BÀI TẬP TÌM ĐIỂM LOẠI MỘT PHẦN 1 THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

TÌM I M LO I 1
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l

c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tìm đi m lo i 1 thu c khóa h c Luy n thi THPT qu c gia

Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

có th n m v ng ki n th c ph n này, b n

Bài 1 (B – 2004). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hai đi m A(1;1) , B(4; 3) . Tìm đi m C thu c
đ

ng th ng x  2 y  1  0 sao cho kho ng cách t C đ n đ
Gi i:

+) Ta có AB  (3; 4) , suy ra ph
+) Vì C thu c đ

ng th ng AB b ng 6 .

ng trình AB : 4 x  3 y  7  0

ng th ng x  2 y  1  0 nên g i C (2t  1; t )

Khi đó : d (C , AB)  6 

4(2t  1)  3t  7
42  32

 6  11t  3  30

C (7;3)
t  3

   43 27 
27
C   ;  
t  
  11 11 

11
 43 27 
+) V y C (7;3) ho c C   ;   .
 11 11 

Bài 2. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình thang vuông ABCD có B  C  900 . Ph
các đ

ng th ng AC và DC l n l

ng trình

t là x  2 y  0 và x  y  3  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh c a hình

 3 3
thang ABCD , bi t trung đi m c nh AD là M   ;   .
 2 2
Gi i:

Do AC

DC  C nên t a đ đi m C là nghi m c a h :

B(?)

A(?)

x  2 y  0
x  2

 C (2; 1)

x  y  3  0
 y  1
G i N là trung đi m c a DC , khi đó MN đi qua M
song song v i AC có ph

ng trình: 2 x  4 y  9  0 .

M

C(?)

D(?)

N

1

x

2 x  4 y  9  0

2  N  1 ;  5   D(1; 4)

Suy ra t a đ đi m N là nghi m c a h : 


2 2
x  y  3  0
y   5


2
M t khác M là trung đi m c a AD , suy ra A(2;1)
Khi đó ta có ph

ng trình AB : x  y  3  0 và BC : x  y  1  0

x  y  3  0
 x  1

 B(1; 2)

Suy ra t a đ đi m B là nghi m c a h 
x  y 1  0
y  2
Bài 3. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD v i A(1;1) , B(4;5) . Tìm I c a
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

hình bình hành thu c đ

Hình h c Oxy

ng th ng x  y  3  0 . Tìm t a đ các đ nh C , D bi t r ng di n tích hình bình

hành ABCD b ng 9 .
Gi i:
+) Ta có AB  (3;4)  nAB  (4; 3) nên AB có
ph

ng trình: 4 x  3 y  1  0

1

+) Ta có SABCD  4SIAB  4. d ( I , AB). AB
2
S
9
9
 d ( I , AB)  ABCD 

2
2
2 AB 2 3  4
10

+) G i I (t; t  3) , khi đó :

  1 5
1

I  ; 
t


4t  3(t  3)  1 9
9
9
 2 2
2

  7t  8   

d ( I , AB)  

10
5
10
2
t   25  I   25 ;  17 
 


14
  14 14 
+) Vì I l n l t là trung đi m c a AC, BD nên :
 1 5
 25 17 
 32 24 
V i I   ;    C  2; 6  và D  5; 10  V i I   ;    C   ;   và
7 
 2 2
 14 14 
 7
 32 24   53 52 
 53 52 
D   ;   V y C  2; 6  , D  5; 10  ho c C   ;   , D   ;   .
7   7
7 
7 
 7
 7
3
và hai đi m A(2; 3) ,
2

ng th ng  : 3x  y  8  0 . Tìm t a đ đ nh C .

