CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM THẦY NGUYỄN THANH TÙNG

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

NGUYÊN HÀM – CÁC PH

Nguyên hàm – Tích phân

NG PHÁP TÌM

ÁP ÁN BÀI T P T LUYÊN
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG
ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Nguyên hàm – các ph ng pháp tính nguyên hàm thu c khóa
h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m
v ng ki n th c ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

( x  2)2
Bài 1. Tính các nguyên hàm sau: 1) I1  
dx
x
Gi i
1) I1  

2) I 2   (2 x  5)2015 dx

( x  2)2
dx
x

1
 

 12
x 4 x  4
4 

2
dx    x  4 
+) Cách 1: I1  
 dx    x  4  4.x  dx
x
x



3
2

1
2

4.x
2x x
x
 4x 
C 
 4x  8 x  C
3
1
3
2
2

dx
dx
+) Cách 2: Do d ( x  2)  ( x  2) '.dx 

 2d ( x  2) nên ta có:
x
2 x
2
dx
I1   ( x  2)2 .
  ( x  2)2 .2d ( x  2)  2 ( x  2) 2 .d ( x  2)  ( x  2)3  C
3
x


2) I 2   (2 x  5)

2015

1
(2 x  5)2016
2015
dx   (2 x  5) d (2 x  5) 
C
2
4032

Bài 2. Tính các nguyên hàm sau: 1) I1   sin x.(1  cos3x  sin x)dx

2) I 2   1  sin 3x .dx

2

Gi i
1
1  cos 2 x 

1) I1    sin x  sin x cos 3x  sin 2 xdx   sin x   sin 4 x  sin 2 x 
 dx
2
2

1
1
1
1
1
1
1
1

   sin x  sin 4 x  sin 2 x  cos 2 x   dx   cos x  cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x  x  C
2
2
2
2
8
4
4
2


1  cos 6 x 
2

2) I 2   1  sin 3x .dx   1  2sin 3x  sin 2 3x.dx   1  2sin 3x 
 dx
2


1
3
2
1
3

    2sin 3x  cos 6 x  dx  x  cos 3x  sin 6 x  C
2
2
3
12
2


Bài 3. Tính các nguyên hàm sau:
2) I 2  

1) I1   tan 3 xdx

(cos 2 x  2sin x)(cos 2 x  2sin x)
dx
cos 2 2 x  cos3 2 x

Gi i

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

 tan x

1) I1   tan 3 xdx   1  tan 2 x tan x  tan x dx   
 tan x  dx
2
 cos x




tan x
sin x
d cos x tan 2 x

tan
tan
dx

dx

xd
x

 cos x 
 cos x  2  ln cos x  C
cos2 x

2) I 2  



(cos 2 x  2sin x)(cos 2 x  2sin x)
cos 2 2 x  4sin 2 x
dx

 cos2 2 x.(1  cos 2 x) dx
cos 2 2 x  cos3 2 x

cos2 2 x  4sin 2 x
1  1
4 
1
1
dx

dx
dx    2 
  cot x  tan 2 x  C
 dx   2  2
2
2
2
2
2cos 2 x.sin x
2  sin x cos 2 x 
2 sin x
cos 2 x
2

Bài 4. Tính các nguyên hàm sau:
1) I1  



1
2x  3
2) I 2    2
dx
 2

2
 4 x  4 x  1 ( x  2 x)( x  4 x  3) 

ln(ln x)
dx

x ln x

Gi i

ln(ln x) dx
ln 2 (ln x)
d ln x
.   ln(ln x).
  ln(ln x).d ln(ln x) 
C
ln x x
ln x
2


1
2x  3
dx
2x  3
dx   2
dx  I  J
 2
 2
2) I 2    2

2
4x  4x 1
( x  2 x)( x2  4 x  3)
 4 x  4 x  1 ( x  2 x)( x  4 x  3) 

1) I1  

+) Tính I  

dx
dx
1 d (2 x  1)
1

 

 C1
2
2
4x  4x 1
(2 x  1)
2 (2 x  1)
2(2 x  1)

+) Tính J  

2x  3
2x  3
2x  3
dx  
dx   2
dx
2
( x  2 x)( x  4 x  3)
( x  3x)( x2  3x  2)

x( x  2)( x  1)( x  3)

