CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH PHÂN

Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

PH

Nguyên hàm – Tích phân

NG PHÁP GI I BÀI TOÁN TÍCH PHÂN
TÀI LI U BÀI GI NG
Giáo viên: NGUY N THANH TÙNG

ây là tài li u tóm l c các ki n th c đi kèm v i bài gi ng Ph ng pháp gi i bài toán tích phân thu c khóa h c Luy n
thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguy n Thanh Tùng) t i website Hocmai.vn.
có th n m v ng ki n th c
ph n này, b n c n k t h p xem tài li u cùng v i bài gi ng này.

Bài 1: Tính các tích phân sau:
4
1
1) I1  
dx
0 3x  1  6 x  1
Gi i:

1

2) I 2  
0

x3  1  x
dx

x3

64

3) I 3 



dx
3

1

x 2 x
2

tdt

2tdt  6dx  dx 


3
1) +) t t  6 x  1  t 2  6 x  1  
; i c n x  0  t  1 và x  4  t  5
2
3x  t  1

2
5
5

5
5
2  1
1 
tdt
tdt
1
2
2 t  1 1
dt

+) Khi đó I1   2
 
 
dt   
2
2
3 1  t  1 (t  1)2 
3 1 t 1
3 1 (t  1)
3 1 (t  1)
1 t
2
5
2
1 
2
1
2 2
  ln t  1 

   ln 3      ln 3
3
t 1  1 3 
3
9 3
2 2
+) V y I1    ln 3
9 3
1 3
1
1
x  1 x
x3
1 x
dx  
dx  
dx  A B
2) I 2  
x3
x3
x3
0
0
0
1

1
 x3 3 2

27 

47
4
x3  27  27

dx    x2  3x  9 
dx

 27 ln
+) Tính A  
  x  9 x  27 ln x  3  

3
x3
x3
 3 2
0 6
0
0
1

1

+) Tính B  
0

1 x
dx
x3

t t  1  x  t 2  1  x  2tdt  dx  dx  2tdt ; i c n x  0  t  1 và x  1  t  0

0
1
1


4
t
t2
Khi đó B  
.(
2
)
2
2
1





tdt
dt

dt
2
2


1



3

4
(

2)(

2)
t
t
t
t


1
0
0
1

1
1 
t 2 


 2 1 

 2  2ln 3
dt  2  t  ln
t 2 t 2

t  2  0

0
47
4
59
59
Suy ra I 2 
 27 ln   2  2ln 3 
 54ln 2  25ln 3 . V y I 2 
 54ln 2  25ln 3
6
3
6
6
5

6t dt  dx
; i c n x  1  t  1 và x  64  t  2
3) +) t t  6 x  t 6  x  
3 2
3
4


x
t
;
x
t



1

2

2
2
 t2

6t 5 dt
t2
4 
4

+) Khi đó I 3   4
6
6
2
6
dt
t
dt





  2t  4ln t  2   3  24ln



3


t  2t
t2
t2
3
2
1
1
1
1
2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)


Nguyên hàm – Tích phân





bài 1 là I   f g ( x), n g ( x) .g '( x)dx . ây chính là

Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân



d ng tích phân đ u tiên – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ
1
2

Bài 2: Tính các tích phân sau:

1
2

2) I 2  

1) I1   x4 1  4 x2 dx
0

1) +)

c tìm hi u chi ti t

0

bài h c sau.

1 x
dx
1 x

Gi i:
1

1
dx  2 cos tdt
  
t x  sin t v i t    ;   
2
 2 2
 1  4 x2  1  sin 2 t  cos t  cos t

i c n x  0  t  0 và x 

1

t 
2
2




4



1
1
1 2 2
1

4
2
+) Khi đó I1    sin t  .cos t. cos tdt 

sin
t
cos
tdt
sin t.sin 2 2tdt


2
2
32
128

0
0
0
2

2





1 2 1  cos 2t 1  cos 4t
1 2
cos 6t  cos 2t 


.
dt
1  cos 2t  cos 4t 
 dt


128 0
2
2
512 0 
2





1  1
1
1

1 2

cos 6t  cos 2t 
2




t
sin
4
t
sin
6
t
sin
2
t
1
cos
4



t
dt

 



512  4

12
4
512 0 
2
 0 1024

+) V y I1 


1024

dx  2sin 2tdt

 
2) +) t x  cos 2t v i t   0;    1  x
1  cos 2t
cos2 t cos t cos t




 2

1  sin 2t
sin 2 t
sin t
sin t
 1 x

1


i c n x  0  t  và x   t 
2
6
4

6

+) Khi đó I 2  





4
cos t
 2 3
.  2sin 2tdt   4  cos 2 tdt  2  (1  cos 2t )dt   2t  sin 2t  4  
sin t
6
2


6

4

+) V y I 2 



6





4

6

6

2 3
2


Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân





bài 2 là I   f x2 n , ax2  bx  c dx . ây chính là


d ng tích phân th hai – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ

c tìm hi u chi ti t

2

Bài 3: Tính các tích phân sau:

1) I1 

1  sin 3 x
dx

x
2
4

16

2) I 2 

5

4

e

 ( x  1)

5

3

bài h c sau.

x1
x1

x2  1

dx

Gi i:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

2

1) I1 

1  sin 3 x
dx


x
2
4

16

+)

i c n x

t t  x  t 2  x  2tdt  dx ;


2
16

t 


4

và x 

2
4

t 


2




2
1  sin t

.2tdt  2  (1  sin t )dt  2(t  cos t ) 2   2
t
2


4
2

+) Khi đó I1  
+) V y I1 


2) I 2 

5
4


2

4

 2

e

 ( x  1)

x1
x1

x2  1

5

3

+)

4

dx

2
x 1
x 1
dx
dx 
 t2 
 2tdt 
 tdt
2
( x  1)

( x  1) 2
x 1
x 1
5
5
i c n x    t  2 và x    t  3
3
4
t t



5
4

x1
x1



5
4

x1
x1

3

3

3
dx
et
+) Khi đó I 2  
dx  
.


.tdt    et dt   et  e 2  e3
2

2
2
t
x  1 ( x  1)
x 1
5
5
2
2
 ( x  1) 2 .
 
3
3
x 1
( x  1)

e

e

+) V y I 2  e2  e3


bài 3 là I   f (sin u, cos u ).u 'dx (v i I1 )

Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân





và I   f (eu ).u 'dx (v i I 2 ) trong đó u  ax  b (a  0) . ây chính là d ng tích phân th t – m t trong


10 d ng tích phân mà các b n s đ

c tìm hi u chi ti t

các bài h c sau.

1

ln10

dx
1) I1  
1  e2 x
0

Bài 4: Tính các tích phân sau:

2) I 2 


0

e xdx
3  3 2  ex

Gi i:
1

dx
1  e2 x
0

1) I1  
+)

t t  e2 x  dt  2e2 xdx  e2 xdx 

dt
2

e2

;

i c n x  0  t  1 và x  1  t  e2

e2

e2

e dx
1
dt
1 1 1 
1
t
1
2e2
+) Khi đó I1   2 x


 ln
 
 dt  ln
e (1  e2 x ) 2 1 t (1  t ) 2 1  t t  1 
2 t  1 1 2 e2  1
0
1

ln10

2) I 2 


0

+)

2x

e xdx
3  3 2  ex

t t  3 2  e x  t 3  2  e x  3t 2 dt  exdx  exdx  3t 2 dt
i c n x  0  t  1 và x  ln10  t  2
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
2

+) Khi đó I 2 


1

+) V y I 2  

Nguyên hàm – Tích phân

1

1
 t2

3t 2 dt
9 
63

 3 t  3 

3
dt
  3t  9ln t  3     54ln 2

3t
2
t 3
2
 2
2 

63
 54ln 2
2


bài 4 là I   f (e x )dx . ây chính là d ng tích phân th

Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân



n m – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ
e

1) I1  

Bài 5: Tính các tích phân sau:

1



c tìm hi u chi ti t

1  ln x

x 2  ln x



các bài h c sau.

2) I 2 

dx

e


1

lg x
x 1  ln 2 x

dx

Gi i:
e

1) I1  
1

+)



1  ln x

x 2  ln x



dx

t t  ln x  t 2  ln x  2tdt 

dx

x

i c n x  1  t  0 và x  e  t  1

;

+) Khi đó

2) I 2 

e


1

lg x
x 1  ln 2 x

dx 

1
ln10

e

ln x



x 1  ln 2 x

1

+)

t t  1  ln 2 x  t 2  1  ln 2 x  2tdt 

+)

i c n x  1  t  1 và x  e  t 

1
+) Khi đó I 2 
ln10

3
2


1

1
tdt

ln10
t

dx
2ln x
ln x

dx 
dx  tdt
x
x

3
2

1

t
 dt  ln10
3
2

1


3
2

2 3
2 3
. V y I2 
2 ln10
2 ln10


Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân

bài 5 là I  


th sáu – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ

f (ln x)
dx . ây chính là d ng tích phân
x

c tìm hi u chi ti t

các bài h c sau.