Bài 4. Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho tam giác ABC có di n tích b ng
B(3; 2) . Tr ng tâm G c a tam giác n m trên đ

Gi i:
V i A(2; 3), B(3; 2) , ta có AB  2 và ph

ng trình đ

ng th ng AB : x  y  5  0

3
2SABC 2. 2
3
1


Ta có SABC  3SGAB  d (G, AB). AB  d (G, AB) 
2
3 AB 3 2
2
Do G   G(t;3t  8) , khi đó:
t  (3t  8)  5
t  1
G(1; 5)
1
1



 2t  3  1  

2
2
2
t  2 G(2; 2)
+) V i G(1; 5)  C (2; 10)
+) V i G(2; 2)  C (1; 1) .

d (G, AB) 

V y C (2; 10) ho c C (1; 1) .
Bài 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có đ nh A(1; 2) . Trung tuy n CM ( M  AB ) và
đ

ng cao BH ( H  AC ) l n l

t có ph

ng trình 5x  7 y  20  0 và 5x  2 y  4  0 . Vi t ph

ng

trình c nh BC .
Gi i:
+) Ph

 x  2t
 B(2t; 2  5t )
ng trình BH : 

 y  2  5t

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

 2t  1 5t 
Do M là trung đi m c a AB  M 
; 
2
 2
2t  1
5t
+) Vì M  CM  5.
 7.  20  0  45t  45  t  1  B(2;3)
2
2
+) AC đi qua A(1; 2) vuông góc v i BH nên có ph ng trình: 2 x  5 y  8  0

2 x  5 y  8  0

x  4
Khi đó t a đ đi m C là nghi m c a h 

 C (4;0)
5 x  7 y  20  0
y  0
+) Khi đó BC đi qua hai đi m B(2;3), C (4;0) nên có ph

ng trình: 3x  2 y  12  0 .

Bài 6 (D – 2007). Trong m t ph ng v i h t a đ Oxy , cho đ
đ

ng tròn (C ) : ( x 1)2  ( y  2)2  9 và

ng th ng d : 3x  4 y  m  0 . Tìm m đ trên d có duy nh t m t đi m P mà t đó có th k đ

c hai

ti p tuy n PA, PB t i (C ) ( A, B là các ti p đi m) sao cho tam giác PAB đ u.
Gi i:
+)
ng tròn (C ) có tâm I (1; 2) và bán kính R  3
+) Tam giác PAB đ u nên API  300 . Xét tam giác vuông IAP có :
IA
3
IP 

6
sin API sin 300

+) V i P  d ; IP  6 và có duy nh t m t đi m P th a mãn, suy ra :
11  m
 m  19
IP  d hay d ( I , d )  IP 
 6  m  11  30  
32  42
 m  41
+) V y m  19 ho c m  41 .
Bài 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A v i BC  4 2 . Các đ

ng th ng AB

5

 18 
t đi qua các đi m M 1;   và N  0;  . Xác đ nh t a đ các đ nh c a tam giác ABC ,
3

 7
ng cao AH có ph ng trình x  y  2  0 và đi m B có hoành đ d ng.
Gi i:

và AC l n l
bi t đ

 18 
+) G i N ' đ i x ng v i N  0;  qua AH , suy ra N '  AB
 7
 18 
NN ' đi qua N  0;  và vuông góc v i AH nên có ph ng trình :

 7
18
x  y   0 . Do đó t a đ giao đi m I c a NN ' và AH là nghi m
7

c ah :

2

18
x


x  y   0

 2 16 
 4 
7

 I   ;  . Do I là trung đi m c a NN '  N '   ; 2 
7

 7 7
 7 
 y  16
 x  y  2  0

7

5


 4 
+) Khi đó AB đi qua M 1;   và N '   ; 2  nên có ph
3
 7 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng trình: 7 x  3 y  2  0

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

7 x  3 y  2  0
 x  1
Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h 
 A(1; 3)

x  y  2  0
y  3
1

+) G i B(1  3t;3  7t )  AB v i t  . Khi đó ta có
3
1  3t  3  7t  2
BC
2 2 
 2 2  4t  4  t  1 ho c t  1 (lo i)  B(2; 4)
: d ( B, AH ) 
2
2
+) BC đi qua B(2; 4) và vuông góc v i AH nên có ph ng trình: x  y  6  0
x  y  6  0
x  4
Khi đó t a đ đi m H là nghi m c a h : 

 H (4; 2)  C (6; 0)
x  y  2  0
 y  2
Bài 8. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có C (3; 1) , đ
đ

ng th ng ch a đ

ng phân giác c a góc DAC l n l

t có ph

ng th ng ch a BD và

ng trình là x  4 y  2  0 và

x  y  4  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh còn l i c a hình bình hành trên.