2

2

1 ( x2  3x  2)  ( x2  3x)
1  1
1

 
 2
.(2 x  3)dx    2
(2 x  3)dx
2
2
2 ( x  3x)( x  3x  2)
2  x  3x x  3x  2 
2
1  2x  3
2x  3
d ( x2  3x  2)  1
x2  3x
 1  d ( x  3x)
ln
  2
 2

 C2
dx   2

dx     2

2  x  3x
x  3x  2  2  x  3x
x  3x  2  2 x2  3x  2

Suy ra I 2  

1
1
1
1
x2  3x
x2  3x
 C1  ln 2
 C2  
 ln 2
C
2(2 x  1)
2 x  3x  2
2(2 x  1) 2 x  3x  2

Bài 5. Tính các nguyên hàm sau:
dx
dx
1) I1  
2) I 2  
1  sin x
1  cos x
dx

dx
4) I 4  
5) I 5  


2  sin x  cos x
sin x sin  x  
6


x
3) I 3   sin 4 .sin xdx
2

6)

I 6   (1  2sin 2 x)(sin 6 x  cos6 x)dx

Gi i

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

1)

2)

3)
4)

5)

Nguyên hàm – Tích phân

x 
d  
dx
dx
dx
2 4
x 
I1  


 
  cot     C
2
1  sin x
x 
x 
2 4

x
x

2sin 2   
sin 2   
 sin  cos 
2 4
2 4
2
2

1
1
1
( ho c bi n đ i
)




1  sin x

2 x
1  cos  x   2sin   
2

2 4
x
d
dx

dx
2  tan x  C
I2  


x
x
1  cos x
2
2 cos 2
cos 2
2
2
x
x
x
x
x 2
x
I 3   sin 4 .sin xdx  2 sin 5 .cos dx  4 sin 5 .d sin  sin 6  C
2
2
2
2
2 3
2
1
dx
dx
dx



I4  



2  sin x  cos x
2 1  cos  x   
2  2 cos  x  


4
4


x 
d  
1
dx
1
 2 8    1 cot  x     C






2 2 sin 2  x   
2 sin 2  x   
2

2 8




2 8
2 8
2dx
dx
dx

 2 2
I5  
 3

1
sin x. 3 sin x  cos x
sin x. 3  cot x
sin x. 
sin x  cos x 
2
 2




 2

d





3  cot x
3  cot x



   2 ln







3  cot x  C

6) I 6   (1  2sin 2 x)(sin 6 x  cos6 x)dx
1  2sin 2 x  cos 2 x

Ta có:  6
3 2
6
2
2
3
2
2

2
2
sin x  cos x  (sin x  cos x)  3sin x.cos x(sin x  cos x)  1  sin 2 x
4

1  3
1
1
 3



Khi đó I 6   cos 2 x. 1  sin 2 2 x  dx   1  sin 2 2 x  d sin 2 x   sin 2 x  sin 3 2 x   C
2  4
2
4
 4




Bài 6. Tính các nguyên hàm sau:
x 7
x 1
1 

1) I1    2
 2
 2
 dx

 2 x  3x  2 x  2 x  1 x  9 
 x4  3x2  x  x  1  x2e2 x

2) I 2   
 sin 3x  sin 2 x  tan 2 x  2cot 2 x  dx
2
x


Gi i


x 7
x 1
1
x 7
x 1
1 



1) I1    2
 2
 2
 dx   
 dx
2
 2 x  3x  2 x  2 x  1 x  9 
 (2 x  1)( x  2) ( x  1) ( x  3)( x  3) 
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân


x 7
3( x  2)  (2 x  1)
3
1




(2 x  1)( x  2)
2x 1 x  2
 (2 x  1)( x  2)
 x 1
x 1 2
1
2
+) Ta có 




2
2
x  1 ( x  1) 2
( x  1)
 ( x  1)

1
1 ( x  3)  ( x  3) 1  1
1 
 .
 



