BÀI TẬP TÌM ĐIỂM LOẠI 1 THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

TÌM I M LO I 1 HAY VÀ KHÓ
ÁP ÁN BÀI T P T LUY N
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Tìm đi m lo i 1 hay và khó thu c khóa h c Luy n thi THPT
qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c ph n này,
b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hai đ
ng th ng  c t 1 ,  2 l n l

ng th ng 1 : 4 x  2 y  5  0 và 2 : 4 x  6 y  13  0 .

t t i A, B . Bi t r ng 1 là phân giác c a góc t o b i OA và  ;  2 là

phân giác c a góc t o b i OB và  . Vi t ph ng trình đ
Gi i :

+) G i E , F l n l

ng th ng  .

t là đi m đ i x ng c a O qua 1 ,  2 . Khi đó E và F đ u thu c 

+) OE đi qua O và vuông góc v i 1 nên có ph

ng trình x  2 y  0 .

Và OF đi qua O và vuông góc v i  2 nên có ph

ng trình 3x  2 y  0

 x  1
x  2 y  0
1



Suy ra t a đ giao đi m I c a OE và 1 là nghi m c a h 
1  I  1; 
2

4 x  2 y  5  0
 y  2
x  1
3x  2 y  0

 3

T a đ giao đi m J c a OF và  2 là nghi m c a h 
3  J 1; 
 2
4 x  6 y  13  0
 y  2
+) Do I , J l n l t là trung đi m c a OE, OF nên suy ra E (2;1), F (2;3)
Khi đó  đi qua hai đi m E , F nên có ph

ng trình : x  2 y  4  0

Bài 2. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC , bi t chân chi u cao h t đ nh C là đi m
H (1; 1) , đ

ph

ng phân giác trong c a góc A có ph

ng trình x  y  2  0 và đ

ng cao k t B có

ng trình 4 x  3 y  1  0 . Tìm t a đ đ nh C .
Gi i :
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

+) G i  : x  y  2  0 là phân giác trong c a góc A . G i D là đi m đ i x ng c a H qua  , khi đó

D  AC
HD đi qua H (1; 1) và vuông góc v i  nên có ph

ng trình : x  y  2  0 .

x  y  2  0
 x  2
Khi đó t a đ giao đi m I c a HD và  là nghi m c a h : 

 I (2;0)
x  y  2  0
y  0
Do I là trung đi m c a HD  D(3;1)
+) Khi đó AC đi qua D(3;1) và vuông góc v i đ
3x  4 y  13  0
Suy ra t a đ đi m A là nghi m c a h

ng th ng 4 x  3 y  1  0 nên AC có ph

ng trình :

3x  4 y  13  0
x  5

 A(5;7)

x  y  2  0
y  7

+) CH đi qua H (1; 1) và nh n HA (6;8)  2(3; 4) làm vecto pháp tuy n nên CH có ph
3( x  1)  4( y  1)  0  3x  4 y  7  0

ng trình :

10

x

3x  4 y  7  0

 10 3 
3
V y t a đ đi m C là nghi m c a h : 

 C ;  .
 3 4
3x  4 y  13  0
y  3

4
Bài 3. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC cân t i A và M là trung đi m c a AB .

ng

 2 7
ng trình y  3  0 và K   ;  là tr ng tâm c a tam giác ACM . Tìm t a đ các
 3 3
đ nh c a tam giác ABC , bi t đ ng cao xu t t đ nh A c a tam giác ABC có ph ng trình

x y 2  0 .

th ng CM có ph

Gi i :
+) G i G là tr ng tâm c a tam giác ABC .
Do ABC cân t i A nên t a đ đi m G là nghi m c a h :
y3  0
 x  1

 G(1;3)

x  y  2  0
y  3
 2 7
+) G i MK đi qua K   ;  và vuông góc v i AG : x  y  2  0 nên
 3 3
có ph ng trình: x  y  3  0 .

