a(k) +

2k0

6

1
3
(2π) 2

→
−
d k −ikx
e
a(−k
2k0

(1.10)


→
−2
k + m2 )

(vì k0 = ±

⇒ ϕ (x) =

→
−
d k −ikx ∗
e

a (k) +
2k0

1

∗

3
(2π) 2

1
3
(2π) 2

→
−
d k −ikx ∗
e
a (−k)
2k0

(1.11)

Cho
→
−
→
−
ϕ∗ (x) = ϕ(x) ⇒ a(− k ) = a∗ ( k )
1

⇒ ϕ(x) =

3

(2π) 2

(với ω ≡ k0 =
Năng lượng:

→
−
−
→
−
d k −ikx →
e
a( k ) + eikx a∗ ( k )
2ω

(1.12)

→
−2
k + m2 ).

−
T 00 d→
x

P0 =

0

P =

→
−
→
−
→
−
→
− →
−
dk 1
k0 a( k )a∗ ( k ) + a∗ ( k )a( k )
2ω 2

(1.13)

Xung lượng:
Pi =

i

P =

µ

P =

0i
−
T d→
x =

∂ϕ ∂ϕ →
d−
x
∂x0 ∂xi

→
−
→
−
→
−
→
− →
−
dk 1 i
k a( k )a∗ ( k ) + a∗ ( k )a( k )
2ω 2

(1.14)

→
−
→

−
→
−
→
− →
−
dk 1 µ
k a( k )a∗ ( k ) + a∗ ( k )a( k )
2ω 2

µ

P =

→
−
−
→
−
dk µ →
k a( k )a∗ ( k )
2ω

(1.15)

−
→
−
→
−

1 →
a( k )a∗ ( k ) là số hạt trung bình có xung lượng k , năng
2k0
→
−2
lượng k0 và khối lượng m = − k + k02 , không có điện tích và spin.

Do đó có thể coi

7


1.2

Trường vô hướng phức

Trường vô hướng phức mô tả hạt không có spin nhưng có điện tích.
Lagrange của trường:

£ = ∂µ ϕ∗ (x)∂ µ ϕ(x) − m2 ϕ∗ (x)ϕ(x)

1.2.1

(1.16)

Trường vô hướng phức trong biểu diễn tọa độ

Phương trình chuyển động của trường
∂£
∂£

− ∂µ
=0
∂ϕ(x)
∂∂µ ϕ(x)
⇒

(1.17)

−m2 ϕ∗ (x) − ∂µ ∂ µ ϕ∗ (x) = 0 → (−m2 )ϕ∗ (x) = 0
−m2 ϕ(x) − ∂µ ∂ µ ϕ(x) = 0 → (−m2 )ϕ(x) = 0

Tensor năng xung lượng:
T µν =

∂£
∂£
∂ ν ϕ(x) +
∂ ν ϕ∗ (x) − g µν £
∂∂µ ϕ(x)
∂∂µ ϕ(x)

T µν =∂ µ ϕ∗ (x)∂ ν ϕ(x) + ∂ µ ϕ(x)∂ ν ϕ∗ (x)
− g µν ∂ρ ϕ∗ (x)∂ ρ ϕ(x) − m2 ϕ∗ (x)ϕ(x)

(1.18)

T 00 = ∂µϕ∗ (x)∂µ ϕ(x) + m2 ϕ∗ (x)ϕ(x

(1.19)

T 0i = ∂ 0 ϕ∗ (x)∂ i ϕ(x) + ∂ i ϕ∗ (x)∂ 0 ϕ(x)

(1.20)

∂£
∂£
∗
ϕ
(x)
−
ϕ(x)
∂∂µ ϕ∗ (x)
∂∂µ ϕ(x)

(1.21)

Vectơ mật độ dòng:

T µ =ie(

µ

∗

µ ∗

= ie (∂ ϕ(x)ϕ (x) − ∂ ϕ (x)ϕ(x))

8

1.2.2

Trường vô hướng phức trong biểu diễn xung lượng

Tương tự như trường vô hướng thực ở trên hàm trường có dạng:
1

ϕ(x) =

3

(2π) 2
1

∗

ϕ (x) =

3

(2π) 2

→
−
−
→
−
d k −ikx →
[e

a( k ) + eikx a(− k )]
2ω

(1.22)

→
−
−
→
−
d k −ikx →
[e
b( k ) + eikx b(− k )]
2ω

(1.23)