6  x3 x3
 ( x  3)( x  3) 6 ( x  3)( x  3)
 3
1
1
2
1 1
1 
+) Khi đó I1   



 


 dx
2
 2 x  1 x  2 x  1 ( x  1) 6  x  3 x  3  
3
2
1 x3
 ln 2 x  1  ln x  2  ln x  1 
 ln
C
x 1 6 x  3
2
Nh n xét: Vi c tách đ c x  7  3( x  2)  (2 x 1) ta đã tr i qua công đo n làm ra nháp nh sau :
a  2b  1
a  3
Ta bi u di n x  7  a ( x  2)  b(2 x 1)  x  7  (a  2b) x  2a  b . Khi đó 

 2a  b  7
b  1
Các b n s tìm hi u k l p nguyên hàm h u t trong ph n tích phân s đ c đ c p ph n sau.
 x4  3x2  x  x  1  x2e2 x

2
2
2
2) I 2   





x
x
x
x
sin
3
sin
tan
2cot
 dx
x2




1
1
1
1  cos 2 x
1
 1

   x2  3  
 2  e2 x  sin 3x 

 1  2  2  1  dx
2
x x x x
2
cos x

 sin x  



1 3 1
5
1
1
2 
   x2   x 2  2  e2 x   sin 3x  cos 2 x 
 2  dx
2
x
x
2
2
cos x sin x 




2 1 1 2x 5
1
1
x3
 ln x 
  e  x  cos3x  sin 2 x  tan x  2cot x  C
3
2
3

4
x x 2





 x2  x  1
ex 

2) I 2    3
 dx
2
2e x  1 
 x x

2

Bài 7. Tính các h nguyên hàm sau: 1) I1   x  3 x dx
Gi i:





2





4

2

1) I1   x  3 x dx   x2  2 x. 3 x  3 x2 dx   x2 dx  2 x 3 dx   x 3 dx
7
3

5
3

x
x
x
x3 6 x2 . 3 x 3x. 3 x2
  2.   C  

C
7
5
3
3
7
5
3
3
3

 x2  x  1

 x2  x  1
ex 
ex 
1 
ex
 1
I
dx


dx
dx
dx





2) 2   3


 x2 ( x  1) 2e x  1
2
x
2 
x



2

1
x
x
e


1
2
1
x
x
e










Hocmai.vn – Ngôi tr

dx
dx 1 d (2e x  1)
1 1
 2  
 ln x  1   ln(2e x  1)  C
x

x 1
x 2
2e  1
x 2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Bài 8. Tìm a đ hàm s F ( x) 

Nguyên hàm – Tích phân

ax  a 2  3
là m t nguyên hàm c a hàm s
x 2
Gi i:

f ( x) 

6
( x  2)2

 ax  a 2  3 

a 2  2a  3

+) V i x  2 ta có: F '( x) = 
=

( x  2) 2
 x 2 
a 2  2a  3
6

+) F ( x) là m t nguyên hàm c a f ( x) khi : F '( x)  f ( x)  
, x  2
2
( x  2)
( x  2) 2
a  1
 a 2  2a  3  6  a 2  2 a  3  0  
 a  3
V y v i a  1 ho c a  3 thì F ( x) là m t nguyên hàm c a f ( x) .
Bài 9. Tìm m, n, p sao cho F ( x)  (mx2  nx  p) 2 x  1 là m t nguyên hàm c a hàm s

15 x2  3x  1
1

f ( x) 
trong kho ng  ;   .
2x 1
2

Gi i:

mx2  nx  p
1

+) V i x   ;   ta có: F '( x)  (2mx  n) 2 x  1 
2x 1
2

2
(2mx  n)(2 x  1)  mx  nx  p 5mx2  (3n  2m) x  p  n


2x 1
2x 1
1

+) F ( x) là m t nguyên hàm c a f ( x) khi : F '( x)  f ( x) v i x   ;  
2

2
5mx  (3n  2m) x  p  n 15 x2  3x  1
1



, x   ;  
2x 1
2x 1
2

5m  15

m  3


 3n  2m  3  n  1
p  n 1
p  2


Bài 10. Tìm m t nguyên hàm F ( x) c a hàm s

f ( x) th a mãn đi u ki n cho tr
2

2) f ( x)  x.e x

1) f ( x)  8x3  3x2  2 x  5 và F (1)  2
3) f ( x) 

x
và F (0)  2
x 1

1

c:

và F (0) 