4

dx
3
cos x.(sin x  2 cos x)
0

1) I1  

Bài 6: Tính các tích phân sau:

4

2) I 2  
0

dx



sin  x   cos x
3


Gi i:






4
dx
dx
1  tan 2 x dx
1) I1  


.
cos3 x.(sin x  2cos x) 0 cos 4 x.(tan x  2) 0 tan x  2 cos 2 x
0
4

Hocmai.vn – Ngôi tr

4

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+)

t t  1  tan x  dt 

dx
;
cos2 x

i c n x  0  t  1 và x 


4

Nguyên hàm – Tích phân

t 2

2

2
 t2

1  (t  1)2
2
1

+) Khi đó I1  
dt    t  2  dt    2t  2ln t     2ln 2
2
t
t
2
1
1
1
2

1
+) V y I1    2ln 2
2






4

4

4

2) I 2  

dx



sin  x   cos x
3


dx






4
dx
2dx
2
. 2

sin x  3 cos x
tan x  3 cos x
.cos 2 x 0

cos x

1

3
cos x  cos x 0
 sin x 
2
2

dx

t t  tan x  3  dt 
;
i c n x  0  t  3 và x   t  1  3
2
cos x
4
0

+)

+) Khi đó I 2 

1 3



3

+) V y I 2  2 ln

0

2dt
 2 ln t
t

1 3
3

 2 ln

3 3
3

3 3
3


Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân

bài 6 là I  


th b y – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ

f (tan x)
dx . ây chính là d ng tích phân
cos 2 x

c tìm hi u chi ti t

các bài h c sau.

Bài 7: Tính các tích phân sau:


2  x2  ( x  2)e x
dx
ex  x
0

1

2

5cos x
dx
sin x  2 cos x
0

1) I1  

I3 

3
2





2) I 2  

3)



2 sin  x    ( x  1) ln x  1
4

dx
sin x  x ln x

2

Gi i:








2
5cos x
2(sin x  2cos x)  (cos x  2sin x)
cos x  2sin x

1) I1  
dx  
dx  2  dx  
dx  A B
sin x  2cos x
sin x  2cos x
sin x  2cos x
0
0
0
0
2

2

2


2



+) Tính A  2  dx  2 x 02  
0



cos x  2sin x
dx
x

x
sin
2
cos

0
2

+) Tính B  

t t  sin x  2cos x  dt  (cos x  2sin x)dx ;
1

dt
 ln t
t
2

Khi đó B  

Hocmai.vn – Ngôi tr

1
2

i c n x  0  t  2 và x 


2

 t 1

  ln 2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

+) V y I1    ln 2


a sin x  b cos x
dx ta s tách thành hai tích phân b ng vi c dùng
sin
cos
c
x

d
x


Chú ý: Khi g p tích phân d ng I  
ph

ng

pháp đ ng nh t h s :
h( x) a sin x  b cos x
c sin x  d cos x
c cos x  d sin x

A
B
g ( x) c sin x  d cos x
c sin x  d cos x
c sin x  d cos x




c cos x  d sin x
dx  I1  I 2
 c sin x  d cos x

+) Khi đó: I  A dx  B


(v i I1 tính đ n gi n và đ t t  c sin x  d cos x đ gi i I 2 )
+ ) Ho c ta có th trình bày theo ph




ng pháp vi phân nh sau:





c cos x  d sin x
d (c sin x  d cos x)
  Ax
.  B ln c sin x  d cos x   ?
dx A dx  B

c sin x  d cos x
 c sin x  d cos x



I  A dx  B


x(e x  x)  2(e x  1)
2  x2  ( x  2)e x
2(e x  1)
dx
dx
xdx




0
0
0 e x  x dx  A B
ex  x
ex  x
0

1

1

2) I 2  

1

1

1

1

x2
1
+) Tính A   xdx 

2 0 2
0

2(e x  1)

dx
ex  x
0

1

+) Tính B  

t t  e x  x  dt  (e x  1)dx ;
Khi đó B 

e 1


1

+) V y I 2 

3) I 3 

3
2







2dt

 2ln t
t

e 1
1

i c n x  0  t  1 và x  1  t  e  1

 2ln(e  1)

1
 2ln( e 1)
2


3

2 sin  x    ( x  1) ln x  1
2
sin x  cos x  ( x  1) ln x  1
4

dx  
dx
sin x  x ln x
sin x  x ln x


2

2

3
2

3
2

3
2

2

2




sin x  x ln x  (cos x  ln x  1)
dx 
sin x  x ln x

2

+) Tính A 

3
2

3

2

 dx  x 



 dx  


cos x  ln x  1
dx  A B
sin x  x ln x



2

2

+) Tính B 

3
2




cos x  ln x  1
dx ;
sin x  x ln x

t t  sin x  x ln x  dt  (cos x  ln x  1)dx

2

i c n x


2

 t  1

Hocmai.vn – Ngôi tr


2

ln


2

và x 

3
3 3
 t  1
ln
2
2

2

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)
3 3
ln
2
2

1

dt
 ln t
t



Khi đó B 



1 ln
2 2

+) V y I 3    ln

1

1

3 3
ln
2
2





1 ln
2 2

 ln

1

Nguyên hàm – Tích phân

3 3
ln
2
2

1



2

ln



2

3 3
ln
2
2

1



2

ln



2
L u ý: *) Trong các ý Bài 7

tích phân B ta có th trình bày nhanh b ng ph



ng pháp vi phân:



2
d (sin x  2cos x)
cos x  2sin x
dx  
 ln sin x  2cos x
sin x  2cos x
sin x  2cos x
0
0
2

+) B  


2
0

  ln 2

1
2(e x  1)
d (e x  x)

dx
2

 2ln e x  x  2ln(e  1)
x
x

0
e x
e x
0
0

1

1

+) B  

+) B 

3
2




cos x  ln x  1
dx 
sin x  x ln x

2

3
2




d (sin x  x ln x)
 ln sin x  x ln x
sin x  x ln x

3
2



 ln

1

1

2

2



*) D ng t ng quát cho các tích phân

bài 7 là I  


kg ( x)  f ( g ( x)).g '( x)
dx .
g ( x)

phân th tám – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ

3 3
ln
2
2

c tìm hi u chi ti t



2

ln



2

ây chính là d ng tích
các bài h c sau.

