BÀI TẬP VỀ GÓC TRONG KHÔNG GIAN THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PH

NG PHÁP XÁC

Hình h c không gian

NH VÀ TÍNH NHANH GÓC TRONG KHÔNG GIAN
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N

Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là bài t p đi kèm v i bài gi ng gi ng Ph ng pháp xác đ nh và tính nhanh góc trong không gian thu c khóa h c:
Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng
ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i B . Bi t AB  2a , ACB  300 . Hình
chi u vuông góc c a S trên m t ph ng ( ABC ) là trung đi m c a c nh BC và góc t o b i SA và m t đáy
b ng 600 . Tính cosin c a góc t o b i AH và SC .
Gi i:
G i H là trung đi m c a BC , khi đó: SH  ( ABC ) , suy ra góc t o b i
S

2a
SA và m t đáy là SAH  60 . Có BC 

 2a 3
0
tan ACB tan 30

0

 BH 

AB

BC
 a 3 , khi đó: AH  AB2  BH 2  a 7
2

Xét tam giác SAH ta có: SH  AH .tan 600  a 7. 3  a 21

M
600

A

G i M là trung đi m c a SB , suy ra HM // SC , khi đó:

2a

 AH , SC    AH , HM 
Ta có HM  MB 

C

300
H
B

(

SB
SH 2  BH 2
21a 2  3a 2


a 6
2
2
2

Tam giác AMB vuông t i B nên ta có:
AM 2  AB2  MB2  4a 2  6a 2  10a 2

Xét tam giác AMH có:

cos AHM 

42
AH 2  HM 2  AM 2 7a 2  6a 2  10a 2
 0 (2)


2 AH .HM
28
2.a 7.a 6

T (1) và (2) suy ra cosin c a góc t o b i AH và SC là cos AHM 

42
.
28

Bài 2. Cho hình chóp đ u S. ABC có SA  2a , AB  3a .
1. Tính góc gi a SA và m t ph ng đáy ABC .
2. Tính tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABC ) .
Gi i:
G i H là hình chi u vuông góc c a S trên ( ABC ) .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Do S. ABC là hình chóp đ u nên H là tr ng tâm tam giác ABC
( ABC đ u nên tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ng tròn ngo i ti p, n i ti p c a tam giác ABC trùng nhau)
1. Ta có SH  ( ABC ) , do đó HA là hình chi u c a SA trên ( ABC )
Suy ra  SA,( ABC )   ( SA, HA)  SAH
G i I là trung đi m c a BC , khi đó tam giác ABC đ u c nh 3a nên:
AI 

3a 3
2
 AH  AI  a 3
2
3

S

Xét tam giác SAH ta có:
cos SAH 

2a

3
AH a 3


 SAH  300
2a
2
SA

V y  SA,( ABC )   30 0 .

A

2. Ta có (SBC ) ( ABC )  BC .

 BC  AI
Mà 

 BC  ( SAI )
 BC  SH
( SAI ) ( SBC )  SI
M t khác: 
( SAI ) ( ABC )  AI

B
H

3a

I

C

  (SBC ),( ABC )   ( SI , AI )  SIA

2
2
2
 SH  SA  AH  (2a )  a 3
Ta có 
 HI  AH  a 3

2
2





2

a
 tan SIA 

V y tan c a góc t o b i hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABC ) là

2 3
SH
a


3
IH a 3
2

2 3
.
3

Bài 3. Cho hình chóp đ u S. ABCD , đáy tâm O và có c nh b ng a . G i M , N l n l

t là trung đi m c a

0

SA, BC . Bi t góc gi a MN và ( ABCD) b ng 60 . Tính sin c a góc t o b i MN và ( SAC ) .

Gi i:

Do S. ABCD là hình chóp đ u nên ta có SO  ( ABCD)

S

G i P là trung đi m c a AO .
Khi đó MP / / SO  MP  ( ABCD)
Suy ra  MN,( ABCD)   MNP  600

M

Trong tam giác NCP theo đ nh lí cosin ta có:
PN 2  CN 2  CP 2  2CN.CP.cos 450 

5a 2
a 10
 PN 
8
4

A

Trong tam giác vuông MNP ta có :

P
D

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

B

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

N

OH
C

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian


a 10

PN
a 10
 4 0 
 MN 
2
cos MNP cos 60


 PM  NP tan MNP  a 10 tan 600  a 30  SO  2 PM  a 30


4
4
2
G i H là trung đi m c a OC . Suy ra NH / / BD mà BD  (SAC )  NH  (SAC )
Do đó  MN,(SAC )   NMH
1
a 2
5
NH a 2 a 10
Ta có NH  OB 
. Suy ra: sin NMH 
:


