PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THẦY LÊ ANH TUẤN

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Lượng giác – Số phức

PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Phương pháp giải phương trình lượng giác thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Bài 1: Giải phương trình: 2sin x(1  cos2 x)  sin 2 x  1  2cos x
Giải:
Phương trình  4sin x cos2 x  2sin x cos x  (1  2cos x)  0
 2sin x cos x(1  2 cos x)  (1  2 cos x)  0
2

1
x
 k 2


cos x  
3

 (1  2 cos x)(sin 2 x  1)  0 
(k  Z )
2




x   k
sin 2 x  1

4

Bài 2: Giải phương trình: 2sin 2 2 x  sin 7 x  1  sinx
Giải:
Phương trình  (2sin 2 2 x 1)  (sin 7 x  sin x)  0

 cos4 x  2 cos 4 x sin 3 x  0  cos4 x(2sin 3 x  1)  0
k

x  2

cos4 x  0

2


 x   k
(k  Z )
1

sin 3x 
18
3


2

 x  5  k 2

18
3
x
x 
Bài 3: Giải phương trình: sin 2    tan 2 x  cos 2  0
2
2 4
Giải:

Điều kiện để phương trình có nghĩa là: x 


2

 k , ( k  Z )

x 
1  cos   
2
 2 4  . 1  cos x  1  cos x  0
Khi đó phương trình 
2
cos 2 x
2

 (1  s inx)(1  cos x)(1  cos x)  cos 2 x(1  cos x)  0
 (1  s inx)(1  cos x)(s inx  cos x)  0



x   k 2

s
in
x

1

2


 cos x  1   x    k 2 ; k  Z

 t anx  1

 x    k
4


Kết hợp điều kiện ta có: x  

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


4

 k ; x    k 2 , k  Z

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Lượng giác – Số phức

Bài 4: Giải phương trình: (1  t anx)(1  sin 2 x)  1  t anx
Giải:
Điều kiện: x 


2

 k , k  Z

2 tan x 

2
Phương trình  (1  t anx) 1 
  1  t anx  2 tan x(1  t anx)  0
2
1

tan
x



 x  k
 t anx  0


k Z

 t anx  1  x    k

4
Bài 5: Giải phương trình:

a) cos3x cos3 x  sin 3x sin 3 x 

23 2
8

3
3
5
5
c) sin x  cos x  2(sin x  cos x)
Giải:

b) cos2 3x.cos2 x  cos2 x  0
d) cos3 x  sin x  3sin 2 x cos x  0

1
1
23 2

a) Phương trình  cos 2 x(cos4 x  cos2 x)  sin 2 x(cos2 x  cos4 x) 
2
2
8

 cos4 x(cos 2 x  sin 2 x)  cos2 x(cos 2 x  sin 2 x) 
 cos4 x  cos 2 2 x 

23 2
4

23 2
 4 cos 4 x  2(1  cos4 x)  2  3 2
4

2


 x    k (k  Z )
2
16
2
b) Phương trình đã cho tương đương với:
(1  cos6 x)cos2 x  (1  cos2 x)  0  cos6 x.cos2 x  1  0
 cos8 x  cos4 x  2  0
 cos4 x 

cos4 x  1
 2 cos 4 x  cos4 x  3  0  
cos4 x   3 (loai )


2
2

Vậy cos4 x  1  x  k


2

(k  Z )

c) sin 3 x  cos3 x  2(sin 5 x  cos5 x)
 sin 3 x  cos3 x  2(sin 2 x  cos 2 x)(sin 3 x  cos3 x)  2(sin 2 x.cos3 x  cos 2 x.sin 3 x)
 sin 3 x  cos3 x  2sin 2 x.cos 2 x(sin x  cos x)
 (sin x  cos x)(1  sin x.cos x  2sin 2 x.cos 2 x)  0
sin x  cos x  0
tan x  1





2
2
2
 2sin x.cos x  sin x.cos x  1  0
sin 2x  sin 2x  2  0


x

 k

 tan x  1

4


 x    k
4
 sin 2x  1
 x    k

4
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Kết luận: Nghiệm của phương trình là x  

