So phuc trong cac de thi dai hoc

WWW.ToanCapBa.Net

Bài tập số phức qua các đề thi đại học
1.( ĐH khối A – 2009 ) z1, z2 là nghiệm của phương trình z2 + 2z + 10 = 0. Tính giá trị của
2

biểu thức A = z1 + z2

2

Đáp án: A = 20.
2.( ĐH khối B – 2009 ) Tìm số phức z thoả mãn z − (2 + i ) = 10 và z.z = 25
Đáp án: z = 3 + 4i và z = 5.
3.( ĐH khối D – 2009 ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z
thoả mãn điều kiện z − (3 − 4i) = 2 .
Đáp án: Đường tròn tâm I(3; -4), bán kính R= 2
4.(ĐH khối A - 2010 ) Tìm phần ảo của số phức z, biết z =
Đáp án: - 2
5.(ĐH khối A – 2010 ) Cho số phức thoả mãn z =

(

1 − 3i

)

(

2 +i

) ( 1 − 2i )

2

3

. Tìm modun của z + iz .

1− i
Đáp án: 8 2 .
6.( ĐH khối B – 2010 ) Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức thoả mãn điều
kiện z − i = ( 1 + i ) z .
Đáp án: Đường tròn có phương trình x2 + (y + 1)2 = 2.
7.( ĐH khối D – 2010 ) Tìm số phức thoả mãn điều kiện z = 2 và z2 là số thuần ảo.
Đáp án: z1 = 1 + i; z2 = 1 – i; z3 = -1 –i; z4 = -1 + i.

Công thức Moivre và ứng dụng.
1. Áp dụng công thức Moavre để thực hiện các phép tính
a.Phương pháp
Ta vận dụng công thức Moivre và các công thức lượng giác để tính toán :
(cos a + i sin a) n = cos( na) + i sin( na) .

(cos a + i sin a)(cos b + i sin b) = cos ( a + b ) + i sin( a + b) .

cos a + i sin a
= cos ( a − b ) + i sin( a − b) .
cos b + i sin b
a
a
a
a
a

a
1 + cos a + i sin a = 2 cos 2 + 2i sin cos = 2 cos  cos + i sin ÷
2
2
2
2
2
2
WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net

1 + i tan a = 1 + i

sin a
1
=
( cos a + i sin a ) .
cos a cos a

b.Bài tập
1. Tính giá trị của số phức sau
10

 
2π
2π    
3π
3π

 2  cos 3 + i sin 3 ÷  3  cos 4 + i sin 4
  
 
D=
5
 
7π
7π  
 2  cos 6 + i sin 6 ÷

 


÷


Bài giải:
Ta có

 
2π
2π
2
c
os
+
i
sin



3
3
 
 
7π
7π
 2  cos 6 + i sin 6
 


÷


10

20π
20π 


÷ = 32  cos 3 + i sin 3 ÷



5

=

35π
35π 


32  cos
+ i sin
÷
6
6 


Thế vào (1) ta được

20π
20π  
3π
3π 

32 3  cos
+ i sin
÷ cos + i sin ÷
3
3 
4
4 

D=
35π
35π 

32  cos
+ i sin
÷
6

6 

=

  20π 3π 35π
3  cos 
+ −
3
4
6




 20π 3π 35π
+ −
÷ + isin 
4
6

 3


÷


=
2. Tính giá trị các biểu thức sau:
2
8π

8π 

1 −  cos
− i sin
÷
3
3 

a) A =
2 (2)
8π
8π 

1 −  cos
+i sin
÷
3
3 

b) B = (1 + i)2008 + (1 – i) 2008
Bài giải:
a) Ta có
WWW.ToanCapBa.Net

. (1)


WWW.ToanCapBa.Net
2


 2π   1 − cos  − 4π
÷+ i sin  −
÷ =   3
3
 



2π 
 2π 
 2π 
2
= 2sin  −
÷− 2i sin  −
÷cos  −
÷
 3 
 3 
 3 
 2π 
 2π 
2  2π 
= 2sin 
÷+ 2i sin 
÷cos 
÷
 3 
 3 
 3 

Với phép biến đổi tương tự ta cũng có:
2
  4π 
 4π  
8π
8π 

1 −  cos
+i sin
÷ = 1 −  cos  3 ÷+ i sin  3 ÷
3
3 




 
 2π 
 2π 
2  2π 
= 2sin 
÷− 2i sin 
÷cos 
÷
 3 
 3 
 3 
Thế hai đẳng thức vừa biến đổi vào (2) ta được
  2π
8π