2
4
4
2
10
MN

V y sin c a góc t o b i MN và ( SAC ) b ng

5
.
10

Bài 4. Cho hình chóp S. ABC có SA  ( ABC ) , BAC  1200 , AB  AC  a và SA

a

2 3

. Tính góc t o

b i hai m t ph ng ( SBC ) và ( ABC ) .
Gi i:

S

G i M là trung đi m c a BC .
 BC  AM
Khi đó 
 BC  ( SAM )
 BC  SA
Suy ra  (SBC ),( ABC )   SMA.
Tam giác ABC cân t i A nên
a
AM  AC.cos MAC  a .cos 60 
2
Trong tam giác vuông SAM có :
SA
a a
1

 SMA  300
tan SMA 
: 
AM 2 3 2
3

A

C

0

1200
M
B

V y  ( SBC ),( ABC )   30 0 .
Bài 5. Cho hình l p ph

ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a . Tính góc t o b i hai m t ph ng ( BA' C ) và

( DA' C ) .

Gi i:
G i O là tâm c a hình vuông ABCD . H OH  A' C ( H  A' C ) . Khi đó:

A' C  OH 
  A' C  ( BDH )
A' C  BD 
V y  ( BA' C ),( DA' C)   ( HB, HD)

A'

D'

B'

C'

Trong tam giác vuông A' BC có

BH 

a 6
3
Trong tam giác BHD , áp d ng đ nh lí cosin ta có:

T

H

2SA' BC BC. A' B a .a 2 a 6



3
A' C
A' C
a 3

A

ng t ta có DH 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

D
O

B
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C
- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

2a 2 2a 2

 2a 2
1
BH  DH  BD
3
 3

cos BHD 
2
2a
2
2 BH .DH

2.
3
2

2

2

Suy ra BHD  1200  ( HB, HD)  600 . V y  ( BA' C ),( DA' C)   60 0 .
Bài 6. Cho hình l ng tr đ u ABC. A' B ' C ' , đáy có c nh b ng a , c nh bên có đ dài b ng b . G i M là
trung đi m c a AB và  là góc t o b i đ ng th ng MC ' và m t ph ng ( BCC ' B ') . Tính tan  .
G i M ', N l n l

Gi i:
t là trung đi m c a A' B ' và BC

G i P là trung đi m c a BN . Ta có:
AN  BC 
  AN  ( BCC ' B ')
AN  BB '

M

B

A

P
N
C

M t khác MP // AN , nên suy ra MP  ( BCC ' B ')
Do đó  MC ',( BCC ' B ')     MC ' P
Tam giác ABC đ u c nh a nên AN 
Suy ra MP 

a 3
2

B'

A'

M'

AN a 3

2
4

C'

3a 2
L i có MC '  MM '2  M ' C '2  b 2 
4
3a 2 3a 2
9a 2
2

 b 

Suy ra PC '  MC '  MP  MC '  b 
4
16
16
2

2

2

MP a 3
9a 2
a 3

: b2 

.
PC '
4
4
16b2  9a 2
Bài 7. Cho hình chóp đ u S. ABCD đáy có c nh b ng a . G i M , N l n l t là trung đi m c a SA, SC .
Trong tam giác vuông C ' PM ta có tan MC ' P 

Bi t ( BM , ND)  600 . Tính chi u cao c a hình chóp.
Gi i:
G i O là tâm c a hình vuông ABCD và G là tr ng tâm tam giác SAC .
ng th ng qua G song song v i BM c t BC F .
ng th ng qua G song song v i DN c t AD E .
 EA  2 ED

BF GM 1 GN ED

Ta có

 

FC GC 2 GA EA
 FC  2 FB

S

Suy ra EF đi qua tâm c a hình vuông ABCD
và O là trung đi m c a đo n EF .

M

 EGF  600
0
0
T ( BM , ND)  60  (GE, GF )  60  
 EGF  1200

G

N
A

*) V i EGF  600

D

O
B

Hocmai.vn – Ngôi tr

E

ng chung c a h c trò Vi t

F

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

C
- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Ta có GEF cân t i G, suy ra GEF đ u  GO 
Hình vuông ABCD có c nh a nên ta d dàng tính đ
Suy ra SO  3GO  3.

