Tiếp tuyến với đồ thị hàm số FILE WORD (BÀI VIẾT ĐƯỢC ĐĂNG TRÊN THTT SỐ 460.2015)

Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bài
viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015

BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ HÀM
SỐ

B

ài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số đã được giới thiệu sơ qua từ sự khởi đầu của phép
tính đạo hàm khi học ở chương trình lớp 11, tiếp sau đó ở lớp 12 chúng ta đã được học trọn
vẹn về các thể loại của nó thông qua các công cụ khảo sát hàm số, trong bài viết này xin
trình bày lại vấn đề trên, bằng một vài phương pháp cụ thể.

Lê Ngô Nhật Huy

Trang 1/3


Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

•

•

•

Bài
viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015
Phương pháp 2 : (Dựa vào biểu diễn hình

M ( x0 ; f ( x0 ) ) ∈ ( C )
( C ) y = f ( x)
học)
Cho đồ thị
:
và điểm
.
Bước 1: Viết phương trình tiếp tuyến dưới
( C)
y = g ( x ) = kx + b
Tiếp tuyến với đồ thị
tại M có phương
dạng :
(T) trong đó k là hằng
y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( x − x0 ) .
số đã biết và b là ẩn số phải tìm.
trình:
( C)
( C ) : y = x2 − 4x + 3
Bước 2: Lí luận (T) tiếp xúc
để tìm được
Ví dụ 1: Cho đồ thị
. Viết
b
( C)
Trong phương pháp 2, với điều kiện tiếp xúc ở
phương trình tiếp tuyến với
tại các giao
 f ( x0 ) = g ( x0 )


( C)
x0
 f ′ ( x0 ) = g ′ ( x0 )
điểm của
với trục hoành.
đây là tồn tại các giá trị
thỏa:
Lời giải:
.
( C)
Đối với phương pháp 2 thì ta không tính trực
Phương trình hoành độ giao điểm giữa
tiếp hoành độ tiếp điểm mà ta chỉ xét trực tiếp
x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoÆc x = 3
phương trình tiếp tuyến thông qua điều kiện
và trục hoành:
.
trên.
y′ = 2 x − 4
Tùy theo thể loại hàm số và trong từng hoàn
Ta có
cảnh cụ thể mà ta có thể dùng phương pháp
thích hợp.
C
M
1;0
( )
( )
2x + 1
Tiếp tuyến với

tại điểm
có
( C) : y =
x −1
y − 0 = −2 ( x − 1) ⇔ y = −2 x + 2
Ví dụ 2: Cho đồ thị
và
phương trình:
(d ) : y = −3 x + 11
.
. Viết phương trình tiếp
N ( 3;0 )
( C)
( C)
(d )
Tiếp tuyến với
tại điểm
có
tuyến với
và song song với
.
y − 0 = 2 ( x − 3) ⇔ y = 2 x − 6
−3
y′ =
phương trình:
.
2
( x − 1)
x ≠1
1. Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước:

Lời
giải:
Ta
có
với
( C) y = f ( x)
(d ′)
( d ′)
Cho đồ thị
:
. Viết phương trình
Gọi tiếp tuyến cần tìm là
và
song
( C)
k
x0
(d )
tiếp tuyến với
có hệ số góc .
song với
nên tồn tại giá trị
thỏa
Phương pháp 1:
kd = k d ′
(Tìm tiếp tuyến bằng cách tìm hoành độ tiếp
, có nghĩa:
điểm)
−3
2

y′ =
= −3 ⇔ ( x0 − 1) = 1
f ′ ( x0 ) = k
2
( x0 − 1)
⇔ x0 = 0 v x0 = 2
Bước 1: Giải phương trình
để tìm
x0
x0 = 0 ⇒ y0 = −1
hoành độ tiếp điểm
+ Tại
nên ta có phương trình
Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm
y + 1 = −3 ( x − 0 ) ⇔ y = −3 x − 1
( d ′)
M ( x0 ; f ( x0 ) )
là:
.
.
Lê Ngô Nhật Huy

Trang 2/3


Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bài
viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015
x0 = 2 ⇒ y0 = 5

4 ( x 2 − 2 x ) = ( x − 1) 2
2
( 2) ⇔ 2 x − 2 x = x −1 ⇔ 
+ Tại
nên ta có phương trình
 x ≥ 1
y − 5 = −3 ( x − 2 ) ⇔ y = −3x + 11
( d ′)
là:
(loại
 1
3x 2 − 6 x − 1 = 0  x = 3 ± 2 3
(d )
⇔
⇔ 3
2
đường thẳng này do trùng với
)
⇔ x = 1+
3
x ≥ 1
 x ≥ 1
3
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
y = −3 x − 1
1
( 1) ⇔ b = x2 − 2 x − 2 x = ( 3x2 − 6 x ) − 2 x
Lưu ý: Nếu gặp bài toán viết phương trình
3
(d ′)

tiếp tuyến
khi biết trước được một đường
1
 2 
=
− 2 1 +
3 ÷ = −2 − 3
(d )
3  3 
3x2 − 6 x = 1
thẳng
thì có các trường hợp sau:
(vì
)
k d .k d ′ = −1
( d ) ⊥ ( d ′)
Và do đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là:
•
thì hệ số góc
.
y = 2x − 2 − 3
kd = kd ′
( d ) ( d ′)
.
•
//
thì hệ số góc
.
A( α; β )
Nhưng hệ số góc bằng nhau chưa hẳn hai