Khi đó t a đ đi m M là nghi m c a h :
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

x  y  3  0
x  0

 M (0;3)

y3  0
y  3
+) Do G là tr ng tâm c a tam giác ABC nên ta có:
 xC  0  3(1  0)
 xC  3

 C (3;3)
MC  3MG  
 yC  3  3(3  3)
 yC  3

 xA  3xK  ( xC  xM )  2  (3  0)  1
 A(1;1)
+) Do K là tr ng tâm tam giác ACM nên: 
 yA  3 yK  ( yC  yM )  7  (3  3)  1
Vì M là trung đi m c a AB nên suy ra B(1;5)
V y A(1;1), B( 1;5), C( 3;3) .
Bài 4. Trong m t ph ng t a đ Oxy . Tìm t a đ các đ nh c a tam giác ABC bi t tr c tâm H (1;0) , chân
đ

ng cao h t đ nh B là K (0; 2) , trung đi m c nh AB là đi m M (3;1) .

Gi i:

+) Ta có AC đi qua K (0; 2) và vuông góc v i HK nên

A

nh n KH  (1; 2) làm vecto pháp tuy n. Do đó AC có
ph

ng trình : x  2( y  2)  0  x  2 y  4  0

+) BK đi qua H (1;0) nh n nKH  (2;1) làm vecto pháp
tuy n nên có ph

ng trình: 2( x  1)  y  0  2 x  y  2  0

K

M

H

B

C

 A(2a  4; a )  AC
+) G i 
, khi đó M (3;1) là trung đi m c a AB nên ta có:
 B(b; 2  2b)  BK

 xA  xB  2 xM
 2a  4  b  6
2a  b  10 a  4  A(4; 4)





a  2  2b  2 a  2b  0
b  2  B(2; 2)
 yA  yB  2 yM
+) Ta có BC đi qua B(2; 2) nh n HA (4;3) làm vecto pháp tuy n nên có ph
4( x  2)  3( y  2)  0  4 x  3 y  2  0

ng trình:

8

 x   11
x  2 y  4  0
 8 18 

 C ; 
Khi đó t a đ đi m C là nghi m c a h : 
 11 11 
4 x  3 y  2  0
 y  18

11

 8 18 
V y A(4;4), B(2; 2), C   ;  .
 11 11 

Bài 5. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có ph
đ

ng cao AH l n l

t có ph

ng trình đ

ng trung tuy n BN và

ng trình 3x  5 y  1  0 và 8x  y  5  0 . Xác đ nh t a đ các đ nh c a

3

tam giác ABC , bi t M  1;   là trung đi m c a c nh BC .
2

Gi i:
3

+) BC đi qua M  1;   và vuông góc v i AH nên nh n u AH  (1;8) làm vecto ch ph
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng.

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hình h c Oxy

3

ng trình: x  1  8  y    0  x  8 y  13  0
2

+) Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h :
 x  8 y  13  0
x  3

 B(3; 2)

3x  5 y  1  0
 y  2

Do đó BC có ph

+) Do M là trung đi m c a BC nên suy ra C (5; 1)
 a 5

+) G i A(a ;8a  5)  AH  N 
; 4a  3  : là trung đi m c a AC .
 2

a 5
Ta có N  BN  3.
 5.(4a  3)  1  0  a  1  A(1;3)
2

V y A(1;3), B(3; 2), C( 5; 1) .
Bài 6 ( D – 2012 – CB). Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho hình ch nh t ABCD. Các đ
AD l n l

t có ph

ng trình là x  3 y  0 và x  y  4  0 ; đ

ng th ng AC và

 1 
ng th ng BD đi qua đi m M   ;1 . Tìm
 3 

t a đ các đ nh c a hình ch nh t ABCD.
Gi i:

 x  3

x  3y  0

 A(3;1)
Vì  A  AC  AD nên xét h : 
y 1
x  y  4  0
1
Ph ng trình c a d ' đi qua M song song AD có d ng: x   ( y  1)  0  3x  3 y  4  0
3
 x  1
x  3y  0