Hình h c không gian

3
EF
2

10a
3

c EF 

3 10
30a
.
.
a
2 3
2

*) V i EGF  1200
Ta có GEF cân t i G, suy ra GO 

1
2 3

EF 

10a
30a
 SO  3GO 
6
6 3

30a
30a

ho c SO 
.
2
6
Bài 8. Cho hình l p ph ng ABCD.A' B ' C ' D ' c nh a . i m M thu c đo n BC ' , N thu c đo n AB ' .
a
ng th ng MN t o v i m t ph ng ( ABCD) góc  . Ch ng minh r ng: MN 
.
sin   2 cos 
Gi i:

V y SO 

G i M ', N ' l n l

D

t là hình chi u

M'

c a M , N lên m t ( ABCD) .
Không m t tính t ng quát gi s MM '  NN '
và MN

C
N'

A

B

M ' N '  P

M

Khi đó  MN,( ABCD)   NPN '  
D'

Ta có MM '  BM '; NN '  AN '  a  BN '
M t khác MN  PN  PM
 MN cos   PN cos   PM cos   PN ' PM '  M ' N '

  MN sin   PN sin   PM sin   NN ' MM '

 (a  BN ')  BM '  a  ( BN ' BM ') (1)

Do đó M ' N '  BN '2  BM '2  MN cos 



P

C'
N

A'

B'

(2)



T (1) và (2), suy ra MN sin   2 cos   a  ( BN ' BM ')  2  BN '2  BM '2 
 a  ( BN ' BM ')  BN ' BM '  a (do 2( x2  y2 )  ( x  y)2 )

Suy ra MN 

a
sin   2 cos 

(đpcm).

Bài 9. Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác vuông t i B , có SA  AB  a , BAC   , SA  ( ABC ) và
góc gi a hai m t ph ng ( SAC ) và ( SBC ) là  .

1  cos 2 
.
cos 
2. Tam giác ABC th a mãn đi u ki n gì đ   600 .
1. Ch ng minh r ng tan  .tan  

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c không gian

Gi i:
1. G i H , K l n l

t là hình chi u vuông góc c a A trên SB, SC

CB  AB
Ta có 
 CB  ( SAB)  CB  AH  AH  ( SBC )
CB  SA
Suy ra AH  SC  SC  ( AHK)  SC  KH

S
K

Khi đó AKH   (do AKH  900 )
BC AH AH BC
(1)
.

.
AB HK AB HK
AH SH


ABH ~ SAH  AB  SA
(2)
Do 
SCB ~ SHK  CB  SC

HK SH
BC AH SH SC SC
Thay (2) vào (1) ta đ c: tan  .tan  
.

.

AB HK SA SH SA

Ta có tan  .tan  

H
A

C

B

a
a2
a 1  cos 2 
2
2
2
 SC  SA  AC  a 


M t khác AC 
cos 
cos 2 
cos 
Suy ra

1  cos 2 
SC
1  cos 2 

hay tan  .tan  
(đpcm).
cos 
SA
cos 

2. Do   600 nên tan  .tan   3 tan 

 3 tan  

1  cos 2 
1  cos 2 
1

 1
 2  tan 2 
2
2
cos 

cos 
cos 

Suy ra 3tan 2   2  tan 2   tan   1
Do 00    900  tan   1    450 . V y tam giác ABC vuông cân t i B
Bài 10. Qua đ ng cao c a t di n đ u d ng m t ph ng c t 3 m t bên c a t di n theo 3 đ
v i
đáy góc  ,  ,  . Ch ng minh r ng tan 2   tan 2   tan 2   12 .
S
Gi i:
G i t di n đ u là SABC và các đi m xác đ nh nh hình v
SH
SH
SH
Ta có: tan  
; tan  
; tan  
MH
NH
PH
1
1 
 1
 tan 2   tan 2   tan 2   SH 2 


 (*)
2
2
NH

PH 2 
 MH
G i 1 , 2 , 3 là góc t o b i MP v i các đ

K M

A

ng

Hocmai.vn – Ngôi tr

N

ng vuông góc K, I , J )

Ta có: HI  HJ  HK 

1
1 a 3 a 3
AI  .

3
3 2
6

ng chung c a h c trò Vi t

H

J

vuông góc h t H xu ng AB, BC, CA
( ng v i các chân đ

ng th ng t o

B
I

C

P
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 MH 

Hình h c không gian

a 3
a 3
a 3
; NH 
; PH 

6cos 3
6cos 1
6cos 2

12(cos 2 1  cos 2 2  cos 2 3 )
1
1
1
(1)




MH 2 NH 2 PH 2
a2
Mà ta có: 1  2  600  1800  2  1200  1 và 2  3  BCA  600  3  600  2  1  600
 cos 2 1  cos 2 2  cos 2 3 

3 cos 21  cos 22  cos 23

2
2

0
0
3 cos 21  cos  2(120  1 )   cos  2(1  60 ) 
 
2
2

3 cos 21  2cos 600.cos(1800  21 ) 3 cos 21  cos 21 3

 

2
2
2
2
2
1
1
1
18


 2
(2*)
T (1) và (2) 
2
2
2
MH
NH
PH
a


2

(2)

2

 a 3   a 3  2a 2
Mà ta có: SH  SI  HI  
(3*)
 
 
3
 2   6 
2

2

2

Thay (2*) và (3*) vào (*) ta đ

c: tan 2   tan 2   tan 2  

2a 2 18
.  12
3 a2

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c

gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-