2. Tiếp tuyến đi qua điểm
cho
đường thẳng song song (có thể trùng nhau)
trước
do đó sau khi giải chúng ta nên kiểm tra lại để
(hoặc phải tìm).
loại đường thẳng trùng với đường thẳng của

(

giả thiết đề bài, cụ thể trong ví dụ trên loại
y = −3 x + 11
đường thẳng
.

( C) : y =

x − 2x
2

Ví dụ 3: Cho đồ thị
và
d
:
y
=
2
x
+
1

( )
.Viết phương trình tiếp tuyến
( C)
( d ′)
(d )
với
và song song với
.
Lời giải:
( d ′)
(d )
Tiếp tuyến
song song với
thì có
b
≠
1
(
)
y = 2x + b
phương trình dạng:
(T)
2
 x − 2 x = 2 x + b ( 1)

 x −1
= 2 ( 2)
 2
 x − 2x
(T) tiếp xúc (C) nên cần có:

Lê Ngô Nhật Huy

Trang 3/3

)

Phương pháp 1:
Bước 1: Tiếp tuyến có phương trình dạng:
y − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( x − x0 )
, do tiếp tuyến qua
β − f ( x0 ) = f ′ ( x0 ) ( α − x0 ) ( *)
A nên:
x0
Bước 2: Giải (*) để tìm rồi suy ra phương
trình tiếp tuyến.
Phương pháp 2:
A( α; β )
Bước 1: Tiếp tuyến qua
có phương
y − β = k ( x −α )
k
trình dạng:
(T) trong đó
là hệ số góc cần phải tìm.
( C)
k
Bước 2: Lí luận (T) tiếp xúc
để tìm , khi
đó tìm được tiếp tuyến.

Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

•

•

Bài
viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015
( C ) : y = x2 − 4x +1
y − ( x02 − 2 x 0 +2 ) = ( 2 x0 − 2 ) ( x − x0 )
Ví dụ 4: Cho đồ thị
. Viết
(T)
( C)
A ( 1; a )
phương trình tiếp tuyến (T) với
kẻ từ
Do (T) qua
nên:
2
A ( 2; −6 )
a − ( x0 − 2 x 0 +2 ) = ( 2 x0 − 2 ) ( 1 − x0 ) = −2 x02 + 4 x − 2
điểm
.
Lời giải:
⇔ x02 − 2 x0 + a = 0
A ( 2; −6 )
(*)

Tiếp tuyến (T) qua
có phương trình
x1 + x2 = 2, x 1 x2 = a
y + 6 = k ( x − 2 ) ⇔ y = kx − 2k − 6
(*) cho ta:
(định lí viète)
Để có hai tiếp tuyến với (C) kẻ từ A và vuông
dạng:
x1 , x2
( C)
góc với nhau thì (*) phải có hai nghiệm
(T) tiếp xúc với đồ thị
cần có :
thỏa :
2
 x − 4 x + 1 = kx − 2k − 6 ( 1)
y′ ( x1 ) y ′ ( x2 ) = −1 ⇔ ( 2 x1 − 2 ) ( 2 x2 − 2 ) + 1 = 0

( 2)
2 x − 4 = k
3
⇔ 4 x1 x2 − 4 ( x1 + x2 ) + 5 = 0 ⇔ 4 a − 3 ⇔ a =
Thế (2) vào (1) thì ta có:
4
x2 − 4 x + 1 = ( 2 x − 4) x − 2 ( 2 x − 4) − 6
3
∆′ = 1 − a = 1 − > 0
2
4
⇔ x − 4x +1 = 0 ⇔ x = 2 ± 3

Lúc đó (*) có
chứng tỏ
phương
trình
(*)
có
hai
nghiệm
phân
biệt, tức
k = 2 2+ 3 −4 = 2 3
x = 2+ 3
luôn có hai phương trình tiếp tuyến
Với
thì
 3
Tiếp tuyến cần tìm có phương trình:
A 1; ÷
 4
y = 2 3x − 4 3 − 6
Vậy điểm cần tìm là điểm
.
3
( C ) : y = x − 3x2 + x + 2
k
=
2
2
−
3