Lượng giác – Số phức


 k
4

d) cos3 x  sin x  3sin 2 x cos x  0
*Xét cos x = 0=> sin x = 0 ( loại )
*Xét cos x # 0, chia cả 2 vế cho cos3 x , ta được:

sin x(sin 2 x  cos 2 x)
 3 tan 2 x  0  tan 3 x  3 tan 2 x  tan x  1  0
3
cos x


 x  4  k
 tan x  1



  tan x  1  2   x 
 k

8
 tan x  1  2


 x  3  k
8


1

Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  {


4

 k ,



 k / k  Z}
8
2

Câu 6: Giải phương trình sau 2sin 2x  cos2x  7sin x  2cos x  4
Giải:

PT  4sin x cos x  1  2sin 2 x  7 sin x  2 cos x  4  0
 2 cos x(2sin x  1)  (2sin x  1)  s inx  3   0
 (2sin x  1)  2 cos x  s inx  3  0



1
x   k 2


s inx 
6


k Z

2

5

x
 k 2
 2 cos x  s inx  3  0
6

( Do a sin x  b cos x  a 2  b2  2cos x  sinx  5  3 )
Câu 7: Giải phương trình sau:
a)

cos 2 x(cos x  1)
 2(1  s inx)
s inx  cos x

c) sin1996 x  cos1996 x  1

b)

2(cos6 x  sin 6 x)  sin x cos x
0
2  2sin x

d)

sin10 x  cos10 x
sin 6 x  cos6 x


4
4cos2 2 x  sin 2 2 x

Giải:
a) Điều kiện: sin x  cos x  0
PT  (1  s inx)(1  s inx)(cos x  1)  2(s inx  cos x)(1  s inx)

 (1  s inx)  s inx  cos x  sin x cos x  1  0  (1  s inx) 2 (1  cos x)  0



x    k 2
1  s inx  0



2

1  cos x  0
 x    k 2
2
2
Phương trình đã cho tương đương với:

b) Điều kiện: sin x 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Lượng giác – Số phức

 3
 1
2(sin 6 x  cos6 x)  sin x cos x  0  2 1  sin 2 2 x   sin 2 x  0
 4
 2

 3sin 2 2 x  sin 2 x  4  0
 sin 2 x  1
x


4

 k ( k  Z )

Kết hợp điều kiện nên x 

5
 2m (m  Z )
4

c) PT  sin1996 x  cos1996 x  sin 2 x  cos2 x

 sin 2 x(sin1994 x  1)  cos2 x(1  cos1994 x) (2)
2

sin x  0
Ta thấy  1994
 sin 2 x(sin1994 x  1)  0, x

sin x  1

2

cos x  0
Mà 
 cos 2 x(1  cos1994 x)  0, x
1994

1  cos x  0

  x  m

 sin x  0
  x    m

2
1994

sin x(sin x  1)  0
sin x  1
2
Do đó (2)   2



(m, n  Z )
1994
cos x(1  cos x)  0
 cos x  0
  x    n
 cos x  1  
2

  x  n


Vậy nghiệm của phương trình là: x  k


2

(k  Z )

3
d) Ta có sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x;
4

4cos 2 2 x  sin 2 2 x  4  3sin 2 2 x

Do đó phương trình đã cho

3
1  sin 2 2 x

sin10 x  cos10 x
sin 6 x  cos6 x
sin10 x  cos10 x
1
4




2
2
2
4
4 cos 2 x  sin 2 x
4
4  3sin 2 x 4
10
10
2
10
2
10
 sin x  cos x  1  (sin x  sin x)  (cos x  cos x)  0
2
10
2
8

sin x  sin x  sin x(1  sin x)  0
Ta có  2

10
2
8

cos x  cos x  cos x(1  cos x)  0
2
10
2
8


sin x  0  sin x  1

sin x  sin x  0
sin x(1  sin x)  0

xk
Pt   2



10
2
8
2


cos x  0  cos x  1
cos x  cos x  0
cos x(1  cos x)  0

Câu 8: Giải phương trình sau:
3
1
.

cos x sin x

a) 3cot 2 x  2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x

b) 8sinx =

c) 3sin3x 

cos9x = 1 + 4sin33x

d) sin 6 x  cos6 x  cos 4x

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

3

Giải:
- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Lượng giác – Số phức

a) Điều kiện: x  k

3cos 2 x
 2 2 sin 2 x  (2  3 2) cos x
sin 2 x
 3cos 2 x  3 2 sin 2 x.cos x  2 2 sin 4 x  2sin 2 x cos x  0
PT 

 2cos 2 x  cos x  2  0
 cos x  2 sin 2 x  3cos x  2sin 2 x   0  
2
 2 cos x  3cos x  2  0
1

cos x  2



 x   4  k 2
 cos x  2(loai)  

 x     k 2
cos x  1

3

2


b) Điều kiện: sin 2 x  0





8sinx =

3
1
.

cos x sin x

8sin 2 x cos x  3 sin x  cos x
 4sin 2 x.sin x  3 sin x  cos x  2(cos3x  cos x)  3 sin x  cos x



 2 cos 3 x  3 sin x  cos x  cos3 x  cos( x  )
3


 x  6  k

(TM )
 x    k 

12

2
Nghiệm của phương trình là: x 
c) 3sin3x 

3


6

 k , x  


12

k


2

cos9x = 1 + 4sin33x.