Bài 8: Tính các tích phân sau:



2

1) I1   sin x sin 2 2 xdx
0

2

2) I 2  
0

sin 2 x
dx
2  1  3sin x

3)


2

I3  
0

sin 2 x
dx
2sin x  cos 2 x  3

Gi i:




2

2

0

0

1) I1   sin x sin 2 2 xdx  4  sin 3 x cos 2 xdx
+)

t t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ;

i x  0  t  1 và x 


2

t 0


2

0

1

1

0

+) Khi đó I1  4  (1  cos 2 x) cos 2 x sin xdx  4 (1  t 2 )t 2 (dt )  4 (t 2  t 4 )dt
0

1

 t3 t5 
8
8
. V y I1 
 4   
15
 3 5  0 15

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân


2

2) I 2  
0

sin 2 x
dx
2  1  3sin x

2tdt

2tdt  3cos xdx  cos xdx 


3
+) t t  1  3sin x  t 2  1  3sin x  
2
sin x  t  1

3


i c n x  0  t  1 và x   t  2
2


t 2 1
2 2.
2
2
2
2sin x
2tdt 4 t 3  t
4  2
6 
3
dt    t  2t  3 
.cos xdx  
.
 
+) Khi đó I 2  
 dt
t2
2t
3
9 1 t2
9 1
0 2  1  3sin x
1
2


4  t3
28 8 4
   t 2  3t  6ln t  2  
 ln

9 3
 1 27 3 3
+) V y I 2 

28 8 4
 ln
27 3 3


2

3) I 3  
0


2
sin 2 x
sin 2 x
dx  
dx
2sin x  cos 2 x  3
2sin x  1  2sin 2 x  3
0


2

 
0


2
sin 2 x
sin x
dx
cos xdx


2
2

2(sin x  sin x  2)
sin x  sin x  2
0

t t  sin x  dt  cos xdx ;

+)

i c n x  0  t  0 và x 


2

 t 1

+) Khi đó :

t
1 2(t  1)  (t  2)

1  2
1 
1
ln 2

I3   2
dt   
dt    
 dt    2ln t  2  ln t  1  
t t 2
3 0 (t  1)(t  2)
3 0  t  2 t 1 
3
3
0
0
1

+) V y I 3 

1

1

1

ln 2
3


Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân

bài 8 là I   sin m x cos n xdx (v i I1 ) ;




I   f (sin x).cos xdx (v i I 2 và I 3 ) .

ây chính là d ng tích phân th chín – m t trong 10 d ng tích



phân mà các b n s đ

c tìm hi u chi ti t

các bài h c sau.
sin x  cos x
dx
3  sin 2 x
0
2

Bài 9: Tính các tích phân sau:

1) I1  






cos  x    cos  3x  
4
4


dx
2) I 2  


0
2  sin  x  
4





4

Gi i:


sin x  cos x
dx

x
3
sin

2
0
2

1) I1  

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

+)

dt  (cos x  sin x)dx
;
t t  sin x  cos x  
2
x
t


sin
2

1


Nguyên hàm – Tích phân

i c n x  0  t  1 và x 

dt
dt
1  1
1 
1 t 2
  2
 

+) Khi đó I1  
dt   ln
2
t 4
3 1 t
4 1  t  2 t  2 
4 t2
1
1
1

+) V y I1 

1

1


2

 t 1

1

1
 ln 3
2
1

1
ln 3
2









cos  x    cos  3x  
2sin 2 x sin  x  
4
4

sin 2 x.(sin x  cos x)
4
4
4



2) I 2  
dx  
dx  2 
dx
1

2
sin
cos
x
x




0
0
0
2
 sin x  cos x
2  sin  x  
4
2


dt  (cos x  sin x)dx  (sin x  cos x)dx  dt
+) t t  sin x  cos x  
2
sin 2 x  t  1

i c n x  0  t  1 và x   t  2
4


4

2

2
 t2

t 2 1
3 
2 2

+) Khi đó I 2  2 


dt  2   t  2 
dt
2
  2t  3ln t  2   4 2  5  6ln

t2

2t
3
2
1
1
1 
2

+) V y I 2  4 2  5  6ln

2 2
3


bài 9 là I   f (sin x  cos x,sin x cos x).(cos x sin xdx

Nh n xét : D ng t ng quát cho các tích phân



ây chính là d ng tích phân th m
các bài h c sau.