 1

 N  1; 
G i  N  d ' AC nên ta xét h : 
1
y
 3
3x  3 y  4  0

3

G i d là đ ng trung tr c c a AD
c t MN, AC, AD l n l t t i H , I , J
 5 5
t là trung đi m MN, AC, AD  H   ; 
 4 4
Suy ra ph ng trình đ ng th ng d :
5 

5

 x   y   0  x y  0
4 
4


 H, I, J l n l

x  y  0
x  0

 I  0;0   C (3; 1) ( I là trung đi m c a
Ta có: I   d  AC nên ta xét h : 
x  3y  0
y  0
AC )
x  y  0
 x  2

 J  2; 2   D(1;3) ( J là trung đi m c a
và  J   d  AD nên ta xét h : 
x  y  4  0
y  2
AD )
 B(1; 3) ( I là trung đi m c a BD )

V y A(3;1), B(1; 3), C (3; 1), D(1;3) .
Bài 7. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có đ nh A(2;3) .
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng cao CH n m trên
- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

đ

ng th ng 2 x  y  7  0 và đ

ng trung tuy n BM n m trên đ

Hình h c Oxy

ng th ng 2 x  y  1  0 . Tìm t a đ

các đ nh còn l i c a tam giác ABC .
Gi i:
+) AB đi qua A(2;3) và vuông góc v i CH nên nh n uCH  (1; 2) làm vecto pháp tuy n.
Do đó AB có ph

ng trình : x  2  2( y  3)  0  x  2 y  8  0
+) Khi đó t a đ đi m B là nghi m c a h :
x  2 y  8  0

x  2

 B(2;5)

2 x  y  1  0
y  5
+) G i C (t;7  2t )  CH . Do M là trung đi m c a
t 2

AC nên suy ra M 
;5  t 
 2

t 2
+) M t khác M  BM  2.
 (5  t )  1  0  2t  6  0  t  3  C (3;1)
2
V y B(2;5), C(3;1) .

Bài 8. Trong m t ph ng t a đ Oxy , cho tam giác ABC có di n tích b ng 24 và ph
đ

ng trung tuy n k t các đ nh A, B, C l n l

ng trình các

t là 1 : x  y  2  0 , 2 : 5x  y  2  0 ,

3 : x  3 y  10  0 . Tìm t a đ A, B, C .

Gi i:

x  y  2  0
x  1

 G(1;3)
+) T a đ tr ng tâm G c a tam giác ABC là nghi m c a h : 
5 x  y  2  0
y  3

B  2
 B(b;5b  2)
 b  3c  10 5b  c  2 
;

M
+) Vì 
 : là trung đi m c a BC
2
2


C  3 C (10  3c; c)
b  3c  10 5b  c  2
Ta có M  1 

 2  0  bc  4  c  4b
2
2
 B(b;5b  2)


 BC  (2b  2;6  6b)  (2b  2)(1; 3) (v i b  1 )  nBC  (3;1)
C (3b  2; 4  b)
Khi đó BC đi qua B(b;5b  2) và có vecto pháp tuy n nBC  (3;1) nên BC có ph

ng trình:

3( x  b)  ( y  5b  2)  0  3x  y  2  8b  0

1
+) Ta có SABC  3SGBC  24  3. .d (G, BC ).BC  d (G, BC ).BC  16
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)



3  3  2  8b
10

Hình h c Oxy

b  0
. (2b  2)2  (6b  6)2  16  (b  1)2  1  
b  2

 B(0; 2)
 A(5;7) (do G(1;3) là tr ng tâm tam giác ABC )
V i b0
C (2; 4)
 B(2;8)
 A(3; 1) (do G(1;3) là tr ng tâm tam giác ABC )
V i b2
C (4; 2)
V y A(5;7), B(0; 2), C( 2;4) ho c A(3; 1), B(2;8), C(4;2) .

Giáo viên
Ngu n

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia

1, 2 tháng.

-