Lấy liên hợp phức của ϕ(x) rồi so sánh với ϕ∗ (x):
→
−
→
−
→
−
→
−
a∗ (− k ) = b( k ), a∗ ( k ) = b(− k )

Vậy:
1

ϕ(x) =

3

(2π) 2

∗

ϕ (x) =

1
3

(2π) 2

→
−
−
→
−
d k −ikx →
[e
a( k ) + eikx b∗ ( k )]
2ω

(1.24)

→
−

−
→
−
d k −ikx →
[e
b( k ) + eikx a∗ ( k )]
2ω

(1.25)

Năng lượng:

0

−
T d→
x =

→
−
→
− →
−
→
− →
−
dk
k0 a∗ ( k )a( k ) + b∗ ( k )b( k )
2ω

(1.26)

i

−
T d→
x =

→
−
− →
−
→
− →
−
dk i ∗ →
k a ( k )a( k ) + b∗ ( k )b( k )
2ω

(1.27)

P =

00

Xung lượng:

P =

0i

µ

P =

→
−
→
−
→
−
→
− →
−
dk µ
k a( k )a∗ ( k ) + b∗ ( k )b( k )
2ω

Điện tích:
Q=

−
J 0 d→
x = ie

−
d→
x (ϕ(x)ϕ∗ (x) − ϕ∗ (x)ϕ(x))
9

(1.28)


Q=

→
−
→
− →
−
→
− →
−
dk
e a∗ ( k )a( k ) − b∗ ( k )b( k )
2ω

(1.29)

Từ biểu thức của P µ và Q ta đoán nhận như sau:
→
−
→
−
+) a∗ ( k ): toán tử sinh hạt có xung lượng k , năng lượng k0 , khối lượng m,
tích e.
→
−
→
−

+) a( k ): toán tử hủy hạt có xung lượng k , năng lượng k0 , khối lượng m,
tích e.
→
−
→
−
+) b∗ ( k ): toán tử sinh hạt có xung lượng k , năng lượng k0 , khối lượng m,
tích -e.
→
−
→
−
+) b( k ): toán tử hủy hạt có xung lượng k , năng lượng k0 , khối lượng m,
tích -e.

1.3

điện
điện
điện
điện

Trường fermion

Trường spinor mô tả chung cho các fermion, nên trường fermion hay còn gọi là
trường spinor.

1.3.1
1.3.1.1

Phương trinh Dirac và ma trận Dirac
Phương trình Dirac

Phương trình Klein-Gordon:
− m2 ψ = 0

2

2

2

2

−p0 + px + py + pz + m ψ = 0

(1.30)

Dirac biến đổi phương trình này thành phương trình vi phân hạng nhất đối với
tọa độ và thời gian [8]
2

2

2

2

−p0 + α1 px + α2 py + α3 pz + α0 m ψ = 0

10

(1.31)


⇒ α0 , α1 , α2 , α3 là những toán tử
2

Tác dụng từ phải trái phương trình (1.31) với −p0 + α1 px 2 + α2 py 2 + α3 pz 2 + α0 m
rồi so sánh với phương trình Klein-Gordon ta có
2

2

2

2

ao = a1 = a2 = a3 = 1

(1.32)

ˆν a
ˆµ = 2δµν
a
ˆµ a
ˆν + a

(1.33)

Nếu µ = ν thì αµ αν = −αµ αν = −Iαµ αν
I: ma trận đơn vị
det (αµ αν ) = det (−Iαµ αν )
⇒ det αµ det aν = det (−I) det αν det aµ
⇒ det (−I) = 1

Giả sử αµ , αν là những ma trận hạng n

(−1)n = 1 tức n chẵn

+) Khi n=2 có 4 ma trận độc lập (3 ma trận Pauli, 1 ma trận đơn vị)
σx σy = −σy σx
σy σz = −σz σy
Iσy = σy I i = 0, 3

(không thỏa mãn)
⇒n= 2 không thỏa mãn
+) Khi n=4
Thiết lập các ma trận α
α0 =

I

0

0 −I

, αµ =

11

0

σµ

σµ

0




1 0

0

0



0

0

0 0 i

α2 = αy = 
0 −i 0
i









0 −i

0

0



0 0 0 1

0
0 0 1 0

 , α1 = αx = 
0 1 0 0
0
1 0 0 0
−1

0 1 0

0 0 −1

α0 = 

0 0





0

1

0
0
 , α3 = αz = 
1
0

0
0

0 −1

0 0



0 −1 0

0

0



0



0





0

α0 , α1 , α2 , α3 độc lập tuyến tính với nhau và thỏa mãn các yêu cầu trên, song để

thuận tiện ta dùng các ma trận
γ 0 = α0
γ i = α0 αi
i = 1, 3

Các γ µ (µ = 0, 1, 2, 3) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên, phương trình (1.31)
có dạng:
∧

