LUYỆN TẬP: 10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

10 DẠNG TÍCH PHÂN THƯỜNG GẶP ( Phần 05)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: NGUYỄN THANH TÙNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng 10 dạng tích phân thường gặp (Phần 05) thuộc khóa học
Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Nguyễn Thanh Tùng) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần này, bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.



DẠNG 9: I   sin
9

m

x.cos n xdx (9*) (m, n )











hoặc I9.1   f (sin x).cos xdx (9*1) ; I9.2   f (cos x).sin xdx (9*2)
CÁCH GIẢI CHUNG

CHÚ THÍCH:
1) Khi gặp tích phân mà hàm dưới dấu tích phân có cấu trúc của tích giữa sin x và cos x hay tích


phân có dạng I 9   sin m x.cos n xdx . Thì ta sẽ quan tâm tới tính chẵn, lẻ giữa số mũ của sin x và


cos x . Cụ thể:
++) Nếu m, n khác tính chẵn, lẻ ( m chẵn, n lẻ hoặc m lẻ, n chẵn) ta sẽ đổi biến theo hàm mang mũ
chẵn .
Nghĩa là nếu m  2k (mũ của hàm sin x mang mũ chẵn có hình thức sin 2 k x ) thì ta đặt
t  sin x ,
nếu n  2k (mũ của hàm cos x mang mũ chẵn có hình thức cos2 k x ) thì ta đặt
t  cos x .
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

++) Nếu m, n cùng tính chẵn, lẻ ( m , n cùng chẵn hoặc m , n cùng lẻ) thì ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: m, n cùng lẻ, khi đó ta nên đổi biến theo hàm có số mũ lớn hơn.
Nếu m  n (bậc của sin x lớn hơn bậc của cos x ) ta đặt t  sin x .
Nếu m  n (bậc của sin x nhỏ hơn bậc của cos x ) ta đặt t  cos x .
1
Nếu m  n thì biến đổi sin m x.cos m x  m sin m 2 x sau đó đặt t  cos 2 x .
2
Trường hợp 2: m, n cùng chẵn, khi đó ta sẽ “linh hoạt” sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1: Dùng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng cơ
bản
có trong bảng nguyên hàm và thường hay sử dụng công thức hạ bậc.
Cách 2: Chuyền về dạng 7 để đặt t  tan x hoặc cot x (các bạn xem lại dạng 7 ).
2) Khi gặp tích phân có dạng tích của cos x và một hàm chứa sin x hay được biểu diễn theo hình thức








I 9.1   f (sin x).cos xdx hoặc tích của sin x và một hàm chứa cos x có dạng I 9.2   f (cos x).sin xdx
thì ta sẽ giải tích phân này theo phương pháp đổi biến t  sin x (ứng với I 9.1 ) và t  cos x (ứng với

I 9.2 ).
CHÚ Ý:
+) Dạng I 9.1 và I 9.2 là một phần mở rộng của dạng I 9 .
+) Ở dạng I 9.1 ta có thể “linh hoạt” đặt t  a  b sin x ; t  a  b sin k x …nếu I 9.1 có thể viết dưới








dạng đơn giản hơn I 9.1   f (a  b sin x).cos xdx ; I 9.1   f (a  b sin k x).sin k 1 x.cos xdx …và với I 9.2
cũng có thể áp dụng tương tự.
+) Khi sin x hoặc cos x không xuất hiện thì ta hiểu số mũ của nó mang số chẵn (số 0 ).
+) Các bạn xem thêm DẠNG 7 cho đầy đủ các trường hợp.
+) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân đơn giản, các bạn có thể bỏ qua bước đổi biến bằng kĩ thuật vi
phân.

VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:






2

(2sin x  3) cos x
dx
2sin x  1
0

1) I1   sin 3 2 x cos 4 xdx

2

2) I 2  

0

2

3) I 3   sin 5 x cos 4 xdx
0

Giải




2

2

0

0

1) I1   sin 3 2 x cos 4 xdx  8 sin 3 x cos 7 xdx ( ở đây m  3; n  7 )
+) Đặt t  cos x  dt   sin xdx ; Đổi cận x : 0 

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt


2

thì t : 0  1

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

+) Vậy I1 

Nguyên hàm – Tích phân

1
5



(2sin x  3) cos x
dx
2sin x  1
0
2

2) I 2  

+) Đặt t  sin x  dt  cos xdx ; Đổi cận x  0  t  0 ; x 


2

 t 1

+) Vậy I 2  1  2ln 3

2

3) I 3   sin 5 x cos 4 xdx
0

+) Đặt t  cos x  dt   sin xdx  sin xdx  dt ; Đổi cận x  0  t  1 và x 

+) Vậy I 3 


2

t 0

8
315

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:




1  2sin x

1) I1  
dx (B – 2003)
1  sin 2 x
0
2

2

2

sin 2 x cos x
2) I 2  
dx (B – 2005)
1  cos x
0

0

3) I 3 

sin 2 x

 (2  sin x)



2

dx

2

Giải


1  2sin 2 x
1) I1  
dx
1  sin 2 x
0
2

(B – 2003)




2
1  2sin x
cos 2 x
Biến đổi ta được : I1  
dx  
dx
1  sin 2 x
1  sin 2 x
0
0
2

2

Cách trình bày 1 : Đặt t  sin 2 x  dt  2cos 2 xdx  cos 2 xdx 

dt

và x : 0  thì t : 0  1
2
4

Cách trình bày 2 : (Theo góc nhìn của DẠNG 8)

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân


2

sin 2 x cos x
dx
1  cos x
0

2) I 2  

(B – 2005)




2
sin 2 x cos x
cos 2 x
Biến đổi ta được : I 2  
dx  2 
.sin xdx
1  cos x
1  cos x
0
0
2

Cách trình bày 1 : Đặt t  cos x  dt   sin xdx và x : 0 


2

thì t :1  0

Cách trình bày 2 : (Theo góc nhìn của DẠNG 8)
Đặt t  1  cos x  dt   sin xdx và x : 0 

0

3) I 3 





sin 2 x
dx 
(2  sin x) 2

2

0

2sin x

 (2  sin x)



2


2

thì t : 2  1

.cos xdx

2

Đặt t  2  sin x  dt  cos xdx và x : 


2

 0 thì t :1  2

Vậy I3  2ln 2  2


DẠNG 10 : I  
10

f (sin x cos x,sin x cos x)(cos x sin x)dx (10*)



CÁCH GIẢI CHUNG

CHÚ THÍCH:
Khi gặp tích phân có dạng tích của hai biểu thức. Trong đó có một biểu thức là tổng (hoặc hiệu )
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -

Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

giữa sin x và cos x và một biểu thức chứa hiệu (hoặc tổng) và tích giữa sin x và cos x hay tích phân
có dạng


I10   f (sin x  cos x,sin x cos x)(cos x  sin x)dx . Khi đó ta sẽ giải bài toán bài toán bằng cách đổi biến


t  sin x  cos x và tích phân về dạng tích phân cơ bản.
CHÚ Ý :
Dưới dấu tích phân thường chúng ta chưa nhìn thấy luôn cấu trúc của dạng 10 này. Vì vậy các bạn
cần nắm rõ các công thức lượng giác cơ bản để biến đổi chúng về dạng trên.

