Bài tập xác suất thống kê

BÀI TẬP XÁC SUẤT & THỐNG KÊ
GV: Thầy Đặng Quang Phúc
Biên soạn: Hồ Hoàng Huy & Trần Dương Anh Tài*
*
Ngày 19 tháng 5 năm 2016


ĐẠI SỐ BIẾN CỐ
Bài 1: Bắn 3 viên đạn vào 1 bia. Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng bia (i=1,2,3), A là biến cố
có đúng 1 viên trúng bia, B là biến cố có ít nhất 2 viên trúng bia, C là biến cố cả 3 viên đều không
trúng. Hãy biểu diễn A, B, C, A ∪ B, B\C qua Ai và Ai .
Bài 2: Kiểm tra chất lượng 1 lô hàng. Gọi A là biến cố có ít nhất 1 sản phẩm hỏng, B là biến cố có
từ 3 sản phẩm trở lên hỏng. Hãy nêu ý nghĩa của A, A\ B, B

XÁC SUẤT
Bài 3: Một hộp có 7 bi trắng, 3 bi đen. Rút ngẫu nhiên cùng lúc 4 bi. Tìm xác suất để trong 4 bi rút
được có:
a) 2 bi đen.
b) ít nhất 2 bi đen.
Bài 4: Một hộp có 5 ống thuốc tốt và 3 ống kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên lần lượt không trả lại
2 ống. Tìm xác suất để
a) cả 2 ống lấy được đều tốt.
b) trong 2 ống lấy được có ít nhất 1 ống tốt.
Bài 5: Một thanh sắt thẳng được bẻ thành 3 khúc một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất để 3 thanh
đó tạo thành một tam giác. Biết chiều dài thanh sắt là L.
Bài 6: Mạch điện giữa 2 điểm A, B được mắc theo sơ đồ
L3
L1

L4

A

L2
B

L5

Các linh kiện Li hoạt động độc lập và xác suất bị hỏng tương ứng là 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5. Tìm xác
suất để mạch giữa A và B ngừng hoạt động.
Bài 7: Bình A có 5 bi đỏ, 3 bi trắng. Bình B có 1 bi đỏ, 2 bi trắng. Ta tung con xúc xắc, nếu xuất
hiện mặt 3 hay 6 thì lấy 1 bi ở B bỏ vào A rồi rút 1 bi từ A. Nếu con xúc xắc ngả mặt nào khác thì
rút 1 bi từ A bỏ vào B rồi rút 1 bi từ B. Tính xác suất để lấy bi lần cuối là bi đỏ.
Bài 8: Xác suất để bắn trúng mục tiêu là p=0.8
a) Nếu bắn 3 lần, tìm xác suất để có ít nhất 1 lần bắn trúng mục tiêu.
b) Phải bắn ít nhất bao nhiêu lần để xác suất có ít nhất 1 viên trúng lớn hơn 0.99.
2


Bài 9: Một lọ chứa 3 đồng xu trong đó có 2 đồng công bằng và 1 đồng thiên vị ngửa. Lấy ngẫu
nhiên một đồng xu rồi tung: Nếu ngửa thì tung tiếp 1 lần nữa. Nếu xấp thì rút 1 đồng khác và
tung.
a) Tính xác suất để mặt ngửa xuất hiện 2 lần.
b) Nếu một đồng xu được tung 2 lần, tính xác suất đó là đồng thiên vị.
Bài 10: Một nhà máy sản xuất bóng đèn. Máy I sản xuất 25% số bóng đèn, máy II sản xuất 35% số
bóng đèn, máy III sản xuất 40% số bóng đèn. Tỉ lệ sản phẩm hỏng của máy A,B,C lần lượt là 3%,
2%, 1%
a) Lấy ngẫu nhiên một bóng đèn. Tìm xác suất để gặp bóng xấu.
b) Khi lấy ngẫu nhiên 1 bóng đèn ta được bóng đèn tốt. Tìm xác suất để bóng tốt do máy B làm
ra.
Bài 11: Bình A có 6 bi đen, 4 bi trắng. Bình B có 3 bi đen, 5 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ bình

A bỏ vào bình B. Lắc đều B rồi lấy 2 bi từ B bỏ vào A. Lắc đều A rồi lấy ra 1 bi. Tìm xác suất để bi
lấy ra lần sau cùng là bi trắng.
Bài 12: Bắn 3 viên đạn vào 1 mục tiêu, xác suất trúng của từng viên tương ứng là 0.2, 0.3 và 0.5.
Nếu chỉ có 1 viên trúng thì mục tiêu bị phá hủy với xác suất là 0.4. Nếu có từ 2 viên trúng trở lên
thì mục tiêu chắc chắn bị phá hủy. Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy khi bắn 3 viên đạn trên.

ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN
Bài 13: Dùng 1 khẩu súng để bắn thử cùng 1 loạt đạn xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn
là p (0 < p < 1). Phép thử kết thúc khi viên đạn đầu tiên bị trượt. Gọi X là số viên đạn cần bắn.
Lập bảng phân phối của X trong trường hợp:
a) Số đạn không hạn chế.
b) Chỉ có n viên đạn.
Bài 14: Có 3 lô hàng, mỗi lô có 10 sản phẩm. Lô thứ i có i sản phẩm hỏng (i=1,2,3). Từ mỗi lô lấy
ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm hỏng trong 3 sản phẩm lấy ra. Lập bảng phân phối
của X.
Bài 15: Một lô hàng gồm 10 sản phẩm trong đó có 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc 4 sản
phẩm. Gọi X là số sản phẩm xấu lấy được. Tìm luật phân phối của X.
Bài 16: Một bài thi gồm 6 câu hỏi, mỗi câu có 5 cách trả lời trong đó chỉ có 1 cách đúng. Muốn đạt
thì sinh phải trả lời đúng ít nhất 4 câu.
a) Tính xác suất để 1 thí sinh không biết gì cả mà lại đạt.
b) Tính xác suất đạt của 1 thí sinh biết trả lời đúng 3 câu đầu.
3


Bài 17: Một kĩ thuật viên theo dõi 12 máy tự động. Xác suất để mỗi máy cần điều chỉnh trong một
giờ là 0.2. Coi máy hoạt động độc lập. Gọi X là số máy cần sự điều chỉnh trong 1 giờ làm việc. Tìm
xác suất để có từ 2 đến 3 máy cần điều chỉnh.
Bài 18: Trong 1000 sinh viên, xác suất để có 2 sinh viên có cùng ngày tháng năm sinh đã cho là
bao nhiêu? Biết 1 năm có 365 ngày.
Bài 19: Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối:




,x < 2

0
F ( x ) = ( x − 2)2 , 2 ≤ x ≤ 3



1
,x > 3
a) Tìm hàm mật độ f X ( x ).
b) Tìm P[1 ≤ x ≤ 2.6].
Bài 20: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ:

0
f X (x) =
 a( x − 2)(4 − x )

,x < 2∨x > 4
,2 ≤ x ≤ 4

a) Tìm a.
b) Tìm hàm phân phối FX ( x ).
Bài 21: Cho
f (x) =






0

,x ≤ 0∨x ≥ 2

ax2



 a (2 − x )2

,0 < x ≤ 1
,1 < x < 2

a) Tìm a để f ( x ) là hàm mật độ.
b) Tìm hàm phân phối F(x) tương ứng.
Bài 22: Cho X ∈ N (0, 1). Tìm P[0 < X < 1.42], P[1.37 < X < 2.01], P[ X > 1.13]
Bài 23: Cho X ∈ N (13, 16). Tìm P[ X < 20], P[ X > 10], P[5 < X < 21]

4


VECTOR NGẪU NHIÊN
Bài 24: Cho bảng phân phối đồng thời của (X,Y)
Y
X
10
15
20

...

1

2

3

a
2a
a
...

3a
2a
4a
...

2a
0
5a
...

a) Xác định hằng số a.
b) Tìm phân phối lề của X và Y.
Bài 25: Cho 1 biến ngẫu nhiên X1 , X2 độc lập
1
0.2

X1

P

2
0.3

3
0.5

X2
P

2
0.4

4
0.6

a) Lập bảng phân phối đồng thời của ( X1 , X2 ).
b) Lập bảng phân phối của Y = X1 + X2 , Z = X1 X2 .
Bài 26: Vector ngẫu nhiên có hàm mật độ
f X,Y ( x, y) =

A

(16 +

x2 )(25 + y2 )

, với ( x, y) ∈ R2

a) Xác định A.

√
b) Tìm P[4 < X < 4 3; 0 < Y < 5].
c) Tìm các hàm mật độ lề f X ( x ), f Y (y).
Bài 27: Vector ngẫu nhiên ( X, Y ) có hàm mật độ đồng thời


 √A
,0 < x ≤ y ≤ 1
xy
f X,Y ( x, y) =

0
, còn lại
a) Tìm A.
b) Tìm f X ( x ), f Y (y). Suy ra X, Y không độc lập.
Bài 28: X,Y độc lập có cùng luật phân phối. Biết
f X ( x ) = 2 exp(−2x ).I [ x > 0]
Tìm hàm mật độ của Z = X + Y.

5


Bài 29: X,Y độc lập có cùng luật phân phối. Biết
f X ( x ) = exp(− x ).I [ x > 0]
Tìm hàm mật độ của Z = X/Y và T = X + Y.
Bài 30: X, Y độc lập cùng phân phối đều trên [0,2].
a) Tìm FX ( x ).
b) Tìm hàm mật độ của Z = Min( X, Y ).