∧

∧

∧

(γ 0 P0 − γ 1 Px − γ 2 Py − γ 3 Pz − m)ψ = 0
∧

∧

(γ 0 P0 − γ P − m)ψ = 0

Các γ µ thỏa mãn điều kiện:
2

2

(γ i ) = −1, (γ 0 ) = 1
γ µ γ ν − γ ν γ µ = 2g µν
γ i = λ0 λi =

0 σi
−σi 0
+

+

(γ 0 ) = γ 0 , (γ i ) = −γ i

Toán tử xung lượng 4 chiều:

∧

P µ = (P0 , P ) = (i

∂
∂
, −i∇) = i
0
∂x
∂xµ

12

(1.34)

(1.35)


∧

Pµ = (P0 , −P ) = (i

∂
∂
,
i∇)
=
i
∂x0
∂xµ

Phương trình (1.34) có dạng:
(Pµ γ µ − m)ψ = 0

(1.36)

∂
− m)ψ = 0
∂xµ

(1.37)

−
∂ − µ
ψ
γ
+
m
ψ
=0
∂xµ

(1.38)

(iγ µ
−

Nếu γ = γ + γ 0 thì
i

Ta có:

 
ψ1

ψ 
 2
ψ= 
ψ3 
ψ4

được gọi là lưỡng spinor
Khi đó:
ψ=

ϕ
χ

;ϕ =

ψ1
ψ2

;χ =

ψ3
ψ4

Và ϕ, χ được gọi là các spinor.
∧ ∧

P0 χ = −mχ + σ P ϕ
∧ ∧

: phương trình Dirac đối với hạt chuyển động tự do

P0 ϕ = mϕ + σ P χ

Đối với hạt chuyển động trong trường điện từ:
P0 → P0 − eA0
∧
∧
→
−
P → P − eA
[γ (Pµ − eAµ ) − m] ψ(x) = 0

Phương trình Dirac bất biến với phép biến đổi Unita
SS + = S + S = 1, S + = S −1
S (Pµ γ µ − m) S + Sψ(x) = 0
Pµ Sγ µ S + − SmS + Sψ(x) = 0
Pµ γ µ − m ψ (x) = 0
13


1.3.1.2

Ma trận Dirac
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν (µ, ν = 0, 1, 2, 3)
γ µ → γ µ = Sγ µ S −1

Sγ µ S −1 Sγ ν S −1 + Sγ ν S −1 Sγ µ S −1 = S2g µν S −1
γ µ γ ν + γ ν γ µ = 2g µν

γ 5 = γ 0 γ 1 γ 2 γ 3 , γ5 = γ0 γ1 γ2 γ3 : có 1 ma trận độc lập
γ 0 γ 1 γ 2 , γ 0 γ 1 γ 3 , γ 0 γ 2 γ 3 ,. . . .: có 4 ma trận độc lập
γ 0 γ 1 , γ 0 γ 2 4,. . . : có 6 ma trận độc lập
γ 0 , γ 1 , γ 2 , γ 3 : có 4 ma trận độc lập

Và ma trận đơn vị
⇒ có 16 ma trận độc lập
Ta thường quan tâm:
•
γ 5 = γ 0γ 1γ 2γ 3, γ 5
γ0 =

I 0
0 −I

, γi =

0

σi

−σi

0

2

=1

, γ5 =

0

−I

−I

0

• dµ = γ µ γ 5 (tích của 3 ma trận)
• σ µν =

i
2

(γ µ γ ν − γ ν γ µ )

• γ µ, I

Có 2 ma trận A và B phản giao hoán AB = - BA → T r {AB} = −T r {BA}
⇒ T r {AB} = 0
T r {AB} =

(AB)ii =
i

Aij Bij =

i,j

⇒ T r {AB} = 0
⇒ vết γ 5 , dµ , σ µν , γ µ bằng không.