VÍ DỤ MINH HỌA


sin  x  
4

Ví dụ 1. Tính tích phân sau: I  
dx (B – 2008)
sin 2 x  2(1  sin x  cos x)
0


4

Giải




dt  (cos x  sin x)dx   2 sin  x   dx

4  và x : 0  thì t :1  2
Đặt t  sin x  cos x  

4
sin 2 x  t 2  1




3cos 2 x  sin 4 x
dx
2  sin x  cos x
0

0

4

1) I1  

Ví dụ 2. Tính các tích phân sau:

2) I 2 

sin 4 x

 (1  sin x)(1  cos x) dx



4

Giải






4
4
3cos 2 x  sin 4 x
(3  2sin 2 x) cos 2 x
(3  2sin 2 x)(cos x  sin x)(cos x  sin x)
dx  
dx  
dx
1) I1  
2  sin x  cos x
2  sin x  cos x
2  (sin x  cos x)

0
0
0
4

dt  (cos x  sin x)dx

+) Đặt t  sin x  cos x  
và x : 0  thì t :1  2
2
4
sin 2 x  t  1
[3  2(t 2  1)].t
 I1  
dt 
2t
1
2

2


1

2t 3  5t
dt 
t 2

2


  t 3  2t 2  3t  6ln t  2 
3

+) Vậy I1 

13 2  5
 6ln 2  2
3



0

2) Ta có: I 2 





2
1



2



  2t
1

2

 4t  3 

6 
 dt
t 2

13 2  5
 6ln(2  2)
3



2sin 2 x.(cos 2 x  sin 2 x)
dx 
(1  sin x)(1  cos x)

4

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

0





4sin x cos x.(cos x  sin x)(cos x  sin x)

dx
1  sin x  cos x  sin x cos x

4

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam
Khóa học Luyện thi THPT quốc gia Pen - C: Môn Toán (GV: Anh Tuấn – Thanh Tùng)

Nguyên hàm – Tích phân

dt  (cos x  sin x)dx


+) Đặt t  sin x  cos x  
; Đổi cận x    t  0 và x  0  t  1
t 2 1
4
sin x cos x 

2

t 2 1
1
1
.t.dt

t3  t
2t  2 

2
 4 2
dt  4  t  2  2
+) Khi đó I 2  
dt
2
t 1
t  2t  1
t  2t  1 
0
0
0
1 t 
2
1
1
1
d (t 2  2t  1)
 4  t  2 dt  4 2
 2t 2  8t  4ln t 2  2t  1  6  8ln 2
0
t  2t  1
0
0
1

4.





+) Vậy I 2  6  8ln 2

Giáo viên
Nguồn

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

: Nguyễn Thanh Tùng
:
Hocmai.vn

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Hocmai.vn – Website học trực tuyến số 1 tại Việt Nam

5 LỢI ÍCH CỦA HỌC TRỰC TUYẾN






Ngồi học tại nhà với giáo viên nổi tiếng.
Chủ động lựa chọn chương trình học phù hợp với mục tiêu và năng lực.
Học mọi lúc, mọi nơi.
Tiết kiệm thời gian đi lại.
Chi phí chỉ bằng 20% so với học trực tiếp tại các trung tâm.

4 LÍ DO NÊN HỌC TẠI HOCMAI.VN





Chương trình học được xây dựng bởi các chuyên gia giáo dục uy tín nhất.
Đội ngũ giáo viên hàng đầu Việt Nam.
Thành tích ấn tượng nhất: đã có hơn 300 thủ khoa, á khoa và hơn 10.000 tân sinh viên.
Cam kết tư vấn học tập trong suốt quá trình học.

CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỌC CÓ THỂ HỮU ÍCH CHO BẠN

Là các khoá học trang bị toàn
bộ kiến thức cơ bản theo
chương trình sách giáo khoa
(lớp 10, 11, 12). Tập trung
vào một số kiến thức trọng
tâm của kì thi THPT quốc gia.

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Là các khóa học trang bị toàn
diện kiến thức theo cấu trúc của

kì thi THPT quốc gia. Phù hợp
với học sinh cần ôn luyện bài
bản.

Là các khóa học tập trung vào
rèn phương pháp, luyện kỹ
năng trước kì thi THPT quốc
gia cho các học sinh đã trải
qua quá trình ôn luyện tổng
thể.

Là nhóm các khóa học tổng
ôn nhằm tối ưu điểm số dựa
trên học lực tại thời điểm
trước kì thi THPT quốc gia
1, 2 tháng.

-