ĐẶC TRƯNG SỐ
Bài 31: Trong bài 13 phần đại lượng ngẫu nhiên và xét số đạn không hạn chế. Tìm E( X ).
Bài 32: Trong bài 19 phần đại lượng ngẫu nhiên. Tìm E( X ) và D ( X ).
Bài 33: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ.

f (x) =


nx n−1

, nếu 0 ≤ x ≤ 1, n > 1

0

, còn lại

Tìm E( X ) và D ( X ).
Bài 34: Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ.

√

f (x) =
π

1
a2

− x2

.I [− a < x < a]; a > 0

Tìm E( X ) và D ( X ).
Bài 35: Cho:
a) E( X ) = 1, E(Y ) = −2. Tìm E(2X + 3Y ), E( X − Y ).
b) E( X ) = 2, E( X 2 ) = 5. Tìm D (7X − 4), D

1
( X + 10) , D (− X + 3)
2

Bài 36: X,Y là 2 biến ngẫu nhiên. CMR:
D ( X + Y ) = D ( X ) + D (Y ) + 2Cov( X, Y )
Bài 37: CMR:
D

X
D(X )

+

Y
D (Y )

6

= 2(1 + R XY )


MẪU VÀ ƯỚC LƯỢNG

Bài 38: X (kg) là chỉ tiêu của 1 loại sản phẩm. Điều tra một số sản phẩm ta có kết quả:
xi
ni

50 - 55
5

55 - 60
10

60 - 65
25

65 - 70
30

70 - 75
18

75 - 80
12

Tìm trung bình mẫu x¯ và phương sai mẫu s2 .
Bài 39: X (gram) là chỉ tiêu của 1 loại sản phẩm. Điều tra 1 số sản phẩm, ta có:
xi
ni

5-7
2

7-9
8

9 - 11
14

11 - 13
19

13 - 15
22

15 - 17
20

17 - 19
15

19 - 21
5

Tính x¯ và s2 .
Bài 40: Đo đường kính X (mm) của 1 chi tiết máy do một máy tiệm tự động sản xuất, ta có:
xi
ni

12.00
2

12.05

3

12.10
7

12.15
9

12.20
10

12.25
8

12.30
6

12.35
5

12.40
3

Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn s.
Bài 41: Với số liệu bài 38, hãy ước lượng:
a) trung bình của chỉ tiêu X với độ tin cậy 95%.
b) trung bình của chỉ tiêu X của các sản phẩm có X < 60kg với độ tin cậy 90% (giả sử X có phân
phối chuẩn)
Bài 42: Kiểm tra số khuyết tật X của 1 loại sản phẩm, ta có:
xi

ni

0
20

1 2
8 12

3
30

4
40

5
25

6
15

a) Tìm số khuyết tật trung bình ở một loại sản phẩm với độ tin cậy 95%.
b) Nếu gọi sản phẩm loại I là loại có không quá 2 khuyết tật. Hãy ước lượng tỉ lệ loai I với độ tin
cậy 95%.
Bài 43: Muốn biết số cá trong hồ, người ta bắt lên 1000 con đánh dấu xong lại thả xuống hồ. Sau
đó bắt lên 200 con thấy có 60 con được đánh dấu. Hãy ước lượng số cá trong hồ với độ tin cậy
95%.
1
Bài 44: ( X1 , X2 , ...Xn ) là mẫu độc lập của X ∝ B(θ). Chứng tỏ: θˆ = Xi là ước lượng không chệch,
n
vững và hiệu quả của θ.

1
Bài 45: Câu hỏi tương tự bài 44 với X ∝ P(θ), θ > 0 và X¯ = Xi .
n
n−1 2
2
Bài 46: ( X1 , X2 , ...Xn ) là mẫu độc lập của X có P( X ) = Σ . CM: E(Sˆ2 ) =
Σ
n

7


KIỂM ĐỊNH
Bài 47: Tỉ lệ phế phẩm của 1 nhà máy là 10%. Sau khi cải tiến, điều tra 400 sản phẩm có 32 phế
phẩm. Với mức ý nghĩa α = 0.01, cho kết luận về việc cải tiến.
Bài 48: Trọng lượng các bao gạo X tuân theo luật phân phối chuẩn với µ0 = 50kg. Nghi ngờ các
máy đóng bao hoạt động không bình thường, người ta cân 25 bao
xi
ni

48 - 48.5
2

48.5 - 49
5

49 - 49.5
10

49.5 - 50

6

50 - 50.5
2

Với α = 1% hãy kết luận về nghi ngờ trên.
Bài 49: Tuổi thọ bóng đèn X có phân phối chuẩn với µ0 = 2000 giờ và độ lệch chuẩn s = 15 giờ.
Nghi ngờ tuổi thọ bóng đèn thay đổi, người ta thắp 25 bóng thấy tuổi thọ trung bình x¯ = 1990
giờ với α = 5%. Hãy kết luận về nghi ngờ trên.

8