BÍ KÍP GIẢI HỆ PHưƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT P3

Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

BÍ KÍP GIẢI HỆ PHƢƠNG TRÌNH CHỈ TRONG 10 PHÚT
Chuyên đề 3. Phƣơng pháp thế hạng tử tự do
Chú ý:
Ở phương pháp này ta cần làm những bước sau để giải được bài toán:
 Đưa các số hạng cùng bậc về cùng một nhóm
 So sánh bậc của hai phương trình để tìm cách thế hợp lí.

 x3  2 xy 2  y  0 (1)
Ví dụ 1. Giải hệ phƣơng trình  2
2
(2)
8 y  x  1
Giải: Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

x3  2 xy 2  (8 y 2  x 2 ) y  0
 x3  2 xy 2  x 2 y  8 y 3  0 (3)
 Nhận thấy x=0 không là nghiệm của hệ phương trình.
 Khi x  0 , chia cả 2 vế của phương trình (3) cho x3  0 ta được:
2

:

Đặt

3

 y  y  y
1  2       8    0. (4)
 x  x  x

y
 t , thì phương trình (4) có dạng:
x
8t 3  2t 2  t  1 0

 (2t  1)(4t 2  t  1)  0
t 

1
 x  2 y
2


y 
2
Thế vào phương trình (2) ta được 12 y  1  

 y 

1
2 3
3
1
1
x
2 3
3
1

x


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
 1 1   1 1 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y   
;
;
, 
.
 3 2 3  3 2 3

 x3  y 3  1
(1)
Ví dụ 2. Giải hệ phƣơng trình  5
5
2
2
 x  y  x  y (2)
Giải: Thế phương trình (1) vào (2) ta được

x5  y 5  ( x 2  y 2 )( x3  y 3 )
 x 2 y 3  x3 y 2  0
 x2 y 2 ( x  y)  0
x  0
  y  0
 x   y.
Nếu x  0 thì từ (1) suy ra y  1 .
Nếu y  0 thì từ (1) suy ra x  1 .
Nếu x   y thì từ (1) suy ra 0  1, dẫn tới phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x;y) = (0;1), (1;0).
Ví dụ 3. Giải hệ phƣơng trình
 x3 -8x = y3 +2y
 2
2
 x -3 = 3(y +1)

Giải:

 x3 -8x = y3 +2y

2
2
 x -3 = 3(y +1)

 x3  y 3  2(4 x  y )
 2
2
x  3y  6

Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta đươc

(1)
(2)


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
3( x3  y 3 )  ( x 2  3 y 2 )(4 x  y )
 3x3  3 y 3  4 x3  x 2 y  12 xy 2  3 y 3
 x3  x 2 y  12 xy 2  0

x  0
 2
2
 x  xy  12 y  0 (3)
Nếu x=0 thì từ (2) suy ra phương trình vô nghiệm.
Nếu x  0 , thì chia cả 2 vế của phương trình (3) cho x 2  0 ta được:
2

 y
 y
1     12    0 .
x
 x
1

t

y
 x  3y
3
Đặt  t , ta có phương trình sau 1  t  12t 2  0  

x
t  1  x  4 y

4

 y 1 x  3
Với x=3y, thay vào phương trình (2) ta được 6 y 2  6  
 y  1  x  3

Với x=-4y, thay vào phương trình (2) ta được


6
 x  4
y 
13
2
13 y  6  

6
x4
y  
13


6
13
6
13


6
6 
6
6 
;
;
Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y   ( 3; 1),(3;1),  4
, 4

.
13
13
13
13



Ví dụ 4: Giải hệ phƣơng trình (ĐHKA-2011)

 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2( x  y )  0

2
2
2
 xy ( x  y )  2  ( x  y)

(1)
(2)


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Giải:
Ta có: (2)  ( xy  1)( x2  y 2  2)  0  xy  1 hoặc x 2  y 2  2.
 Nếu xy  1 thì từ (1) suy ra: y 4  2 y 2  1  0  y  1.
Suy ra: (x;y)=(1;1) hoặc (x;y)=(-1;-1)
 Nếu x 2  y 2  2 thì từ (1) suy ra:

3 y ( x 2  y 2 )  4 xy 2  2 x 2 y  2( x  y )  0
 6 y  4 xy 2  2 x 2 y  2( x  y )  0

 xy  1
 (1  xy )(2 y  x)  0  
x  2y
Với x=2y, từ x 2  y 2  2 suy ra:

 2 10 10 
 2 10
10 
( x; y )  
;
;
 hoặc ( x; y )   
.
5
5
5
5




 2 10 10   2 10
10 
Vậy hệ có nghiệm: (1;1),(1; 1), 
;
;
, 
.
5
5

5
5

 

Bài tập tự luyện
Giải các hệ phƣơng trình sau:
Bài 1.
 y 3  y 2 x  3x  6 y  0

x 2  xy  3

Bài 2.

x x  8 y  x  y y


x y 5


Bài 3.

 x3  8 y 3  4 xy 2  1
 4
4
2 x  8 y  2 x  y  0
(Còn tiếp)


Fanpage: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán

Download các chuyên đề trước:
-

Giải hệ phương trình bằng phương pháp miền giá trị: Tại đây
Giải hệ phương trình bằng phương pháp nhân chia: Tại đây

Để theo dõi các tài liệu khác, truy cập fanpage : Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán
Để học online, truy cập kênh Youtube: Thầy Duy Thành – Tiến sĩ Toán