Kí hiệu:
Γi i = 1, 15
1
Γi = εijk σ jk
2

14

(BA)jj = T r {BA}

Bij Aij =
ij

j


1.3.2

Hình thức luận Lagrange
£=

i
ψ(x)γ ν ∂ν ψ(x) − ∂ν ψ(x)γ ν ψ(x) − mψ(x)ψ(x)
2

(1.39)

Tensor năng xung lượng:
T kl =

T kl =

i
2

∂£ ∂Ui
− £g kl
∂Uik ∂xl

ψ(x)γ k

∂ψ
∂ψ(x) k
−
γ ψ(x)
∂xl
∂xl

(1.40)

→
−l
i
T kl = ψ(x)γ k ∂ ψ(x)
2

vectơ dòng:

J n (x) = i

∂£
∂£
U1 −
U2
∂U1n
∂U2n

(1.41)

4J n (x) = ψ(x)γ n ψ(x)

Tensor spin:
k
Slm
=−

k
Slm
=−

∂

∂£
∂Ui
∂

∂xk

Uj Aji,lm = −

∂£
FAlm (ϕ)4
∂∂k ϕA

∂£
Aψ(x),lm − ψ(x)Aψ,lm
∂ψ(x)
∂
∂xk

Công thức biến đổi Lorentz vô cùng bé:
i
ψ (x ) = i − σ lm ϕ(x) ψ(x)
2
i
ψ (x ) = ψ(x) 1 + σ lm ϕ(x)
2

trong đó: σ lm là Tensor ma trận spin
σ

lm

γ lγ m − γ mγ l
=i
2

15

∂£
∂ψ(x)
∂xk


Do đó:
1
S k,lm = ψ(x) γ k σ lm + σ lm γ k ψ(x)
4

(1.42)

ψ (x ) = ψ(x) + Fa δωa

Mặt khác:
i
ψ (x ) = ψ(x) − σ lm ωlm ψ(x)
4
i
F lm = − σ lm ψ(x)(δωa = ωlm )
2
i
lm
F = ψ(x)σ lm
2
1
k

= ψ(x) γ k , σ lm ψ(x)
Slm
4
Si0 = εijk S 0jk = −ψ + (x)

ψ(x),
i

i

1
= εijk σ jk =
2

0
Si = εijk Sjk
= −ψ + (x)

σk

0

0

σk

ψ(x)
i

1.3.3

Phương trình fermion trong biểu diễn xung lượng
(iγ µ ∂µ − m) ψ(x) = 0

Giả sử hạt có giá trị xung lượng xác định (nghiệm có dạng sóng phẳng)
1

ψ(x) =

(2π)

3
2

U (k)e−ikx

→
−2
k 2 = (k0 )2 − k = m2 → k0 = ±

→
−2
k + m2

Nghiệm ứng với năng lượng dương:
ψ+ (x) =

1
(2π)

3
2

→
−
U+ ( k , r)e−ikx

→
−−
ikx = ik0 x0 − i k →
x
→
−
U+ ( k , r) là hàm sóng đặc trưng cho trạng thái spin của hạt.

Nghiệm ứng với năng lượng âm:
ψ− (x) =

1
(2π)

3
2

−
→−
→
→
−
U− ( k , r)eik0 x0 +i k x , k0 =

16

→
−2
k + m2


Chuẩn hóa:
→
−
→
−
m
u+
δrs
+ ( k , r)u+ ( k , s) =
k0
→
−
→
−
m
δrs
u+
− ( k , r)u− ( k , s) =
k0
→
−
u+ ( k , r) =

→
−
u− ( k , r) =
2

1

ψ(x) =

2

(2π)

3
2

2
3
2

χ2

2
3
2

→
−
→
−

→
−
→
−
→
−
d k e−ikx u+ ( k , r)a( k , r) + eikx u− ( k , r)c( k , r)

(1.43)

→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
d k e−ikx v+ ( k , r)b( k , r) + e+ikx v− ( k , r)d( k , r)

(1.44)

r=1

1
(2π)

→

−
→−

P
− kσ0 +m
χ2

r=1

(2π)

ψ(x) =

ϕ2

−
→−
→
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
d k e−ikx u+ ( k , r)a( k , r) + eik0 x0 +i k x u− ( k , r)c( k , r)

1

ψ(x) =

ϕ2

r=1

1

ψ(x) =

m(k 0 + m)
2k02

−
→
−
→
σP
k0 +m

−
→−
→
→
−
→
−
→

−
→
−
→
−
d k e−ikx u+ ( k , r)a( k , r) + eik0 x0 +i k x u− ( k , r)c( k , r)