i – m t trong 10 d ng tích phân mà các b n s đ
3

Bài 10: Tính các tích phân sau:

1) I1 

x.
6

1

3
2

dx

2) I 2  

x2  3

1

c tìm hi u chi ti t

x2  1
dx
x4  3x2  1

Gi i:
3

1) I1 

x.

x2  3

3



dx



3





dx

x2  3 1 x7 . 1  3
x2
x
6
1
dx

2tdt   3 dx  3   tdt

3
3

3

x
x
t t  1 2  t2  1 2  
2
x
x
 1  t 1

3
 x2
6

1

+)

dx

1

x7 .

i c n x  1  t  2 và x  3  t  2

 t 2 1 

3
2
3 
1

dx

. 3 
+) I1  
t
3 x
4
1
2
x . 1 2
x

Hocmai.vn – Ngôi tr

2

 1  1
.   tdt  
 3  27

ng chung c a h c trò Vi t

1  t 5 2t 3 



t
2
1
t

t
dt


 

27  5 3

2
2

4

2



2

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

2

46  7 2
405

- Trang | 9 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

3
2

2) I 2  
1

+)

3
2

x2  1
dx  
x4  3x2  1
1

t t  x

1 
3
3 
1
x2  1
1 2
2
2  1  2  dx
2
x

x dx   x 
dx  
4
2
1  1 2
1
x  3x  1
1 x2 
3

 x   1
x2
x2
x


1
1 

 dt  1  2  dx ;
x
 x 
5
6

Nguyên hàm – Tích phân

i c n x  1  t  0 và x 

5

6

3
5
t 
2
6

5
6

dt
1 (t  1)  (t  1)
1  1
1 
1 t 1
+) Khi đó I 2   2
 

dt   
dt  ln
t  1 2 0 (t  1)(t  1)
2 0  t 1 t  1 
2 t 1
0

5
6
0

1
  ln11
2

1
+) V y I 2   ln11
2
Bài 11: Tính các tích phân sau:
3

1) I1 

x

2

0

x8  x5
( x3  2)2
0
2

x
 2  2 1  x2

2) I 2  

dx

2

3) I 3  
0

x
dx
2 x  2 x

Gi i:
3

1) I1 

x
0

+)

x

2

 2  2 1  x2

dx

tdt  xdx
;
t t  1  x2  t 2  1  x2   2 2

 x  t 1

i c n x  0  t  1 và x  3  t  2

2
2
2
 1
tdt
tdt
t  1 1
1 
+) Khi đó I1   2
dt   
dx



2
2
(t  1)
t  1  2  2t 1 (t  1)
t  1 (t  1) 2 
1
1
1 
2

2

1 
1
3

  ln t  1 
    ln
t 1  1
6
2

1
3
+) V y I1    ln
6
2

x8  x5
( x3  2)2
0
2

2) I 2  
+)

t t  x3  2  dt  3x2 dx  x2 dx 
2

+) Khi đó I 2  
0

dt
;
3

i c n x  0  t  2 và x  2  t  10

x3 ( x3  1) 2
(t  2)(t  1) dt 1 t 2  3t  2
1  3 2

x
dx
dt   1   2  dt
.
.  
3
2
2
2

t
t
( x  2)
3 32
3 2 t t 
2
10

10

10

10

1
2
44
  t  3ln t   
 ln 5
3
t  2 15
+) V y I 2 
2

3) I 3  
0

+)

44
 ln 5
15

x
dx
2 x  2 x

t t  2  x  2  x  t 2  4  2 4  x2  (t 2  4)2  4(4  x2 )

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 10 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

 4t (t 2  4)dt  8 xdx  xdx  

Nguyên hàm – Tích phân

t (t 2  4)
dt
2

i c n x  0  t  2 2 và x  2  t  2
2 2



+) Khi đó I 3 

2

+) V y I 3 

1 t (t 2  4)
1
.
dt 
2
2
t

2 2


2

2 2


1  t3
(t  4)dt    4t 
2 3
2
2



84 2
3

84 2
3
1

Bài 12: Tính các tích phân sau: 1) I1  



x2  1 x  1  x2  1

0

(1  ln x) ln x
dx
(1  x  ln x)3
1
e

dx



2) I 2  

Gi i:
1

1) I1  
0

+)



dx

x2  1 x  1  x2  1




x 
x  x2  1
t 1
dx
dx 
dx 

t t  x  1  x2  1  dt  1 

2
2
2
1
1
1
x
x
x







dx
x 1
2



dt
t 1

i c n x  0  t  2 và x  1  t  2  2
2 2



+) Khi đó I1 

2

dt

t (t  1)

2 2


2

t 1

 1 1
 dt  ln

t
 t 1 t 

2 2

2

1
 ln 2
2

1
+) V y I1  ln 2
2

(1  ln x) ln x
dx
(1  x  ln x)3
1
e

2) I 2  

1  ln x ln x
. 2
(1  ln x) ln x
x

x dx
dx  
+) Ta có: I 2  
3
3
(1  x  ln x)