 (3sin 3 x  4sin 3 3 x)  3cos9 x  1
 sin 9 x  3cos9 x  1


2

x  k



1
18
9
 cos(9 x  ) 

6
2
 x  7  k 2

54
9
Nghiệm của phương trình là: x 


18

k

2
7
2
k
và x 
.
9
54
9

d) sin x  cos x  cos 4x
6

6

 (sin 2 x  cos 2 x)3  3sin 2 x.cos 2 x(cos 2 x  sin 2 x)  cos4x
3
3
 1  sin 2 2x  1  2sin 2 2x  0  1  sin 2 2x  1  2sin 2 2x  0
4
4





 sin 2 2x  0
 sin2x  0  x 

k
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Lượng giác – Số phức

Câu 9: Giải phương trình sau: 1  sinx  cos x  sin 2 x  cos2 x  0
Giải:
1  sinx  cos x  sin 2 x  cos2 x  0

 1  s in2 x  (s inx  cos x)  cos 2 x  sin 2 x  0



x    k

s inx  cos x  0
4
 (s inx  cos x)  2 cos x  1  0  

2
2
cos
x

1

0

 x     k 2

3
Bài 10. Giải phương trình:
x

x
a) sin 2 x  sin 2 3x  3cos2 2 x  0
b) (sin x  3).sin 4  (sin x  3)sin 2  1  0
2
2
c) cos2 x  cos x(2 tan 2 x  1)  2

4 
5  1   9
 
2
2
d) cos  x  3   cos  x  3   2 cos  2  x   1



 
 3

e) cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0
4 
4 2

Giải:
1  cos 2 x 1  cos6 x
a) PT 

 3cos 2 2 x  0
2
2

3
 2  cos2 x  (4 cos 2 x  3cos 2 x)  6 cos 2 2 x  0

x
x
(1  sin 2 )  1  0
2
2
x
x
 (sin x  3).sin 2 cos 2  1  0
2
2
1 2
 (sin x  3). sin x  1  0
4
3
 sin x  3sin 2 x  4  0

b) PT  (sin x  3).sin 2

 2 cos3 2 x  3cos 2 2 x  cos2 x  1  0
1



cos2 x   2
 x   3  k



; k Z

5 1

 x    k
cos2 x  2  cos

2

sin x  1

sin x  2 (loai )

Vậy x   k 2 ; k  Z
2

c) Điều kiện: cos x  0
sin 2 x
 cos x  2
cos x
 (2 cos 2 x  1).cos x  2(1  cos2 x)  cos 2 x  2 cos x
PT  cos2 x  2

 2 cos3 x  cos 2 x  3cos x  2  0
cos x  1
 x  k 2


; k Z
cos x  cos

 x    k 2

4 
5  1   9


 
d) cos 2  x    cos 2  x    cos   x   1
3 
3  2  2


 
8 
10 




 1  cos  2x    1  cos  2x 
  cos   x   1
3
3
2







Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Lượng giác – Số phức

2
 sin x  1
3
 2  cos 2x  sin x  1  0
 2sin 2 x  sin x  0
 2  2 cos 2x.cos

 x  k
sin x  0
(k Z )




5

1

 x   k2; x 
sin x 
 k2
6
6

2


 
 3

e) cos 4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0
4 
4 2

1 

 3
Phương trình đã cho tương đương với: 1  2sin 2 x cos 2 x  sin  4 x    sin 2 x    0
2 
2
 2

 2  sin 2 2 x  cos4 x  sin 2 x  3  0
  sin 2 2 x  (1  2sin 2 2 x)  sin 2 x  1  0
 sin 2 2 x  sin 2 x  2  0  sin 2 x  1 hoặc sin 2 x  2 (loại)

Vậy sin 2 x 1  2 x 


2

 2 k  x 


4

 k ( k  Z)

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

: Lê Anh Tuấn
:
Hocmai.vn

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN







Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-