8π 

1 −  cos
− i sin
÷ = 1 −  cos  −
3
3 

  3
2

 2π 
 2π 
 2π 
2sin 2 
÷+ 2i sin 
÷cos 
÷
 3 
 3 
 3 
A=
 2π 
 2π 
 2π 
2sin 2 
÷− 2i sin 
÷cos 
÷
 3 

 3 
 3 
 2π 
 2π 
 π
 π
sin 
÷+ icos 
÷ cos  − ÷+ i sin  − ÷
 3 
 3 
 6
 6
= =
=
π
π
 2π 
 2π 
sin 
cos + i sin
÷− icos 
÷
6
6
 3 
 3 
π
π
 π π

 π π
= cos  − − ÷+ i sin  − − ÷ = cos + i sin
3
3
 6 6
 6 6

1 i 3
−
2
2
b) Ta có

=

π
π

2  cos + i sin ÷
4
4


1+i=

⇒ (1+ i)

2008

= 21004 ( cos 502π + i sin 502π )

Tương tự
1–i=

  π
 π 
2 cos  − ÷+ i sin  − ÷
 4 
  4

WWW.ToanCapBa.Net


 4π
÷+ i sin  −

 3


÷



WWW.ToanCapBa.Net
⇒ ( 1− i )

2008

= 21004  cos ( −502π ) + i sin ( −502π ) 

Vậy B =21005
c. Bài tập tham khảo

(

1)Tính giá trị của biểu thức: B = 1 + i 3

)

6

( 1− i)

5

(

+ ( 1+ i) 1− i 3
5

)

6

Đáp số: B = -512.
2)Tìm số phức sau: x =

(

( 1+ i)

10

3+i

)

9

. Đáp số: x = −

1
16

3) Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau: w = z 2009 +

1
z

2009

1
z

biết z + = 1

Đáp số: w = 1

1
3

4) Cho z = − + i
. Tính w = z 2011 + z 2012 + z 2013
2
2
5) Cho z =

1
3
. Tính C = 1 – z + z2 – z 3 + z4 + ….-z9 + z10.
−i
2
2

2.Áp dụng công thức Moivre để chứng minh các hệ thức lượng giác
a.Phương pháp
- Tính cosnx, sinnx thao cosx va sinx:
CT Moivre (cosx + i sinx)n = cosnx + i sinnx. Với công thức trên ta khai triển nhị thức ở vế
trái và đồng nhất phần thực phần ảo của hai vế ta sẽ tính được cosnx, sinnx thao cosx và
sinx.
VD : Tính biểu thức sau theo sinx và cosx cos2x và sin 2x
Ta có cos2x + i sin2x = ( cosx + i sinx )2 = cos2x – sin2x + 2i sinx cosx
Vậy sin2x = 2 sinx cosx
cos2x = cos2x – sin2x.
- Công thức rút gọn và các biểu thức lượng giác tương tự như phần 1.
b. Bài tập
1. Rút gọn các biểu thức:
A = 1 + cos x + cos2 x + cos 3 x + .... + cos9 x
B = s inx + sin 2 x + sin 3 x + .... + sin 9 x
Bài giải :
Ta xét biểu thức: A + i B = ( 1 + cos x + cos2 x + cos 3 x + .... + cos9 x ) +

( s inx + sin 2 x + sin 3 x + .... + sin 9 x )

= 1 + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + ( cos x + i sin x ) + ... + ( cos x + i sin x )
2

3

WWW.ToanCapBa.Net

9


WWW.ToanCapBa.Net

=

1 − ( cos x + i sin x )

10

1 − ( cos x + i sin x )

2sin 2 5 x − 2i sin 5 xcos5 x
=
=
x
x
x
2sin 2 − 2i sin cos

1 − ( cos x + i sin x )
2
2
2
 −π

 −π

cos 
+ 5 x ÷+ i sin 
+ 5 x ÷ sin 5 x  
x
x 

sin 5 x
2
2
.
c
os
5
x
−
+
i
sin
5
x
−






÷

÷

.
=
=
5x  
2
2  

5x
−π x 
−π x 
sin


sin
cos 
+ ÷+ i sin 
+ ÷
2
2
 2 2
 2 2
sin 5 x 

9x
9x 
c
os
+
i
sin
÷
5x 
=
2
2 
sin 
2

1 − ( cos10 x + i sin10 x )

sin 5 x
9x
.cos
5x
Vậy A =
2
sin
2
sin 5 x
9x
.sin
5x
B=

2
sin
2

c.Bài tập tham khảo
1.Chứng minh hệ thức
1 + cos x + cos2 x + cos3 x + ... + cos nx =

s inx + sin 2 x + sin 3 x + ... + sin nx =

sin

sin

n +1
n +1
x.cos
x
2
2
(1)
x
sin
2

n +1
n
x sin
2
2 (2)

x
sin
2

2.Cho z = cosx + isinx. Chứng minh:
1 1
2
a. z + z + 2 + + 2 = 2 ( cos2 x + cox + 1) .
z z
1
3
b. z − 3 = 2i sin 3 x .
z
1 1
3
c. z − z + − 3 = 2i ( sin 3x − sin x ) .
z z
WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net

