PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ CHỨA NHIỀU CĂN THỨC PHẦN 3

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ NHIỀU CĂN THỨC (03)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ ANH TUẤN
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng giảng Phương trình vô tỷ nhiều căn (phần 3) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Lê Anh Tuấn) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức
phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.

Phương pháp đặt 2 ẩn phụ đưa về hệ phương trình.





Bài 1. Giải phương trình: x 25  x3 x  25  x3  30
3

3

Hướng dẫn
Đặt y  35  x3  x3  y3  35
3

 xy ( x  y )  30
, giải hệ này ta tìm được
3
3

 x  y  35

Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau: 

( x; y)  (2;3)  (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}
2 1  x  4 x 

Bài 2. Giải phương trình:

1
2

4

Hướng dẫn
Điều kiện: 0  x  2  1




Đặt 

2 1  x  u


 x v

0u

2  1,0  v  4 2  1

4

1

u

v
1


4
u

v

2


4
2

Ta đưa về hệ phương trình sau: 
2
u 2  v 4  2  1  1  v   v 4  2  1


 4 2

2

1 

Giải phương trình thứ 2: (v  1)   v  4   0 , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của phương
2

2

2

trình.
Bài 3. Giải phương trình sau: x  5  x  1  6
Hướng dẫn
Điều kiện: x  1
Đặt a 

x  1, b  5  x  1(a  0, b  0) thì ta đưa về hệ phương trình sau:

2

a  b  5
 (a  b)(a  b  1)  0  a  b  1  0  a  b  1
 2

b  a  5

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Vậy

x 1 1  5  x  1 

Bài 4. Giải phương trình:
Hướng dẫn
Điều kiện: 5  x  5

x1  5 x x 

PT – HPT- BPT

11  17
2

6  2x 6  2x 8


5 x
5 x 3





Đặt u  5  x , v  5  y 0  u, v  10 .

(u  v)2  10  2uv
u 2  v 2  10


Khi đó ta được hệ phương trình:  4 4
2 4
8

   2(u  z ) 
(u  v) 1   
3
 u v
 uv  3

Bài 5. Giải phương trình: x 2  2 x  2 2 x  1
Hướng dẫn

Điều kiện: x 

1
2

Ta có phương trình được viết lại là: ( x  1)2  1  2 2 x  1
2

 x  2 x  2( y  1)
Đặt y  1  2 x  1 thì ta đưa về hệ sau: 

2

 y  2 y  2( x  1)
Trừ hai vế của phương trình ta được ( x  y)( x  y)  0

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x  2  2
Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1  2; 1  3}
Bài 6. Giải phương trình: 2 x2  6 x  1  4 x  5
Hướng dẫn
Điều kiện x  

5
4

Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x2  12 x  2  2 4 x  5  (2 x  3)2  2 4 x  5  11
2

(2 x  3)  4 y  5
 ( x  y )( x  y  1)  0
Đặt 2 y  3  4 x  5 ta được hệ phương trình sau: 
2
(2
y

3)

4
x

5




Với x  y  2 x  3  4 x  5  x  2  3 . Với x  y  1  0  y  1  x  x  1  2
Bài 7. Giải phương trình: x3  x2  1  x3  x 2  2  3
Hướng dẫn
Với điều kiện: x3  x2  1  0  x3  x2  2  0

(1)

 u  x3  x 2  1
Đặt 
Với v > u ≥ 0
v  x3  x 2  2
Phương trình (1) trở thành u + v = 3. Ta có hệ phương trình
3
2

uv 3
u  v  3  u  1 
 x3  x 2  1  1
 uv 3

 x  x 1  1




 3
 2

2
2
3
2
v  u  3 
v  2
(v  u )(v  u )  3  v  u  1
x  x  2  4
x

x

2

2



Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

 x3  x2  2  0  ( x  1)( x2  2 x  2)  0  x  1 (do x 2  2 x  2  0 x)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}

2

Bài 8. Giải phương trình: 1  x    x 
3


2

2

1  x 2  0
1  x  1

 0  x 1
Điều kiện: 
 x0
 x0
2
2
Với điều kiện (*),đặt u  x ; v   x , với u ≥ 0, v 
3
3
Hướng dẫn

(*)

 1 x2  1 u4

2

Ta có:  2

2
 3  x   v
Do đó ta có hệ


2

2
2

2

uv 
u

v

u

v



u

v




3
3
3  

3 

2
2
2
4
4
2
2
2 2
2 2
 1  u 4  v2
u  v  1  u  v   2u .v  1   u  v   2u.v   2u v  1