−
4
=
−
2
3
x = 2− 3
Ví dụ 6: Cho đồ thị
.
Với
thì
Tìm điểm A thuộc (C) sao cho từ A chỉ kẻ được
Tiếp tuyến cần tìm có phương trình:
một tiếp tuyến với đồ thị (C).
y = 2 3x + 4 3 − 6
Phân tích tìm hướng giải: ta đoán rằng bài
Vậy có hai tiếp tuyến :
toán có liên quan đến dáng điệu hàm số bậc
y = 2 3 x + 4 3 − 6 y = 2 3x − 4 3 − 6
ba, dễ thấy rằng trên đồ thị hàm số bậc ba nó
;
có một vị trí rất đặc biệt đó là vị trí điểm uốn,
2
do đó bằng trực quan ta nhận ra tiếp tuyến
( C ) : y = x − 2x + 2
xuất phát từ điểm uốn thì luôn kẻ được một
Ví dụ 5: Cho đồ thị
và
tiếp tuyến duy nhất, công việc bây giờ là làm
( d ) : x =1

( d)
như thế nào để chứng minh nhận định trên là
. Tìm điểm A thuộc
sao cho từ A
đúng.
kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc nhau.
Lời giải:
Lời giải:
y′ = 3 x 2 − 6 x + 1 y ′′ = 6 x − 6
A
1;
a
∈
d
(
)
(
)
′
y = 2x − 2
Ta có:
;
Ta có
và đặt
.
( C)
Tiếp tuyến với
có phương trình dạng:

(

(

Lê Ngô Nhật Huy

)

)

Trang 4/3


Bài toán tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Bài
viết được đăng trên Tạp chí Toán học & Tuổi Trẻ số 460 tháng 10/2015
y′′ = 6 x − 6 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1
( C ) : y = x4 − 5x2 − x + 8
Lúc đó cho
Suy
2.Cho đồ thị
. Viết
I ( 1;1)
( C)
( C)
ra
có điểm uốn
.
phương trình tiếp tuyến với
tại các giao

( C)
y = −x + 4
Dời
uur gốc tọa độ O về I theo phép tịnh tiến theo
điểm của
với đường thẳng
.
OI ( 1;1) x = X + 1; y = Y + 1
3.( Khối B-2008)
:
( C ) : y = 4 x3 − 6 x 2 + 1
( C)
Cho đồ thị
. Viết phương
Đồ thị hàm số
được viết lại:
( C)
3
2
Y + 1 = ( X + 1) − 3 ( X + 1) + ( X + 1) + 2
trình tiếp tuyến với
, biết rằng tiếp tuyến
.
M ( −1; −9 ) .
⇔ Y = X 3 − 2X
Y ′ = 3x 2 − 2
đó đi qua điểm
, lúc đó
4.( Khối B-2004)
2

A ( X = a; Y = a − 2 a ) ∈ ( C )
1
( C ) : y = x3 − 2 x 2 + 3x
Đặt
.
3
( C)
Cho đồ thị
. Viết
Phương trình tiếp tuyến với
có dạng:
( C)
∆
3
2
Y − ( X 0 − 2 X 0 ) = ( 3X 0 − 2) ( X − X 0 )
phương trình tiếp tuyến
với
tại điểm
∆
(T)
uốn và chứng minh rằng biết rằng
là tiếp
Tiếp tuyến qua A nên:
( C)
a 3 − 2a − ( X 03 − 2 X 0 ) = ( 3 X 02 − 2 ) ( a − X 0 )
tuyến của
có hệ số góc nhỏ nhất.
3
3

2
x2 + x −1
⇔ a − X 0 − 2 ( a − X 0 ) = ( 3 X 0 − 2) ( a − X 0 )
( C) : y =
x+2
5.Cho đồ thị
. Viết phương
2
2
⇔ ( a − X 0 ) ( 2 X 0 − aX 0 − a ) = 0
( C)
trình tiếp tuyến với
, biết rằng tiếp tuyến
a
X
=
−
0
( C)
⇔ X0 = a
2
hay
.
đó vuông góc với tiệm cận xiên của
.
3
2
Dựa vào giả thuyết để từ A chỉ kẻ được một
y = − x + 3x − 2
tiếp tuyến với đồ thị

thì phải có:
6.Cho hàm số
a
Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà
a=− ⇔a=0
2
từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị
( C)
A ( x = 1; y = 1)
.
Vậy điểm
là điểm cần tìm.
Cuối cùng để kết thúc bài viết, bằng các
phương pháp trên mời bạn đọc giải các bài
toán sau:
( C ) : y = x3 − x 2 + 2 x + 1
1.Cho đồ thị
.Chứng
( C)
minh trên
không có hai tiếp tuyến vuông
góc nhau.
Lê Ngô Nhật Huy

Trang 5/3