Số phức và bài toán tính tổng chứa số tổ hợp
1.Lý thuyết.
*Ta dùng số phức để tính tổng của các Ckn khi tổng này có hai đặc điểm:
- Các dấu trong tổng xen kẽ đều nhau .
- k luôn lẻ, hoặc luôn chẵn hoặc khi chia k cho một số ta luôn được cùng một số dư.
*Khai triển nhị thức Newton
(1 + x)n = C 0n + xC1n + x 2C 2n + ... + x n-1C nn-1 + x n C nn .
*Một số tính chất được sử dụng trong dạng toán:

- Hai số phức z = x + iy, w = x/ + iy/ bằng nhau khi và chỉ khi x = x/ và y = y/
- z = r(cosϕ + isinϕ) ⇒ zn = [r(cosϕ + isinϕ)]n = rn(cosnϕ + isinnϕ)
*Một số dạng khai triển thường được sử dụng
- Khai triển (1 + x)n, cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp (thường ta chọn là
x = i). So sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách tính.
- Khai triển trực tiếp các số phức (thường chỉ xét các số phức có argument là ±
±

π
,
6

π
π
, ± ). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một số phức trong hai cách
4
3

tính.
- Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức
thích hợp (thường ta chọn là x = i). Sau đó so sánh phần thực và phần ảo của cùng một
số phức trong hai cách tính.
Để chọn một trong cac khai triển trên ta chủ yếu dựa và số Ckn trong tổng.

2.Bài tập
1)Tính tổng sau S = C2009 − C2009 + C2009 − ... − C2009 + C2009
0

P=

2

4

2006

2008

1
3
5
2007
2009
C2009
− C2009
+ C2009
− ... − C2009
+ C2009

Bài giải :
Xét khai triển
WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net

( 1+ i)

(C

2009

1
2009

=

(C

0
2009

2
4
2006
2008
− C2009
+ C2009
− ... − C2009
+ C2009
)+

3
5
2007
2009
− C2009
+ C2009
− ... − C2009
+ C2009

)i

Mặt khác ta tính ( 1 + i )
theo dạng lượng giác của số phức và áp dụng công thức Moivre ta
được :
2009 
2009π
2009π 
2009
( 1 + i ) = 2 .  cos 4 + i sin 2 ÷ = 21004 + 21004.i


1004
Vậy so sánh phần thực và phần ảo ta có S = 2
B = 21004
2009

( )

Nhận xét : bằng việc xét khai triển ( 1 + i ) =
n

n

∑C i
k =0

k k
n

ta có kết quả tổng quát sau :

n
nπ
 0
2
4
C
−
C
+
C
−
....
=
2
.
c
os
n
n
n

4 n∈¥ *
(
)

n
n
π

1
3
5
C − C + C − .... = 2 .sin
n
n
 n
4
− 3C18 + C20
2.Tính tổng: D = 310 C020 − 39 C220 + 38 C420 − 37 C620 + ... + 32 C16
20
20
20

( )
( )

Giải:
Xét khai triển:

(

3 +i

)20 = (

3 ) 20 C0 + i( 3 )19 C1 − ( 3 )18 C2 − ... − ( 3 )2 C18 − i 3C19 + C20 =
20
20
20

20
20
20

10 C0 − 39 C2 + 38 C4 − 37 C6 + ... + 32 C16 − 3C18 + C20 ) +
20
20
20
20
20
20
20

= (3

19 1
17 3
3 17
19 

+  ( 3 ) C20 − ( 3 ) C20 + ... + ( 3 ) C20 − 3C20 i


Mặt khác:

(

3 +i



)

20

= 220  cos


 3
1
= 220 
+ i 
2
 2

20

π
π
= 220  cos + isin 
6
6


20



= 220  cos


 1
4π
4π 
3 
+ isin  = 220  − −
i  = −219 − 219 3 i
3
3
2 
 2

WWW.ToanCapBa.Net

20π
20π 
+ isin
=
6
6 


WWW.ToanCapBa.Net
So sánh phần thực của

(

3 +i

)20 trong hai cách tính trên ta có:

− 3C18 + C20 = - 219
D = 310 C020 − 39 C220 + 38 C420 − 37 C620 + ... + 32 C16
20
20
20

Dạng 2: Khai triển (1 + x)n, đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức
thích hợp
Ví dụ 1:
− 27C 27 + 29C 29
Tính tổng: D = C130 − 3C 330 + 5C530 − 7C730 + ... + 25C 25
30
30
30
− 28C 28 + 30C 30
E = 2C 230 − 4C430 + 6C630 − 8C830 + ... + 26C 26
30
30
30
Giải:
0 + xC1 + x 2C 2 + x 3C3 + ... + x 28C 28 + x 29C 29 + x 30C30
(1 + x)30 = C30
30
30
30
30
30
30
Đạo hàm hai vế ta có:

2 + 3x 2C3 + ... + 28x 27 C 28 + 29x 28C 29 + 30x 29C30
30(1 + x)29 = C130 + 2xC30
30
30
30
30
Cho x = i ta có:
7 + ... + 25C25 − 27C27 + 29C29 ) +
30(1 + i)29 = ( C130 − 3C330 + 5C530 − 7C30
30
30
30
2 − 4C4 + 6C6 − 8C8 + ... + 26C26 − 28C28 + 30C30 )i
+ ( 2C30
30
30
30
30
30
30
Mặt khác:

( )29  cos π4 + isin π4 

30(1 + i)29 = 30 2

( )29  −

= 30 2



29

29π 
( )29  cos 29π
+ isin
=
4
4 

= 30 2

2
2 
−
i  = −15.215 −15.215 i
2
2 

So sánh phần thực và ảo của 30(1 + i)29 trong hai cách tính trên ta có:
7 + ... + 25C25 − 27C27 + 29C29 = - 15.215
D = C130 − 3C330 + 5C530 − 7C30
30
30
30
WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net

2 − 4C4 + 6C6 − 8C8 + ... + 26C26 − 28C28 + 30C30 = - 15.215
E = 2C30
30
30
30
30
30
30
− 20.310 C20
2.Tính tổng S = 2.3C220 − 4.32 C420 + 6.33 C620 − ... + 18.39 C18
20
20
Giải:
Xét khai triển:
(1 + 3 x)20 =
+ ( 3x) 20 C 20
= C 020 + ( 3x)C120 + ( 3x) 2 C 220 + ( 3x)3 C320 + ... + ( 3x)19 C19
20
20
Đạo hàm hai vế ta có:
20 3 (1 + 3x)19 =
=

3C1 + 2.3xC 2 + 3.( 3 )3 x 2C3 + ... + 19.( 3 )19 x18C19 + 20.310 x19C 20
20
20
20
20
20

Cho x = i ta có: 20 3 (1 + 3i)19 =

( )

( )

( )

( )

3 3
5 5
17 17
19 19 

1
=  3C 20 − 3. 3 C 20 + 5. 3 C 20 − ... + 17. 3 C 20 − 19. 3 C 20  +


+  2.3C2 − 4.32 C4 + 6.33 C6 − ... + 18.39 C18 − 20.310 C20 i .
20
20
20
20
20 

19
19
1


3
π
π


19
19
19


Mặt khác: 20 3 (1 + 3i) = 20 3.2
+
i
= 20. 3.2  cos + isin  =
2
2 
3
3


1
19π
19π 
3 

= 20. 3.219  cos
+ isin
i  = 10. 3.219 + 30.219 i
 = 20. 3.219  +


3
3 
2 

2

So sánh phần ảo của 20 3 (1 + 3i)19 trong hai cách tính trên ta có:
− 20.310 C20 = 30.219
S = 2.3C220 − 4.32 C420 + 6.33 C620 − ... + 18.39 C18
20
20
0 − 3C2 + 5C4 − 7C6 + ... + 13C12 − 15C14
3.Tính các tổng sau: M = C15
15
15
15
15
15
3 + 6C5 − 8C7 + ... + 14C13 − 16C15
N = 2C115 − 4C15
15
15
15
15
WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net
Giải:
Xét khai triển:

0 + xC1 + x 2C 2 + x 3C3 + ... + x13C13 + x14C14 + x15C15
(1 + x)15 = C15
15
15
15
15
15
15
Nhân hai vế với x ta có:
0 + x 2C1 + x 3C 2 + x 4C3 + ... + x14C13 + x15C14 + x16C15
x(1 + x)15 = xC15
15
15
15
15
15
15
Đạo hàm hai vế ta có:
(1 + x)15 + 15x(1 + x)14 =
= C 0 + 2xC1 + 3x 2C 2 + 4x 3C3 + ... + 14x13C13 + 15x14C14 + 16x15C15
15
15
15
15
15
15
15
Với x = i ta có: (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =
2
4

6
12
14 
 0
=  C15 − 3C15 + 5C15 − 7C15 + ... + 13C15 −15C15  +


1
3
5
7
13
15
+  2C15 − 4C15 + 6C15 − 8C15 + ... + 14C15 − 16C15  i
Mặt khác:
(1 + i)15 + 15i(1 + i)14 =
=

( 2)

15
14
14 
π
π
π
π
 cos + isin  + 15i. 2  cos + isin  =
4
4

4
4



( )

15 

15 
15π 
14π
14π 

( 2 )15 cos 15π
+ isin
+ isin
 + 15.27 i cos
 = ( 2) −

4
4 
4
4 



2
2 
−

i  + 15.27 =
2
2 

= −27 − 27 i + 15.27 = 14.27 − 27 i = 7.28 − 27 i
So sánh phần thực và ảo của (1 + i)15 + 15i(1 + i)14 trong hai cách tính trên ta có:
0 − 3C2 + 5C4 − 7C6 + ... + 13C12 −15C14 = 7.28
M = C15
15
15
15
15
15
3 + 6C5 − 8C7 + ... + 14C13 −16C15 = -27
N = 2C115 − 4C15
15
15
15
15

3.Bài tập tham khảo
1) Tính các tổng sau:
WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net

( )

( )

( )

( )

3
5
27
29
A = 3C1 − 3 3 C3 + 5 3 C5 − ... − 27 3 C27 + 29 3 C29
1
30
30
30
30
30
A = 2.3C2 − 4.32 C4 + 6.33 C6 − ... − 28.314 C28 + 30.315 C30
2
30
30
30
30
30

(

)

Hướng dẫn: Xét khai triển: 1+ 3x 30 . Đạo hàm hai vế, cho x = i và so sánh phần thực,
phần ảo của hai số phức.

ĐS: A1 = 15 3.229 ; A2 = - 45.229
2) Tính các tổng sau:
B = C0 + 2C2 − 3.4C4 + 5.6C6 − 7.8C8 + ... + 21.22C22 − 23.24C24
1
25
25
25
25
25
25
25
B = C1 + 2.3C3 − 4.5C5 + 6.7C 7 − 8.9C9 + ... + 22.23C 23 − 24.25C 25
2
25
25
25
25
25
25
25
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)25. Đạo hàm hai vế hai lần, sau đó cho x = i. So sánh phần
thực và phần ảo của hai số phức bằng nhau.
ĐS: B1 = 75.214 – 1; B2 = –25(1 + 3.214)
3) Tính các tổng sau:
C = C0 − 3C2 + 5C4 − 7C6 + ... + 17C16 −19C18 + 21C20
1
20
20
20
20

20
20
20
C = 2C1 − 4C3 + 6C5 − 8C 7 + ... − 16C15 + 18C17 − 20C19
2
20
20
20
20
20
20
20
Hướng dẫn: Xét khai triển: ( 1 + x)20. Nhân hai vế với x. Đạo hàm hai vế. Cho x = i.
ĐS: C1 = - 11.210; C2 = - 10.210
4) Tính các tổng sau:
D = 12 C1 − 32 C3 + 52 C5 − 72 C7 + ... + 952 C95 − 972 C97 + 992 C99
1
100
100
100
100
100
100
100
D = 2 2 C 2 − 4 2 C 4 + 6 2 C 6 − 82 C8 + ... + 96 2 C96 − 982 C98 + 100 2 C100
2
100
100
100
100

100
100
100
Hướng dẫn: Xét khai triển: (1 + x)100. Đạo hàm hai vế. Nhân hai vế với x. Lại đạo hàm hai
vế. Cho x = i.

ĐS: D1 = - 50.100.250; D2 = -50.250.

WWW.ToanCapBa.Net


WWW.ToanCapBa.Net
0
2
4
5
2n
2n
5) Chứng minh rằng C2 n − 3C2 n + 9C2 n − 27C2 n + ... + ( −3) C2 n = 2 .cos
n

6) Tính tổng sau S = C20 − 3C20 + 3 C20 − 3 C20 + ... + 3 C20
0

2

2

4

3

5

WWW.ToanCapBa.Net

10

20

2nπ
.
3