Chuong 3 cac quy luat phan phoi xac suat thuong gap

1

Môn học:

XÁC SUẤT VÀ THỐNG
KÊ


2

Chương 3. CÁC QUY LUẬT PHÂN
PHỐI XÁC SUÂT
Giới thiệu
1. Phân phối siêu bội
2. Phân phối nhị thức
3. Phân phối Poisson
4. Phân phối chuẩn
5. Một số quy luật phân phối khác


3

1. Phân phối siêu bội
• Định nghĩa. Bsnn X gọi là có phân phối siêu bội, ký
hiệu

, nếu hàm mật độ của X có dạng

 CKx CNn−−xK
, khi x ∈ [max{0; n − N + K };min{n, K }]


n
f ( x) =  CN
0, khi x ∉ [max{0; n − N + K };min{n, K }]

Chú ý: Nếu trong N phần tử có K phần tử có tính chất
A, lấy ra n phần tử. Gọi X là số phần tử có tính chất
A trong n phần tử lấy ra thìX

: H ( N ; K ; n)


4

Tính chất
• Nếu X : H ( N ; K ; n) thì

E ( X ) = np ;
N −n
D( X ) = npq
N −1
Với p = K/N và q = 1 -p


5

Ví dụ
• Từ một hộp đựng 15 quả cam trong đó có 5
quả cam hư, lấy ra 3 quả. Gọi X là số quả cam
hư trong 3 quả lấy ra.
▫ a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X

▫ b) Tính kỳ vọng và phương sai của X
▫ c) Tính xác suất để cả 3 quả lấy ra đều hư.


6

2. Phân phối nhị thức
a. Định nghĩa.
Bsnn X gọi là có phân phối
nhị thức, ký hiệu: X : B (n; p ) , nếu hàm mật
độ của X có dạng

C p q , khi x = 0,1, 2,..., n
f ( x) = 
0, khi x ≠ 0,1, 2,..., n
x
n

x

n −x

b.Tính chất: E(X) = np
D(X) = npq, với q = 1 – p

np − q ≤ Mod ( X ) ≤ np − q + 1


7

• Ví dụ. Trong 1 vùng dân cư có 65% gia đình có máy
giặt. Chọn ngẫu nhiên 12 gia đình. Gọi X là số gia
dình có máy giặt trong số 12 gia đình này.
▫ a) Tìm quy luật phân phối xác suất của X.
▫ b) Tính kỳ vọng và phương sai của X.
▫ c) Tính xác suất nhận được đúng 5 gia đình có
máy giặt.
▫ d) Hỏi khả năng cao nhất là nhận được mấy gia
đình có máy giặt.


8

c. Xấp xỉ phân phối nhị thức
Khi cỡ mẫu n khá nhỏ so với kích thước N của
tổng thể thì có thể xấp xỉ phân phối siêu bội bằng
phân phối nhị thức
K
p
=
,
với
H ( N ; K ; n) ; B (n; p )
N

Chú ý: Khi kích thước mẫu khá nhỏ so với kích thước
tổng thể thì việc lấy mẫu có hoàn lại hay không
hoàn lại là như nhau. Tuy nhiên nếu cỡ mẫu quá lớn
thì việc tính xác suất của pp nhị thức cũng gặp khó
khăn và người ta cần xấp xỉ nó bằng pp Poisson hay

phân phối chuẩn tùy theo giá trị của n và p


9

Phân phối Poisson
• a. Định nghĩa
• Bsnn X gọi là có phân phối Poisson, ký hiệu là
X : P (λ )

,nếu hàm mật đô
− λ của
x X có dạng

e λ
, khi x = 0,1,2,..., n

f ( x) =  x!
0, khi x ≠ 0,1,2,..., n


10

b.Tính chất
Nếu

X : P (λ)

thì

E ( X ) = D( X ) = λ


11

Ví dụ
• Tại 1 đại lý bưu điện các cuộc gọi đến xuất hiện ngẫu
nhiên, độc lập và xác suất trung bình 2 cuộc gọi trong 1
phút. Biết số cuộc gọi đến trong 1 khoảng thời gian tuân
theo quy luật phân phôi Poisson.
a) Tính xác suất có đúng 5 cuộc gọi trong 2 phút.
b) Tính xác suất có ít nhất 1 cuộc gọi trong khoảng thời
gian 30 giây.
c) Tính xác suất không có cuộc gọi nào trong khoảng
thời gian 10 giây.