Gi i :
+) G i  : x  y  4  0 là ph
giác góc DAC và AC

ng trình đ

ng phân

BD  I 

G i A(a ; 4  a )  . Do I là trung đi m c a AC ,
 a 3 3 a 
Suy ra I 
;

2 
 2
a 3
3 a
Ta có I  BD 
 4.
 2  0  a  1  A(1;3) và I (2;1)
2
2
+) G i E là đi m đ i x ng c a C qua  , khi đó E  AD
CE đi qua C (3; 1) và vuông góc v i  nên có ph ng trình : x  y  4  0

x  y  4  0

x  4

 H (4;0)
Khi đó t a đ giao đi m H c a CE và  là nghi m c a h : 
x  y  4  0
y  0
Do H là trung đi m c a CE  E (5;1)
+) AD đi qua A(1;3) và E (5;1) nên có ph

ng trình : x  2 y  7  0

x  4
x  2 y  7  0

 3

Suy ra t a đ đi m D là nghi m c a h 
3  D  4; 
 2
x  4 y  2  0
 y  2
 1  3
 1
+) Do I (2;1) là trung đi m c a BD , suy ra B  0;  . V y A(1;3), B  0;  , D  4;  .
 2  2
 2

Bài 9. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình bình hành ABCD có D(6; 6) .
đo n DC có ph

ng trình là 2 x  3 y  17  0 và đ

ng trung tr c c a

ng phân giác c a góc BAC có ph

ng trình

5x  y  3  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh còn l i c a hình bình hành ABCD .

Gi i :

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

+) G i d1 : 2 x  3 y  17  0 và d2 : 5x  y  3  0 DC đi qua D(6; 6) và vuông góc v i d1
nên DC có ph

ng trình : 3x  2 y  6  0 .

Khi đó t a đ giao đi m H c a DC và d1 là
nghi m c a h

3x  2 y  6  0
 x  4

 H (4; 3) , suy ra C (2;0)

2 x  3 y  17  0
 y  3
+) G i E là đi m đ i x ng c a C qua d 2 , khi đó E  AB . Ta có CE đi qua C (2;0) và vuông góc v i

d 2 nên có ph

ng trình : x  5 y  2  0 . Khi đó t a đ giao đi m K c a CE và d 2 là nghi m c a h :

1

 x  2
x  5y  2  0
1 1

 K  ;  . Do K là trung đi m c a CE  E (3;1)

2 2
5 x  y  3  0
y  1

2

+) AB đi qua E (3;1) và vuông góc v i d1 nên có ph ng trình : 3x  2 y  7  0 .
3x  2 y  7  0
x  1
Khi đó t a đ đi m A là nghi m c a h 

 A(1; 2)
5 x  y  3  0
 y  2
 1

+) G i I là trung đi m c a AC  I   ; 1 . Mà I là trung đi m c a BD  B(5;4)
 2

V y A(1; 2), B(5;4), C( 2;0) .
Bài 10. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC , bi t A(1;6) và hai đ
hai đ

ng trung tuy n n m trên

ng trình là x  2 y  1  0 và 3x  y  2  0 . Tìm t a đ các đ nh còn l i c a tam

ng th ng có ph

giác ABC .
Gi i:
+) G i M , N l n l

t là trung đi m c a AB, AC .

Do A không thu c các đ

bài nên gi s ph

ng trung tuy n cho trong

ng trình BN : x  2 y  1  0 và CM : 3x  y  2  0 .

  b6
 M  b; 2 
 B(2b  1; b)  BN
 


+) G i 
C (c;3c  2)  CM
 N  c  1 ; 3c  4 

  2
2 

(vì M , N l n l

t là trung đi m c a AB, AC )

b6

2 0
3b 

M
CM



5b  10
b  2
 B(3; 2)

2




+) Do 
 N  BN
5c  5 c  1 C (1; 5)
 c  1  2. 3c  4  1  0

2
 2
Giáo viên
: Nguy n Thanh Tùng
+) V y B(3;2) và C (1; 5) .
Ngu n
:
Hocmai.vn
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m

tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-