1
1  1  ln x
1



 x

1  ln x
ln x
2
+) t t 
 dt   2 dx ; i c n x  1  t  1 và x  e  t 
x
x
e
e

e

2
e

1

1
1
 1
 1
t  1 1
e2  4e 3
tdt
1 
1 
+) Khi đó I 2  
dt
dt







2  (t  1)2 (t  1)3   t  1 2(t  1)2  2 2(e  2)2  8
(t  1)3 2 (t  1)3
1
e

+) V y I 2 

e

e

e  4e 3
 .
2(e  2) 2 8
2


1

Bài 13: Tính các tích phân sau:

1) I1   ( x  5) ln( x  1)dx
0

4

2) I 2   x tan 2 xdx
0


1

3) I 3   (2 x  3)e2 xdx
0

4

4) I 4   e x .(cos 2 x  sin 2 x)dx
0

1





5) I 5   ln 1  x dx
0

Gi i:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 11 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1

1) I1   ( x  5) ln( x  1)dx
0

+)

dx

du 

ln(
1)
u
x




x 1
t 

2
2
dv  ( x  5)dx v  x  5 x  x  10 x

2
2
1

1 x2  10 x
9
1 
11 
x2  10 x

+) Khi đó I1 
ln( x  1)  
dx   ln 2    x  11 
dx
2
2
1
2
2
1
x
x




0
0
0
1

1

1


9
1  x2
9
21 11

21  40.ln 2
  ln 2    11x  11ln x  1    ln 2   ln 2 
2
4 2
4
2
2 2
0
21  40.ln 2
4

+) V y I1 

4

2) I 2   x tan 2 xdx
0

du  dx
u  x

+) t 

 1

2
2
dv  tan x v   tan xdx    cos 2 x  1 dx  tan x  x




+) Khi đó





4

I 2  x.(tan x  x)   (tan x  x)dx 
4
0

 .(4   )
16

0



 .(4   )
16

+) V y I 2 


4





 ln cos x 04



x2

2

4

0









 .(4   )
sin x
d cos x 4


 xdx
dx   xdx 
cos x

16
cos x 0
0
0
0
4

4

4

 .(4   ) 1
16

2  2 1
 ln 2 
 
 ln 2
2
32 4 32 2

2

1
 ln 2
32 2

1

3) I 3   (2 x  3)e2 xdx

0

+)

du  2dx
u  2 x  3

t 

e2 x
2x
dv
e
dx

v



2


1

(2 x  3)e2 x
3  e2 1 2 x
+) Khi đó I 3 
  e2 xdx 
 e
 2  e2

2
2
2
0
0
0
1

1

+) V y I3  2  e2




4

4

0

0

4) I 4   e x .(cos 2 x  sin 2 x)dx   e x .cos 2 xdx

u  cos 2 x du  2sin 2 xdx

t 
x
x

dv  e dx
v  e




4

Khi đó I 4  e x cos 2 x 4  2  e x sin 2 xdx  1  2 I
0

(1)

0


4

Tính I   e x sin 2 xdx
0

Hocmai.vn – Ngôi tr

u  sin 2 x du  2 cos 2 xdx

t 
x
x
dv  e dx v  e

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 12 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân






4

Suy ra I  e x sin 2 x 4  2  e x cos 2 xdx  e 4  2 I 4 (2)
0

0



+) Thay (2) vào (1) ta đ



1

 

2e 4  1
c: I 4  1  2  e 4  2 I 4   I 4 
5





5) I 5   ln 1  x dx
0

+)

dx

du


u
x


ln
1



2 x. 1  x
t 

dv  dx


v  x









+) Khi đó I 5  x ln 1  x
1

Tính I  
0

x
1 x



1
0

1


0




1

x

2 x 1 x



dx  ln 2 

1
1
x
dx  ln 2  I (1)

2 0 1 x
2

t t  1  x  (t  1)2  x  2(t  1)dt  dx ;

dx ;

i c n x  0  t  1 và

x 1 t  2
2

2 2
2
 t2

t 1
t  2t  1
1

Suy ra I  
.2(t  1)dt  2
dt  2  t  2   dt  2   2t  ln t   1  2ln 2
t
t
t
2
1
1
1
1
2

+) Thay (2) vào (1) ta đ

c: I 5 
1

Chú ý : +) Khi đi tính I  
0

1
.
2

x
1 x

dx ngoài vi c đ t t  1  x nh trên, các b n có th đ t t  x .

tích phân I 5 , các b n có th đ t luôn t  x sau đó ta đ

+)

1

c I 5  2 t ln(1  t ) dt và ti p t c
0

gi i tích phân này b ng vi c s d ng ph

u  ln(t  1)
ng pháp tích phân t ng ph n, đ t 
dv  tdt

x  ln( x  1)
1) I1  

dx
( x  2)2
0
1

Bài 14: Tính các tích phân sau:

1

2) I 2  
0




2

x sin x
3) I 3  
dx
(1  cos x) 2
0

1

x

xe
4) I 4   x
dx

(e  1) 2
0

4

5) I 5  

x3e x  2 x  e x  1
x2  2

dx

 cos x  e  sin x dx

0

tan x

cos3 x

Gi i:
1

1) I1  
0

+)

x  ln( x  1)
dx

( x  2)2

1 
x 2


u  x  ln( x  1) du  1 
dx 
dx



x 1 
x 1


t 
dx
dv  ( x  2) 2
v   1


x 2

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 13 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

1
1  2ln 2
x  ln( x  1)
dx
1  ln 2
1  ln 2
+) Khi đó I1  


 ln x  1 0  
 ln 2 
x 2
x 1
3
3
3
0
0
1

+) V y I1 
1

2) I 2  

1

1  2ln 2
3

x3e x  2 x  e x  1
x 2
2

0

1

dx  

xe x  x2  2   2 x
x 2
2

0

1

1

dx   xe xdx  
0

0

2x
dx  A B
x 2
2

u  x
du  dx

t 
x
x
dv  e dx v  e

1

+) Tính A   xe xdx
0

1

Suy ra A  xe x   e xdx  e  e x  e  (e  1)  1
1

1

0

0

0

1
2x
3
d ( x2  2)
+) Tính B   2
dx   2
 ln( x2  2)  ln
0
2
x 2
x 2
0
0
1

1

+) V y I 2  1  ln

3
2


2

x sin x

dx
(1  cos x) 2
0

3) I 3  
+)

u  x
du  dx


t 
sin xdx  
sin xdx
d (1  cos x)
1
dv  (1  cos x)2
v   (1  cos x)2    (1  cos x)2  1  cos x










2
 2 dx


x
dx
x2 
+) Khi đó I 3 

 
  tan
 1
1  cos x 0 0 1  cos x 2 0 2 cos 2 x 2
20 2
2

+) V y I 3   1
2
1
xe x
4) I 4   x
dx
(e  1) 2
0

+)

2

u  x
du  dx




t 
1
ex
ex
d (e x  1)
dv
dx
v
dx



 x
x
x
x
2
2
2




(e  1)
(e  1)
(e  1)
e 1



1

+) Khi đó I 4  

1

1
x
dx
 x

 I (1)
x
e 1 0 0 e 1
e 1

1

dx
e 1
0

Tính I  

x

i c n x  0  t  1 và x  1  t  e

t t  e x  dt  e xdx ;

e

e xdx
dt
t
2e
1 1 

  
 ln
Suy ra I   x x
dt  ln
e .(e  1) 1 t.(t  1) 1  t t  1 
t 1 1
e 1
0
e

1

+) Thay (2) vào (1) ta đ
Hocmai.vn – Ngôi tr

c: I 4  

e

(2)

1

2e
 ln
e 1
e 1

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 14 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

4

5) I 5  

Nguyên hàm – Tích phân

 cos x  e  sin x dx
tan x

cos3 x

0


4

Bi n đ i I 5  

 cos x  e  sin x dx 
tan x

cos3 x

0









4
4 tan x
 sin x e tan x .sin x 
e .sin x
sin x
dx
dx



0  cos2 x cos3 x  0 cos2 x 0 cos3 x dx  A B
4





4

4
d cos x
sin x
1 4
+) Tính A  
dx



 2 1
2
2

cos x
cos x cos x 0
0
0





4

e tan x .sin x
dx
+) Tính B  

dx
e tan x .tan x.
3

cos x
cos 2 x
0
0
4

t t  tan x  dt 
1

Suy ra B   et .tdt
0


dx
; i c n x  0  t  0 và x   t  1
2
cos x
4
u  t
du  dt

t 


t
t
dv  e dt v  e

1

Khi đó B  tet   et dt  e  et  e  (e  1)  1
1

1

0

0

0

V y I 5  A B  2
Bài 15: Tính các tích phân sau:

1

2

2) I 2   ( x  2 x)sin xdx

1) I1   (2 x  1) ln ( x  1)dx

2

2

3

0

0

1

3) I 3   x5e x dx
2

0

Gi i:
2 ln( x  1)dx

u  ln 2 ( x  1)
du 
t 

x 1
(2
1)
dv
x
dx



2

v  x  x


1

1) I1   (2 x  1) ln ( x  1)dx
2

0

1

Khi đó I1  ( x  x) ln ( x  1)   2 x ln( x  1)dx  2ln 2 2  I (1)
2

1

2

0

0

dx

u  ln( x  1) du 
t 


x 1
dv  2 xdx
v  x2


1

Tính I   2 x ln( x  1)dx
0

1

1
 x2

x2
1 
1

(2)
Suy ra I  x ln( x  1)  
dx  ln 2    x  1 
dx
ln
2


 x  ln x  1  



0
x 1
x 1 
 2
0 2
0
0
1

2

+) Thay (2) vào (1) ta đ

1

c: I1  2ln 2 2 

1
2


2

2) I 2   ( x2  2 x)sin 3 xdx
0

+)

du  (2 x  2)dx

u  x2  2 x


t 

cos3 x
3
2
3

dv  sin xdx v   sin xdx    (1  cos x)d cos x   cos x 
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 15 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân





2
 cos3 x
2

cos3 x 
 cos x   2  ( x  1)  cos x 
Khi đó I 2  ( x2  2 x) 
 dx
3
 3
0


0



22
  ( x  1)  3cos x  cos3 x dx
30

du  dx

u  x  1

t 

sin 3 x
3

2
2
dv
x
x
dx


3cos
cos
v
x
xdx
x
d
x
x






(3
cos
)
cos
(2
sin
)

sin
2sin



 


3


+)





Suy ra I 2 

2( x  1) 
sin x 
2 2
sin 3 x 



x
x
2sin
2sin




dx
3 
3  0 3 0 
3 
3

2





7(  2) 1 2
7(  2) 2 2

   6  sin 2 x sin xdx 
   7  cos 2 x d cos x
9
30
9
90


2  82
7(  2) 2 
cos3 x  2 7(  2) 40 21  82
. V y I2 


  7 cos x 


 
27
9
9
3 0
9
27
27
1

3) I 3   x5e x dx
2

0

du  4 x3dx
4

u  x

t 

1 x2 2 1 x2
x2
x2
dv  xe dx v   xe dx   e dx  e


2
2


+)

1

2

x4e x
Khi đó I 3 
2

1

1

2
e
  2 x e dx    2 x3e x dx
2 0
0
0

3 x2

(1)

2
du  2 xdx

u  x


t 

x2
x2
2
x2
x2
2
v
xe
dx
e
dx
e



dv  2 xe dx 





+)

1

3 x
2 x
 2 x e dx  x e
2

0

2

1
0

1

1

  2 xe x dx  e   e x dx2  e  e x
2

0

2

0

+) Thay (2) vào (1) ta có: I 3 
Chú ý:

2

1

 e  (e  1)  1

e
1
2

bài toán trên các b n có th đ t t  x2 đ đ a tích phân v d ng

ti p theo các cách sau:
+) S d ng tích phân t ng ph n 2 l n nh cách làm
1

+) Tính tr c ti p I 3 

1

1 2 t
t e dt và sau đó ta s làm
2 0

trên.
1

1

e

1 2 t
1
1
t e dt   (t 2  2t )  2(t  1)  2 et dt  (t 2  2t  2)et   1

20
20
2
2
0

( cách này ta đã s d ng công th c

  f ( x)  f '( x)e dx  f ( x)e

ph i ch ng minh ).

Hocmai.vn – Ngôi tr

(2)

0

x

x

 C – n u dùng trong bài các b n

Giáo viên

Ngu n
ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

: Nguy n Thanh Tùng
:
Hocmai.vn
- Trang | 16 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam
Khóa h c Luy n thi THPT qu c gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tu n – Thanh Tùng)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Nguyên hàm – Tích phân

- Trang | 17 -


Hocmai.vn – Website h c tr c tuy n s 1 t i Vi t Nam

5 L I ÍCH C A H C TR C TUY N







Ng i h c t i nhà v i giáo viên n i ti ng.
Ch đ ng l a ch n ch ng trình h c phù h p v i m c tiêu và n ng l c.
H c m i lúc, m i n i.
Ti t ki m th i gian đi l i.
Chi phí ch b ng 20% so v i h c tr c ti p t i các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN H C T I HOCMAI.VN





Ch

ng trình h c đ c xây d ng b i các chuyên gia giáo d c uy tín nh t.
i ng giáo viên hàng đ u Vi t Nam.
Thành tích n t ng nh t: đã có h n 300 th khoa, á khoa và h n 10.000 tân sinh viên.
Cam k t t v n h c t p trong su t quá trình h c.

CÁC CH

NG TRÌNH H C CÓ TH H U ÍCH CHO B N

Là các khoá h c trang b toàn
b ki n th c c b n theo
ch ng trình sách giáo khoa

(l p 10, 11, 12). T p trung
vào m t s ki n th c tr ng
tâm c a kì thi THPT qu c gia.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

Là các khóa h c trang b toàn
di n ki n th c theo c u trúc c a
kì thi THPT qu c gia. Phù h p
v i h c sinh c n ôn luy n bài
b n.

Là các khóa h c t p trung vào
rèn ph ng pháp, luy n k
n ng tr c kì thi THPT qu c
gia cho các h c sinh đã tr i
qua quá trình ôn luy n t ng
th .

Là nhóm các khóa h c t ng
ôn nh m t i u đi m s d a
trên h c l c t i th i đi m
tr c kì thi THPT qu c gia
1, 2 tháng.

-