12

4.Phân phối chuẩn
• a. Định nghĩa
Biến số ngẫu nhiên X gọi là có phân phối
2
chuẩn, ký hiXệ:u N
là( µ ;σ )
, nếu hàm
mật độ của X có dạng

1
f ( x) =

e
σ 2π

2

1  x−µ 
− 
÷
2 σ 

, ∀x ∈ ¡

• b. Tính chất:

E ( X ) = µ ; D( X ) = σ

2


13

c. Phân phối chuẩn tắc(pp Gauss)
Định nghĩa
Bsnn X gọi là có phân phối chuẩn tắc, nếu
hàm mật độ của X có dạng

f ( x) =

1
e

2π

1
− x2
2

, ∀x

Ký hiệu: X : N (0;1)
Tính chất: E(X) = 0; D(X) = 1.


14

d. Định lý
Nếu X : N ( µ ;σ ) thì
2

X −µ
Y=
: N (0;1)
σ


15

Ví dụ 1
Giả sử chiều cao con người là biến ngẫu nhiên X có
2
X

:
N
(160
cm
;
(10
cm
)
)
phân phối chuẩn
Tính tỷ lệ người có chiều cao từ 150cm đến 170cm.
Giải
Tỷ lệ người có chiều cao từ 150cm đến 170cm là:

1
p = P (150 ≤ X ≤170) = ∫
e
2π
150 10
170

2

1  x −160 
− 
÷
2  10 

dx =

16

Ví dụ 2
Ở tỉnh A, chiều cao nam thanh niên là một biến
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình
158cm và phương sai (4cm)2 . .
a/ Chọn ngẫu nhiên một nam thanh niên trong tỉnh,
tính xác suất để người này có chiều cao từ 160 đến
164 cm .
b/ Tính tỷ lệ thanh niên cao trên 160cm .


17

Giải
Gọi X là chiều cao của nam thanh niên
Ta có hàm mật độ

f (x ) =

1
4 2π

1 x −158 2
− (
)
e 2 4

18

Giải
a/

b/

164

1
P ( 160 < X < 164 ) = ∫
e
160 4 2π
∞

1
P ( X > 160 ) = ∫
e
160 4 2π

2

1  x −158 
− 
÷
2 4 

dx = 0.24

2

1  x −158 
− 
÷
2 4 

dx = 0.308


19

d. Hàm Laplace – Tích phân Laplace
- Hàm laplace:
Φ ( x) =

x

1

∫
2π

t2
−
e 2

dt, ∀x ∈ R

0

- Tích phân Laplace:
F( x) =

1

x

∫

2π −∞

t2
−
e 2

dt, ∀x ∈ R


20

Lưu ý
Hàm Laplace

Φ ( x)

Φ ( − x ) = −Φ ( x )

là hàm số lẻ

Người ta đã lập bảng giá trị của hàm Laplace, trong

đó ghi các giá trị Φ ( x) trên đoạn [0; 5].
Khi x > 5, hàm Laplace tăng rất chậm, do đó ta xem

( )

( )

( )

∀x > 5, Φ x ≈ Φ 5 ≈ 0, 5 ≡ Φ +∞


21

Lưu ý 2:
• Liên hệ giữa hàm Laplace và tích phân Laplace:

F( x) = Φ( x) + 0.5
• Tích phân Laplace chính là hàm phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên có pp Gauss.
•

F( x) = P( X ≤ x)


22

e.Công thức tính XS của PP chuẩn

(

Nếu X : N µ; σ
Do đó:

2

)

X −µ
: N 0; 1
thì Y =
σ

(

( ) − Φ(
1
P ( X > a) =
− Φ(
;
)
2
1
P ( X < a) =
+ Φ(
)
2
(

)

P a ≤ X ≤b =Φ

b −µ
σ

a −µ
σ
a −µ
σ

a −µ
σ

)

)


23

Ví dụ 1(như trên)
•

Giả sử rằng chiều cao người ta có phân

(

)

phối chuẩn X : N 160 ( cm ) ;100(cm) . Tính tỷ
2

lệ số người có chiều cao trong khoảng từ
150cm đến 170cm.


Ví dụ 3

24

Trọng lượng của một loại sản phẩm là đại lượng
ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trọng lượng
trung bình 50kg và phương sai 100kg2. Một sản
phẩm được xếp vào loại A nếu có trọng lượng từ
45kg đến 55kg.
a) Tính tỷ lệ sản phẩm loại A.
b) Chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm, tính xác suất
để nhận được 50 sản phẩm loại A


25

a)

 55 − 50 
 45 − 50 
P( 45 ≤ X ≤ 50 ) = Φ 
÷− Φ 
÷ = 0,383

 10 
 10 

b) Gọi Y là số sản phẩm loại A trong 100sp
Ta có
Y : B(100; 0,383 )
50
P(Y = 50 ) = C100
.0,38350 (1 − 0,383 )50 =