3e
2

4) f ( x)  e x  e x  2 v i F (2)  2e

Gi i:
1) Ta có: F ( x)   (8x  3x  2 x  5)dx  2 x4  x3  x2  5x  C
3

2

i u ki n F (1)  2  2  1 1  5  C  2  C  5 .
V y F ( x)  2 x4  x3  x2  5x  5

2
1
e x 1
dx   e x 1d ( x2  1) 
C
2
2
2

2) Ta có: F ( x)   x.e

x2 1

e x 1
3e
3e
e
e

i u ki n F (0)    C   C  e .V y F ( x) 
2
2
2
2
x
x  1 1
1 

dx  
dx    x  1 
3) Ta có: F ( x)  
 dx
x 1
x 1
x 1 

2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1
1
 

2( x  1) x  1
  ( x  1) 2  ( x  1) 2  dx 
 2 x 1  C
3


2
10
i u ki n F (0)  2   2  C  2  C 
3
3
2( x 1) x 1
10
V y F ( x) 
 2 x 1 
3
3

2

4) Ta có: F ( x)   e  e  2dx  
x

x

2

x x
 2x   2x 
2
e
e
2
e
.e 2 dx


  

  

2

x
x
x
 x

 x

 x

   e 2  e 2  dx    e 2  e 2  dx  2  e 2  e 2   C







x
x

 2
2
i u ki n F (2)  2e  2  e  e1   C  2e  C  2e1  . V y F ( x)  2  e 2  e 2  
e

 e

  
 sin 2 x . Nguyên hàm F ( x) c a f ( x) th a mãn F (0)  1 và F    .

4 8
Xác đ nh m . Khi đó hãy tìm F ( x) .
Gi i:
 4m

 4m 1  cos 2 x 
 4m 1 1

+) Ta có: F ( x)   
 sin 2 x dx   


  cos 2 x dx
dx   
2
2 2
 

 

 

1
 4m 1 

  x  sin 2 x  C
2
4
 
 F (0)  1
C  1
C  1
C  1




+) V i        4m 1   1

 
1
3

m  C  0
m 
F  4   8
   2  . 4  4  C  8




4
4

  

3
1
 3 1 
V y m   và F ( x)     x  sin 2 x  1
4
4
  2

Bài 11. Cho f ( x) 

4m

(a  b)sin 2 x  b
v i a , b là các s th c.
sin 2 2 x
 
  1

 
Tìm nguyên hàm F ( x) c a hàm s f ( x) bi t F    0 ; F    và F    1
3
6
4 2
Gi i:
2
(a  b)sin x  b
a sin 2 x  b cos 2 x
dx

+) Ta có: F ( x)  
 4sin 2 x cos2 x dx
sin 2 2 x
1  a
b  1
 
 2    a tan x  b cot x  C
2
4  cos x sin x  4
Bài 12. Cho hàm s

+)

f ( x) 

1  a 3

  
b

3


F
0


 6
  C  0
4  3





 3a  3 3b  12C  0
a  b  3

   1

1
a  b

C 
 a  b  4C  2

i u ki n  F     
1
2
 4 2

 4

C 
2

3 3a  3b  12C  12
  
1 
b 3
F    1
  3a 
 C 1
3 
 3
 4 
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

V y F ( x) 

Nguyên hàm – Tích phân

3
1
.  tan x  cot x 
4
2

Bài 13 ( HQGHN – 96). Tìm m t nguyên hàm F ( x) c a hàm s

f ( x)  2sin 5 x  x 

sao cho đ th F ( x) c t f ( x) t i m t đi m thu c Oy .
Gi i:

3
5

3
2
2
3

+) Ta có: F ( x)    2sin 5 x  x  dx   cos 5 x  x x  x  C
5
5
3
5

3
2

3
 3
+) Giao đi m c a f ( x) và tr c Oy là đi m A 0;  nên F (0)     C   C  1
5
5
5
 5
2
2
3
+) V y F ( x)   cos 5 x  x x  x  1
5
3
5
Giáo viên
: Nguy n Thanh Tùng
Ngu n
:
Hocmai.vn

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N






Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa
(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-