3

(2π) 2

m(k 0 + m)
2k02

r=1

Lấy liên hợp (1.43) nhân với γ 0 rồi đem so sánh với (1.44)
→
−
→
−
→
−
→
−
k0
v+ ( k , r) = u− (− k , r), u( k , r) = u+ ( k , r)
m
→
−

→
−
→
−
−→
k0
v− ( k , r) = u + ( k , r), v( k , r) = u− (−k, r)
m
→
−
→
−
d(− k , r) = a+ ( k , r)
→
−
→
−
b( k , r) = c+ (− k , r)

Ta được:
ψ(x) =

2

1
(2π)

ψ(x) =

3

2

(2π)

k0
r=1
2

1
3
2

→
−
dk

r=1

→
−
→
−
→
−
→
−
e−ikx u( k , r)a( k , r) + eikx v( k , r)b+ ( k , r)

m

→
−
dk
k0
m

→
−
→
−
→
−
→
−
e−ikx v( k , r)b( k , r) + e+ikx u( k , r)a+ ( k , r)

17


→
−

→
−

ở đây u( k , r) và v( k , r) thỏa mãn:
→
−
→
−

k0
u+ ( k , r)u( k , r) = δr,s
m
→
−
→
−
k0
v + ( k , r)v( k , r) = δr,s
m

Sử dụng các hệ thức trên đối với phương trình Dirac có
∧
→
−
(P − m)u( k , r) = 0 (r là chỉ số phân cực)

∧
→
−
(k + m)v( k , r) = 0
∧
→
−
u( k , r)(k − m) = 0
∧
→
−
v( k , r)(k + m) = 0
→

−
→
−
u+ ( k , r)v( k , s) = 0

→
−
→
−
⇒ v + ( k , r)u( k , s) = 0
→
−
→
−
u( k , r)u( k , s) = δrs
→
−
→
−
v( k , r)v( k , s) = −δrs
→
−
→
−
u( k , r)v( k , s) = 0
→
−
→
−
v( k , r)u( k , s) = δrs

→
−
→
−
→
−
→
−
aα ( k , r)uβ ( k , r) − vα ( k , r)v β ( k , r) = δαβ
r=1,2

→
−
→
−
uα ( k , r)uβ ( k , r) =
r=1,2

∧

β

R +m
2m
α

→
−
→
−

vα ( k , r)v β ( k , r) =
r=1,2

∧

β

P −m
2m
α

i
−
T 0µ d→
x =
2

Pµ =

−
d→
x ψ(x)∂ µ γ 0 ψ(x)

Năng lượng:
P0 =
P0 =

i
−
d→

x { − ∂0 ψ(x)γ 0 ψ(x) + ψ(x)γ 0 ∂0 ψ(x)}
2
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
dP
k0 a+ ( k , r)a( k , r) − b( k , r)b+ ( k , r)
ko
m

r

18


0

P =

→
−
dP

→
−
→
−
→
−
→
−
Pi a+ ( P , r)a( P , r) − b( P , r)b+ ( P , r)

E
m

r

Xung lượng:
Pi =
Pi = −

i
−
d→
x ψ(x)γ 0 ∂ i ψ(x) − ∂ i ψ(x_γ 0 ψ(x)
2
→
−
−
→
−
→

−
−
dk
+ →
i
+ →
a
(
k
,
r)a(
k
,
r)
−
b(
k
,
r)b
(
k , r)
k
k
0

m
i

P =−

Pµ =

r

→
−
dP

→
−
→
−
→
−
→
−
P i a+ ( P , r)a( P , r) − b( P , r)b+ ( P , r)

E
m

r

→
−
dP
E
m

→

−
→
−
→
−
→
−
Pµ a+ ( P , r)a( P , r) − b( P , r)b+ ( P , r)
r

1
S k,lm = ψ(x) γ k σ lm + σ lm γ k ψ(x)
4
1
−
SpinS =
ψ(x)σψ(x)d→
x
2



σ 00 σ 01 σ 02 σ 03

 .

 .

σ=

σ s0

.

.

.
.
s1
σ
σ s2



. 

. 
σ s3



Điện tích
Q=

−
J 0 (x)d→
x =

−
ψ(x)ψ(x)d→

x

→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
d k a+ ( k , r)a( k , r) + b∗ ( k , r)a( k , r)

Q=
r

19