2
 u  v  3
 
2


8  194

2

uv 
u.v 
uv 



3
18



3



2

2
 4  2u.v   2u 2 .v 2  1 2u 2 .v 2  16 u.v  65  0
u

v







 9
9
81
5

 

8  194
 u.v 
18

 2 2
8  194
 0(a)
y  y 
3
18
 u và v là nghiệm của phương trình 
 y 2  2 y  8  194  0(b)

3
18
+ Giải (b) ta thấy vô nghiệm
1
+ Giải (a) thấy có 2 nghiệm y1 

97
3
1
2

; y2 
2

97
3
2
.
3

u  y1 u 2  y 2
Do đó:  1

v

y
1
2
 v 2  y1


1
Vì u ≥ 0 nên ta chọn u  y 2 

97
3
1
2
 x
3

1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x  1 
9

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


97
1
3

2
 x 
3





97
 3

2



97
3 

2


3




2

2

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)





 



Bài 9 Giải phương trình: 1  x . 1  2 x  1  1  6 x .3 2 x  1 . 1  3 x .6 2 x  1

PT – HPT- BPT



Hướng dẫn
ĐK: x 

1
2

Đặt a  x

b  2x  1

Phương trình đã cho trở thành:

1  a . 1  b   1  3 ab 2 . 1  3 a 2 b 
 a  b  3 ab 2  3 a 2 b
a b b a a b
VT            3 ab 2  3 a 2 b  VP
 3 3 3  3 3 3
VP  VT  a  b  x  2 x  1  x  1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1
Bài 10: Giải các phương trình sau:
1.

4

47  2x  4 35  2x  4 (1)

2.

3.

3

x  5  3 x  2 1

4. 3 3  x  3 11  x  2 .

5. 3 24  x  12  x  6

6.

4

x  8  4 x  8  2 .(2)
3  2x  3 5  3x  3

Hướng dẫn

47  2x  0 35
47
Điều kiện xác định là : 
 x
2
2
35  2x  0
a  4 47  2x
Ta đặt: 
với a  0, b  0 .

b  4 35  3x
a  b  4
Khi đó (1) trở thành.  4
(*)
4
a  b  (47  2x)  (35  2x)  82
a  4  b
a  4  b

 4
4
4
3
2
(4  b)  b  82
b  8b  48b  128b  87  0

a  4  b
a  4  b


  b  1
2
(b  1)(b  3)(b  4b  29)  0
 b  3

Vậy nghiệm của hệ (*) là (a, b)  {(1,3);(3,1)} . Vì nghiệm của hệ là đối xứng, ta chỉ cần xét 2 trường hợp

sau:
Với a  1 ta có:

4

47  2x  1  47  2x  1  x  23 , thỏa mãn DKXD

Với b  1 ta có: 4 35  2x  1  35  2x  1  x  17 , thỏa mãn DKXD.
Vậy nghiệm của (1) là x  {17,23}

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

2.

4

PT – HPT- BPT

x  8  4 x  8  2 .(2)

Hướng dẫn
Điều kiện xác định: x  8 .
4


a  x  8
Đặt: 
, a  0, b  0 . Khi đó ta có: a 4  b4  16
4

b  x  8

a 4  b 4  16
Kết hợp với (2) ta có hệ 
(2.1)
a  b  2
a  b  2
a  b  2
a  b  2
b  0
(2.1)  




4
4
2
b  0
a  2
(b  2)  b  16
8b(b  3b  4)  0
b  0
Với 
(thỏa mãn đkxđ), thay vào ta có nghiệm x= {8}.

a  2

3.

3

x  5  3 x  2 1

Hướng dẫn

a  3 x  5
a  b  1
Đặt 
, khi đó ta có:  3 3
(3.1)
a  b  7
b  3 x  2
a  b  1
a  b  1
a  b  1
a  b  1

(3.1)  
 2

  b  1
3
3
3(b+2)(b-1)=0
(b  1)  b  7

3b  3b  6  0
 b  2


Vậy (a, b)  { (2,1);(-1,-2)} .

a  2
, ta có
+, Với 
b  1

3

2  x  5
 x  3.
 3
1

x

2



a  1
+,Với 
, ta có
b  2

3


1  x  5
 x  6.

3

2

x

2



Vậy x={-6,3}.
4. 3 3  x  3 11  x  2 .
Hướng dẫn

a  3 3  x
a  b  2
Đặt 
, khi đó ta có hệ  3 3
(4.1)
3
a

b

14
b


11

x



Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

PT – HPT- BPT

a  2  b

a  2  b
a  2  b
a  2  b
(4.1)  
 2
 2
  b  1  2
3
3

(2  b)  b  14
6b  12b  8  14
6b  12b  6  0

 b  1  2
Vậy (a, b)  {(1+ 2,1- 2);(1- 2,1+ 2)} .

1  2  3 3  x

Với (a, b)  {(1+ 2,1- 2)} ta có: 
 x  (1  2)3  3 .
3

1  2  11  x
3

1  2  3  x
Với (a, b)  {(1- 2,1+ 2)} ta có : 
 x  (1  2)3  3 .
3

1  2  11  x

Nghiệm cần tìm là : x  { (1  2)3  3,(1  2)3  3 }
5. 3 24  x  12  x  6
Hướng dẫn
Điều kiện xác định, 12  x  x  12

a  3 24  x
a  b  6

Đặt 
(5.1)
, b  0 . Khi đó ta có hệ:  3 2
a  b  36
b  12  x
a  b  6
a  6  b

 3 2
3
2
a  b  36
(6  b)  b  36
a  6  b

a  6  b
a  6  b
 b  6


 
2
3
(b-10)(b-6)(b-3)=0
180  108b  19b  b  0
 b  3
 b  10

Vậy (a, b)  {(0,6);(3,3);(-4,10)}
3

a  3 
27  24  x
3  24  x
+ Với 


 x3
b  3
9  (12  x)

3  12  x
3

a  0
0  24  x

 x  24
+ Với 
b  6

6  12  x
3

a  4
4  24  x

 x  88
+ Với 
b  10


10  12  x

Vậy x  3, 24, 88 
6.

3  2x  3 5  3x  3

Hướng dẫn
Điều kiện xác định:

3  2x  0  x 

3
.
2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)


a  3  2x
Đặt 
, a  0 , khi đó ta có hệ:

3

b  5  3x

PT – HPT- BPT

a  b  3
(6.1)
 2
3
3a  2b  19

a  b  3
a  3  b
a  3  b
(6.1)   2

 2
3
2
3
3
3a  2b  19
3(3  b)  2b  19
3b  18b  8  2b  0
a  3  b


a  3  b
 b  2


 
(b+4)(b-2)(2b-1)  0
 b  4

1
 b 
2

5 1
Vậy (a, b)  {(1,2);(7,-4);( , )} .
2 2

1  3  2x
a  1

+ Với 

 x 1.
3
2

5

3x
b  2


7  3  2x
a  7


+ Với 

 x  23
3

4

5

3x
b  4



5

5
a


 2  3  2x
13


2
+ Với 

x
8

b  1
 1  3 5  3x



2
2
13
}
Vậy x  {1;-23;
8
Bài 11. Giải phương trình: 4 x
Điều kiện:

1

(1)

2(x

1)

Đặt:

x

1

x

2t 2

pt

1

x 2 (1) .

3x

2 1

x

1

2 1

x

1

1

x

0 (2)

1

1
x

1

t (t

1

x

4

x

0

0)

1

x

4 t

2 1

x

Khi đó, coi (2) là phương trình với ẩn là t tham số là x

1
9(1

x)

x

4

2

24 1

8 2 1
x

16

x

x
3 1

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

1
x

4

2

0, x

[ 1;1]

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

(2)

x

1

2

1

x

x

1

1

x

4

x

x

x

1

x

1

Điều kiện:

pt

x

4

2

1

x

x2

1

x

1

2 1

x2

4

1

x

x

3
(t/m)
5

x

0 (t/m)

x
2

4x

4

1

3
5

x

x2

x2

1

t (t

2t 2

2

t

0.
x2

1

x4

1

3x 2

1 (1) .

1

1)

1

x

1

t

2

1

Bài 12. Giải phương trình: 2 2 1

x2

3 1

2

KẾT LUẬN: x

Đặt:

4

x

1

2

2(x 2

x

1

2

x

1

(1)

3 1

4

Với: t

2 1

4
4

t

Với: t

x

1

t

PT – HPT- BPT

1

x2

4

1

2 1

x2

x2

x2

1

0 (2)

1

0

1)
x2

4 t

x2

2 1

Khi đó, coi (2) là phương trình với ẩn là t tham số là x

1

Ta có:

3 1

x2

4

t

Khi đó, (2)

[ 1;1]

x2

1

x2

91

24 1

KẾT LUẬN: x

x2

1

2

1

2
1

1

4

x

4

3 1

x2

4

3 1

2

4

x

x2

1

x2

1

x2

16

1

x2

2

2

t

2

1
1

: Lê Anh Tuấn
:
Hocmai.vn

x2

1

t

4x 2

4

2
x2

x2

Giáo viên
Nguồn

4

x2

1

2

0, x

x2

4

t

Với: t

8 2 1

2

x2

Với: t

2

4

1

x2
x4

x2
3
5

x2
1

x

VN

0

0.

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của
kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào

rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-